10.5 带电粒子在电场中的运动 讲义 - 2025-2026学年高一升高二暑假预习物理强化讲义（人教版（2019）必修第三册）

10.5 带电粒子在电场中的运动 ——划重点之高一暑假预习强化精细讲义 在医院，常用直线加速器产生的粒子束治疗某些癌症，称为放射治疗。在质子疗法中，质子先被加速到具有较高能量，然后被引向肿瘤，轰击细胞。 知识点1：带电粒子在电场中的加速 1.用运动观点分析 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力的方向与运动方向在同一直线上，做匀加(减)速直线运动，即在匀强电场中可利用牛顿第二定律结合运动学公式分析. 运用的公式有：，v=v0+at，， 2.用功能观点分析 粒子只受电场力作用，电场力做的功即为合外力做的功，故粒子动能的变化量大小 电势能的变化量大小。带电粒子经过电势差为U的电场加速后，由动能定理,则带电粒子的速度,若粒子的初速度为零，则带电粒子的速度。 带电粒子的分类及受力特点 粒子 微粒 示例 电子、质子、α粒子、离子等 尘埃、液滴、油滴、小球等 特点 一般 重力 一般 重力 受力分析 在匀强电场中带电粒子所受静电力为恒力(qE),在非匀强电场中带电粒子所受静电力为变力。是否考虑带电粒子的重力，需根据问题情境判断。 注意 ①平衡问题一般要考虑 ； ②即使题目中给出了带电粒子的质量，也 定需要求出重力； ③不管是物体还是粒子，在一定条件下都可看成 ； ④只要是实物粒子，都有 ，不能忽略。 知识点2：带电粒子在匀强电场中的偏转 1.带电粒子的偏转 运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l,极板间距离为d、电压为U.不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力.粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动. 处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的 直线运动和沿电场力方向的 直线运动.根据运动的合成与分解的知识分析. 受力情况 只有电场力，F =qE 初速度 v0≠0，v0的方向与F的方向 加速度 穿过极板时间 运动性质 沿初速度方向：速度：vx = ，位移：l = 沿电场力方向：速度： ，位移： 速度偏转角θ 位移偏转角α 说明 ①以 的初速度v0进入同一偏转电场的带电粒子，无论m、q是否相同，只要比荷 ，则偏转距离y和速度偏转角θ都 。 ②若粒子以 的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要 相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均 . 2.两个重要推论 推论1 粒子从偏转电场中射出时，其速度的反向延长线与初速度方向的交点平分沿初速度方向的 。 证明 由上式可知，粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间中线的中点沿直线射出似的。 推论2 不同的带电粒子(电性 ，初速度为 ),经同一电场加速后，再进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定 。 证明 若带电粒子由静止先经加速电场(电压U加)加速，再进入偏转电场(电压U偏),射出偏转电场时偏转距离,又,故，偏转角满足，可见偏转距离y、偏转角θ只与U加、U偏有关，运动轨迹必定重合。 带电粒子在电场中做类平抛运动的两类问题 如图所示，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需再经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P,如图所示. ①确定最终偏移距离OP的两种方法 方法1 方法2 ②确定粒子经偏转电场后的动能(或速度)的两种方法 方法1 方法2 知识点3：示波管的原理 1.示波器的构成 示波器是用来观察电信号随时间变化的仪器，其核心部件是示波管，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。 2.工作原理 (1)如果在偏转电极XX'和YY'之间都没有加电压，则电子束从电子枪射出后沿直线传播，打在荧光屏中心，在那里产生一个 。 (2)如果在偏转电极XX'之间不加电压，在YY'之间加不变的电压，则电子枪射出的电子沿Y方向向上或向下偏转到荧光屏上某一点，产生一个亮斑，如图所示. (3)如果在偏转电极XX'之间加不变的电压，在YY'之间不加电压，则电子枪射出的电子沿X方向向里或向外偏转到荧光屏上某一点，产生一个亮斑，如图所示. (4)YY'偏转电极上加的是待显示的信号电压.XX'偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，叫作扫描电压.若所加扫描电压和信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图像了. 3.示波管波形 （1）仅在XX'之间或YY'之间加电压 加电压的电极 X极电势高 X'极电势高 XX'间加不变的电压，YY'间不加电压 加电压的电极 Y极电势高 Y'极电势高 XX'间不加电压，YY'间加不变的电压 （2）在YY'之间加周期性变化的电压 电压 亮斑位置 描述 YY'间所加电压如图所示，XX'间不加电压 0<t<t1时，电子沿Y方向向上偏移 t₁<t<t₂时，电子沿Y'方向向下偏移 YY'间所加电压如图所示，XX'间加不变的电压(X电极的电势高于X') 0<t<t1时，电子沿Y方向向上偏移，沿X方向向里偏 t₁<t<t₂时，电子沿Y'方向向下偏移，沿X方向向里偏 扫描电压及其应用 （1）扫描电压 扫描电压呈锯齿形状，又称锯齿电压，如图所示。扫描电压加在XX'偏转电极上(向右为正方向),待显示的信号电压加在YY'偏转电极上。 （2）实际应用 ①仅在XX'偏转电极上加扫描电压，荧光屏上将出现一个亮斑从左向右移动，由于视觉暂留现象，会在x轴上看到一条 ，如图所示。 ②如果再在YY'偏转电极上加恒定电压U,屏上将看到一条平行于x轴的 ，如图所示。 ③在XX'间加扫描电压，在YY'间加交流信号电压，两个信号周期相同，则任何时刻两个信号同时作用于电子。实际上扫描电压的作用相当于时间轴，将Uy随时间的变化展开在屏上，使屏上看到交流信号电压的波形，如图所示。 重难点1：带电粒子在交变电场中运动的问题 带电粒子在交变电场中运动时，由于电场发生变化，粒子所受电场力也发生变化，其加速度、速度、位移等都会发生相应的变化，从而出现粒子加速、减速或者往返运动.通常只讨论电压的大小不变、方向发生周期性变化(如方波)且不计粒子重力的情形。 1.常见的类型 (1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解). (2)粒子做往返运动(一般根据交变电场的特点分段研究). (3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究). 2.常用的分析方法 (1)在两个相互平行的金属板间加交变电压时，两板中间便可获得交变电场.此类电场从空间看是匀强电场，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间看是变化的，即电场强度的大小、方向都随时间的变化而变化. ①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定粒子的运动情况，粒子做周期性的运动； ②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性. (2)研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况.根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等. (3)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中运动时电场为恒定电场”，故带电粒子穿过电场时可认为是在 中运动。 做好两个分析(受力分析和运动分析),抓住粒子的运动具有周期性、空间上有的具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的临界条件. 1.带电粒子在电场中运动时间 电场变化周期 粒子在电场中运动时间内可将电场看成匀强电场，粒子在电场中做匀变速直线运动或类抛体运动。 2.带电粒子在电场中运动时间 电场变化周期 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律),抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。 (2)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析，通常可作出粒子运动的速度(或分速度)—时间图像进行分析或求解；二是功能关系。 重难点2：带电体在重电复合场中的运动 等效场一般说的是电场和重力场共存的情况，分析这类问题时可以等效看成带电体受一个合场力作用，也可以单独分析. 带电粒子在等效场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看带电粒子与一般物体相比多受到一个静电力；从处理方法上仍旧可利用力学中的规律分析：例如选用平衡条件、牛顿运动定律，动能定理、功能关系，能量守恒定律等. 1.重电复合场中的直线运动模型 模型分析 带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。此模型中三个解题的有用结论： (1)当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是 运动； (2)在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到 时； (3)带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好 于斜面。 几种直线运动情况 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 2.重电复合场中的类抛体运动模型 类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿 与 于合力方向建立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的 ，沿合力方向的速度减小到 时，此方向上的分位移达到 值。另一种方式是当电场方向水平时，可将带电体的运动沿 与 方向分解建立坐标系。 3.重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 模型概述 重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的大小与极值等相关内容。 两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运动，直角或钝角时沿圆弧运动。 解题方法 等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。 方法应用：先求出重力与电场力的 ，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为“等效重力加速度”， F合的方向等效为“重力”的 。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。 模型图 命题点1：带电粒子在电场中的直线运动 【针对练习1】如图所示，某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，静止的质子被电场强度大小的匀强电场沿直线加速到，然后轰击肿瘤，杀死细胞。已知质子的质量，电荷量，则整个加速过程中质子的位移大小为（　　） A．2m B．2.5m C．4m D．5m 【针对练习2】（多选）如图，两金属板平行放置，质量相等的粒子和分别静止在上下极板处。现在两极板间加恒定电压，两粒子仅在电场力作用下同时从静止开始运动，且同时经过图中水平虚线，虚线到上下极板的距离之比为1：3，忽略粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　）    A．两粒子所带电荷量大小之比为1：3 B．两粒子所带电荷量大小之比为1：9 C．两粒子从开始运动到经过虚线的过程电场力做功之比1：3 D．两粒子从开始运动到经过虚线的过程电场力做功之比1：9 【针对练习3】（多选）如图所示，在一粗糙绝缘水平面上有共线的、、、四点，一电荷量为的均匀带电小球固定在点，现有一质量为、电荷量为的带电小金属块，从点以初速度向右运动，到点速度达到最大值，最后静止在点。已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为，、间距离为，静电力常量为，重力加速度为，带电体均可视为质点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小金属块由向运动的过程中，电势能先增大后减小 B．、两点间的电势差 C．小金属块速度最大时距点的距离 D．从到的过程中，小金属块减少的动能等于系统增加的内能 【针对练习4】如图所示，两块间距为d且足够长的金属板平等竖直放置，长为L的细绝缘线一端拴一质量为m的带电小球，另一端固定在左板上某点，小球静止时绝缘线与竖直方向的夹角为，若将绝缘线剪断，问： （1）小球将如何运动？ （2）小球经多长时间打到金属板上？ （3）小球打到金属板上时的速度为多大？ 命题点2：带电粒子在电场中的类抛体运动 【针对练习5】如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行板间的电场中，入射方向跟极板平行。整个装置处在真空中，重力可忽略。在电子能射出平行板区的条件下，下列四种情况中，一定能使电子的偏转角θ变大的是（    ） A．U1变大，U2变大 B．U1变小，U2变大 C．U1变大，U2变小 D．U1变小，U2变小 【针对练习6】如图所示，在真空中有一对平行金属板，板间距离为，下极板带正电，上极板带负电，板间电压为。一个质量为、带电量为的粒子从下板边缘以初速度水平射入板间，恰好从上板边缘飞出。忽略重力影响，下列说法正确的是（　　） A．粒子在板间运动的时间为 B．粒子飞出电场时的速度大小为 C．粒子在板间运动过程中，静电力做的功为 D．粒子飞出电场时速度方向与水平方向的夹角满足 【针对练习7】（多选）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，在同一水平直线上、两点处分别把两个质量均为的小球同时抛出。小球1抛出时速度大小为，方向水平，小球2抛出时速度与水平方向成，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，两球在点相遇，是连线中垂线上一点。已知两球电荷量大小均为，电场强度大小为为重力加速度，不计空气阻力和两球间的相互作用，两球从抛出到点相遇的过程中（　　） A．球1带正电，球2带负电 B．该过程中两球速度的变化量相等 C．该过程中两球机械能的变化量相同 D．两球相遇时球1和球2的速度大小之比为 【针对练习8】如图所示，一质量、电荷量的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在荧光屏上的某点。点是荧光屏的中心，已知加速电场电压，偏转电场电压，极板的长度，板间距离，极板的末端到荧光屏的距离，若不计粒子重力，求： (1)电子射入偏转电场时的初速度； (2)电子经过偏转电场过程中电场力对它所做的功W和电子打在荧光屏上的点到点的距离Y。 命题点3：带电粒子在电场中的圆周运动 【针对练习9】如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度。下列说法正确的是（　　） A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到C点时的动能最大 C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点 【针对练习10】（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长为的绝缘细线的一端固定在电场中的点，另一端系住一质量为、带电量为的小球，小球静止时细线与竖直方向成角。现给小球一个与细线垂直的初速度，使其从静止位置开始运动，发现它恰好能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动。已知重力加速度为，则（　　）      A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得的初速度大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小了 D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，其电势能先增大后减小 【针对练习11】（多选）如图所示，轻质绝缘细线一端系在点，另一端与带电量为的小球（可视为质点）连接，整个装置处在水平向右、场强大小为的匀强电场中，小球静止时处在点，点在点的正下方，与间的夹角为，点在点正右方且与点等高，已知，现把小球移至A点，给小球一个水平向右的初速度（为未知量），小球正好能够到达点（运动过程中小球的电量不变），重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球在A点获得的动能为 C．