期末专题02 平面向量（9大题型45题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题02 平面向量（9大题型45题） 题型概览 题型01 基底的概念 题型02 平面向量基本定理 题型03 平行与垂直关系 题型04 投影向量 题型05 求模长 题型06 求夹角 题型07 求数量积 题型08 平面向量与三角函数、解三角形结合 题型09 向量新定义 优选提升题 ( 题型01 ) 基底的概念 1．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， ( 题型02 ) 平面向量基本定理 2．(23-24高一下·湖南·期末)在平行四边形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)已知点在同一平面内，，则（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一下·湖南郴州·期末)在中，点在边上，．记，则 ．（用表示） ( 题型03 ) 平行与垂直关系 5．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，向量，若，则m等于（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，若，则（    ） A．10 B． C． D． 8．(23-24高一下·湖南郴州·期末)已知，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．(23-24高一下·湖南株洲·期末)已知为第三象限角，向量，，且与共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·湖南怀化·期末)已知向量，. (1)若，求x； (2)若，且），求. 11．(23-24高一下·湖南·期末)已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，，点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． ( 题型04 ) 投影向量 12．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知，，与的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高一下·湖南株洲·期末)设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 14．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 求模长 15．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 16．(23-24高一下·湖南衡阳·期末)在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 17．(23-24高一下·湖南·期末)如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则 . 18．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 19．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，的夹角为，且． (1)若，求的坐标； (2)若，，求的最小值． 20．(23-24高一下·湖南郴州·期末)已知为单位向量，设向量． (1)若，求与的夹角； (2)已知与的夹角为，求的模长． ( 题型0 6 ) 求夹角 21．(23-24高一下·湖南·期末)已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A．0 B． C． D． 22．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 23．(23-24高一下·湖南·期末)已知平面向量满足． (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的大小． 24．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 25．(23-24高一下·湖南·期末)如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G． (1)设，求t的值； (2)求的余弦值． 26．(23-24高一下·湖南株洲·期末)如图，在直角梯形ABCD中，，，，，为AD的中点，为DC上靠近的四等分点，直线MC与BN交于点. (1)求的余弦值； (2)若，求实数的值. ( 题型0 7 ) 求数量积 27．(23-24高一下·湖南·期末)在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 28．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)在半径为r的中，弦的长为2，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．与r有关 29．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知向量满足，且，则 . 30．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 31．(23-24高一下·湖南怀化·期末)在平行四边形ABCD中，，，，点P在CD边上，，则（    ） A．0 B． C． D．1 32．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（    ） A． B． C． D．大小关系不能确定 ( 题型0 8 ) 平面向量与三角函数、解三角形结合 33．(23-24高一下·湖南怀化·期末)下列判断正确的是（    ） A．“实部等于零”是“复数z为纯虚数”的充要条件 B．“”是“向量，的夹角是钝角”的充要条件 C．“存在唯一的实数k，使”是“”的充要条件 D．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，“”是“”的充要条件 34．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)（多选）已知，则正确的选项是（   ） A．和都是单位向量 B．若，则 C．若，则 D． 35．(23-24高一下·湖南益阳安化县·期末)已知中，，，为边上的中线，若，则 . ( 题型0 9 ) 向量新定义 36．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求：； (2)求的坐标； (3)若点M在线段上运动，设，求的最大值. 38．(23-24高一下·湖南郴州·期末)（多选）是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．的外接圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为 39．(23-24高一下·湖南·期末)中，内角的对边分别为，为的外心，，，的面积满足.若.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 40．(23-24高一下·湖南张家界·期末)已知G点为的重心，内角的对边分别为． (1)若，求实数的值； (2)若，且 （i），求实数的值； （ii），求实数的值. 41．(23-24高一下·湖南·期末)已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（    ） A． B． C． D． 42．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 43．(23-24高一下·湖南永州·期末)（多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 44．(23-24高一下·湖南怀化·期末)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 45．(23-24高一下·湖南永州·期末)当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. (1)若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； (2)若，，求实数的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题02 平面向量（9大题型45题） 题型概览 题型01 基底的概念 题型02 平面向量基本定理 题型03 平行与垂直关系 题型04 投影向量 题型05 求模长 题型06 求夹角 题型07 求数量积 题型08 平面向量与三角函数、解三角形结合 题型09 向量新定义 优选提升题 ( 题型01 ) 基底的概念 1．