专题01 平面向量及其应用（19种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平行向量（共线向量） 题型02向量加法法则的几何应用 题型03向量减法的法则 题型04向量的线性运算的几何应用 题型05基底的概念及辨析 题型06数量积的运算律 题型07已知数量积求模 题型08垂直关系的向量表示 题型09用基底表示向量 题型10平面向量基本定理的应用 题型11用坐标表示平面向量 题型12平面向量线性运算的坐标表示 题型13由向量共线（平行）求参数 题型14向量与几何最值 题型15余弦定理解三角形 题型16正弦定理解三角形 题型17正弦定理边角互化的应用 题型18求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型19正、余弦定理的其他应用 ( 题型01 ) 平行向量（共线向量） 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 ( 题型0 2 ) 向量加法法则的几何应用 1．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，若，，则点M在（    ） A．的角平分线所在的直线上 B．线段的垂直平分线上 C．边所在直线上 D．边的中线上 2．（21-22高三上·浙江·期末）如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（20-21高一下·浙江·期末）在中，长为的是边的高，若，则（    ） A． B． C． D．是正三角形 ( 题型0 3 ) 向量减法的法则 1.（23-24高二下·浙江·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）下列各向量运算的结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 ) 向量的线性运算的几何应用 1.（20-21高一下·浙江·期末）如图所示，已知在中，O是重心，则（     ） A． B． C． D． 2.（多选）（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 基底的概念及辨析 1.（20-21高一下·浙江·期末）设为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2.（多选）（20-21高一下·浙江·期末）下列命题正确的是（    ） A． B．单位向量，满足 C．对于向量，有恒成立 D．向量，能作为所在平面内的一组基底 ( 题型0 6 ) 数量积的运算律 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．1或2 2.（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则 . ( 题型0 7 ) 已知数量积求模 1.（20-21高一下·浙江衢州·期末）平面向量两两的夹角相等，且不为0，且，，则（    ） A．7 B．11 C． D． 2.（20-21高一下·浙江·期末）已知平面向量，满足，则的最大值为 ． 3.（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知向量满足． (1)若，求||的值； (2)若，求的值． ( 题型 8 ) 垂直关系的向量表示 1.（20-21高一下·浙江·期末）在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（    ） A．4 B．8 C． D． 2.（20-21高一下·浙江绍兴·期末）已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值是 . 3.（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． ( 题型 9 ) 用基底表示向量 1.（20-21高一下·浙江·期末）在平行四边形中，点N为对角线上靠近A点的三等分点，连结，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·浙江温州·期末）在中，为所在平面内的两点，，，则的值为 . 3.（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点. (1)用，表示； (2)求线段的长. ( 题型 10 ) 平面向量基本定理的应用 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在梯形ABCD中，∥，且（），若则（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·浙江宁波·期末）已知为内一点，，则，的面积之比为 ． 3.（23-24高一下·浙江温州·期末）已知是单位向量，满足，记与夹角为． (1)求； (2)若平面向量在上的投影向量为，求． ( 题型 11 ) 用坐标表示平面向量 1.（20-21高一下·浙江·期末）已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）（20-21高一下·浙江·期末）如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 ( 题型 12 ) 平面向量的线性运算的坐标表示 1．（21-22高一下·浙江金华·期末）知向量，则（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ( 题型 13 ) 由向量共线（平行）求参数 1.（20-21高一下·浙江·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知向量，若，则 . 3.（23-24高一上·浙江金华·期末）已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． ( 题型 14 ) 向量与几何最值 1.（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 2.（20-21高一下·浙江·期末）设．若平面上点满足，对于任意，有，则的最小值为 ，此时 ． 3.（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. ( 题型 15 ) 余弦定理解三角形 1.（22-23高一上·浙江杭州·期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．（21-22高一下·浙江湖州·期末）已知在中，的角平分线交线段于，则 . 3.（20-21高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，设，，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，点满足，求的长. ( 题型 16 ) 正弦定理解三角形 1.（23-24高一下·浙江杭州·期末）在中，角对应的边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·浙江·期末）平面四边形中，，，，，，则 . ( 题型 17 ) 正弦定理边角互化的应用 1.（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·浙江·期末）在中，，的外接圆的半径是，则角 ． 3．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，请在①；②； 这两个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，点在的延长线上，且，求的长. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分. ( 题型 18 ) 求三角形中的边长或周长的最值或范围 1.（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 2．（21-22高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若，求的值; (2)若在锐角中，角所对的边分别为，已知，求 的周长的取值范围. ( 题型 19 ) 正、余弦定理的其他应用 1.（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 2.（20-21高一下·浙江·期末）在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 4．（20-21高一下·浙江温州·期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知边长为的正边形.若集合且，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列四个命题为真命题的是（    ） A．已知平面向量，若，，则 B．若，，则可作为平面向量的一组基底 C．，，若，则 D．，，则在方向上的投影向量为 三、填空题 7．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知向量与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为 ． 8．（23-24高一下·浙江丽水·期末）在中，为边上的高，，，为边上一点，且，则 ． 9．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，壕股塔位于嘉兴南湖西侧的南湖渔村中，某项目化学习小组为了测量其高度，选取与塔底O在同一水平面的三个测量点A，B，C，分别测得塔顶P点的仰角为30°，45°，30°，延长AB交OC于点D，经测量D为OC上靠近O点的三等分点，B为AD的中点，米，则塔高 米． 四、解答题 10．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 12．（23-24高一下·浙江丽水·期末）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. (1)当时，求四边形的周长； (2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值. 13．（21-22高一下·浙江湖州·期末）如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 (1)若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； (2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平行向量（共线向量） 题型02向量加法法则的几何应用 题型03向量减法的法则 题型04向量的线性运算的几何应用 题型05基底的概念及辨析 题型06数量积的运算律 题型07已知数量积求模 题型08垂直关系的向量表示 题型09用基底表示向量 题型10平面向量基本定理的应用 题型11用坐标表示平面向量 题型12平面向量线性运算的坐标表示 题型13由向量共线（平行）求参数 题型14向量与几何最值 题型15余弦定理解三角形 题型16正弦定理解三角形 题型17正弦定理边角互化的应用 题型18求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型19正、余弦定理的其他应用 ( 题型01 ) 平行向量（共线向量） 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】若与共线且，同向共线时，反向共线时，充分性不成立； 若，而，则与反向共线，必要性成立； 所以“与共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【答案】C 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. ( 题型0 2 ) 向量加法法则的几何应用 1．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，若，，则点M在（    ） A．的角平分线所在的直线上 B．线段的垂直平分线上 C．边所在直线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】利用单位向量和向量加法的几何意义求解即可. 【详解】因为和是方向上的单位向量， 所以是的角平分线所在的直线上的向量， 故在的角平分线所在的直线上， 则点M在的角平分线所在的直线上. 故选：A 2．（21-22高三上·浙江·期末）如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而依次讨论即可得答案. 【详解】解：根据题意得，所以， 所以由于各向量间的夹角未知，故，均不一定成立， 故C选项正确，A，B，D选项错误； 所以C 3．（多选）（20-21高一下·浙江·期末）在中，长为的是边的高，若，则（    ） A． B． C． D．是正三角形 【答案】AC 【分析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据化简整理得出，再然后根据单位向量的性质以及向量运算法则得出是顶角为的等腰三角形，最后根据即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像： 因为是边的高，， 所以，即， ，， 因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以易知是顶角为的等腰三角形， 因为，所以，，， 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考查单位向量的性质以及向量运算法则的应用，能否根据得出是解决本题的关键，考查推理能力，体现了转化与化归思想，是中档题. ( 题型0 3 ) 向量减法的法则 1.（23-24高二下·浙江·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法运算法则分别对四个选项进行判断. 【详解】，故A、B错误； ，故C错误； 由平行四边形法则可知，故D正确； 故选：D． 2．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）下列各向量运算的结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据向量加、减法的运算法则逐项判断即可. 【详解】如图，以，为临边作平行四边形， 则，，，， 所以与相等的是. 故选：C 3．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平面向量减法法则即可得到. 【详解】. 故选：B. ( 题型0 4 ) 向量的线性运算的几何应用 1.（20-21高一下·浙江·期末）如图所示，已知在中，O是重心，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接并延长交于点，则是的中点，，，进而用三角形法则可以求得. 【详解】连接并延长交于点，因为是重心，则是的中点. ， 所以. 故选：B. 2.（多选）（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同. 