冀教八下期末真题百题大通关（79题型基础版：数据的收集与整理、平面直角坐标系、函数、一次函数、四边形）- 2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（冀教版）

冀教八下期末真题百题大通关（79题型）（基础版） 题型一 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型二 一次函数的图象、一次函数的性质 题型三 判断全面调查与抽样调查 题型四 根据矩形的性质求线段长 题型五 其他问题(一次函数的实际应用)、 题型六 判断一次函数的图象 题型七 写出直角坐标系中点的坐标 题型八 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型九 证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、 题型十 函数图象识别、求一次函数解析式 题型十一 坐标与图形、作角平分线(尺规作图) 题型十二 利用矩形的性质证明 题型十三 一次函数图象平移问题 题型十四 求点到坐标轴的距离 题型十五 含30度角的直角三角形、 题型十六 从函数的图象获取信息 题型十七 与三角形中位线有关的求解问题 题型十八 矩形与折叠问题、矩形性质理解 题型十九 等边三角形的判定和性质、 题型二十 其他问题(一次函数的实际应用) 题型二十一 一次函数的规律探究问题、 题型二十二 利用菱形的性质求线段长、 题型二十三 动点问题的函数图象、 题型二十四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型二十五 角平分线的性质定理 题型二十六 正多边形的外角问题 题型二十七 与三角形中位线有关的证明 题型二十八 利用平行四边形的性质求解 题型二十九 斜边的中线等于斜边的一半 题型三十 根据正方形的性质证明 题型三十一 根据正方形的性质证明 题型三十二 根据一次函数的定义求参数 题型三十三 勾股定理与折叠问题 题型三十四 三角形内角和定理的应用 题型三十五 利用菱形的性质求面积 题型三十六 用勾股定理解三角形 题型三十七 根据三线合一证明 题型三十八 已知函数经过的象限求参数范围 题型三十九 多边形内角和与外角和综合 题型四十 正多边形的外角问题 题型四十一 多边形的内角和 题型四十二 等边三角形的判定和性质 题型四十三 点坐标规律探索、坐标与图形 题型四十四 矩形与折叠问题 题型四十五 利用平行四边形的性质求解 题型四十六 全等三角形综合问题 题型四十七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型四十八 根据正方形的性质求面积 题型四十九 条形统计图和扇形统计图信息关联 题型五十 根据概率公式计算概率 题型五十一 条形统计图、扇形统计图、 题型五十二 利用平行四边形的性质证明 题型五十三 证明四边形是平行四边形 题型五十四 求条形统计图的相关数据 题型五十五 判断三边能否构成直角三角形 题型五十六 作垂线(尺规作图) 题型五十七 勾股定理与网格问题 题型五十八 利用菱形的性质证明 题型五十九 已知点平移前后的坐标 题型六十 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型六十一 根据三线合一证明 题型六十二 全等三角形综合问题 题型六十三 画旋转图形 题型六十四 作角平分线(尺规作图) 题型六十五 证明四边形是菱形 题型六十六 用一元一次不等式解决实际问题 题型六十七 添一个条件使四边形是正方形 题型六十八 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型六十九 一元一次不等式组的其他应用 题型七十 分式方程的经济问题 题型七十一 一次函数的实际应用 题型七十二 一次函数图象平移问题 题型七十三 分式方程的工程问题 题型七十四 梯形、利用矩形的性质证明 题型七十五 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型七十六 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型七十七 化为最简二次根式 题型七十八 解直角三角形的相关计算 题型七十九 利用勾股定理证明线段平方关系 一、单选题 1．在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数y=kx+b图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣5 B．x＞﹣5 C．x≥﹣5 D．x≤﹣5 3．下列调查适合抽样调查的是（　　） A．审核稿件中的错别字 B．对某校九年级各班卫生死角进行调查 C．对某班同学的视力情况进行调查 D．对全国中学生目前睡眠情况进行调查 4．如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A． B．5 C．10 D． 5．若直线（）且与轴正半轴相交，则该直线与正比例函数图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图像可以表示为中的（      ） A．B．C．D． 7．下面所画的函数图象中，不可能是一次函数图象的是（    ） A．B． C． D． 8．已知A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'，则点A'的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 9．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表： 砝码的质量（x克） 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置（厘米） 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 y关于x的函数图象是（    ）． A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点N，再分别以点M、N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 13．一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（　　） A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 14．如图，在矩形中，连接，延长至点，使连接．若，则的大小是（  ） A． B． C． D． 15．下列调查适合做普查 的是  （　  　） A．调查全国中小学生课外阅读情况 B．了解一批灯泡的平均使用寿命 C．了解全市中小学生每天的零花钱 D．奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查 16．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，所得直线的解析式为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2 17．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　） A．3 B． C．4 D． 18．如图，在△ABC中，AB=6，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（    ） A． B．3 C． D． 19．“二十四节气”是中国古代劳动人民智慧的结晶，它包括立春、惊蛰、清明、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关，如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中，白昼时长最短的节气是（    ） A．立春 B．清明 C．小暑 D．白露 20．如图，函数y=mx+m的图象可能是（    ） A．B． C．D． 21．已知关于的一次函数为，那么这个函数的图象一定经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 23．六边形的内角和是（ ） A．540° B．720° C．900° D．1080° 24．在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），下列平移方式正确的是（　　） A．