精品解析：云南省保山市腾冲市益群中学2025届高三下学期模拟预测数学试题

腾冲市益群中学2025届高三模拟预测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则复数的模是（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若则向量，的关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 不确定 4. 、、、、五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（ ） A. 120 B. 324 C. 720 D. 1280 5. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（ ） A. 994 B. 995 C. 1003 D. 1004 6. 核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，扩增次数n与扩增后的的数量满足，其中为的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则被测标本的扩增13次后，数量变为原来的（参考数据：，，）（ ） A. 1334倍 B. 1585倍 C. 1778倍 D. 5620倍 7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，.则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 与有关 8. 已知双曲线：的右焦点为，若以（为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称 D. 函数在区间上有66个零点 10. 若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点（包括边界），且平面，下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式______成立． 13. 直角三角形ABC的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上．圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为________． 14. 已知函数，则下列说法正确的有________. ①函数的值域为； ②方程有两个不等的实数解； ③不等式的解集为； ④关于的方程的解的个数可能为. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点为的中点，，，求的周长． 16. 2022年年度大剧《人世间》自1月28日在央视一套黄金档开播以来，其收视率一路开挂.某调研机构为了解某社区居民对该剧的收视情况，随机抽取了该社区年龄在30~60岁的600名居民进行调查，经统计，其中男性居民与女性居民的人数之比是.收看本剧的居民比没有收看本剧的居民多300人，女性居民中仅有60人没有收看本剧. （1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关？ 观看过 没有观看过 合计 男性 女性 60 合计 600 （2）按性别用分层抽样的方法从收看过本剧的居民中抽取5人，若要从这5人中随机选出2人对其做进一步的观剧感受访谈，求选出的2人中至少有一位是男性居民的概率. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 如图，在直三棱柱中，，，．D，E分别是棱的中点，点F在线段上． （1）若，求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值． 18. 已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值． 19. 已知. （1）当时，求函数的单调减区间； （2）当时，曲线在相异的两点点处的切线分别为和和的交点位于直线上，证明：两点的横坐标之和小于4； （3）当时，如果对于任意，总存在以为三边长的三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市益群中学2025届高三模拟预测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则复数的模是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】计算，得到，再计算模长得到答案. 【详解】，故，的模为， 故选：A 2. 已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：若为递增的等比数列，显然后面的项都比大， 即且，，充分性成立； 反过来，若且，，即（为公比）， 因为，所以，所以，从而可得为递增数列，必要性成立， 所以“为递增数列”是“且，”的充分必要条件. 故选：C. 3. 若则向量，的关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，平方求得，即可求解. 【详解】由，平方可得， 解得，所以. 故选：C. 4. 、、、、五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（ ） A. 120 B. 324 C. 720 D. 1280 【答案】D 【解析】 【分析】 根据分步计数原理，结合限制条件，逐次排列，即可求解. 【详解】根据分步计数原理，可得： 第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形； 第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形； 第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形； 第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形； 第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形； 所以所有的排法总数为：种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中注意对限制条件的排列与遵循原则，属于基础题. 5. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（ ） A. 994 B. 995 C. 1003 D. 1004 【答案】B 【解析】 【分析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前项和为，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前项总个数为，由此可计算出第10行去掉“1”后的最后一个数为第36个数，从而可求出前35项和。 