【详解】由题知，点是线段的三等分点， 所以，，， 对于A：且方向相同，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项错误； 对于C：，所以，C选项错误； 对于D：且方向相同，所以，D选项正确； 故选：AD. ( 题型0 5 ) 基底的概念及辨析 1.（20-21高一下·浙江·期末）设为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理可知，只有不共线的两个向量才能做基底，即可求解． 【详解】解：由题意可知，是不共线的两个向量， 可以判断选项，，都可以做基底， 选项，，故选项不能做基底． 故选：． 2.（多选）（20-21高一下·浙江·期末）下列命题正确的是（    ） A． B．单位向量，满足 C．对于向量，有恒成立 D．向量，能作为所在平面内的一组基底 【答案】BCD 【分析】根据向量减法法则用终点减去起点得，;单位向量模为1，且，所以;，其中；不共线的两个非零向量可以作为所在平面内的一组基底. 【详解】A.根据向量减法法则用终点减去起点得，,故A错； B.单位向量模为1，且，所以，故B对； C. ，其中，故C对 ； D. 向量，不共线且非零，故可以作为所在平面内的一组基底，故D对. 故选：BCD 【点睛】对于向量的基础概念要比较熟练，向量的数量积运算，向量的模的计算，以及平面内基底的要求等等. ( 题型0 6 ) 数量积的运算律 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．1或2 【答案】C 【分析】根据题意得到或，然后利用数量积的运算律求模即可. 【详解】设的夹角为，则或， ，，， ， 当时，， 当时，. 故选：C. 2.（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则 . 【答案】3 【分析】利用向量数量积的运算法则与定义即可得解. 【详解】依题意，连接，如图， 因为是直径，所以， 所以，， 所以 . 故答案为：3. ( 题型0 7 ) 已知数量积求模 1.（20-21高一下·浙江衢州·期末）平面向量两两的夹角相等，且不为0，且，，则（    ） A．7 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积化简求解即可. 【详解】平面向量两两的夹角相等，即夹角均为，，， 则 ， 故选：C. 2.（20-21高一下·浙江·期末）已知平面向量，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，根据，平方得到，再利用二次函数性质求最大值即可. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以，， 整理得：， 所以当时，取得最大值为，即. 故答案为： 3.（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知向量满足． (1)若，求||的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）将两边平方化简求解即可； （2）将两边平方化简得到，根据求解即可 【详解】（1）∵  ∴，∴，即 （2），∴，即 ． ( 题型 8 ) 垂直关系的向量表示 1.（20-21高一下·浙江·期末）在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为，连接，可得及，利用数量积的运算律及中线向量公式可求． 【详解】取的中点为，连接， 因为，故，故， 又， 故选：B． 2.（20-21高一下·浙江绍兴·期末）已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值是 . 【答案】 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，向量，满足，， 因为，可得，可得， 所以，即则与夹角的余弦值是. 故答案为：. 3.（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. ( 题型 9 ) 用基底表示向量 1.（20-21高一下·浙江·期末）在平行四边形中，点N为对角线上靠近A点的三等分点，连结，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘，平行四边形法则以及向量的加减法运算即可求出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A 2.（23-24高二下·浙江温州·期末）在中，为所在平面内的两点，，，则的值为 . 【答案】12 【分析】通过向量的线性运算，用向量分别表示，然后求出数量积. 【详解】因为在中，， 所以为正三角形， 因为, , 所以 ， 故答案为：12. 3.（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点. (1)用，表示； (2)求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算直接可得解； （2）根据转化法可得向量的模. 【详解】（1）由已知， 且为的中点， 则四边形为平行四边形，为等边三角形， 即， 又为的中点， 则， 即； （2）由已知，，三点共线， 则， 又因为，，三点共线，则有，解得， 故有， 所以. ( 题型 10 ) 平面向量基本定理的应用 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在梯形ABCD中，∥，且（），若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示，再对照可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为不共线， 所以，所以， 故选：D 2.（20-21高一下·浙江宁波·期末）已知为内一点，，则，的面积之比为 ． 【答案】 【分析】取的中点，的中点，然后利用已知化简得到，利用面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，由，得， 取为中点，为中点，则， 所以． 故答案为：. 3.（23-24高一下·浙江温州·期末）已知是单位向量，满足，记与夹角为． (1)求； (2)若平面向量在上的投影向量为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，，由结合数量积的运算可得，即可得结果； （2）设，结合题意列式解得，结合模长与数量积的运算律分析求解. 【详解】（1）因为，则， 若，则， 即，可得， 且，所以. （2）由（1）可知：，， 由题意可设， 因为平面向量在上的投影向量为，则， 由题意可得：，可得，解得， 则，可得， 所以. ( 题型 11 ) 用坐标表示平面向量 1.（20-21高一下·浙江·期末）已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点求出，由向量只与大小和方向有关，与位置无关可判断. 【详解】点，， 将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，向量的大小和方向没有变化， . 故选：C. 2.（多选）（20-21高一下·浙江·期末）如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】，则，故A正确；，故B正确；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确. 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：由于，故在上的投影为，故D正确。 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义，关键在于紧扣新定义，进行向量的坐标运算和模的计算，向量的投影的计算，以及向量的数量积的计算. ( 题型 12 ) 平面向量的线性运算的坐标表示 1．