期末专题03 解三角形小题综合（5大题型31题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题03 解三角形小题综合（5大题型31题） 题型概览 题型01 正余弦定理解三角形 题型02 判断三角形的形状 题型03 解三角形的实际应用 题型04 范围与最值问题 题型05 解三角形多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 正余弦定理解三角形 1．(23-24高一下·湖南·期末)记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角的对边分别为.若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．(23-24高一下·湖南永州·期末)在中，若，则（ ） A． B． C． D． 4．(23-24高一下·湖南·期末)在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D．或 5．(23-24高一下·湖南娄底涟源·期末)在中，，，，则最短边的边长等于（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)已知的顶点坐标分别是，，，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·湖南益阳安化县·期末)已知中，，，为边上的中线，若，则 . 8．(23-24高一下·湖南·期末)如图，在曲柄绕点旋转时，活塞做直线往复运动，连杆，曲柄，当曲柄从初始位置按顺时针方向旋转时，活塞从到达的位置，则（    ）    A． B． C． D． 9．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)（多选）已知分别为三个内角的对边，且，则（   ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 判断三角形的形状 11．(23-24高一下·湖南·期末)在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 12．(23-24高一下·湖南·期末)的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ( 题型03 ) 解三角形的实际应用 13．(23-24高一下·湖南·期末)如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．300m B．600m C． D． 14．(23-24高一下·湖南郴州·期末)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得米，则岳阳楼的高度测量值为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 15．(23-24高一下·湖南邵阳第二中学·期末)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为 m.    17．(23-24高一下·湖南张家界·期末)（多选）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．之间的距离为海里 C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里 ( 题型04 ) 范围与最值问题 18．(23-24高一下·湖南·期末)已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 19．(23-24高一下·湖南·期末)在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高一下·湖南永州·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 21．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)在中，，是角的角平分线，且. （1）的取值范围为 . （2）若，当最小时，的值为 . ( 题型0 5 ) 解三角形多选题（多考点综合） 22．(23-24高一下·湖南·期末)在中，D是BC的中点，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．面积的最大值为 C． D．若，则 23．(23-24高一下·湖南·期末)记的内角的对边分别为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的外接圆的半径为4 D．若，则 24．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若acosA＝bcosB，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 25．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则符合条件的三角形不存在 D．若，则一定是等腰三角形 26．(23-24高一下·湖南·期末)对于有如下命题，其中错误的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则的面积为 C．若，则为等腰三角形 D．P在所在平面内，若，则P是的重心 27．(23-24高一下·湖南郴州·期末)在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．(23-24高一下·湖南·期末)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 29．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（    ） A．为钝角三角形 B．的最大内角是最小内角的2倍 C．若为中点，则 D．若，则 30．(23-24高一下·湖南株洲·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．(23-24高一下·湖南·期末)某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 解三角形小题综合（5大题型31题） 题型概览 题型01 正余弦定理解三角形 题型02 判断三角形的形状 题型03 解三角形的实际应用 题型04 范围与最值问题 题型05 解三角形多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 正余弦定理解三角形 1．(23-24高一下·湖南·期末)记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理求解即可 【详解】因为，所以. 由，得. 故选：D. 2．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角的对边分别为.若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】在中，已知，，， 由余弦定理得：. 所以. 故选：A. 3．(23-24高一下·湖南永州·期末)在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案. 【详解】若，则由正弦定理得， 可设， 由余弦定理得. 故选：A. 4．(23-24高一下·湖南·期末)在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合三角形的特点计算即可. 【详解】因为在中，，所以， 由正弦定理可知或， 又，所以不成立. 故选：B 5．(23-24高一下·湖南娄底涟源·期末)在中，，，，则最短边的边长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题 【分析】根据大角对大边的结合正弦定理即可得到答案. 【详解】， ，边b最短， 由，得． 故选：A. 6．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)已知的顶点坐标分别是，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】根据距离公式可求出三角形三边的长，即可利用余弦定理以及同角三角函数关系求出结果. 【详解】的顶点坐标分别是，，， 由距离公式可得，，， 余弦定理得，又，则. 故选：A. 7．(23-24高一下·湖南益阳安化县·期末)已知中，，，为边上的中线，若，则 . 【答案】9 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】由，利用向量数量积的运算求得，由余弦定理即可求得. 【详解】设，为边上的中线，有， 故可得， 代值可得，解得. 由余弦定理可得. 故答案为：9. 8．(23-24高一下·湖南·期末)如图，在曲柄绕点旋转时，活塞做直线往复运动，连杆，曲柄，当曲柄从初始位置按顺时针方向旋转时，活塞从到达的位置，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据题意得到，，由余弦定理得到，从而得到. 【详解】连接，因为，所以为等边三角形，故，， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，负值舍去，    则. 故选：C 9．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】应用已知边长关系及重心性质结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接，因为G是重心，所以E是中点， 连接，同理D是中点，又因为，所以， 设， 因为G是重心，所以， 在中，由余弦定理得 . 故选：A. 10．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)（多选）已知分别为三个内角的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】用余弦定理可判断A；用正弦定理可判断B，C；用三角形的面积公式可判断D. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍去），故A正确； ，由，可得， 所以，故B正确； 由于，所以由正弦定理可得：，所以C正确； ，故D错误. 故选：ABC ( 题型02 ) 判断三角形的形状 11．(23-24高一下·湖南·期末)在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理将已知条件边化角，再逆用二倍角正弦公式进行化简，即可求解． 【详解】解：在中， ， 由正弦定理，得，， ， ， ， 或， 或， 为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 12．(23-24高一下·湖南·期末)的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形. 故选：D ( 题型03 ) 解三角形的实际应用 13．(23-24高一下·湖南·期末)如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．300m B．600m C． D． 【答案】C 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 14．(23-24高一下·湖南郴州·期末)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得米，则岳阳楼的高度测量值为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】在中由正弦定理可得答案. 【详解】， ， ， 由正弦定理得， 即， 所以. 故选：A. 15．(23-24高一下·湖南邵阳第二中学·期末)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】数形结合求得，进而根据即可求解. 【详解】如图，设球的半径为， 则， 所以由题，又， 故 ， 所以，即该球体建筑物的高度约为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得，进而由求出球的半径得解. 16．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为 m.    【答案】300 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】先求出，继而利用正弦定理求出AC，再解直角三角形ABC，即可求得答案. 【详解】由题意知，m，则， 在中，， 故，则， 又直角三角形ABC中，，故， 故答案为：300 17．(23-24高一下·湖南张家界·期末)（多选）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．之间的距离为海里 C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里 【答案】ABD 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据三角形的内角求得判定A；利用正弦定理求得判定B；利用等腰直角三角形性质求得判定C；利用余弦定理求得AB判定D. 【详解】由题意可知，，，，， 所以，故A正确； 在中，由正弦定理得，得 (海里)，故B正确； 在中，因为，，所以 (海里)，故C错误； 在中，， 由余弦定理 (海里)，故D正确. 故选：ABD ( 题型04 ) 范围与最值问题 18．(23-24高一下·湖南·期末)已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求解. 【详解】因为点是的内心，，所以. 由余弦定理得， 所以， 则， 故的面积. 故答案为：. 19．(23-24高一下·湖南·期末)在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值． 【详解】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 20．(23-24高一下·湖南永州·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 【答案】/ 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值. 【详解】如图： 过作于. 因为，所以. 设，则 设，则 若，则；若，则； 当时， （当且仅当即时取“”）. 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：求取值范围得问题，常用的方法有： （1）结合二次函数的单调性，求二次函数在给定区间上的最值； （2）利用基本不等式，求最值； （3）利用三角函数的有界性求最值； （4）判断函数的单调性，求最值. 21．