小球从A到的过程中，速度的最大值为 D．小球从A到的过程中，通过点时细线的张力最大 命题点4：带电粒子在交变电场中的运动 【针对练习12】（多选）如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度从O点沿板间中线水平射入极板之间，若时刻进入电场的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则下列说法正确的是（　　） A．时刻进入电场的粒子在时刻速度大小为 B．时刻进入电场的粒子经时间T后速度大小为 C． 时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为 D． 时刻进入电场的粒子在两板间运动的过程中，电场力做功为0 【针对练习13】（多选）图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在t=0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为m，电荷量为e，交变电源电压大小为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是（　　） A．金属圆筒1、2、3的长度之比为 B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍 C．第n个圆筒的长度应满足 D．进入第n个圆筒时电子的速率为 【针对练习14】如图甲所示，两水平放置的平行导体板、，板长为，板间距离为，为两板中心线，两板间加上有周期性变化的电压，如图乙所示（图中为已知值，为未知值）。左侧为粒子源，源源不断地发出质量为、带电量为的带电粒子，粒子均以相同的初速度从点水平射入两板间。若带电粒子在时刻从点射入平行板，时刻刚好从板的右边缘射出。带电粒子的重力、粒子间相互作用均忽略不计，两板间电场为理想的匀强电场。求： (1)带电粒子射入平行板的初速度； (2)图乙中的值； (3)时间内时刻射入平行板的粒子恰好从点射出，求。 【针对练习15】如图甲所示，真空室中电极K连续发出的电子（初速度不计）经过电势差为的加速电场加速后，沿两水平金属板C、D间的中心线射入两板间的偏转电场，最后打在荧光屏上。C、D两板间的电势差随时间变化如图乙所示，设C、D间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。已知电子的质量为m、电荷量为e（重力不计），板间距离为d，偏转电压，所有电子都能通过偏转电场且通过偏转电场的时间为，电子从离开偏转电场到达荧光屏所需时间为。求： (1)金属板C的长度L； (2)若的周期，求电子能够到达荧光屏上的区域的长度； (3)若的周期，当时刻进入偏转电场的电子打到荧光屏上的位置与O点的距离？ 命题点5：示波器波形 【针对练习16】示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出（初速度为零），经加速电压U1加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立xOy坐标系。若在 YY'电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是（　　）    A．若在水平电极XX'不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像 B．若在水平电极XX'不加电压，所有的电子打在荧光屏中心 O点 C．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线 D．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆 【针对练习17】如图所示，图甲是示波管的原理图，如果在电极之间所加的电压按图乙所示的规律变化，在电极之间所加的电压按图丙所示的规律变化，则荧光屏上会看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【针对练习18】（多选）示波器在物理研究中有着重要的作用，其中重要器件示波管是电子在电场的作用下发生偏转，最终打在荧光屏上，使荧光物质发光，形成显示的图像。图甲是示波管的原理图，两个偏转电极不加电压时，右侧荧光屏的中心处产生一个亮斑。某次实验中，在两个电极上应该加上下列选项中的何种电压与时间的关系（图像）可得到一条如图乙所示的函数图像（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，与以正点电荷Q为圆心的圆周交于B、C两点。质量为m、电荷量为q的有孔小球从杆上A点无初速滑下，已知AB=BC=h，小球滑到B点时的速度大小为，则（　　） A．点电荷Q带负电 B．小球由B点到C点的过程中重力所做的功等于动能的变化量 C．小球由A点滑到B点的过程中电场力做的功 D．小球到达C点时的速度大小为 2．如图所示，水平面上方有水平向左的匀强电场，电场强度，一个质量为、电量为的带正电微粒从距离水平面处水平抛出，抛出速度，不计空气阻力，重力加速度。微粒运动过程中下列说法正确的是（　　） A．微粒做非匀变速运动 B．微粒抛出到落地的时间是 C．微粒运动过程到动能最小时所用的时间是 D．微粒运动过程中动能最小时距离地面的高度为 3．如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0 时刻由静止释放该粒子，关于该粒子的运动正确的是（　 　） A．一开始向左运动，最后打到A板上 B．一开始向右运动，最后打到A板上 C．一开始向左运动，最后打到B板上 D．一开始向右运动，最后打到B板上 4．让一价氢离子（质量为m，电量为e）、一价氦离子（质量为4m，电量为e）和二价氦离子（质量为4m，电量为2e）先后以相同的速度从带电平行板间的P点沿垂直电场方向射入电场，其中一价氢离子恰能离开电场，轨迹如图中曲线所示，不计离子的重力，板间电场可视为匀强电场。则它们在电场中运动过程（　　） A．一价氢离子运动的时间最短 B．一价氢离子与一价氦离子的轨迹重合 C．出电场时，二价氦离子的速度最小 D．电场力对一价氢离子做的功等于对二价氦离子做的功 5．如图所示，已知两平行金属极板间电压为，间距为。质量为的带电金属微粒从距上板的距离为位置处由静止释放，从上板小孔进入后恰好能与下板相接触，重力加速度大小为，则金属微粒所带电荷的电性和电荷量分别为（　　） A．负电荷， B．负电荷， C．正电荷， D．正电荷， 6．如图所示，长度均为L的两平行金属板沿水平方向放置，两极板的间距为。两极板带有等量异种电荷，其中上极板带正电。带电粒子1由左侧正中央沿平行于极板的速度射入电场，同时另一完全相同的粒子2，由上极板的正中央以垂直于极板的速度射入电场，经过一段时间两粒子同时到达下极板正中央的O点。粒子的质量为m，电荷量为，两极板之间的电压恒为U，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，两极板之间的电场可看作匀强电场。则下列说法正确的是（　　） A．粒子1到达O点时的速度 B．粒子2射入电场时的速度 C．若将粒子1射入电场时的速度变为，两粒子将在O点上方相遇 D．若将粒子1射入电场时的速度变为，两粒子仍可同时到边O点 二、多选题 7．如图所示，固定点电荷A、B分别带正、负电荷，A的电量大于B的电量，光滑绝缘、粗细均匀的直杆竖直固定，与AB的垂直平分线重合，将带正电的小环套在杆上，让小环从杆上P点由静止释放，则小环从P点运动到AB中点O的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小环的电势能不断增大 B．小环的机械能不断增大 C．小环运动的速度不断增大 D．小环有可能在两个位置的加速度为零 8．利用电场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。如图甲所示，真空中的两平行金属板间距为、板长为。、两板间加上如乙图所示的周期性变化电压。在时刻，一质量为、电量为的电子以初速度从两板正中间沿板方向射入电场，并在时刻恰好沿板边缘射出，不计电子重力。下列说法正确的是（　　） A．电子沿平行于板的方向做变加速运动 B．电子从板间射出时的速度大小为 C．若电子在时刻射入两板间，将沿平行于板的方向从两板正中间射出 D．若电子在时刻射入两板间，射出极板时离上板的距离为 9．某种喷墨打印机打印头的结构简图如图所示。其中喷盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符。忽略墨汁的重力，为了使打在纸上的字迹缩小，下列措施理论上可行的是（　　） A．仅减小偏转电场的电压 B．仅增大墨汁微粒所带的电荷量 C．仅增大墨汁微粒的质量 D．仅增大墨汁微粒进入偏转电场的速度 10．