将l1沿x轴向右平移4个单位 B．将l1沿x轴向右平移2个单位 C．将l1沿y轴向右平移4个单位 D．将l1沿y轴向右平移8个单位 25．如图，在矩形中，已知，，连接对角线，将沿着翻折至处，且交于点，连接，则的长为（  ） A． B． C．6 D． 26．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 27．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过度时，其中度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，设每个家庭月用电量为度时，应交电费为元，具体收费情况如折线图所示，下列叙述错误的是（    ）．    A．“基础电价”是元/度 B．“提高电价”是元/度 C．小红家月份用电度的电费是元 D．小红家月份元电费的用电量是度 28．直线y=2x＋2沿y轴向下平移6个单位后与y轴的交点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，8） C．（0，4） D．（0，-4） 29．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 30．如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，不与各端点重合，且，连接、交于点M，延长到H，使，连接、，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．如图1所示，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（    ） A． B． C． D． 32．一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 33．如图，在边长为3的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（  ） A． B． C．2 D． 34．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 35．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 36．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点，分别是，的中点，若，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 37．如图，在平行四边形D中，CD＝2AD，BE垂直AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论（1）；（2）；（3）四边形DEBC三角形EFB；（4）， 其中正确结论的个数共有（    ） A．个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，E，F分别是正方形的边，上的点，连接，，，，则下列结论中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 39．一次函数一定过定点，则这个定点坐标为（    ） A． B． C． D． 40．要使函数y＝(m﹣2)xn﹣1+n是一次函数，应满足(　　) A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0 41．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在对角线BD上，折痕为DE，且A点落在对角线F处．若，，则AE的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 42．将一张矩形纸片按如图所示操作： （1）将沿向内折叠，使点A落在点处， （2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M． 若，则的大小是（    ） A．135° B．120° C．112.5° D．115° 43．如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 44．如图，AC是菱形ABCD的对角线，．点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 45．如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 46．把一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新图像对应的函数表达式是 ． 47．写出一个图象经过第一、二、四象限的一次函数的表达式 ． 48．已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线． 49．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是 ． 50．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是 ． 51．矩形的外角和等于 度． 52．如图，在菱形中，为对角线的中点，点M在边上，点N在边上，连接．当最小时，的长为 ． 53．如图，矩形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过次翻滚后点对应点记为的坐标为 ． 54．如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ． 55．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中， ； ；； ．其中正确的是 ． 56．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点E、O，连接，则的长为 ．    57．如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5 cm和3 cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为 ． 58．如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ． 59．如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到，…，则的面积等于 ． 三、解答题 60．初三级一位学生对本班同学的上学方式进行了一次调查统计，图5①和图5②是他通过采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有多少名学生？ （2）在图5①中将表示“骑车”的部分补充完整． （3）在扇形统计图中，“步行”部分对应的圆心角的度数是多少？ （4）如果全年级共有300名学生，请你估算全年级骑车上学的学生人数． 61．为看丰富学生课余文化生活，某中学组织学生进行才艺比赛，每人只能从以下五个项目中选报一项:.书法比赛，.绘画比赛，.乐器比赛，.象棋比赛，.围棋比赛根据学生报名的统计结果，绘制了如下尚不完整的统计图： 图1 各项报名人数扇形统计图： 图2 各项报名人数条形统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）学生报名总人数为 人； （2）如图1项目D所在扇形的圆心角等于 ； （3）请将图2的条形统计图补充完整； （4）学校准备从书法比赛一等奖获得者甲、乙、丙、丁四名同学中任意选取两名同学去参加全市的书法比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率. 62．某校对学生课外数阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了中学生每学期阅读课外书籍数量的统计图（不完整）．设表示阅读书籍的数量（为正整数，单位：本），其中A：1≤≤2；B：3≤≤4；C：5≤≤6；D：≥7．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题： ⑴ 本次共调查了多少名学生？ ⑵ 补全条形统计图，并判断中位数在哪一组； ⑶ 计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数． 