【详解】没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3行的和为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则前项和为．每一行的个数为1，2，3，4，…， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则前项总个数为． 当时，，去掉两端“1”，可得， 则去掉两端“1”后此数列的前36项和为， 所以第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为， 所以该数列的前35项和为． 故选：B. 6. 核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，扩增次数n与扩增后的的数量满足，其中为的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则被测标本的扩增13次后，数量变为原来的（参考数据：，，）（ ） A. 1334倍 B. 1585倍 C. 1778倍 D. 5620倍 【答案】C 【解析】 【分析】将数值代入公式利用对数的运算律即可求解. 【详解】由题可知， 即， 解得， 所以，即， 解得， 故选:C. 7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，.则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 与有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案. 【详解】解：根据题意，，. 则，， 则有， 故 ，则； 故选：B. 【点睛】本题考查了向量模的坐标表示，考查了向量线性运算的坐标表示，考查了同角三角函数的基本关系，考查了三角恒等变换.本题的关键是求出所求向量的坐标表示.本题的难点是计算化简. 8. 已知双曲线：的右焦点为，若以（为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用点到直线的距离公式求出，再由即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即， 圆心为，所以圆心到渐近线的距离为， 由题意可得，所以， 所以，即离心率. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，同时考查了考生的基本运算能力，属于基础题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称 D. 函数在区间上有66个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对称轴求得，A选项用周期性来判断，B选项求函数值来判断，C选项利用图象变换来判断，D选项利用函数零点个数来判断. 【详解】依题意函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且， 由， 得， 由于，所以. 所以. 所以，A选项正确. ，B选项正确. 将函数的图象向左平移得，其图象不关于原点对称，C选项错误. ， 所以函数在区间上的零点有个，D选项错误. 故选：AB 10. 若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质分别进行求解即可． 【详解】当时，此时只有第4项二项式系数最大，此时不满足条件， 当时，第4，第5项二项式系数最大，此时满足条件， 当时，此时只有第5项二项式系数最大，此时满足条件， 当时，第5，第6项二项式系数最大，此时满足条件， 故选：BCD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点（包括边界），且平面，下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理与性质定理，转化三棱锥的顶点，三棱锥的体积公式，直接找三棱锥的外接球的球心，即可分别求解. 【详解】如图2，分别取，的中点M，N， 连接，，， 则由正方体的性质可得，. 因为平面且平面， 所以平面，且平面 又平面，， 所以平面平面， 所以点F的运动轨迹为线段，即动点F轨迹的长度为，故正确； ，知当F与M重合时，取得最小值， 即，所以，故错误； 因为， 当F为线段的中点时，有. 又，所以，故错误； ， 易知当F与N重合时，取得最大值， 连接，，，，所以. 由正方体的性质知，所以为直角三角形， 易知点N在平面上的投影为的斜边的中点， 设为，连接，则三棱锥的外接球的球心在直线上， 设球的半径为，易知，， 则由，得， 所以球的表面积，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法： （1）先找两个面的外心； （2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心； （3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径. 有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式______成立． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用等差数列的定义及通项公式计算即可. 【详解】相应的有等式为： ， 证明：设等差数列的公差为， 则 . 故答案为： 13. 直角三角形ABC的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上．圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设点，根据垂直关系，列式求，再根据圆心和半径求圆的方程. 【详解】由于点C在x轴上，设点． 又∠ABC为直角，所以. 即，解得x＝4，即, 由于是以为直角的直角三角形， 则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则， 所以圆M的半径为， 因此圆M的标准方程为. 故答案为： 14. 已知函数，则下列说法正确的有________. ①函数的值域为； ②方程有两个不等的实数解； ③不等式的解集为； ④关于的方程的解的个数可能为. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】作出的函数图象即可判断①②，利用换元法求解③，利用换元法并结合二次函数的图象求解④. 【详解】画出的图象，如下图所示： 令，解得或， 所以的图象与轴交于， 对于①，由图象可知，函数的值域为则①正确； 对于②，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数解，则②错误； 对于③，由图象可知，令，则，由图象可知或， 即或，∴或， ∴或或， ∴或或， ∴不等式的解集为；则③正确； 对于④，令，则，则， 当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个， 当时，即时，， ∵，∴，， 当时，，则有两解， 当时，若，则有三解，若，则有两解， 即关于的方程的解的个数可能为或个解， 综上所述，关于的方程的解的个数可能为. 