（21-22高一下·浙江金华·期末）知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标的减法运算计算即可. 【详解】因为，所以 ＝． 故选：D． 2.（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点， 又因为，， 所以， 即， 所以，解得 所以点的坐标为. 故选：C. ( 题型 13 ) 由向量共线（平行）求参数 1.（20-21高一下·浙江·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标关系，代入关系式即可求得的值． 【详解】因为，若，则，解得. 故选：B 2.（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】先求，然后由平行向量的坐标表示可得. 【详解】因为，所以 又，所以，即. 故答案为： 3.（23-24高一上·浙江金华·期末）已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由题意，设． ，， ，或． （2），， ，即，． 设与的夹角为，则． 又，，与的夹角为． ( 题型 14 ) 向量与几何最值 1.（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 【详解】由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接,由于，则≌,    而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 故选：B． 2.（20-21高一下·浙江·期末）设．若平面上点满足，对于任意，有，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 6 【分析】由可知点P到直线AB的距离为3，设AB的中点为O，则，由即可求最值及 【详解】由可知点P到直线AB的距离为3. 设AB的中点为O，则 ； 此时． 故答案为：，6 3.（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【详解】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得 ( 题型 15 ) 余弦定理解三角形 1.（22-23高一上·浙江杭州·期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出的值即可求解. 【详解】因为在中，，，，由余弦定理可得： ，所以，也即， 解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个， 故选：. 2．（21-22高一下·浙江湖州·期末）已知在中，的角平分线交线段于，则 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求得，解直角三角形求得. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以， 由于， 在直角三角形中，. 故答案为： 3.（20-21高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，设，，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，点满足，求的长. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可． （Ⅱ）利用余弦定理求解，推出，然后利用平方，求解模即可． 【详解】解：（Ⅰ）因为，，且，所以， ，即， 解得或， 因为，所以. （Ⅱ）因为，所以，解得或（舍去）， 又因为，所以， ， 即， 所以的长为 ( 题型 16 ) 正弦定理解三角形 1.（23-24高一下·浙江杭州·期末）在中，角对应的边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据内角和求B的值，然后再根据正弦定理求a的值. 【详解】由题意得, 由正弦定理得 ,则 , 故选:B. 2.（20-21高一下·浙江·期末）平面四边形中，，，，，，则 . 【答案】7 【分析】做出四边形，然后先在三角形中，利用正弦定理求出，进而求出，最后在中利用余弦定理求出的值． 【详解】如图所示：由已知得，，，，． 在中，由正弦定理得：，解得， 因为，所以， 在中设，由余弦定理得：， 即，化简得， 解得，故的长度为7． 故答案为：7． ( 题型 17 ) 正弦定理边角互化的应用 1.（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理得，所以， 则， 所以，则， 所以， 故选：C 2.（20-21高一下·浙江·期末）在中，，的外接圆的半径是，则角 ． 【答案】 【分析】根据条件结合正弦定理化简条件得，利用余弦定理求得角C. 【详解】三角形ABC外接圆半径，结合正弦定理知， 题设条件等价于， 即，由余弦定理知， ，又，故， 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，化简得到边与边的关系，从而利用余弦定理求解角. 3．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，请在①；②； 这两个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，点在的延长线上，且，求的长. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）若选①，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解即可；若选②，利用正弦定理化边为角，再利用三角形性质和两角和正弦公式化简得，从而求解即可； （2）利用余弦定理直接计算即可. 【详解】（1）若选①，由， 可得，由正弦定理可得：， 又由余弦定理可得：，又，故； 若选②，，即， 由正弦定理可得：， 可得，即， 又，所以，又，故； （2）由（1）知及，，所以为正三角形， 由，所以， 由余弦定理得， 所以 ( 题型 18 ) 求三角形中的边长或周长的最值或范围 1.（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理可得，然后可得，然后结合的范围求出的范围可得答案； （2）由条件可得为锐角，然后由可得，即可证明. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 因为 所以， 因为内角，都是锐角，， 所以，即，所以， 所以，所以周长的取值范围为， （2）若，则，所以为锐角， 所以，所以， 因为内角，都是锐角，所以， 所以， 所以. 2．（21-22高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若，求的值; (2)若在锐角中，角所对的边分别为，已知，求 的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简得到，将代入求解； （2）由，求得，得到外接圆的直径，然后由三角形的周长求解. 【详解】（1）解：， ， ， 因为， 所以； （2）， 即， 解得或（舍去）， 则，解得，所以外接圆的直径为， 所以三角形的周长为 ， ， ， ， 因为三角形是锐角三角形，所以， 即，解得， 则，， 所以. ( 题型 19 ) 正、余弦定理的其他应用 1.（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 2.