63．如图，点E、F、G分别在▱ABCD的边AB、BC和AD上，且BA＝BF，AE＝AG，连接FE．求证：FE＝FG．    64．先阅读下列材料，再解答问题． 尺规作图： 已知：，D是边上一点，如图1． 求作：四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的做法如下： （1）设计方案 先一个符合题意的草图，如图2， 再分析实现目标的具体方法． （2）设计作图步骤，完成作图 作法：如图3， ①以点C为圆心、为半径画弧； ②再以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点F； ③连接与． ∴四边形即为所求． 请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹 （3）推理论证 证明：∵___________，___________ ∴四边形DBCF是平行四边形．（___________）（填推理依据） 65．“书籍是人类进步的阶梯”，某校为了了解学生的读书情况，对学生的读书情况设计了调查问卷：你最喜欢的书籍的种类是：A文学类，B科普类，C教辅类，D历史类，E其它（每个学生必选且只选其中一类）．学校准备根据调查结果购进一批图书，随机抽取部分学生调查问卷的数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图表和统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： 统计表： 类别 频数 频率 A文学类 a 25% B科普类 60 C教辅类 40 b% D历史类 15% E其它 10% 条形统计图： (1)______，______； (2)请将历史类的条形补充完整； (3)请你通过分析数据，为学校购书提出一个合理化的建议． 66．某校为了解该校九年级学生对蓝球、乒乓球、羽毛球、足球四种球类运动项目的喜爱情况，对九年级部分学生进行了随机抽样调查，每名学生必须且只能选择最喜爱的一项运动项目，将调查结果统计后绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，回答下列问题： （1）这次被抽查的学生有 人；请补全条形统计图； （2）在统计图2中，“乒乓球”对应扇形的圆心角是 度； （3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级最喜欢足球的学生约有 人． 67．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁； ②以P为圆心，长为半径画弧，交l于点，连接； ③分别以点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接， ______，______， 四边形是平行四边形（__________）（填推理依据）． ． 68．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝5，AD＝13，点 E 为 BC 上一点，将△ABE沿 AE 折叠，使点 B 落在长方形内点 F 处，连接 DF 且 DF＝12． （1）试说明：△ADF 是直角三角形； （2）求 BE 的长． 69．如图，四边形是平行四边形，为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接，若．求证：四边形为菱形． 证明：如图∵四边形是平行四边形 ∴______①______ ∴ 又∵中，，于点 ∴______②______ 在和中 ∴ ∴______③______ 又∵ ∴四边形为平行四边形 又∵______④______ ∴平行四边形为菱形 70．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A，B均在格点上． （1）在图1中画出以为边且周长为无理数的，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）． （2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 71．如图，在菱形中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 72．如图，三角形A’B’C是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A’，点B与点B’，点C与点C’分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题． (1)分别写出点A、点B、点C、点A’、点B’、点C’的坐标，并说明三角形A’B’C’是由三角ABC经过怎样的平移得到的． (2)若点M (a+2， 4-b)是点N (2a-3， 2b- 5)通过(1)中的变换得到的，求a和b的值． 73．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 74．如图，在四边形中，，，E是的中点，且，连接．求证：． 75．如图，在中，点E、F是上两点，，连接，，求证：四边形是矩形． 76．综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 77．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．    (1)将向左平移5个单位得到，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 78．尺规作图：如图，将平行四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 79．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ． (1)求证：△APD≌△BQC； (2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形． 80．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请在网格中画出； (2)请仅用无刻度的直尺作出的平分线．（保留作图痕迹） 81．为丰富“阳光一小时”体育锻炼活动，学校准备购买足球、篮球共100个，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多30元，用5400元购买的篮球的个数比用4800元购买的足球的个数少20个． (1)求篮球和足球的单价． (2)为了支持学校开展体育活动，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？ 82．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）： ①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是 形； ② 当△ABC满足条件 时，四边形AFBD是正方形． 83．一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利(元) 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． （1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ （2）如果先进行精加工，然后进行粗加工． ①试求出销售利润元与精加工的蔬菜吨数之间的函数关系式； ②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？ 84．“高山云雾出名茶”，得天独厚的自然地理环境，宜人的亚热带季风气候，冬不寒冷，夏不炎热，造就了云南丰富茶树品种资源．某茶叶专卖店准备购买A、两种茶叶进行销售，如果分别用1600元购买A、两种茶叶，购买A种茶叶的数量比购买种茶叶的数量少2千克，已知种茶叶的单价为A种茶叶单价的． (1)求A、两种茶叶的单价分别为多少元？ (2)茶叶专卖店计划购买A、两种茶叶共60千克，总费用不多于10400元，并且要求A种茶叶数量不能低于15千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多少元？ 85．