如图所示，空间有足够大的水平向右的匀强电场，一根长度为、不可伸长的绝缘细线的一端连着一个质量、带电荷量为的带正电的小球，另一端固定于点。将细线拉至水平后，小球位于点右侧的A点，然后无初速度释放小球，小球恰好摆到点，此时细线与竖直方向的夹角。已知，重力加速度大小，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．小球运动到最低点时的速度大小为 C．小球运动到最低点时受到细线拉力的大小为 D．小球摆到点时的加速度大小为 11．如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 三、解答题 12．如图所示，在P处有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子自A板小孔进入A、B平行板间的加速电场从静止加速后，水平进入静电分析器（为圆弧）中，静电分析器中存在着如图中所示的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心O，粒子在该电场中沿图示虚线恰好做匀速圆周运动，已知静电分析器中粒子运动轨迹处电场强度的大小为E，粒子运动轨迹的半径为R，A、B两板间的距离为d，粒子重力不计。 (1)求粒子在静电分析器中做圆周运动的速度大小； (2)加速电场的电场强度大小； (3)求粒子从P点到出静电分析器的过程中运动的总时间。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5 带电粒子在电场中的运动 ——划重点之高一暑假预习强化精细讲义 在医院，常用直线加速器产生的粒子束治疗某些癌症，称为放射治疗。在质子疗法中，质子先被加速到具有较高能量，然后被引向肿瘤，轰击细胞。 知识点1：带电粒子在电场中的加速 1.用运动观点分析 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力的方向与运动方向在同一直线上，做匀加(减)速直线运动，即在匀强电场中可利用牛顿第二定律结合运动学公式分析. 运用的公式有：，v=v0+at，， 2.用功能观点分析 粒子只受电场力作用，电场力做的功即为合外力做的功，故粒子动能的变化量大小等于电势能的变化量大小。带电粒子经过电势差为U的电场加速后，由动能定理,则带电粒子的速度,若粒子的初速度为零，则带电粒子的速度。 带电粒子的分类及受力特点 粒子 微粒 示例 电子、质子、α粒子、离子等 尘埃、液滴、油滴、小球等 特点 一般不计重力 一般不能忽略重力 受力分析 在匀强电场中带电粒子所受静电力为恒力(qE),在非匀强电场中带电粒子所受静电力为变力。是否考虑带电粒子的重力，需根据问题情境判断。 注意 ①平衡问题一般要考虑重力； ②即使题目中给出了带电粒子的质量，也不一定需要求出重力； ③不管是物体还是粒子，在一定条件下都可看成质点； ④只要是实物粒子，都有质量，不能忽略。 知识点2：带电粒子在匀强电场中的偏转 1.带电粒子的偏转 运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l,极板间距离为d、电压为U.不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力.粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动. 处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动.根据运动的合成与分解的知识分析. 受力情况 只有电场力，F =qE 初速度 v0≠0，v0的方向与F的方向垂直 加速度 穿过极板时间 运动性质 沿初速度方向：速度：vx =v0，位移：l =v0t 沿电场力方向：速度：，位移： 速度偏转角θ 位移偏转角α 说明 ①以相同的初速度v0进入同一偏转电场的带电粒子，无论m、q是否相同，只要比荷相同，则偏转距离y和速度偏转角θ都相同。 ②若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同. 2.两个重要推论 推论1 粒子从偏转电场中射出时，其速度的反向延长线与初速度方向的交点平分沿初速度方向的位移。 证明 由上式可知，粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间中线的中点沿直线射出似的。 推论2 不同的带电粒子(电性相同，初速度为零),经同一电场加速后，再进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合。 证明 若带电粒子由静止先经加速电场(电压U加)加速，再进入偏转电场(电压U偏),射出偏转电场时偏转距离,又,故，偏转角满足，可见偏转距离y、偏转角θ只与U加、U偏有关，运动轨迹必定重合。 带电粒子在电场中做类平抛运动的两类问题 如图所示，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需再经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P,如图所示. ①确定最终偏移距离OP的两种方法 方法1 方法2 ②确定粒子经偏转电场后的动能(或速度)的两种方法 方法1 方法2 知识点3：示波管的原理 1.示波器的构成 示波器是用来观察电信号随时间变化的仪器，其核心部件是示波管，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。 2.工作原理 (1)如果在偏转电极XX'和YY'之间都没有加电压，则电子束从电子枪射出后沿直线传播，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。 (2)如果在偏转电极XX'之间不加电压，在YY'之间加不变的电压，则电子枪射出的电子沿Y方向向上或向下偏转到荧光屏上某一点，产生一个亮斑，如图所示. (3)如果在偏转电极XX'之间加不变的电压，在YY'之间不加电压，则电子枪射出的电子沿X方向向里或向外偏转到荧光屏上某一点，产生一个亮斑，如图所示. (4)YY'偏转电极上加的是待显示的信号电压.XX'偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，叫作扫描电压.若所加扫描电压和信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图像了. 3.示波管波形 （1）仅在XX'之间或YY'之间加电压 加电压的电极 X极电势高 X'极电势高 XX'间加不变的电压，YY'间不加电压 加电压的电极 Y极电势高 Y'极电势高 XX'间不加电压，YY'间加不变的电压 （2）在YY'之间加周期性变化的电压 电压 亮斑位置 描述 YY'间所加电压如图所示，XX'间不加电压 0<t<t1时，电子沿Y方向向上偏移 t₁<t<t₂时，电子沿Y'方向向下偏移 YY'间所加电压如图所示，XX'间加不变的电压(X电极的电势高于X') 0<t<t1时，电子沿Y方向向上偏移，沿X方向向里偏 t₁<t<t₂时，电子沿Y'方向向下偏移，沿X方向向里偏 扫描电压及其应用 （1）扫描电压 扫描电压呈锯齿形状，又称锯齿电压，如图所示。扫描电压加在XX'偏转电极上(向右为正方向),待显示的信号电压加在YY'偏转电极上。 （2）实际应用 ①仅在XX'偏转电极上加扫描电压，荧光屏上将出现一个亮斑从左向右移动，由于视觉暂留现象，会在x轴上看到一条亮线，如图所示。 ②如果再在YY'偏转电极上加恒定电压U,屏上将看到一条平行于x轴的亮线，如图所示。 ③在XX'间加扫描电压，在YY'间加交流信号电压，两个信号周期相同，则任何时刻两个信号同时作用于电子。实际上扫描电压的作用相当于时间轴，将Uy随时间的变化展开在屏上，使屏上看到交流信号电压的波形，如图所示。 重难点1：带电粒子在交变电场中运动的问题 带电粒子在交变电场中运动时，由于电场发生变化，粒子所受电场力也发生变化，其加速度、速度、位移等都会发生相应的变化，从而出现粒子加速、减速或者往返运动.通常只讨论电压的大小不变、方向发生周期性变化(如方波)且不计粒子重力的情形。 1.常见的类型 (1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解). (2)粒子做往返运动(一般根据交变电场的特点分段研究). (3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究). 2.常用的分析方法 (1)在两个相互平行的金属板间加交变电压时，两板中间便可获得交变电场.此类电场从空间看是匀强电场，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间看是变化的，即电场强度的大小、方向都随时间的变化而变化. ①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定粒子的运动情况，粒子做周期性的运动； ②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性. (2)研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况.