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】利用不共线的两个非零向量可以作为一组基底一一判断求解. 【详解】对A，因为为零向量，所以不能作为基底，A错误； 对B，因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； 对C，因为，所以共线，不能作为基底，C错误； 对D，因为，所以不共线，可以作为基底，D正确； 故选：BD. ( 题型02 ) 平面向量基本定理 2．(23-24高一下·湖南·期末)在平行四边形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加减法运算以及数乘运算即可得到结果. 【详解】因为为平行四边形， 则有， ∴. 故选：B. 3．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)已知点在同一平面内，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由可得 故， 故选：C 4．(23-24高一下·湖南郴州·期末)在中，点在边上，．记，则 ．（用表示） 【答案】 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据图形结合向量的线性运算分析求解. 【详解】 因为，所以， 所以， 故答案为：. ( 题型03 ) 平行与垂直关系 5．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，向量，若，则m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解. 【详解】根据题意，，，， 所以，解得. 故选：C. 6．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 7．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，若，则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】由向量垂直条件求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A 8．(23-24高一下·湖南郴州·期末)已知，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，解得. 故选：A. 9．(23-24高一下·湖南株洲·期末)已知为第三象限角，向量，，且与共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】由与共线，列方程求出，再利用同角三角函数的关系可求出的值 【详解】因为，， 所以， 由与共线得， 所以， 因为，所以， 因为为第三象限角，所以. 故选：C 10．(23-24高一下·湖南怀化·期末)已知向量，. (1)若，求x； (2)若，且），求. 【答案】(1)2 (2) 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）用向量平行的坐标结论可解； （2）用向量和的坐标运算和垂直的坐标结论可解． 【详解】（1）由得，所以. （2）由得，， 所以，， 由得， 即，即 所以. 11．(23-24高一下·湖南·期末)已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，，点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据，E，C三点共线，可得，结合向量的线性运算，即可求得答案； （2）由题意可得，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得, ，E，C三点共线， 存在实数k，使得，即， 得． ，是平面内两个不共线的非零向量， ，解得，． （2） ． ，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， , 设，则， ，，解得 即点A的坐标为． ( 题型04 ) 投影向量 12．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知，，与的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：D. 13．(23-24高一下·湖南株洲·期末)设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】由已知条件可得为等边三角形，然后根据投影向量的定义求解即可, 【详解】由可知为中点，且为的外心， 所以， 所以为等边三角形，， 所以向量在向量方向上的投影向量为 . 故选：C 14．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】由余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义可得答案. 【详解】在中，，，由余弦定理得 ， 所以，即，是直角三角形， 又，所以点是的外心，且点是斜边的中点， 的等边三角形，且， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：C.    ( 题型0 5 ) 求模长 15．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 16．(23-24高一下·湖南衡阳·期末)在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【来源】湖南省衡阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据矩形的性质，结合向量的加减法法则即可得解． 【详解】解：由于四边形为矩形，所以 故， 故选：D 17．(23-24高一下·湖南·期末)如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则 . 【答案】 【来源】湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用空间向量法来计算向量的模长即可. 【详解】 因为分别是棱的中点，所以， 则. 因为平面，所以，所以. 因为是边长为4的等边三角形，所以. 因为， 所以. 故答案为： 18．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】（1）先分别求出，得坐标，再根据向量垂直得坐标表示即可得解； （2）根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由，， 得， 因为，所以， 即，解得； （2）， 则， 当时，取得最小值. 19．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，的夹角为，且． (1)若，求的坐标； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）设出的坐标，利用向量模的坐标表示及数量积的定义列式求解作答. （2）利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律建立函数关系，求出最小值作答. 【详解】（1）设，由，得，即， 而向量，的夹角为，则，又， 即，解得，于是，即有或， 所以的坐标是或. （2）由，得，即，因此，， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 20．(23-24高一下·湖南郴州·期末)已知为单位向量，设向量． (1)若，求与的夹角； (2)已知与的夹角为，求的模长． 【答案】(1)； (2)7. 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）利用数量积的运算律及定义求解； （2）把模平方转化为数量积的运算可得． 【详解】（1）设与的夹角为，由题得 ， 即，又因为，所以， 所以与的夹角为； （2）因为与的夹角为且为单位向量，所以， 所以 所以的模长为7． ( 题型0 6 ) 求夹角 21．(23-24高一下·湖南·期末)已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量定义与等量关系可得，再利用夹角的计算公式即可求解. 【详解】由题意得，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 22．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】利用向量的坐标运算，来求出向量积，最后可求出夹角. 【详解】由可得：， 则，又因为，， 所以， 则， 因为，所以， 故选：C. 23．(23-24高一下·湖南·期末)已知平面向量满足． (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的大小． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参； （2）先根据垂直结合向量的模长求出，最后根据夹角公式计算即可. 【详解】（1）根据题意可得， 解得． （2）由，得． 因为，所以， 所以， 所以， 又，所以． 24．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用向量垂直的坐标结论求出，再用模公式求解即可； （2）用向量平行的坐标结论求出，再用夹角的坐标公式求解即可； 【详解】（1）因为，，所以. 由，可得， 即，解得， 所以，故. （2）依题意得. 因为，所以 解得，则. ，，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 25．(23-24高一下·湖南·期末)如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G． (1)设，求t的值； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），由三点共线得，，结合平面向量基本定理可求得； （2）取作为平面的一组基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夹角公式即可求得答案. 【详解】（1）， 又D，G，E三点共线，则， 则， 因为，不共线，由平面向量基本定理，得且， 解得. （2）取，作为平面的一组基底， 则， 则， . ， ， ． 26．(23-24高一下·湖南株洲·期末)如图，在直角梯形ABCD中，，，，，为AD的中点，为DC上靠近的四等分点，直线MC与BN交于点. (1)求的余弦值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，求得，，利用向量夹角的坐标表示可得结果； （2）共线向量的坐标表示解方程组可得结果. 【详解】（1）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 依题意可知，，，，， 则，， 所以. （2）由已知可得，，，； 由N，P，B三点共线可知，存在满足 由向量的坐标运算可知， 所以， 解得. ( 题型0 7 ) 求数量积 27．(23-24高一下·湖南·期末)在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律计算即可. 【详解】. 故选：B. 28．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)在半径为r的中，弦的长为2，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．与r有关 【答案】B 【来源】湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷 【分析】先取线段AB的中点D，得，再利用向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】取线段AB的中点D，如图，则，故， 所以 . 故选：B 29．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知向量满足，且，则 . 【答案】 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用向量数量积的运算律可得答案. 【详解】由， 解得. 故答案为：. 30．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 【答案】 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】利用为基底，表达出，利用数量积运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得：， ，， . 故答案为：. 31．(23-24高一下·湖南怀化·期末)在平行四边形ABCD中，，，，点P在CD边上，，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据题意结合数量积的几何意义可得点P与点D重合，再利用余弦定理求出，结合勾股定理逆定理可得，从而可求得答案. 【详解】由，得在上的投影向量的模， 因为，， 所以在上的投影为， 所以如图1，得，点P与点D重合， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 32．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（    ） A． B． C． D．大小关系不能确定 【答案】C 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据向量数量积运算求得，进而确定正确答案. 【详解】设正方形的边长为， 则， ， 所以. 故选：C ( 题型0 8 ) 平面向量与三角函数、解三角形结合 33．(23-24高一下·湖南怀化·期末)下列判断正确的是（    ） A．“实部等于零”是“复数z为纯虚数”的充要条件 B．“”是“向量，的夹角是钝角”的充要条件 C．“存在唯一的实数k，使”是“”的充要条件 D．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，“”是“”的充要条件 【答案】D 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】对于A：根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断；对于B：根据数量积的符号与夹角之间的关系结合充分、必要条件分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据正弦定理合充分、必要条件分析判断. 【详解】对于A：实部等于零时，复数z不一定是纯虚数（还要虚部不等于零），所以充分性不成立，故A错误； 对于B：若时，可知向量，的夹角可能是钝角或平角，所以充分性不成立，故B错误； 对于C：例如时，由不能得出存在唯一的实数k，使，故C错误； 对于D：由正弦定理可得， 所以“”是“”的充要条件，故D正确. 故选：D. 34．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)（多选）已知，则正确的选项是（   ） A．和都是单位向量 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【来源】湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷 【分析】根据平方关系求出，即可判断A，根据共线向量判断B，根据向量数量积的坐标表示及两角差的余弦公式判断C，根据数量积的运算律和向量垂直的性质判断D． 【详解】解：A．，，故和都是单位向量，故正确，符合题意； B．若，则，故，所以，故正确，符合题意； C．若，即，所以，，即，，故错误，不符合题意； D．因为，所以，故正确，符合题意． 故选：ABD． 35．(23-24高一下·湖南益阳安化县·期末)已知中，，，为边上的中线，若，则 . 【答案】9 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】由，利用向量数量积的运算求得，由余弦定理即可求得. 【详解】设，为边上的中线，有， 故可得， 代值可得，解得. 由余弦定理可得. 故答案为：9. ( 题型0 9 ) 向量新定义 36．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】根据题意，计算出 ，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标. 【详解】因为, 所以 ， 将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转， 得到 化简得 ， 所以P点坐标为； 故选：C. 37．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求：； (2)求的坐标； (3)若点M在线段上运动，设，求的最大值. 