某商店第一次用600元购进某种铅笔若干支，第二次又用600元购进该种铅笔，但这次每支的进价比第一次贵l元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价及购进的数量； （2）若将这两次购进的铅笔按同一单价x（元，支）全部销售完毕，并要求获利不低于420元，求获利y（元）关于单价x（元／支）的函数关系式及定义域，并在直角坐标系内画出它的大致图象． 86．如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 87．声音在空气中传播的速度y（米/秒）是气温x (摄氏度)的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速． 气温x/摄氏度 0 5 10 15 20 音速y/(米/秒) 331 334 337 340 343 （1）求y 与 x之间的函数关系式 （2）气温x=22(摄氏度)时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地相距多远？ 88．某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． (1)，两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 89．阅读下面材料： 我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算． 例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 解：∵y＝﹣2x+5 ∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5 ∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为： d＝＝＝＝ 根据以上材料解答下列问题： (1)求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离； (2)如图，直线＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． (3)若将绕其与y轴的交点逆时针旋转90度与相交，直接写出大于时，x的取值范围 90．在“母亲节”到来之际，某校九年级团支部组织全体团员到敬老院慰问.为筹集慰问金，团员们利用课余期间去卖鲜花．已知团员们从花店按每 支1.5元的价格买进鲜花共支，并按每支5元的价格全部卖出，若从花店购买鲜花的同时，还用去50元购买包装材料． （1）求所筹集的慰问金y（元）与x（支）之间的函数表达式； （2）若要筹集不少于650元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？ 91．2021年初，澄城樱桃入选第四批国家级特色农产品优势区，与此同时，樱桃产业也成为了当地的特色王牌产业，被称作是农民脱贫致富的“看家果”．小李想在澄城县某果园购买一些樱桃，经了解，该果园的樱桃有以下两种销售方案： 方案1：整箱销售（无包装），定价为20元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的樱桃的价格打8折； 方案2：整箱销售（精美包装），每箱装10斤，定价为200元/箱． (1)设小李购买樱桃x斤，按方案1购买的付款金额为y1元，求出y1与x之间的函数关系式； (2)若小李想在该果园购买30斤樱桃，并将这些樱桃（每10斤装箱）送给外地的三个好朋友，已知小李购买散称樱桃自己包装时，每10斤需要包装费30元．请你帮助小李计算，按哪种方案购买更划算？ 92．如图所示，已知ABCD，AB=CD，∠A=∠D． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，∠1=2∠2，CF=5，求AF+BC的值．    93．新冠肺炎突袭，防疫物资紧缺成为各国急需解决的难题，作为一个负责任大国，中国向各国验发出口防疫物资，深圳海关现要验发万件物资．为了尽快把防疫物资发往各国，深圳海关把工作效率提高到原计划的倍，结果比原计划提前小时完成了验发出口防疫物资． (1)求原计划每小时验发出口多少万件防疫物资？ (2)中国将第一批次援助巴基斯坦防疫物资打包成件．现计划租用甲、乙两种飞机共架，将这批口罩和防护服全部运往巴基斯坦，且乙种飞机数量不少于甲种飞机的．如果甲种飞机每架需付运输费万元，乙种飞机每架需付运输费万元，在租用甲、乙两种飞机时，应该如何安排可使运输费最少？最少运输费是多少万元？ 94．有一张矩形纸片，，分别是边，上的点（不与顶点重合），如图所示，若将矩形分成面积相等的两部分．求证：． 95．植树造林不仅可以美化家园，同时也可以调节气候、促进经济发展．在植树节前夕，某单位计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元． (1)若购进的A、B两种树苗刚好1220元，求A、B两种树苗分别购买了多少棵？ (2)若购买A种树苗a棵，所需总费用为w元．求w与a的函数关系式． (3)若购买时A种树苗不能少于5棵，w的最小值是多少？请说明理由． 96．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，已知是由经过顺时针旋转变换得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是_______，旋转角的大小是________； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出按顺时针方向旋转90°得到的，并写出点的坐标． 97．问题提出 （1）将线段平移至线段，则线段与线段的数量关系是______，位置关系是______． 问题研究 （2）如图1，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为多少？ 问题解决 （3）如图2，有一块三角形余料，，．工人师傅想利用余料裁一个，要求，D在上，且，请问能否裁出一个周长最小的？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由． 98．移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如下表： 套餐 月保底费（元） 包通话时间（分钟） 超时费（元分钟 A 38 120 0.1 B C 118 不限时 设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为元，元，其中B套餐的收费金额元与通话时间x分钟的函数关系如图所示： （1）结合表格信息，求与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）结合图像信息补全表格中B套餐的数据； （3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由． 99．两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置 (1)如图①，求证：四边形ABCD是菱形． (2)如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S四边形ABCD＝16，PB＝2， ①求∠BAD的度数； ②求DF的长． 100．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E． (1)若BC＝BD，tan∠ABE＝3，DE＝16，求BC的长． (2)若∠DBC＝45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF＝2EO，求证：CF＝CD． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冀教八下期末真题百题大通关（100题79题型）（基础版） 题型一 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型二 一次函数的图象、一次函数的性质 题型三 判断全面调查与抽样调查 题型四 根据矩形的性质求线段长 题型五 其他问题(一次函数的实际应用)、 题型六 判断一次函数的图象 题型七 写出直角坐标系中点的坐标 题型八 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型九 证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、 题型十 函数图象识别、求一次函数解析式 题型十一 坐标与图形、作角平分线(尺规作图) 题型十二 利用矩形的性质证明 题型十三 一次函数图象平移问题 题型十四 求点到坐标轴的距离 题型十五 含30度角的直角三角形、 题型十六 从函数的图象获取信息 题型十七 与三角形中位线有关的求解问题 题型十八 矩形与折叠问题、矩形性质理解 题型十九 等边三角形的判定和性质、 题型二十 其他问题(一次函数的实际应用) 题型二十一 一次函数的规律探究问题、 题型二十二 利用菱形的性质求线段长、 题型二十三 动点问题的函数图象、 题型二十四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型二十五 角平分线的性质定理 题型二十六 正多边形的外角问题 题型二十七 与三角形中位线有关的证明 题型二十八 利用平行四边形的性质求解 题型二十九 斜边的中线等于斜边的一半 题型三十 根据正方形的性质证明 题型三十一 根据正方形的性质证明 题型三十二 根据一次函数的定义求参数 题型三十三 勾股定理与折叠问题 题型三十四 三角形内角和定理的应用 题型三十五 利用菱形的性质求面积 题型三十六 用勾股定理解三角形 题型三十七 根据三线合一证明 题型三十八 已知函数经过的象限求参数范围 题型三十九 多边形内角和与外角和综合 题型四十 正多边形的外角问题 题型四十一 多边形的内角和 题型四十二 等边三角形的判定和性质 题型四十三 点坐标规律探索、坐标与图形 题型四十四 矩形与折叠问题 题型四十五 利用平行四边形的性质求解 题型四十六 全等三角形综合问题 题型四十七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型四十八 根据正方形的性质求面积 题型四十九 条形统计图和扇形统计图信息关联 题型五十 根据概率公式计算概率 题型五十一 条形统计图、扇形统计图、 题型五十二 利用平行四边形的性质证明 题型五十三 证明四边形是平行四边形 题型五十四 求条形统计图的相关数据 题型五十五 判断三边能否构成直角三角形 题型五十六 作垂线(尺规作图) 题型五十七 勾股定理与网格问题 题型五十八 利用菱形的性质证明 题型五十九 已知点平移前后的坐标 题型六十 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型六十一 根据三线合一证明 题型六十二 全等三角形综合问题 题型六十三 画旋转图形 题型六十四 作角平分线(尺规作图) 题型六十五 证明四边形是菱形 题型六十六 用一元一次不等式解决实际问题 题型六十七 添一个条件使四边形是正方形 题型六十八 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型六十九 一元一次不等式组的其他应用 题型七十 分式方程的经济问题 题型七十一 一次函数的实际应用 题型七十二 一次函数图象平移问题 题型七十三 分式方程的工程问题 题型七十四 梯形、利用矩形的性质证明 题型七十五 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型七十六 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型七十七 化为最简二次根式 题型七十八 解直角三角形的相关计算 题型七十九 利用勾股定理证明线段平方关系 一、单选题 1．在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质可得，进而可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随x值的增大而增大， ∴， ∴一次函数中，，， ∴一次函数过第一、三、四象限， 故选：B． 2．一次函数y=kx+b图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣5 B．x＞﹣5 C．x≥﹣5 D．x≤﹣5 【答案】A 【知识点】一次函数的图象、一次函数的性质 【详解】根据一次函数图象即可求出该不等式的解集． 解：当不等式kx+b＜0时， 一次函数的图象在x轴的下方， 所以x＜﹣5 故选A． 3．下列调查适合抽样调查的是（　　） A．审核稿件中的错别字 B．对某校九年级各班卫生死角进行调查 C．对某班同学的视力情况进行调查 D．对全国中学生目前睡眠情况进行调查 【答案】D 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，判断即可． 【详解】A．审核书稿中的错别字，必须准确，故必须普查，不符合题意； B．对九年级各班的卫生死角进行调查，此种情况数量不是很大，故必须普查，不符合题意； C．人数不多，容易调查，适合普查，不符合题意； D．对全县中学生目前的睡眠情况进行调查适合抽样调查，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4．如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 故选：C． 5．若直线（）且与轴正半轴相交，则该直线与正比例函数图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据两个函数图象所经过的象限判断即可． 【详解】解：如图所示，直线（）且与轴正半轴相交， 故函数图象经过一、二、四象限， ∵比例函数图象经过一、三象限， ∴两个函数图象交点在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，解题关键是熟练运用数形结合思想判断函数图象所经过的象限． 6．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图像可以表示为中的（      ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、判断一次函数的图象 【分析】根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象． 【详解】解：由题意，得 y=30-5t， ∵y≥0，t≥0， ∴30-5t≥0， ∴t≤6， ∴0≤t≤6， ∴y=30-5t是降函数且图象是一条线段． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的解析式的运用，一次函数的与实际问题的关系的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键． 7．下面所画的函数图象中，不可能是一次函数图象的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】分类讨论2>m>0和m≥2与m<0的值，确定函数的图像的走向与y轴的交点即可判断． 【详解】由m≠0，当m>0时，图像走向是从左下到右上，随x的增大而增大，m<2时，2-m>0，与y轴正半轴相交，选B，当m＞2，2-m＜0，与y轴负半轴相交，选D， 当m<0时，图像走向是从右上到右下，y随x的增大而减小，2-m>0，与y轴正半轴相交，选A，不可能是一次函数图象的是C． 故选择：C． 【点睛】本题考查一次函数的图像与m，2-m的关系问题，掌握m决定函数图像的走向，2-m决定函数图像与y轴的交点的位置，分类讨论是解决问题的关键． 8．已知A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'，则点A'的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'， ∴点A'的坐标为：（﹣3，﹣2）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是对称，记住口诀：关于x轴对称x坐标不变，关于y轴对称y坐标不变． 9．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形的平移．根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：∵向左平移3个单位长度后，再向下平移1个单位长度， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 10．如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐个进行判断即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故②错误； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，是矩形． 故③错误； ∴正确的只有①； 故选B． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 11．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表： 砝码的质量（x克） 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置（厘米） 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 y关于x的函数图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象识别、求一次函数解析式 【分析】根据表格得出函数解析式，根据函数解析式得出函数图像即可． 【详解】方法一：根据图表可以知道，在没有砝码时指针的位置是2cm,以后砝码每增加50g,指针位置增加lcm,则当是275g时,弹簧指针位置 应是7.5cm,以后，指针位置不随砝码的增加而伸长，都是7.5cm. 故选: D. 方法二：设y关于x的函数解析式为：， 根据题意将点代入得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得， 当时，指针位置不随砝码的增加而伸长，都是7.5cm． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了求一次函数解析式以及函数图象，本题易出现的错误是选第二个． 12．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点N，再分别以点M、N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题主要考查了角平分线的基本作图，解题的关键是掌握角平分线的作法和第二象限的角平分线上点的坐标性质．根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得，整理后即可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，所以点P的横坐标与纵坐标互为相反数，即， ∴． 故选：A． 13．一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（　　） A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0，该函数过点（0，3）， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 14．如图，在矩形中，连接，延长至点，使连接．若，则的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用矩形的性质证明 【分析】连接BD，根据矩形的性质及易证为等腰三角形，得到∠E=∠BDE，关键求出∠DBE，利用三角形的内角和定理即可得到∠E. 【详解】解：连接BD，交AC于点O， ∵四边形是矩形， ∴OA=OB=OC=OD，AC=BD 又∵， ∴BD=BE， ∴∠E=∠BDE， ∵∠ABC=90°，∠BAC=40°， ∴∠ACB=50°， 又∵OB=OC， ∴∠DBE=∠ACB=50°， ∵∠E+∠BDE+∠DBE=180°， ∴2∠E=180°-∠DBE=180°-50°， ∴∠E=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和.熟练掌握有关几何图形的性质并灵活运用是解题的关键. 15．下列调查适合做普查 的是  （　  　） A．调查全国中小学生课外阅读情况 B．了解一批灯泡的平均使用寿命 C．了解全市中小学生每天的零花钱 D．奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查 【答案】D 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据抽样调查和普查的特点依次判断即可． 【详解】解：A、调查全国中小学生课外阅读情况，样本容量较大，适合做抽样调查，不符合题意； B、了解一批灯泡的平均使用寿命，调查具有破坏性，适合做抽样调查，不符合题意； C、了解全市中小学生每天的零花钱，样本容量较大，适合做抽样调查，不符合题意； D、奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查，要求调查结果准确，适合做普查，符合题意． 故选D． 16．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，所得直线的解析式为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据函数平移规律“上加下减，左加右减”即可得解． 【详解】解：把直线y＝x向左平移一个单位长度后解析式为：y=x+1． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键． 17．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，用到的知识点为点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值直接求解即可． 【详解】解：点到x轴的距离是：． 故选：C． 18．如图，在△ABC中，AB=6，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在△ABC中，AB＝6，∠C＝90°，∠A＝30°， 则BC＝AB＝3， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 19．“二十四节气”是中国古代劳动人民智慧的结晶，它包括立春、惊蛰、清明、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关，如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中，白昼时长最短的节气是（    ） A．立春 B．清明 C．小暑 D．白露 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象信息题，正确从图像中获取信息是解题的关键．根据函数图象的信息判断即可． 【详解】根据图像信息，白昼时长最短的节气是立春． 故选：A． 20．如图，函数y=mx+m的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【解析】根据题意，当m≠0时，函数y=mx+m是一次函数，结合一次函数的性质，分m＞0与m＜0两种情况讨论，可得答案； 【详解】根据题意，当m≠0时，函数y=mx+m是一次函数， m＞0时，其图象过一二三象限，D选项符合， m＜0时，其图象过二三四象限，没有选项的图象符合； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质，利用函数假设m的符号，分别分析是解题的关键． 21．已知关于的一次函数为，那么这个函数的图象一定经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】当时，可求出，由此即可得出答案． 【详解】解：当时，， 即此一次函数的图象经过定点， 因为点位于第二象限， 所以这个函数的图象一定经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，求出一次函数的图象经过定点是解题关键． 22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可． 【详解】∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC=6， ∴DE=BC=3． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 23．六边形的内角和是（ ） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【答案】B 【详解】由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°， 故选：B． 24．