故答案为：①③④. 【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点为的中点，，，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）将已知等式由正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求得角的大小； （2）由点为的中点，可得，两边平方化简后可求得，然后利用余弦定理可求出，从而可求得的周长． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为点为的中点，所以， 所以， 即， 解得或（舍）． 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以的周长． 16. 2022年年度大剧《人世间》自1月28日在央视一套黄金档开播以来，其收视率一路开挂.某调研机构为了解某社区居民对该剧的收视情况，随机抽取了该社区年龄在30~60岁的600名居民进行调查，经统计，其中男性居民与女性居民的人数之比是.收看本剧的居民比没有收看本剧的居民多300人，女性居民中仅有60人没有收看本剧. （1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关？ 观看过 没有观看过 合计 男性 女性 60 合计 600 （2）按性别用分层抽样的方法从收看过本剧的居民中抽取5人，若要从这5人中随机选出2人对其做进一步的观剧感受访谈，求选出的2人中至少有一位是男性居民的概率. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表，如下： 观看过 没有观看过 合计 男性 180 90 270 女性 270 60 330 合计 450 150 600 有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息完善列联表数据，进而计算出，对比临界值即可得出结论； （2）根据古典概型的计算公式即可求出结果. 【小问1详解】 由题意，调查的600名居民中，男性与女性居民的人数之比是9：11，故男性有人，女性有人. 因为收看过本剧的居民比没有收看过的居民多300人，所以收看过本剧的居民有450人， 没有收看过本剧的居民有150人； 因为没有收看过本剧的女性有60人，所以收看过本剧的女性居民有270人，没收看过本剧的男性有90人.完成22列联表，如下： 观看过 没有观看过 合计 男性 180 90 270 女性 270 60 330 合计 450 150 600 所以， 所以有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关. 【小问2详解】 收看过电视剧《人世间》的共有450人，从中抽取5人，抽到的男性人数､女性人数分别为：（人），（人）， 记2名男性分别是a，b；3名女性分别是A，B，C. 则从5人中选出2人的基本事件是：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC， 共10个；选出的2人中至少有一位是男性的事件有7个. 所以选出的2人至少有一位是男性的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，．D，E分别是棱的中点，点F在线段上． （1）若，求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明如下： 连接,在直三棱柱中，，所以． 又因为，， 所以， 故，即A，F，三点共线． 因点D，E分别是棱、的中点， 故，又平面，平面， 所以∥平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明得A，F，三点共线，再证即得； （2）过点B作,证平面，可得就是直线与平面所成的角，利用体积求出点F到平面的距离，证，继而求出即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点B作，垂足为点H，连接FH，FB． 在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，所以平面． 故是斜线在平面上的射影， 所以就是直线与平面所成的角． 记点F到平面的距离为， ，得．因, 故得F为的中点，即． 在中，因,则, 于是，，，． 求得，故． 所以直线与平面所成角的正切值为． 18. 已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）待定系数法去求双曲线C的方程； （2）联立直线PQ的方程与双曲线C的方程，以设而不求的方法得到的表达式，再对其求最小值即可解决. 【小问1详解】 双曲线C的渐近线方程为， 所以，双曲线的方程可设为． 因为点在双曲线上，可解得，所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点、， 将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为， 所以① 则，． 由 即，所以 化简得， ． 则（当k=0时等号成立）且满足①， 又因为当直线PQ垂直x轴时，，所以的最小值是24． 19. 已知. （1）当时，求函数的单调减区间； （2）当时，曲线在相异的两点点处的切线分别为和和的交点位于直线上，证明：两点的横坐标之和小于4； （3）当时，如果对于任意，总存在以为三边长的三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：当时，，， 设，， 点处切线方程为， 点处切线方程为， 故，解得， 故两切线交点的横坐标为， 所以，结合， 所以， 解得， （3） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，结合，利用导函数小于0求出单调递减区间； （2）分别求出点处切线方程，联立得到两切线交点的横坐标，由基本不等式求出两点的横坐标之和小于4； （3）转化为对于一切，，且均正，即，先令，得到，进而由导函数得到函数的单调性，得到不等式组，求出. 【小问1详解】 的定义域为R， ， 因为，所以的解集为， 故函数的单调减区间为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 原命题等价与对于一切，，且均正， 即， 令，代入可得，解得， 因为，所以， 又， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 由①②得，， 由不等式③得， 令，则， 故在上单调递增，又， 所以时，③成立， 故的取值范围是. 【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程； 当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $