专题01 数列（17种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题01 数列 题型概览 题型01确定数列中的最大（小）项 题型02利用an与sn关系求通项或项 题型03根据数列递推公式写出数列的项 题型04由递推数列研究数列的有关性质 题型05等差数列通项公式的基本量计算 题型06由递推关系证明数列是等差数列 题型07利用等差数列的性质计算 题型08等差数列前n项和的基本量计算 题型09求等差数列前n项和的最值 题型10等差数列的简单应用 题型11等比中项的应用 题型12写出等比数列的通项公式 题型13等比数列通项公式的基本量计算 题型14求等比数列前n项和 题型15等比数列前n项和的基本量计算 题型16等比数列的简单应用 题型17数学归纳法 ( 题型01 ) 确定数列中的最大（小）项 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·浙江宁波·期末）已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ( 题型0 2 ) 利用an与sn关系求通项或项 1.（21-22高二上·浙江台州·期末）已知数列的前n项和，则该数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高二下·浙江舟山·期末）已知数列满足，则 ，数列前项和是 . 3.（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. ( 题型0 3 ) 根据数列递推公式写出数列的项 1.（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高二上·浙江舟山·期末）在数列中，，（n∈），若，则当取得最小值时，整数的值为 . 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（ m 为正整数），  若，则 m 所有的可能取值为 ( 题型0 4 ) 由递推数列研究数列的有关性质 1.（21-22高三上·浙江绍兴·期末）设数列的前项的和为，已知，若，则（ ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知数列中，，若前项和为，则 ． ( 题型0 5 ) 等差数列通项公式的基本量计算 1.（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知数列是等差数列，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 问题：已知等差数列为其前n项和，若______________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知数列满足． (1)若是公差为的等差数列的前n项和，求的值； (2)若，，且数列单调递增，数列单调递减，令，求证：． ( 题型0 6 ) 由递推关系证明数列是等差数列 1.（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知正项数列的前n项和为．若（且）． (1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求前n项和． ( 题型0 7 ) 利用等差数列的性质计算 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知等差数列，则是成立的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知等差数列，，= 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在等差数列中，，则 ． ( 题型 8 ) 等差数列前n项和的基本量计算 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·浙江杭州·期末）设等差数列前n项和为，若，则公差d的取值范围为 ． 3.（21-22高二上·浙江绍兴·期末）已知等差数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)求的值. ( 题型 9 ) 求等差数列前n项和的最值 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（    ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）设为数列的前项和，若，则的最小值为 . 3．（22-23高二上·浙江杭州·期末）等差数列的前项和为，已知，，求 (1)数列通项公式； (2)的前项和的最小值. ( 题型 10 ) 等差数列的简单应用 1.（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m 2.（21-22高三上·浙江金华·期末）小明父母为了改善居家条件，10月1日用分期付款的方式去商家购买总价为12000元的空调，首付2000元，以后每月1日付给商家500元和截止上月全部欠款的利息（月利率为1%），直到贷款讫清.若当年11月1日算第一次付款，则第10次应付 元，购买空调共花了 元. ( 题型 11 ) 等比中项的应用 1.（20-21高二下·浙江·期末）已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高二下·浙江丽水·期末）已知等差数列的首项，公差，且,,成等比数列，则 .若数列的通项，则的前项和 . ( 题型 12 ) 写出等比数列的通项公式 1.（20-21高二下·浙江温州·期末）已知数列是正项等比数列，，，则（    ） A．32 B．24 C．6 D．8 2.（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足若为最大项，则 . 3.（22-23高三上·浙江宁波·期末）已知正项数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)，证明：. ( 题型 13 ) 等比数列通项公式的基本量计算 1．（21-22高二上·浙江湖州·期末）已知等比数列的公比为正数，且，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 2.（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知正项等比数列，，且，，成等差数列，则 ． 3.（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列 (1)若，且为等比数列，求数列的通项公式； (2)若，求证：存在m，使得为等差数列； (3)若存在m，满足是等比数列，求n的最大值. ( 题型 14 ) 求等比数列前n项和 1.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．51 B． C． D． 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）数列的前项和为 ． 3.（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知数列满足，，， (1)令，求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. ( 题型 15 ) 等比数列前n项和的基本量计算 1.（22-23高二上·浙江湖州·期末）已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . ( 题型 16 ) 等比数列的简单应用 1.（22-23高二上·浙江金华·期末）小芳“双”以分期付款的方式购买一台标价元的笔记本电脑，购买当天付了元，以后的八个月，每月日小芳需向商家支付元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息（月利率为），若月算分期付款的首月，则第个月小芳需要给商家支付（    ） A．550元 B．560元 C．570元 D．580元 2.（22-23高二上·浙江丽水·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则 ．（，，） 3.（23-24高二上·浙江金华·期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． ( 题型 17 ) 数学归纳法 1.（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 2.（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，则（    ） A．126 B．144 C．162 D．180 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）定义若数列的前n项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A．，数列为递增数列 B．，使得数列为递减数列 C．及正整数，使得成等比数列 D．，数列的最小项为 4．（22-23高二上·浙江金华·期末）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（    ） A．若a，b，c成等差数列，则成等比数列 B．若a，b，c成等比数列，则成等比数列 C．若a，b，c成等差数列，则成等比数列 D．若成等比数列，则a，b，c成等比数列 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 四、解答题 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 10．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列前项的和. 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” (1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． (2)数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列 题型概览 题型01确定数列中的最大（小）项 题型02利用an与sn关系求通项或项 题型03根据数列递推公式写出数列的项 题型04由递推数列研究数列的有关性质 题型05等差数列通项公式的基本量计算 题型06由递推关系证明数列是等差数列 题型07利用等差数列的性质计算 题型08等差数列前n项和的基本量计算 题型09求等差数列前n项和的最值 题型10等差数列的简单应用 题型11等比中项的应用 题型12写出等比数列的通项公式 题型13等比数列通项公式的基本量计算 题型14求等比数列前n项和 题型15等比数列前n项和的基本量计算 题型16等比数列的简单应用 题型17数学归纳法 ( 题型01 ) 确定数列中的最大（小）项 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值. 【详解】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 2．（21-22高二上·浙江宁波·期末）已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解. 【详解】由条件有， 当时，，即； 当时，，即. 即， 所以取得最大值时n的值为. 故选：C ( 题型0 2 ) 利用an与sn关系求通项或项 1.（21-22高二上·浙江台州·期末）已知数列的前n项和，则该数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，当时，，得到答案. 【详解】当时，. 当时，，不符合上式； 所以数列的通项公式为. 故选：D. 2.（20-21高二下·浙江舟山·期末）已知数列满足，则 ，数列前项和是 . 【答案】 【分析】讨论时，求出，时，两式相减求得，进而得到通项公式，最后用裂项法求和. 【详解】时，； 时，，两式相减得：，当时满足题意. ∴. ∴，∴前项和为：. 故答案为：. 3.（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）计算得出，利用裂项法可求得. 【详解】（1）解：当时，， 当且时，， 不满足， 综上所述，. （2）解：因为， 所以，， 因此， . ( 题型0 3 ) 根据数列递推公式写出数列的项 1.（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合递推公式求得即可判断. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故选：B 2.（22-23高二上·浙江舟山·期末）在数列中，，（n∈），若，则当取得最小值时，整数的值为 . 【答案】4 【分析】由递推关系式求得值，结合即可得解. 【详解】，，， ，，， ， 又，则当取得最小值时，整数的值为4. 故答案为：4. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（ m 为正整数），  若，则 m 所有的可能取值为 【答案】16或2 【分析】根据，且，利用递推求解. 【详解】解：因为，且， 所以或（舍去）； 或； 或或0（均舍去）， 故答案为：16或2 ( 题型0 4 ) 由递推数列研究数列的有关性质 1.（21-22高三上·浙江绍兴·期末）设数列的前项的和为，已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式两边同时取倒数，运用叠加法求出，根据题意即可选出答案. 【详解】由题意可知，， 因为， 所以，即. 令，得， 令，得， 令，得， 令，得， 令，得， 上式相加，得， 即，所以， 因为， 所以，所以，即. 故选：C 2.（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知数列中，，若前项和为，则 ． 【答案】 【分析】由题意将变形，结合裂项相消法求和即可求解. 【详解】由题意， 所以 . 故答案为：. ( 题型0 5 ) 等差数列通项公式的基本量计算 1.（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知数列是等差数列，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式先求公差，再求 【详解】，， ， 则， ， 故选：C 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 问题：已知等差数列为其前n项和，若______________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）选①由与的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂项相消法证明即可. 【详解】（1）若选①：在等差数列中，， 当时，， 也符合， ∴； 若选②：在等差数列中， ， ，解得 ； 若选③：在等差数列中， ，解得 ； （2）证明：由（1）得， 所以 3．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知数列满足． (1)若是公差为的等差数列的前n项和，求的值； (2)若，，且数列单调递增，数列单调递减，令，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）由，对进行赋值，列出方程组，求解即得； （2）由题设，将分成奇数与偶数两情况，化简得和，消元得，求得和，即得通项，利用裂项相消法，分奇偶求得，即可证明. 【详解】（1）依题意，，， 由对恒成立，且， 则得，，将①②③式两边平方，得：， 由④+⑤-⑥可得：，由④2-⑤可得，， 联立两式，解得：，.(不合题意，舍去)； （2）由题意， 故当时， 当时， 两式相减得，，故有，即为奇数时，, 又当为奇数时，，故，即为偶数时，. 综上可得， 则， 当为奇数时， 当为偶数时， 综上可得，. ( 题型0 6 ) 由递推关系证明数列是等差数列 1.（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】首先根据递推公式变形得到，再根据等差数列的定义求数列的通项公式，变形后求的值. 【详解】由题意，易知， 由，两边取倒数得，即， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 所以，即， 则. 故答案为：. 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知正项数列的前n项和为．若（且）． (1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求； （2）由已知先求，根据错位相减即可求和． 【详解】（1）由题意得：当时， ， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 则， 所以， 当时，， 由于不适合上式， 故； （2）当时，， 当时， ， 所以， 当时，， ， 相减得， 故，此时也适合， 故． ( 题型0 7 ) 利用等差数列的性质计算 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知等差数列，则是成立的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】正面证明得到充分性成立，举反例否定必要性即可. 【详解】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立，设首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立，无法推出，可得必要性不成立，即则是成立的充分不必要条件. 故选:B 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知等差数列，，= 【答案】e 【分析】由等差中项的性质计算即可. 【详解】由等差数列性质可知：， 又，故. 故答案为：e 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在等差数列中，，则 ． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故答案为：6 ( 题型 8 ) 等差数列前n项和的基本量计算 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式判断各项等式是否能求出，即可得答案. 【详解】若等差数列的公差为， A：，能求出，不符； B：，不能求出，符合. C：，能求出，不符； D：，能求出，不符； 故选：B 2.（23-24高二上·浙江杭州·期末）设等差数列前n项和为，若，则公差d的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】由题设得，即，由此推导的，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为， 则，即， 则，， 故公差d的取值范围为或. 故答案为：或 3.（21-22高二上·浙江绍兴·期末）已知等差数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)求的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】(1)设出等差数列的公差，借助前项和公式列式计算作答. (2)由(1)的结论借助裂项相消去求解作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因，，则，解得， 于是得，， 所以数列的通项公式为，前项和. （2）由(1)知，， 所以. ( 题型 9 ) 求等差数列前n项和的最值 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（    ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可判断其公差，即判断AC，再利用前项和公式即可判断BD. 【详解】对A，因为等差数列，则，则，故A错误； 对B，设等差数列的公差为，则，则， 则的最小值为，故B正确； 对C，因为，则数列为递增数列，故C错误； 对D，因为，，则， 则，故D错误. 故选：B. 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）设为数列的前项和，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式计算即可求解. 【详解】易知， 由二次函数性质得，对称轴为，结合一定为正整数， 故在时，取得最小值，此时最小值为. 故答案为：. 3．（22-23高二上·浙江杭州·期末）等差数列的前项和为，已知，，求 (1)数列通项公式； (2)的前项和的最小值. 【答案】(1) (2)-30 【分析】（1）根据数列的基本公式求出通项公式， （2）根据（1）表达出，利用二次函数性质求出的最小值. 【详解】（1）由已知得， 解得， 所以. （2）. 当或6时，有最小值-30. ( 题型 10 ) 等差数列的简单应用 1.（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m 【答案】C 【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成是半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前项和公式求总和即可. 【详解】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：， 可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：， 且. 由等差数列的求和公式得： 故选：C 2.（21-22高三上·浙江金华·期末）小明父母为了改善居家条件，10月1日用分期付款的方式去商家购买总价为12000元的空调，首付2000元，以后每月1日付给商家500元和截止上月全部欠款的利息（月利率为1%），直到贷款讫清.若当年11月1日算第一次付款，则第10次应付 元，购买空调共花了 元. 【答案】 555 13050 【分析】每次还款额成等差数列，分别求，. 【详解】依题题意，每次还款额成等差数列，则 ， ， ， 一共要还期， 本息一共要还， 故答案为：555，13050. ( 题型 11 ) 等比中项的应用 1.（20-21高二下·浙江·期末）已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列前项和满足，分别求出前3 项，利用等比数列中，求出，再根据数列是递增的，且，利用中求出实数的取值范围 【详解】解：因为等比数列前项和满足（）， 所以， ， ， 因为等比数列中， 所以，解得或（舍去）， 所以， 因为数列是递增的， 所以， 所以， 因为，所以， 故选：C 2.（20-21高二下·浙江丽水·期末）已知等差数列的首项，公差，且,,成等比数列，则 .若数列的通项，则的前项和 . 【答案】 【分析】根据,,成等比数列求出等差数列的公差，然后得到，进一步得到，最后使用裂项相消法求和得到 【详解】由题可知：,,成等比数列，所以 则，又，，所以 所以，则 所以 所以 故答案为：， ( 题型 12 ) 写出等比数列的通项公式 1.（20-21高二下·浙江温州·期末）已知数列是正项等比数列，，，则（    ） A．32 B．24 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，，又因为数列是正项等比数列，所以数列的首项是，公比为，则，故，所以， 故选：A 2.（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足若为最大项，则 . 【答案】5或6 【分析】先由递推公式构造数列，得到等比数列，求出通项公式，借助指数函数性质，得到最大项时的项数. 【详解】由得，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而可得到， 所以最大项是第5项或第6项，故或 故答案为：或 3.（22-23高三上·浙江宁波·期末）已知正项数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)，证明：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）由已知得，得到是以为公比的等比数列，求出通项公式； （2）求出，利用裂项相消法即可求证. 【详解】（1）由，， 得，又， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）证明：因为 ， 所以 . ( 题型 13 ) 等比数列通项公式的基本量计算 1．（21-22高二上·浙江湖州·期末）已知等比数列的公比为正数，且，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出 【详解】设等比数列的公比为（）， 由题意得，且，即， ， 因为，所以，， 故选：D 2.（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知正项等比数列，，且，，成等差数列，则 ． 【答案】/ 【分析】由，，成等差数列可得，求出公比，从而求出数列的通项公式，即可求解. 【详解】设数列的公比为， 由题意知，，成等差数，则，即，解得或（舍）， 所以数列的通项公式为，则. 故答案为：. 3.（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列 (1)若，且为等比数列，求数列的通项公式； (2)若，求证：存在m，使得为等差数列； (3)若存在m，满足是等比数列，求n的最大值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3)5 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的性质求解即可； （2）求出特例，将时，构成等差数列，即可证明； （3）当时，不妨记为，则为等比数列，，可以看出不符合题意，且最多只能有两个来自数列，再验证是否满足即可. 【详解】（1）由已知得， 是等差数列，， ， 为等比数列， ，， 是等比数列，或； （2）当时，， 构成等差数列； （3）设等差数列的公差为， 当时，则中至少有3项来自数列， 不妨记为，则为等比数列， ， ， 舍去， 且最多只能有两项来自数列， 当时，来自数列， 取或， 构造等差数列， 此时为有5项的等比数列. 所以n的最大值为 ( 题型 14 ) 求等比数列前n项和 1.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．51 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出公比后由等比数列的前项和公式得结论． 【详解】记公比为，则，即，所以， 从而， 故选：C． 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】设数列的前项和为，利用错位相减法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】设数列的前项和为， 则， 可得， 两式相减得：， 所以. 故答案为：. 3.（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知数列满足，，， (1)令，求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列定义证明. （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）∵，即 ∴数列是以首项为，公比为等比数列. （2）由（1）可知： ∴① ② 故①-② ( 题型 15 ) 等比数列前n项和的基本量计算 1.（22-23高二上·浙江湖州·期末）已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案. 【详解】当时，，故，， 当时，，分以下几种情况， 当时，，此时； 当时，，此时， 当时，，此时； 当时，，此时； 故当时，与可正可负，故排除A、C. 当时， ，故， ； 当时，，由于与同号，故， 所以符号随正负变化，故D不正确，B正确； 故选：B 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 【答案】 【分析】由等比数列性质得到，设出公比，由求出，从而得到，相加得到答案. 【详解】由等比数列性质得，又，所以， 设公比为，由得，， 故， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： ( 题型 16 ) 等比数列的简单应用 1.（22-23高二上·浙江金华·期末）小芳“双”以分期付款的方式购买一台标价元的笔记本电脑，购买当天付了元，以后的八个月，每月日小芳需向商家支付元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息（月利率为），若月算分期付款的首月，则第个月小芳需要给商家支付（    ） A．550元 B．560元 C．570元 D．580元 【答案】B 【分析】准确理解题意，代入数据计算即可. 【详解】第3个月小芳需要给商家支付元. 故选：B. 2.（22-23高二上·浙江丽水·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则 ．（，，） 【答案】1472 【分析】根据条件建立等量关系，构造新数列求通项即可. 【详解】由题意可得，所以， 即， 故. 故答案为：1472. 3.（23-24高二上·浙江金华·期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 【答案】(1)公司：（元）；公司：（元） (2)从公司得到的报酬较多 【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资； （2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断. 【详解】（1）选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元, 则他第年的月工资是：（元）； 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增． 则他第年的月工资（元）． （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为： 公司A： （元）． 公司B：（元）， 因为，故从公司得到的报酬较多. ( 题型 17 ) 数学归纳法 1.（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【详解】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D 2.（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）首先根据题意得到，再求，，即可. （2）首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由可知， 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； （2）猜想数列的通项公式为. 当时，左边，右边，成立. （2）假设当时，成立. 则当时，有， 即当时，也成立. 所以对任何都成立. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，则（    ） A．126 B．144 C．162 D．180 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 由，解得， 由，解得， 所以， 所以， 所以 故选： 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）定义若数列的前n项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，结合，且恒成立，得到，或者，列出不等式，即可求得取值范围． 【详解】解：因为， 当时，， 当时，，满足上式， 故 因为， 所以即， 所以，即 因为，且恒成立， 所以，或者， 即或者， 解得或者， 所以 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A．，数列为递增数列 B．，使得数列为递减数列 C．及正整数，使得成等比数列 D．，数列的最小项为 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，再结合二次函数分析单调性，即可求解. 【详解】由已知可得：， ， 要使得数列为递增数列，则当时，满足， 即，故A错误； 由可得：， 根据一次函数单调性可知数列为递增数列，故B错误； 不妨令，则 满足，此时成等比数列，故C正确； ， 要使得数列的最小项为，则需要满足， 解得，故D错误； 故选：C. 4．（22-23高二上·浙江金华·期末）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项可得，可得，进而得到，即可对讨论,结合选项逐一求解. 【详解】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得，， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 对于B，时，，，若数列单调递增， 则，即，由，需要，故B选项错误； 对于C，时，，解得，时，， 由，若数列单调递减，则， 即，而不能满足（）恒成立，C选项错误； 对于D，时，，解得或， 由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题设结合等差数列的通项公式求出，进而得到，从而一一分析各选项即可求解. 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（    ） A．若a，b，c成等差数列，则成等比数列 B．若a，b，c成等比数列，则成等比数列 C．若a，b，c成等差数列，则成等比数列 D．若成等比数列，则a，b，c成等比数列 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用等差中项、等比中项的定义判断BC. 【详解】对于A，取，满足成等差数列，而不成等比数列，A错误； 对于B，由成等比数列，得，则，成等比数列，B正确； 对于C，由成等差数列，得，则，成等比数列，C正确； 对于D，取，成等比数列，显然不成等比数列，D错误. 故选：BC 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】运用累和法结合等差数列的前项和公式数列通项、裂项相消法求得，即可判断ABC选项，利用作差法判断D选项. 【详解】由题意可知：，于是有，，即， 由累加法可知， 显然可得： ，A选项正确， ，B选项不正确； ， 由错位相减可得，C选项正确； 令，∵，即，∴，即，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 【答案】1078 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据求的取值范围. 【详解】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以，故. 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求的通项公式，即可证结论； （2）根据已知求得数列的公差，再求即可. 【详解】（1）若的公差为，则， 所以，则， 故， 即是首项为，公差为的等差数列，得证； （2）由题设，则数列的公差， 所以，则. 10．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由（1）可得数列的通项公式，然后由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）①当时，或（舍去）， ②当时，， ， 上述两式相减，整理得，又， 所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列， . （2）由（1）知， 所以， . 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件结合等比中项的性质及等差数列通项公式列方程求，由此可求数列数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）由题意知，，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，， 则① ② ①②得， ， ， ， 所以. 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” (1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． (2)数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 【答案】(1)存在“完美互补子列”，不存在. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据“完美互补子列”的概念和性质进行判断即可. （2）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明. 【详解】（1）对A选项：取：，；取：，. 则和是数列1，2，3，4的一对“完美互补子列”. 对B选项：因为， 假设该数列存在一对“完美互补子列”和， 则和的各项和为，但中各项均为偶数， 所以和的各项和为不可能成立. 故数列2，，，，，不存在“完美互补子列”. （2）（i）当时，因为， 所以…. 不妨令中的各项为：，； 中的各项为：. 则与中所有项的和均为. 所以时，数列存在“完美互补子列”. 当时，只需将中，中的移到中， 将放入中，将放入中，此时与中的和均在原来的基础上增加了， 所以，数列存在“完美互补子列”. （ii）当时，数列有对“完美互补子列”， 对的一对“完美互补子列”，比如： 中的各项为：，； 中的各项为：. ①将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ②将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ③将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； 所以时的一对“完美互补子列”，时，都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问中，证明的方法，就是说明时的一对“完美互补子列”，时都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$