在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），下列平移方式正确的是（　　） A．将l1沿x轴向右平移4个单位 B．将l1沿x轴向右平移2个单位 C．将l1沿y轴向右平移4个单位 D．将l1沿y轴向右平移8个单位 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题首先根据平移时值不变，设直线的解析式为，将代入，求出直线的解析式，再利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，即可得出结论． 【详解】设直线的解析式为，将代入， 得，解得， 则直线的解析式为． ∵：；：， ∴将沿y轴向上平移4个单位或将沿x轴向右平移2个单位后得到直线． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的平移，解题关键在于根据待定系数法求解一次函数解析式，继而根据“上加下减，左加右减”求解即可． 25．如图，在矩形中，已知，，连接对角线，将沿着翻折至处，且交于点，连接，则的长为（  ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、矩形性质理解 【分析】由矩形的性质和勾股定理得出BD=，由折叠的性质得：△BPD≌△BCD，CP⊥BD，得出四边形BCDP的面积=BD×CP=2△BCD的面积=BC×CD，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=3，∠BCD=90°， ∴BD= 由折叠的性质得：△BPD≌△BCD，CP⊥BD， ∴四边形BCDP的面积=BD×CP=2△BCD的面积=BC×CD， ∴PC= 故选：B 【点睛】本题考查了图形的翻折变换（折叠问题），实质上就是轴对称变换．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，本题还考查了矩形的性质． 26．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题为考查菱形性质以及动点问题的综合题，难度适中，熟练掌握菱形的性质以及三角形全等的判断是解题关键．连接，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到；根据题意，，即可求出． 【详解】解：连接BD，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 27．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过度时，其中度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，设每个家庭月用电量为度时，应交电费为元，具体收费情况如折线图所示，下列叙述错误的是（    ）．    A．“基础电价”是元/度 B．“提高电价”是元/度 C．小红家月份用电度的电费是元 D．小红家月份元电费的用电量是度 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】选项由用电度费用为元即可得出“基础电价”；选项由即可得出“提高电价”；选项根据选项和选项的结论计算即可；选项利用待定系数法求出时的函数解析式，再把代入计算即可． 【详解】.“基础电价”是(元/度)，故该选项不合题意； .“提高电价”是(元/度)，故该选项不合题意； .小红家月份用电度的电费是：(元)，故该选项不合题意； .当时，设，由图象可得： ， 解得， ∴， 当时，，解得，即小红家月份元电费的用电量是度，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与待定系数求函数解析式，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，理解每个区间的实际意义是解题的关键． 28．直线y=2x＋2沿y轴向下平移6个单位后与y轴的交点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，8） C．（0，4） D．（0，-4） 【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题 【详解】试题解析：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2-6=2x-4， 当x=0时，y=-4， 因此与y轴的交点坐标是（0，-4）， 故选D 考点：一次函数图象与几何变换． 29．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数的规律探究问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积． 【详解】解：当时，， 根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为， 第个等腰直角三角形的面积为， 当时，， 第个等腰直角三角形的直角边长为， 第个等腰直角三角形的面积为， 当时，， 第个等腰直角三角形的直角边长为， 第个等腰直角三角形的面积为， 依此规律，第个等腰直角三角形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键． 30．如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，不与各端点重合，且，连接、交于点M，延长到H，使，连接、，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】由题意得△ABD是等边三角形，然后可证判定①，则有，根据三角形外角的性质可判定②，然后可得，则有，，然后可判定③，最后根据全等三角形的性质及等积法可进行判断④． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∵， ∴的面积等于四边形的面积， ∵是等边三角形，其面积为， ∴，故④错误； 综上所述：正确的个数有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 31．如图1所示，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ，， ， 在中，，， ， ， ． 故选B． 32．一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】图象可知，一次函数经过第一、三、四象限，且过点，y随x的增大而增大，利用图象即可得到答案．此题考查了一次函数的性质，正确理解一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，一次函数经过第一、三、四象限，且过点， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∵一次函数图象过点， ∴当时，， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故选：C． 33．如图，在边长为3的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明，设，则，，，在中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 34．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数． 【详解】解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形． 故选C． 35．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】根据三角形中位线定理得到，EH=BD，EF=AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，EH=BD， EF=AC， ∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意； 若AC=BD，则EF=EH， ∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意； 若AC⊥BD，则EF⊥EH， ∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 36．