根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等. (3)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中运动时电场为恒定电场”，故带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 做好两个分析(受力分析和运动分析),抓住粒子的运动具有周期性、空间上有的具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的临界条件. 1.带电粒子在电场中运动时间远小于电场变化周期 粒子在电场中运动时间内可将电场看成匀强电场，粒子在电场中做匀变速直线运动或类抛体运动。 2.带电粒子在电场中运动时间不满足远小于电场变化周期 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律),抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。 (2)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析，通常可作出粒子运动的速度(或分速度)—时间图像进行分析或求解；二是功能关系。 重难点2：带电体在重电复合场中的运动 等效场一般说的是电场和重力场共存的情况，分析这类问题时可以等效看成带电体受一个合场力作用，也可以单独分析. 带电粒子在等效场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看带电粒子与一般物体相比多受到一个静电力；从处理方法上仍旧可利用力学中的规律分析：例如选用平衡条件、牛顿运动定律，动能定理、功能关系，能量守恒定律等. 1.重电复合场中的直线运动模型 模型分析 带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。此模型中三个解题的有用结论： (1)当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是匀速直线运动； (2)在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到零时； (3)带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好平行于斜面。 几种直线运动情况 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 2.重电复合场中的类抛体运动模型 类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。 3.重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 模型概述 重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的大小与极值等相关内容。 两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运动，直角或钝角时沿圆弧运动。 解题方法 等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。 方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为“等效重力加速度”， F合的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。 模型图 命题点1：带电粒子在电场中的直线运动 【针对练习1】如图所示，某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，静止的质子被电场强度大小的匀强电场沿直线加速到，然后轰击肿瘤，杀死细胞。已知质子的质量，电荷量，则整个加速过程中质子的位移大小为（　　） A．2m B．2.5m C．4m D．5m 【答案】B 【详解】根据动能定理有 解得整个加速过程中质子的位移大小 故选B。 【针对练习2】（多选）如图，两金属板平行放置，质量相等的粒子和分别静止在上下极板处。现在两极板间加恒定电压，两粒子仅在电场力作用下同时从静止开始运动，且同时经过图中水平虚线，虚线到上下极板的距离之比为1：3，忽略粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　）    A．两粒子所带电荷量大小之比为1：3 B．两粒子所带电荷量大小之比为1：9 C．两粒子从开始运动到经过虚线的过程电场力做功之比1：3 D．两粒子从开始运动到经过虚线的过程电场力做功之比1：9 【答案】AD 【详解】AB．两粒子均做初速度为零的匀加速直线运动，在相等时间内的位移之比为，由可知，两粒子的加速度大小之比为，由可知，两粒子所带电荷量大小之比为，故A正确，B错误； CD．两粒子从开始运动到经过虚线的过程电场力做功之比为，故C错误，D正确。 故选AD。 【针对练习3】（多选）如图所示，在一粗糙绝缘水平面上有共线的、、、四点，一电荷量为的均匀带电小球固定在点，现有一质量为、电荷量为的带电小金属块，从点以初速度向右运动，到点速度达到最大值，最后静止在点。已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为，、间距离为，静电力常量为，重力加速度为，带电体均可视为质点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小金属块由向运动的过程中，电势能先增大后减小 B．、两点间的电势差 C．小金属块速度最大时距点的距离 D．从到的过程中，小金属块减少的动能等于系统增加的内能 【答案】BC 【详解】A．在小金属块由M向P运动的过程中，电场力的方向一直与运动方向相同，电场力做正功，电势能一直减小，故A错误； B．小金属块从N到P过程，由动能定理得 解得、两点间的电势差为 故B正确； C．由题意知，从M到N过程，金属块做加速运动，从N到P过程，金属块做减速运动，在N点金属块所受的滑动摩擦力与库仑力平衡，设O、N两点间距离为r，则有 解得 故C正确； D．从N到P的过程中，小金属块减小的动能和减少的电势能全部转化为内能，故小金属块减少的动能小于系统增加的内能，故D错误。 故选BC。 【针对练习4】如图所示，两块间距为d且足够长的金属板平等竖直放置，长为L的细绝缘线一端拴一质量为m的带电小球，另一端固定在左板上某点，小球静止时绝缘线与竖直方向的夹角为，若将绝缘线剪断，问： （1）小球将如何运动？ （2）小球经多长时间打到金属板上？ （3）小球打到金属板上时的速度为多大？ 【答案】（1）见解析  （2）  （3） 【详解】（1）设细线的拉力为，剪断线后，小球受重力、静电力作用，合力为，方向沿的反方向（即与板成角），所以小球将沿的反方向做初速度为零的匀加速直线运动，直至打到右侧金属板上. （2）由图可知， 所以小球的水平分加速度 要打到金属板上，水平位移 由匀变速直线运动规律可得 所以 . （3）由动能定理得 其中 ， 解得 。 命题点2：带电粒子在电场中的类抛体运动 【针对练习5】如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行板间的电场中，入射方向跟极板平行。整个装置处在真空中，重力可忽略。在电子能射出平行板区的条件下，下列四种情况中，一定能使电子的偏转角θ变大的是（    ） A．U1变大，U2变大 B．U1变小，U2变大 C．U1变大，U2变小 D．U1变小，U2变小 【答案】B 【详解】在加速电场中，由动能定理可知 解得 根据牛顿第二定律有 水平距离为 解得电子的偏转角为 则一定能使电子的偏转角变大的是U1变小、U2变大。 故选B。 【针对练习6】如图所示，在真空中有一对平行金属板，板间距离为，下极板带正电，上极板带负电，板间电压为。一个质量为、带电量为的粒子从下板边缘以初速度水平射入板间，恰好从上板边缘飞出。忽略重力影响，下列说法正确的是（　　） A．粒子在板间运动的时间为 B．粒子飞出电场时的速度大小为 C．粒子在板间运动过程中，静电力做的功为 D．粒子飞出电场时速度方向与水平方向的夹角满足 【答案】C 【详解】A．由题可知，粒子在竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得 解得其加速度 根据匀变速直线运动规律可得 联立解得粒子在极板间运动的时间 A错误； B．粒子飞出电场时，竖直方向的速度大小为 故粒子飞出电场时的速度 B错误； C．