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)在中，，是角的角平分线，且. （1）的取值范围为 . （2）若，当最小时，的值为 . 【答案】 / 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】（1）由三角形内角平分线的性质可得，；在和中，分别利用余弦定理可得，由此解得的取值范围． （2）若，得到，由余弦定理可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1） 设，，，， 由角平分线定理，，， 由余弦定理，，      所以， 化简得，因为，故； （2） 由题意，，因此， 由余弦定理，， 故， 当且仅当时等号成立，此时.显然为锐角， 由代入中，得，负值舍去， 由（1）知，此时. 故答案为：； ( 题型0 5 ) 解三角形多选题（多考点综合） 22．(23-24高一下·湖南·期末)在中，D是BC的中点，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．面积的最大值为 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据勾股定理可判定A;根据三角形面积公式可判定B;根据向量运算可判定C;结合正余弦定理可判定D. 【详解】在中，，所以，，A错误. 当时，最大，所以面积的最大值为，B正确. ，C正确. 在中，由正弦定理可得，得. 在中，由余弦定理可得，即. 在中，由余弦定理可得，即，所以，整理得，解得（舍去），D正确. 23．(23-24高一下·湖南·期末)记的内角的对边分别为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的外接圆的半径为4 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由正切函数性质判断A，利用正弦定理判断BCD． 【详解】对于A，若，则，显然不成立，所以，则A正确. 对于B，因为，所以，由知，B正确. 对于C，设的外接圆的半径为，由，解得，C错误. 对于D，因为，所以，由，得，D正确. 故选：ABD． 24．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若acosA＝bcosB，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【来源】湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】A应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断的形状. 【详解】A：若，而，即，故，正确； B：由锐角知：，即，则，正确； C：由题设，可得，又，则或，故为等腰或直角三角形，错误； D：由题设，，故，即，又，可知，故必是等边三角形，正确. 故选：ABD 25．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则符合条件的三角形不存在 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】AC 【分析】利用正余弦定理，三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确； 若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误； 若，，，根据正弦定理可得 所以符合条件的三角形不存在，即C正确； 若，则，即,因为,所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误. 故选：AC 26．(23-24高一下·湖南·期末)对于有如下命题，其中错误的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则的面积为 C．若，则为等腰三角形 D．P在所在平面内，若，则P是的重心 【答案】ABC 【分析】根据正余弦定理和三角形的面积公式可以推理出三角形的形状和面积，结合向量和三角形的重心性质可以判断选项正确与否. 【详解】对于A，因为，通过正弦定理可知，故是钝角三角形，故A错； 对于B，若，假设由余弦定理可知 可解得或 当 当故B错； 对于C，若则由或者 即或者，则是等腰三角形或者直角三角形，故C错； 对于D，P在所在平面内， 若，取中点，连接， 所以有, 又因为，所以 ，所以， 所以三点共线，且,所以P是的重心，故D正确； 故选：ABC 27．(23-24高一下·湖南郴州·期末)在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据余弦定理，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，由余弦定理得，， 由，得， 化简得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以，当且仅当时，即时取最小值， 由于，且函数在上单调递减，函数在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C． 28．(23-24高一下·湖南·期末)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.     29．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（    ） A．为钝角三角形 B．的最大内角是最小内角的2倍 C．若为中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】依题意由正弦定理得，不妨设，则，故求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D. 【详解】由题知内角所对的边分别为， 由正弦定理可知，不妨设，则， 对于A，由上知边为最大边，故为最大角， 由余弦定理知，故为锐角，所以为锐角三角形，故错误； 对于，由上知A为最小角，且， 又，知，即， 又均为锐角，则，故B正确； 对于，因为为中点，所以，    平方得， ，又，故，故C正确； 对于D，由，得，又， 所以，由，即， 故，故D正确， 故选：BCD. 30．(23-24高一下·湖南株洲·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【详解】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二倍角公式将化简得出对应表达式，由得出取值范围. 31．(23-24高一下·湖南·期末)某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解. 【详解】法一：设，， 则，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中， （其中）， 所以当时，所以最小值为． 法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的直径为， 由圆周角的性质可得，所以，． 连接，可得（当为与圆的交点时取等号）． 在中，，，， 根据余弦定理可知， 即，所以的最小值为． 故选：B / 学科网（北京）股份有限公司 $$