专题03 解三角形（易错必刷30题6种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

专题03 解三角形 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　解三角形 题型二　三角形形状的判断 题型三　三角形多解问题 题型四　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型五　面积与周长求值问题 题型六　距离、高度、角度问题 题型一　解三角形 1．（24-25高一下·河南·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用余弦定理并结合给定条件计算求解即可. 【详解】在中，对于， 利用余弦定理得. 故选：D 2．（24-25高一下·广东·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，即可求得答案. 【详解】在中，， 则， 故选：C 3．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，角的对边分别为，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：. 由余弦定理可得：. 故选：B 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，，，则，而， 由正弦定理得. 故选：A 5．（24-25高一下·云南·期中）在中，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知数据结合余弦定理直接求解即可. 【详解】在中，， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：C. 题型二　三角形形状的判断 6．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】根据题意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，进而得到，即可得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为，可得， 代入上式，整理得，即，所以， 所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 7．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】在中利用余弦定理化简题干信息即可. 【详解】在中利用余弦定理，则， 得，则为直角三角形. 故选：B 8．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理对化简可得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等边三角形. 【详解】，又， 所以，解得，因为，所以. 又，由，可得，， 则， 如图所示，在边、上分别取点、，使，， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，，，且， ，，，又， ，且，，即， 又，是等边三角形. 故选：D. 9．（24-25高一下·天津静海·期中）在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理整理化简等式，可得答案. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：A. 10．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）平面直角坐标系中若动点P组成的区域面积为32，则a等于（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】不妨设，利用向量的运算，确定满足条件的动点P的区域，结合平行四边形的面积公式进行求解即可. 【详解】显然， 不妨设， 如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得， 作， 则四边形均为平行四边形. 由题意可知：点组成的区域为图中的四边形EFGH及其内部. ， ， ， 则， 则， 又，故，，三种情况下， 动点P组成的区域和组成的区域相同，面积相等， 四边形的面积为其中的，即， 则四边形的面积 即，则，得或0（舍去）. 故选：C. 题型三　三角形多解问题 11．（23-24高三上·北京顺义·期中）在中，，，，满足条件的（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，再结合正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 由正弦定理，即，所以， 又， 由正弦函数的性质可得不存在，所以满足条件的不存在. 故选：D 12．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 【答案】C 【分析】由三角形内角的性质得，结合的大小关系，即可判断三角形个数. 【详解】中，则，而，， 所以，显然满足的三角形恰有两个. 故选：C 13．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可. 【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 14．（19-20高一下·湖北黄冈·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解． 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 15．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理由正弦定理，将问题转换为三角方程根的个数求参数问题即可. 【详解】由正弦定理有，即，即有两解， 因为，所以，从而，解得. 故选：C. 题型四　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 16．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的性质及正弦边角关系得，从而设，结合题设得到且，最后应用三角形面积公式及基本不等式求面积的最大值. 【详解】由题意，则， 所以，即， 设，又，由题意， 所以，故， 又，故，则， 所以， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为. 故选：C 17．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，结合三角形的面积公式利用等面积法，，可得，再利用基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】设，， 因为，，所以， 由，得， 则，平方整理得， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 故选：B. 18．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，且是最大边， 则由余弦定理得：， 于是得，，解得， 又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 故选：D 19．（2025高三·全国·专题练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若△ABC的面积为2，则当△ABC的周长最小时，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答 【详解】由题意得，由，得， 由余弦定理得，化简得，所以， 则的周长为． 令，易知在上单调递增，所以当a最小时，的周长最小， 而，当且仅当时等号成立，故，故当的周长最小时，． 20．（2025·河北邯郸·二模）在正三棱锥中，分别在上，当周长最小时，的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用正三棱锥的性质得到侧面展开图中角的度数，再根据侧面展开图中线段与三角形周长的关系，得出周长的最小值，然后通过正弦定理求出PM的长度，最后利用三角形面积公式求出的面积． 【详解】三棱锥是正三棱锥，，沿AP剪开，使侧面铺开在一个平面上， 如图，则，则周长的最小值为 ． 故选：B. 题型五　面积与周长求值问题 21．（24-25高一下·天津河东·期中）在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得， 解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选：A. 22．（24-25高一下·广东汕头·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：①；② ③. (1)求角A的大小； (2)若求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数恒等式变换以及正弦定理，结合三角形性质，可得答案； （2）由余弦定理，建立方程，结合三角形的面积公式，可得答案. 【详解】（1）若选①： 因为， 由正弦定理可得， 因为，所以，可得，又，所以； 若选②： 因为由正弦定理可得：， 因，，所以，又，所以； 若选③： 因为， 则可得：， 因为，，所以，又，所以. （2）由（1）可知：，由余弦定理可得：， 又，所以，解得. 所以三角形的面积. 23．（2025·四川自贡·三模）在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列. (1)若，求的周长和面积； (2)为锐角三角形，求整数的最小值. 【答案】(1)周长为15， (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边结合题意求出，即可得到周长，再利用余弦定理边化角求出，根据三角形面积公式得到面积即可； （2）根据余弦定理边化角结合三角形三边的关系求解即可. 【详解】（1）根据题不妨设，， 因为，所以由正弦定理可得， 解得，，， 所以的周长为， 又由余弦定理可得，则， 所以. （2）根据题意可知，若为锐角三角形，则为锐角， 由余弦定理得， 解得或者， 又由三角形三边关系可得，解得， 因为，故. 24．（24-25高一下·重庆·期中）在中，角的对边为，已知，且，. (1)求角的大小： (2)求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理化简，最后应用余弦定理结合角的范围计算求解； （2）根据平面向量的数量积定义结合余弦定理计算求解，即可得出周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，且，所以. （2）因为，即，可得， 由（1）知，可得，且， 可得，解得， 所以的周长为. 25．（2025·云南昆明·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可利用正弦定理求解， （2）根据三角形的面积公式即可求解，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理知：，解得， 由正弦定理可知，则． （2）因为， 则， 故，则为锐角，又点在外接圆上，所以， 故，则，， 则的周长为． 题型六　距离、高度、角度问题 26．（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为 米. 【答案】 【分析】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为： 27．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为 千米．    【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】    因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 28．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中，，，则，，， 在中，，， 由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， . 故选：B. 29．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为 km 【答案】 【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得. 【详解】依题意，, ， 在中，，，则，又，则km， 在中，，，则， 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 所以该船行驶的距离km. 故答案为： 30．（22-23高一下·吉林·期中）三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确地计算出地月距离.他们的测量方案是：拉卡伊和拉朗德分别来到观测地德国柏林（A点）和非洲南端的好望角（点），这两个地方经度相近，可看做在同一经度线上，纬度分别是北纬度和南纬度，他们同一时间分别在这两个地方进行观测.如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即是平面四边形时，在A点（柏林）测出月亮的天顶距（即离开头顶方向的角度），在点（好望角）测出月亮的天顶距.在中求出，和，在此基础上，解，求出地月距离的近似值或.设地球的半径为，利用测量方案中提供的数据（，，，，），求： (1)和； (2). 【答案】(1)，； (2) 【分析】(1)分析得为等腰三角形，顶角为，余弦定理解AB即可； (2)结合(1)求出相关内角，正弦定理即可解BC. 【详解】（1）由题意可得： ，则为等腰三角形，顶角， 所以， 由余弦定理得： 即； （2）由上可得：，， 由正弦定理解可得： 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解三角形 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　解三角形 题型二　三角形形状的判断 题型三　三角形多解问题 题型四　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型五　面积与周长求值问题 题型六　距离、高度、角度问题 题型一　解三角形 1．（24-25高一下·河南·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，角的对边分别为，则（   ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南·期中）在中，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二　三角形形状的判断 6．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 7．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 9．（24-25高一下·天津静海·期中）在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 10．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）平面直角坐标系中若动点P组成的区域面积为32，则a等于（    ） A． B．3 C．2 D． 题型三　三角形多解问题 11．（23-24高三上·北京顺义·期中）在中，，，，满足条件的（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 12．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 13．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（19-20高一下·湖北黄冈·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 15．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 16．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 17．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若△ABC的面积为2，则当△ABC的周长最小时，求的值． 20．（2025·河北邯郸·二模）在正三棱锥中，分别在上，当周长最小时，的面积等于（   ） A． B． C． D． 题型五　面积与周长求值问题 21．（24-25高一下·天津河东·期中）在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 22．（24-25高一下·广东汕头·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：①；② ③. (1)求角A的大小； (2)若求△ABC的面积. 23．（2025·四川自贡·三模）在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列. (1)若，求的周长和面积； (2)为锐角三角形，求整数的最小值. 24．（24-25高一下·重庆·期中）在中，角的对边为，已知，且，. (1)求角的大小： (2)求的周长. 25．（2025·云南昆明·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 题型六　距离、高度、角度问题 26．（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为 米. 27．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为 千米．    28．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 29．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为 km 30．（22-23高一下·吉林·期中）三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确地计算出地月距离.他们的测量方案是：拉卡伊和拉朗德分别来到观测地德国柏林（A点）和非洲南端的好望角（点），这两个地方经度相近，可看做在同一经度线上，纬度分别是北纬度和南纬度，他们同一时间分别在这两个地方进行观测.如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即是平面四边形时，在A点（柏林）测出月亮的天顶距（即离开头顶方向的角度），在点（好望角）测出月亮的天顶距.在中求出，和，在此基础上，解，求出地月距离的近似值或.设地球的半径为，利用测量方案中提供的数据（，，，，），求： (1)和； (2). 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$