整个过程中电场力所做的功 C正确； D．粒子飞出电场时速度方向与水平方向的夹角满足 结合上述结论可知 解得 D错误。 故选C。 【针对练习7】（多选）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，在同一水平直线上、两点处分别把两个质量均为的小球同时抛出。小球1抛出时速度大小为，方向水平，小球2抛出时速度与水平方向成，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，两球在点相遇，是连线中垂线上一点。已知两球电荷量大小均为，电场强度大小为为重力加速度，不计空气阻力和两球间的相互作用，两球从抛出到点相遇的过程中（　　） A．球1带正电，球2带负电 B．该过程中两球速度的变化量相等 C．该过程中两球机械能的变化量相同 D．两球相遇时球1和球2的速度大小之比为 【答案】AD 【详解】A．两球运动时间相同，水平方向位移相同，1、2两球水平方向速度相等， 得 由竖直方向位移相同，具有向上初速度的加速度更大可得，故球2所受电场力向下，球1所受电场力向上，球1带正电，球2带负电，故A正确； B．对球1， 对球2， 据 且相等，1、2两球速度变化量不相等，故B错误； C．电场力对球1做负功，对球2做正功，球1机械能减少，球2机械能增加，两球机械能变化量不同，故C错误。 D．1、2两球运动时间为，竖直方向 得 相遇时球1速度 球2速度，， 故D正确。 故选AD。 【针对练习8】如图所示，一质量、电荷量的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在荧光屏上的某点。点是荧光屏的中心，已知加速电场电压，偏转电场电压，极板的长度，板间距离，极板的末端到荧光屏的距离，若不计粒子重力，求： (1)电子射入偏转电场时的初速度； (2)电子经过偏转电场过程中电场力对它所做的功W和电子打在荧光屏上的点到点的距离Y。 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）带电粒子在加速电场中，根据动能定理得 解得 （2）带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，在水平方向上 竖直方向上 由牛顿第二定律 而 解得 电子经过偏转电场过程中电场力对它所做的功 根据带电粒子离开偏转电场速度的反向延长线过偏转电场的中点，由相似三角形得 解得 命题点3：带电粒子在电场中的圆周运动 【针对练习9】如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度。下列说法正确的是（　　） A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到C点时的动能最大 C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点 【答案】D 【详解】AB．根据题意可知，电场力和重力的合力为 方向斜向右下方，与竖直方向夹角为，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，小球通过圆弧的中点时速度最小，此时满足 解得 小球通过圆弧的中点时速度最大，动能最大，故AB错误； C．若将小球在A点由静止开始释放，将沿电场力和重力的合力方向做匀加速直线运动，故C错误； D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，竖直方向上可得 水平方向上， 联立解得 可知，小球恰好到达点，故D正确。 故选D。 【针对练习10】（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长为的绝缘细线的一端固定在电场中的点，另一端系住一质量为、带电量为的小球，小球静止时细线与竖直方向成角。现给小球一个与细线垂直的初速度，使其从静止位置开始运动，发现它恰好能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动。已知重力加速度为，则（　　）      A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得的初速度大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小了 D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，其电势能先增大后减小 【答案】AC 【详解】A．受力分析如图所示 小球静止时悬线与竖直方向成角，受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有 解得 故A正确； B．小球运动到等效最高点时速度最小，此时对细线的拉力为零，由重力与电场力的合力 解得 从初始位置到等效最高点，根据动能定理 又 联立解得 故B错误； C．根据功能关系知，小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小量等于克服电场力做的功，为 故C正确； D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，电场力先做负功后做正功再做负功，则其电势能先增大后减小再增大，故D错误。 故选AC。 【针对练习11】（多选）如图所示，轻质绝缘细线一端系在点，另一端与带电量为的小球（可视为质点）连接，整个装置处在水平向右、场强大小为的匀强电场中，小球静止时处在点，点在点的正下方，与间的夹角为，点在点正右方且与点等高，已知，现把小球移至A点，给小球一个水平向右的初速度（为未知量），小球正好能够到达点（运动过程中小球的电量不变），重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球在A点获得的动能为 C．小球从A到的过程中，速度的最大值为 D．小球从A到的过程中，通过点时细线的张力最大 【答案】BD 【详解】A．在B点对小球受力分析，由平衡条件可得 解得小球的质量为，故A错误； B．小球从A点到C点，由动能定理可得 解得，故B正确； CD．小球静止在B点，OB与OA间的夹角为37°，则电场力与重力的合力由O指向B，则B点是小球在圆弧中运动的等效最低点，所以小球从A点到C点的过程中，在B点的速度达到最大值，在B点对细线的拉力最大，小球从A点到B点，由动能定理可得 联立可得小球从A到的过程中，速度的最大值为 故C错误，D正确。 故选BD。 命题点4：带电粒子在交变电场中的运动 【针对练习12】（多选）如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度从O点沿板间中线水平射入极板之间，若时刻进入电场的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则下列说法正确的是（　　） A．时刻进入电场的粒子在时刻速度大小为 B．时刻进入电场的粒子经时间T后速度大小为 C． 时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为 D． 时刻进入电场的粒子在两板间运动的过程中，电场力做功为0 【答案】BD 【详解】A．t=0时刻进入的粒子在t=T时刻刚好沿A板右边缘射出电场，粒子运动的时间与电场变化周期相同，粒子在水平方向以v0做匀速直线运动，在竖直方向先向上做匀加速直线运动，时间为，后向上做匀减速直线运动，时间为，则竖直方向的速度为零，故在时刻粒子只有水平方向上的分速度为，即在t=T时刻粒子的速度为v0，故A错误； BCD．当时刻以射入电场的粒子，运动时间等于电场变化周期，则粒子在竖直方向上在电场力的作用下，先向上加速，再向上减速，并刚好沿A板右边缘射出电场，且两次竖直方向的位移大小相等，设为，则有 解得 当时刻以射入电场的粒子，运动时间等于电场变化周期，粒子竖直方向上在电场力的作用下，先向上加速，再向上减速，接着向下加速，再向下减速，最后回到中线位置，此时竖直方向的速度为零，只有水平方向的速度，动能变化量为零，根据动能定理，可知电场力做功为零；由运动的对称性可知，竖直方向先向上加速，再向上减速，则有 又 解得 故BD正确，C错误。 故选BD。 【针对练习13】（多选）图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在t=0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为m，电荷量为e，交变电源电压大小为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是（　　） A．金属圆筒1、2、3的长度之比为 B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍 C．第n个圆筒的长度应满足 D．进入第n个圆筒时电子的速率为 【答案】AC 【详解】A．