（20-21高一下·浙江·期末）在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 【答案】（1），正西方向；（2）东偏北，分钟． 【分析】（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位； （2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知，，， 在中，由余弦定理得：， ， 由正弦定理得：， 即， 解得：， ， 船在船的正西方向． （2）由（1）知，， 设分钟后缉私艇在处追上走私船， 则，， 在中，由正弦定理得：， 解得：， ， 是等腰三角形，    缉私艇沿东偏北方向行驶分钟才能最快追上走私船． 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点的坐标求得，由平行四边形的性质有，求值即可. 【详解】由，，有， 平行四边形中，有，即， 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 4．（20-21高一下·浙江温州·期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案 【详解】设，则， ， 所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点， 所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，      则，，因为，所以， 因为，所以， 所以，， 两式相加得， 所以， 因为，所以设， 所以， 因为不共线，所以不共线，所以， 所以，， ， 所以， 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知边长为的正边形.若集合且，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用平面向量数量积的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，如下图所示： 则，， ， 同理可得，，， 故时，，A对； 对于B选项，当时，如下图所示： ，， ，此时，，B错； 对于C选项，当时，取的中点，连接，则，如下图所示： 易知正五边形的每个内角都为，则，故， 则， 由平面向量数量积的定义可得， 故当时，，C对； 对于D选项，当时，设正六边形的中心为，如下图所示： 易知正六边形的每个内角都为，则， 故，所以，， ，则， 由正六边形的几何性质可得，则， 则，结合图形可知，故， 因此，当时，，D对. 故选：ACD. 6．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列四个命题为真命题的是（    ） A．已知平面向量，若，，则 B．若，，则可作为平面向量的一组基底 C．，，若，则 D．，，则在方向上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据向量共线的坐标表示分析可知不共线，结合基底向量的定义分析判断；对于C：根据向量垂直的坐标表示运算求解；对于D：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】对于选项A：例如，可知，， 但不共线，故A错误； 对于选项B：因为，可知不共线， 所以可作为平面向量的一组基底，故B正确； 对于选项C：若，则，解得，故C错误； 对于选项D：若，，则， 所以在方向上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 7．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知向量与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为 ． 【答案】 【分析】计算出，利用求出答案. 【详解】， ， 故， 向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为： 8．（23-24高一下·浙江丽水·期末）在中，为边上的高，，，为边上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】过分别作，的平行线交于，交于，由向量加法的平行四边形法则得，结合平面向量基本定理得，分别是，的中点，然后由得到，两边平方即可求解． 【详解】如图，过分别作，的平行线交于，交于， 则，又，所以，， 因为，所以 ，所以四边形是菱形， 且，和都是等边三角形， 所以，，， ，， 因为，所以， 两边平方得：，所以. 故答案为： 9．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，壕股塔位于嘉兴南湖西侧的南湖渔村中，某项目化学习小组为了测量其高度，选取与塔底O在同一水平面的三个测量点A，B，C，分别测得塔顶P点的仰角为30°，45°，30°，延长AB交OC于点D，经测量D为OC上靠近O点的三等分点，B为AD的中点，米，则塔高 米． 【答案】60 【分析】设，设，先利用直角三角形求出其它边，在中，利用余弦定理可解. 【详解】设，设， 由，得，同理可得，， 由为OC上靠近点的三等分点，解得， 在中， 由，解得， 在中， 由， 解得． 故答案为：60 四、解答题 10．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，此时. 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 12．（23-24高一下·浙江丽水·期末）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. (1)当时，求四边形的周长； (2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值. 【答案】(1) cm (2)位置见解析， (3) 【分析】（1）结合已知条件，只需用余弦定理计算即可求周长； （2）设，由已知结合余弦定理可得，计算和的面积之和即可. （3）由定理可得，可得到的最大值，由对角互补结合余弦定理可得和角，，由角平分线性质可得，由相交弦定理可得，再用余弦定理计算，即可计算. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 所以四边形的周长为. （2）设，在中，， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为. （3），且为正三角形，，， ，即的最大值为，取等号时，， . 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 四点共圆， 由相交弦定理，得或（舍去）. 在中，， . 13．（21-22高一下·浙江湖州·期末）如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 (1)若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； (2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围； （2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可. 【详解】（1）解：由到弦的距离是，可得，故 （i）由圆的几何性质得， 故 （ii）记劣弧的中点为，且 ① ② ①+②得 进一步得： ， 其中 故的取值范围为： （2）解：记，由两边平方，得 ，又，∴ ∴ 故 又和向量的夹角为， 记， 显然关于单调递增， 所以当时， 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$