【答案】(1) (2)， (3)3 【来源】湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷 【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积的运算法则即可得解； （2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形是平行四边形，进而得到，，从而利用向量的线性运算即可得解； （3）设，利用向量的线性运算得到关于的表达式，从而利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，得是单位向量，且夹角为， 所以， 而， ， 则. （2）因为， 所以，， 所以，则四边形是平行四边形， 所以， 因为分别是的中点，所以， 所以，， 因为 ， 则， 所以，； （3）由（2）知，， 因为点在线段上运动，所以设，其中， 因为，所以， 所以， 因为不共线，则，解得， 所以， 因为，所以当时，取得最大值3. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 38．(23-24高一下·湖南郴州·期末)（多选）是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．的外接圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【答案】AC 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】利用余弦定理及正弦定理求外接圆的半径，计算与比较即可判断，利用坐标系来求解，通过数形结合，理解当，重合时，，取最小值． 【详解】A．由余弦定理得：，解得：， 根据正弦定理：，解得：，故正确； B．，，所以在方向上的投影向量等于，故错误； C．建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设E为中点，D为C在x轴上的射影， ， ， ， ，， ， ，故正确； D．取的中点，连结，，取中点， 则，， 则， 则， ， 当，重合时，，取最小值，选项错误， 故选：AC． 39．(23-24高一下·湖南·期末)中，内角的对边分别为，为的外心，，，的面积满足.若.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由余弦定理、面积公式、辅助角公式化简条件可判断A； 利用面积公式计算可判断B； 分别取的中点可得，求出、，再计算可判断C； 对两边分别乘以可判断D． 【详解】对于A，由，得， 由余弦定理得 ，即， 得，又，故， ∴，即，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，如图，分别取的中点，连接， ， 所以， ， ，所以C正确； 对于D，， 由，可知， 得，解得：，，故，所以D正确． 故选：ACD. 40．(23-24高一下·湖南张家界·期末)已知G点为的重心，内角的对边分别为． (1)若，求实数的值； (2)若，且 （i），求实数的值； （ii），求实数的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量的运算法则，结合三角形重心性质得出，即可求出； （2）（i）结合三角形重心性质和余弦定理即可求出；          （ii）先用同角基本关系式统一成正余弦后，结合正余弦定理以及两角和差的正弦公式化简可求得结果. 【详解】（1）由，即， 得，   ∵点为的重心，  ∴   ，， ∴ ，解得： ． （2）如图，连接，并延长交AB于点，G点为的重心， 则D为AB的中点， 由得 ， （i）由重心的性质得，在，中， 由余弦定理得， ， ∵ ，， ∴ ，， 即，∴ ； （ii）又，∴ ∴    ． 41．(23-24高一下·湖南·期末)已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析位置,寻求临界值. 【详解】设. 如图,不妨设. 设为AB的中点,为OC的中点,为BD的中点,为AD的中点. 则. ,点在平行四边形内(含边界). 由题知恒成立. 为了使最大,则思考为钝角,即思考点在第一或第四象限. 思考临界值即与重合,与重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变的位置，使得 所以,即 即,即. 所以. 所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为 故选:A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出所在的位置. 42．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 【答案】BCD 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. 【详解】A选项，，即，故⊥， 同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误； B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，C正确； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 43．(23-24高一下·湖南永州·期末)（多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】A将转化为，然后求数量积；B将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，设中点为，中点为， ，即， 所以点为中位线靠近点的三等分点，所以，故B错； C选项，设中点为，则， 结合题设 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上， 所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， , 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：数量积的计算方法（1）定义法；（2）坐标法；（3）转化法；（4）几何意义法. 44．(23-24高一下·湖南怀化·期末)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据条件，可求得，，即可求出结果； （2）根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果； （3）方法一：根据条件得到，再利用几何关系得到，设，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：设，根据条件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）在，，，中， ，同理， 所以， 又在，，，中， ，同理， 所以， 又，，，， 所以，所以. （3）方法一： 由，可得，即，所以， 又点B为线段AD的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以. 设，，由，得， 即，解得，…① 在中，由正弦定理可得，得，…② 在中，由正弦定理可得，得，…③ 又， 得，即，…④ 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以. 方法二： 因为，所以，设，则， 又B为线段AD的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得， 所以，， 由，得， 所以，设，则， 由，互补得 ，即， 解得，所以，， 所以. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 45．(23-24高一下·湖南永州·期末)当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. (1)若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； (2)若，，求实数的最小值. 【答案】(1)①；② (2) 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的关系，再结合等面积法建立的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系. （2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接着设，，，仿照第一小问的思路找到的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据，即有，从而得解. 【详解】（1）① ， 则 ②设 而， 在中，由余弦定理得: 同理有 则 在中由余弦定理知: 即 又则 又等面积法知： 则，， 故 （2）因为 所以 所以 所以所以为直角三角形， 点为的费马点，则， 设，，，， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$