由于电子每经过圆筒狭缝时都要加速，进入圆筒后做匀速运动，所以电子在筒内运动的时间均为，电子在加速过程中加速度相同，经过n次加速后，根据动能定理 解得 不计缝隙时间，电子在圆筒内的时间均为，则 所以金属圆筒1、2、3的长度之比为，A正确； B．由于电子在筒内做匀速直线运动，所以电子离开圆筒1时的速度等于进入时的速度，B错误； CD．根据动能定理，电子进入第n个圆筒时的速度满足 所以 所以第n个圆筒的长度为 C正确，D错误。 故选AC。 【针对练习14】如图甲所示，两水平放置的平行导体板、，板长为，板间距离为，为两板中心线，两板间加上有周期性变化的电压，如图乙所示（图中为已知值，为未知值）。左侧为粒子源，源源不断地发出质量为、带电量为的带电粒子，粒子均以相同的初速度从点水平射入两板间。若带电粒子在时刻从点射入平行板，时刻刚好从板的右边缘射出。带电粒子的重力、粒子间相互作用均忽略不计，两板间电场为理想的匀强电场。求： (1)带电粒子射入平行板的初速度； (2)图乙中的值； (3)时间内时刻射入平行板的粒子恰好从点射出，求。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，粒子在电场中沿水平方向做匀速直线运动，故粒子进入平行板的初速度 （2）粒子在平行板竖直方向做匀加速运动，粒子的加速度为，根据牛顿第二定律可得 解得 方向竖直向下，此阶段沿竖直方向偏转的位移 此时粒子沿竖直方向的速度 时间内，粒子竖直方向的加速度为，根据牛顿第二定律则有 解得 方向竖直向上，此阶段粒子在竖直方向做匀减速直线运动，偏转位移为 根据题意可得 联立解得 （3）粒子在时刻进入平行板，粒子在竖直方向的加速度为 竖直方向上的位移 此时粒子的速度 粒子在的时间内，其加速度 此阶段的位移 末时刻粒子的速度 设经过时间粒子到达，此阶段粒子的加速依然为 此阶段竖直方向的位移 由于在竖直方向位移为零，即 联立解得 【针对练习15】如图甲所示，真空室中电极K连续发出的电子（初速度不计）经过电势差为的加速电场加速后，沿两水平金属板C、D间的中心线射入两板间的偏转电场，最后打在荧光屏上。C、D两板间的电势差随时间变化如图乙所示，设C、D间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。已知电子的质量为m、电荷量为e（重力不计），板间距离为d，偏转电压，所有电子都能通过偏转电场且通过偏转电场的时间为，电子从离开偏转电场到达荧光屏所需时间为。求： (1)金属板C的长度L； (2)若的周期，求电子能够到达荧光屏上的区域的长度； (3)若的周期，当时刻进入偏转电场的电子打到荧光屏上的位置与O点的距离？ 【答案】(1) (2) (3)0 【详解】（1）电子经过加速电场过程，根据动能定理可得 解得 所有电子都能通过偏转电场且通过偏转电场的时间为，则偏转电场的长度为 联立解得 （2）若的周期，所有电子在偏转电场中运动过程，在竖直方向有半个周期时间内的加速度方向竖直向上，有半个周期时间内的加速度方向竖直向下，可知经过一个周期，电子的竖直分速度刚好为0；则时刻进入的电子向下侧移距离最大，为 同理可知时刻进入的电子向上侧移距离最大，为 所以荧光屏上电子能够到达的区域的长度为 （3）若的周期，则电子在偏转电场的运动时间为，在进入的电子，先在竖直方向上，前向下加速运动，接着电子向下匀减速直线运动，速度恰好减到零，向下偏转 接着向上加速运动，向上偏转 出偏转电场后，竖直向上速度为 向上位移为 所以 命题点5：示波器波形 【针对练习16】示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出（初速度为零），经加速电压U1加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立xOy坐标系。若在 YY'电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是（　　）    A．若在水平电极XX'不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像 B．若在水平电极XX'不加电压，所有的电子打在荧光屏中心 O点 C．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线 D．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆 【答案】C 【详解】AB．若在水平电极XX'不加电压，则电子仅在竖直方向偏转，图像为过O点的竖直线，故AB错误； CD．若在水平电极XX'加图丙所示电压，即电极XX'与电极YY'上所加电压均为正弦电压，则电子水平偏转位移和竖直偏转位移始终相等，图像为过O点的满足y=x的倾斜的直线，故C正确，D错误。 故选C。 【针对练习17】如图所示，图甲是示波管的原理图，如果在电极之间所加的电压按图乙所示的规律变化，在电极之间所加的电压按图丙所示的规律变化，则荧光屏上会看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于电极XX′加的电压保持不变且为正值，可知在XX′方向上的偏转位移偏向X且保持不变，在YY′方向上电压随正弦规律变化，即YY′方向上偏移在正负最大值之间变化，故B正确，ACD错误。 故选B。 【针对练习18】（多选）示波器在物理研究中有着重要的作用，其中重要器件示波管是电子在电场的作用下发生偏转，最终打在荧光屏上，使荧光物质发光，形成显示的图像。图甲是示波管的原理图，两个偏转电极不加电压时，右侧荧光屏的中心处产生一个亮斑。某次实验中，在两个电极上应该加上下列选项中的何种电压与时间的关系（图像）可得到一条如图乙所示的函数图像（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】若电子显示的图像从X'到X扫描时为A，若电子显示的图像从X到X'扫描时为B。 故选AB。 一、单选题 1．如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，与以正点电荷Q为圆心的圆周交于B、C两点。质量为m、电荷量为q的有孔小球从杆上A点无初速滑下，已知AB=BC=h，小球滑到B点时的速度大小为，则（　　） A．点电荷Q带负电 B．小球由B点到C点的过程中重力所做的功等于动能的变化量 C．小球由A点滑到B点的过程中电场力做的功 D．小球到达C点时的速度大小为 【答案】B 【详解】小球由A到B重力和电场力做功，有动能定理得mgh＋WAB＝mv2－0 代入数据解得WAB＝－mgh 电场力做负功，所以Q带正电荷，BC两点在同一等势面上，小球从B到C电场力做功为零，只有重力做功，由动能定理得由B点到C点的过程中重力所做的功等于动能的变化量，即 解得小球到达C点时的速度大小为v1＝ 故选B。 2．如图所示，水平面上方有水平向左的匀强电场，电场强度，一个质量为、电量为的带正电微粒从距离水平面处水平抛出，抛出速度，不计空气阻力，重力加速度。微粒运动过程中下列说法正确的是（　　） A．微粒做非匀变速运动 B．微粒抛出到落地的时间是 C．微粒运动过程到动能最小时所用的时间是 D．微粒运动过程中动能最小时距离地面的高度为 【答案】D 【详解】A．微粒受到电场力和重力作用，由于电场力和重力均为恒力，微粒受到的合力恒定不变，加速度恒定不变，微粒做匀变速运动，故A错误； B．竖直方向微粒做自由落体运动，则有 可得微粒抛出到落地的时间为 故B错误； CD．设微粒受到的合力与竖直方向的夹角为，如图所示 可得， 解得 将微粒的运动分解为垂直合力方向与沿合力方向两个分运动，当沿合力方向分速度减为0时，微粒的速度最小，动能最小，则微粒运动过程到动能最小时所用的时间为 此时微粒下落的高度为 即微粒运动过程中动能最小时距离地面的高度为 故C错误，D正确。 故选D。 3．如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0 时刻由静止释放该粒子，关于该粒子的运动正确的是（　 　） A．一开始向左运动，最后打到A板上 B．一开始向右运动，最后打到A板上 C．一开始向左运动，最后打到B板上 D．一开始向右运动，最后打到B板上 【答案】B 【详解】若在 时刻由静止释放该粒子，开始时A板电势高，则带电粒子先加速向B板运动，再减速运动至零，如果不会打在B板上，然后再反方向向左加速运动、再减速运动至零，如此反复运动，每次向右运动的距离小于向左运动的距离，最终打在A板上。有可能在开始向B板运动过程中打在B板上。 故选B。 4．让一价氢离子（质量为m，电量为e）、一价氦离子（质量为4m，电量为e）和二价氦离子（质量为4m，电量为2e）先后以相同的速度从带电平行板间的P点沿垂直电场方向射入电场，其中一价氢离子恰能离开电场，轨迹如图中曲线所示，不计离子的重力，板间电场可视为匀强电场。则它们在电场中运动过程（　　） A．一价氢离子运动的时间最短 B．一价氢离子与一价氦离子的轨迹重合 C．出电场时，二价氦离子的速度最小 D．电场力对一价氢离子做的功等于对二价氦离子做的功 【答案】D 【详解】AB．设平行板中的电场强度为E，三种离子的初速度为，竖直方向上运动的距离 水平方向上运动的距离 联立可得 由题可知，一价氢离子恰能离开电场，一价氦离子和二价氦离子的比荷比一价氢离子的比荷小，因此一价氦离子和二价氦离子也可以离开电场。三种离子的比荷不同，因此竖直方向上运动的距离不一样，运动轨迹不一样。由于初速度相同，因此它们在电场中运动时间和一价氢离子运动的时间相同。故AB错误； C．由动能定理可得 整理可得 将一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的质量和电荷量代入可得 故C错误； D．电场力做的功 将一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的质量和电荷量代入可得 故D正确。 故选D。 5．如图所示，已知两平行金属极板间电压为，间距为。质量为的带电金属微粒从距上板的距离为位置处由静止释放，从上板小孔进入后恰好能与下板相接触，重力加速度大小为，则金属微粒所带电荷的电性和电荷量分别为（　　） A．负电荷， B．负电荷， C．正电荷， D．正电荷， 【答案】B 【详解】由题意可知上极板与电源正极相连带正电，金属微粒从上板小孔进入后恰好能与下板相接触，故电场力对金属微粒做负功，故金属微粒带负电。由动能定理得 得电荷量 故选B。 6．如图所示，长度均为L的两平行金属板沿水平方向放置，两极板的间距为。两极板带有等量异种电荷，其中上极板带正电。带电粒子1由左侧正中央沿平行于极板的速度射入电场，同时另一完全相同的粒子2，由上极板的正中央以垂直于极板的速度射入电场，经过一段时间两粒子同时到达下极板正中央的O点。粒子的质量为m，电荷量为，两极板之间的电压恒为U，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，两极板之间的电场可看作匀强电场。则下列说法正确的是（　　） A．粒子1到达O点时的速度 B．粒子2射入电场时的速度 C．若将粒子1射入电场时的速度变为，两粒子将在O点上方相遇 D．若将粒子1射入电场时的速度变为，两粒子仍可同时到边O点 【答案】B 【详解】AB．设粒子的运动时间为，粒子1在电场中做类平抛运动，则有， 粒子2在电场中做匀加速直线运动，则有 又 联立解得， 粒子1到达O点时的速度为 故A错误，B正确； CD．若将粒子1射入电场时的速度变为，则粒子1到达O点正上方所用时间为 这段时间内粒子1沿电场方向通过的位移为 这段时间内粒子2沿电场方向通过的位移为 由于 可知两粒子不会相遇，故CD错误。 故选B。 二、多选题 7．如图所示，固定点电荷A、B分别带正、负电荷，A的电量大于B的电量，光滑绝缘、粗细均匀的直杆竖直固定，与AB的垂直平分线重合，将带正电的小环套在杆上，让小环从杆上P点由静止释放，则小环从P点运动到AB中点O的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小环的电势能不断增大 B．小环的机械能不断增大 C．小环运动的速度不断增大 D．小环有可能在两个位置的加速度为零 【答案】AD 【详解】AB．由于电场力对小环一直做负功，因此小环的机械能不断减小，电势能不断增大，故A正确，B错误； C．从P到O竖直向上的电场强度的分量有可能先增大后减小，若小环受到的向上的最大电场力大于环的重力，则小环就是向下先加速后减速再加速，故C错误； D．若小环受到的向上的最大电场力大于小环的重力，则小环在向下运动过程中就有两个位置电场力与重力等大反向，加速度为零，故D正确。 故选AD。 8．利用电场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。如图甲所示，真空中的两平行金属板间距为、板长为。、两板间加上如乙图所示的周期性变化电压。在时刻，一质量为、电量为的电子以初速度从两板正中间沿板方向射入电场，并在时刻恰好沿板边缘射出，不计电子重力。下列说法正确的是（　　） A．电子沿平行于板的方向做变加速运动 B．电子从板间射出时的速度大小为 C．若电子在时刻射入两板间，将沿平行于板的方向从两板正中间射出 D．若电子在时刻射入两板间，射出极板时离上板的距离为 【答案】BC 【详解】A．电子沿平行于板的方向不受力的作用，做匀速直线运动，故A错误； B．由图乙可知，在时刻进入电场的电子，沿电场方向的分运动，在内向上匀加速运动，在向上匀减速运动，根据对称性可知，在时刻电子的竖直分速度为0；根据周期性可知，在时刻射出电场时的竖直分速度为0，则电子从板间射出时的速度大小为，故B正确； C．若电子在时刻射入两板间，沿电场方向的分运动，在内向上匀加速运动，在向上匀减速运动，在内向下匀加速运动，在内向下匀减速运动，根据对称性可知，在一个周期内，即在内电子沿电场方向的位移为0，时刻竖直分速度为0；由于电子在电场运动的时间为，根据周期性可知，电子在两个周期内沿电场方向的位移为0，时刻竖直分速度为0；则将沿平行于板的方向从两板正中间射出，故C正确； D．在时刻进入的电子刚好在时刻恰好沿板边缘射出，设电子的加速度大小为，则有 若电子在时刻射入两板间，则电子在内向上运动的距离为 电子在内向下运动的距离为 可知电子在一个周期为向上运动的距离为 根据周期性可知电子在两个周期内向上运动的距离为 则电子射出极板时离上板的距离为 故D错误。 故选BC。 9．某种喷墨打印机打印头的结构简图如图所示。其中喷盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符。忽略墨汁的重力，为了使打在纸上的字迹缩小，下列措施理论上可行的是（　　） A．仅减小偏转电场的电压 B．仅增大墨汁微粒所带的电荷量 C．仅增大墨汁微粒的质量 D．仅增大墨汁微粒进入偏转电场的速度 【答案】ACD 【详解】设喷入偏转电场的墨汁微粒的速度为，偏转电场两极板的长度为，偏转电场右边缘与纸间距为，墨滴在x方向上匀速运动 根据牛顿第二定律可得 在竖直方向上做匀加速运动 由几何关系得 则墨汁在纸上竖直方向的偏移量 根据表达式可知，为了使打在纸上的字迹缩小，即减小，可减小墨汁微粒所带的电荷量，增大墨汁微粒的质量，减小偏转电场的电压，增大墨汁微粒的喷出速度。 故选ACD。 10．如图所示，空间有足够大的水平向右的匀强电场，一根长度为、不可伸长的绝缘细线的一端连着一个质量、带电荷量为的带正电的小球，另一端固定于点。将细线拉至水平后，小球位于点右侧的A点，然后无初速度释放小球，小球恰好摆到点，此时细线与竖直方向的夹角。已知，重力加速度大小，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．小球运动到最低点时的速度大小为 C．小球运动到最低点时受到细线拉力的大小为 D．小球摆到点时的加速度大小为 【答案】ACD 【详解】A．设匀强电场的场强大小为，小球从A点无初速度释放摆到点的过程，根据动能定理有 解得匀强电场的场强大小为 A正确； B．小球运动到最低点过程，根据动能定理有 解得小球运动到最低点的速度大小为 B错误； C．小球运动到最低点时，有 解得小球运动到最低点时受到细线拉力的大小为 C正确； D．小球做圆周运动，摆到点时速度为0，即所需向心力为0，即沿半径方向的合力为0，根据牛顿第二定律有 解得小球摆到点时的加速度大小 D正确。 故选ACD。 11．如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 【答案】BD 【详解】A．粒子从A点运动至B点的过程中，电场力对粒子一直做正功，粒子的电势能一直减小，故A错误； BC．粒子在竖直方向做匀速直线运动，则有 解得粒子在B点的速度大小为 粒子从A点运动至B点的过程中，根据动能定理可得 解得A、B两点间的电势差为 故B正确，C错误； D．粒子在B点的动能与粒子在A点的动能之比为 故D正确。 故选BD。 三、解答题 12．如图所示，在P处有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子自A板小孔进入A、B平行板间的加速电场从静止加速后，水平进入静电分析器（为圆弧）中，静电分析器中存在着如图中所示的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心O，粒子在该电场中沿图示虚线恰好做匀速圆周运动，已知静电分析器中粒子运动轨迹处电场强度的大小为E，粒子运动轨迹的半径为R，A、B两板间的距离为d，粒子重力不计。 (1)求粒子在静电分析器中做圆周运动的速度大小； (2)加速电场的电场强度大小； (3)求粒子从P点到出静电分析器的过程中运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在静电分析器中做圆周运动，电场力充当向心力，则 解得 （2）在加速电场中根据动能定理 解得 （3）由匀变速直线运动规律可知，粒子在A、B两板间运动的时间 粒子在静电分析器中运动的时间 故可得总时间 学科网（北京）股份有限公司 $$