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点，分别是，的中点，若，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等角对等边，平行四边形的性质，先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由中位线的性质和平行四边形的性质可得，进而根据已知得出，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：由作图知平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形的周长， 故选：D． 37．如图，在平行四边形D中，CD＝2AD，BE垂直AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论（1）；（2）；（3）四边形DEBC三角形EFB；（4）， 其中正确结论的个数共有（    ） A．个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形的判定与性质求解、全等三角形综合问题 【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH，根据四边形ABCD是平行四边形，CD＝2AD，F为DC的中点，可证明，则EF=FG，BE⊥BG，又由H是AB的中点，得FH=AD=CD=CF=BC，所以四边形BCFH是菱形，通过这些条件，即可解决问题． 【详解】如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH，则AH=BH， （1）∵CD＝2AD，DF=FC， ∴CF=CB ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴，故（1）正确； （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ ∵F为DC的中点， ∴DF=CF 在和中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故（2）正确； （3）， ∴，故（3）正确； （4）∵，， ∴ ∵ ∴四边形BCFH是菱形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴，故（4）正确； 其中正确结论的个数共有4个， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 38．如图，E，F分别是正方形的边，上的点，连接，，，，则下列结论中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长到G，使，连接，先证明，再证明，得到，则，即可判定A选项正确，B、C、D选项错误． 【详解】解：延长到G，使，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴ 故A选项一定成立，符合题意； ∵ 而与不一定相等 ∴不一定成立， 故B选项不一定成立，不符合题意； ∴不一定成立， 故C选项不一定成立，不符合题意； ∴不一定成立， 故D选项不一定成立，不符合题意； 故选：A． 39．一次函数一定过定点，则这个定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】根据函数过定点，即这个点的值与k无关，将一次函数化成，即可分析得出当时，无论k取何值，都有，即可得出答案. 【详解】解：函数过定点， 将函数化成， 可得：当时，y的值与k无关，此时， 函数一定过点； 故答案为：A. 【点睛】本题考查的是一次函数图像上的点的特征，熟练掌握一次函数上的各点一定适合此函数的解析式是本题关键. 40．要使函数y＝(m﹣2)xn﹣1+n是一次函数，应满足(　　) A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0 【答案】C 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据y=kx+b（k、b是常数，k≠0）是一次函数，可得m-2≠0，n-1=1，求解即可得答案． 【详解】解：∵y=（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数， ∴m﹣2≠0，n﹣1=1， ∴m≠2，n=2， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数，y=kx+b，k、b是常数，k≠0，x的次数等于1是解题关键． 41．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在对角线BD上，折痕为DE，且A点落在对角线F处．若，，则AE的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】根据矩形对边相等可得AB=CD，再利用勾股定理列式求出BD，根据翻折的性质可得，，，然后求出BF，设，表示出BE，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解∶在矩形ABCD中，， 由勾股定理得，， ∵矩形纸片ABCD折叠，边AD落在对角线BD上，A点落在对角线F处 ∴，，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即AE的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻转变换的性质，勾股定理，翻折前后对应线段相等，对应角相等，此类题目，难点在于将所求的线段以及已知线段的长度转化到一个直角三角形中并利用勾股定理列出方程． 42．将一张矩形纸片按如图所示操作： （1）将沿向内折叠，使点A落在点处， （2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M． 若，则的大小是（    ） A．135° B．120° C．112.5° D．115° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、矩形与折叠问题 【分析】由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵折叠，且， ∴，即， ∵折叠， ∴， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题． 43．如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得到，，再根据等底同高的三角形面积相等得到，进而得到，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 和是等底同高的三角形， 和是等底同高的三角形， 和是等底同高的三角形， ∴，， ， ， ∴， 故选：． 44．如图，AC是菱形ABCD的对角线，．点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】如图，作出辅助线，当点G，F，B共线时，有最小值，利用题目中的条件，在中，求出，的长度，即可求出的长度，即为的最小值． 【详解】如图，过点，过点F作，DG与FG交于点G， 则四边形DEFG是平行四边形， ∴，， 当点G，F，B共线时，有最小值． 连接BD，由菱形的性质可知， ， ∴，，，，， 又∵， ∴． 当G，F，B共线时，， 故的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点几何问题中的最短线段问题，正确作出辅助线，得到点G，F，B共线时，有最小值，并利用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键． 45．如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三线合一证明、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、求一次函数解析式 【分析】如图（见解析），在y轴上取点E，使得，连接CE、EP、ED，ED交OB于点Q，先根据等腰三角形的三线合一性质得出OB是CE的垂直平分线，再根据两点之间线段最短得当点P与点Q重合时，四边形PCAD周长最小，最后求直线ED与直线OB的交点即可. 【详解】如图，在y轴上取一点E，使得，连接CE、EP、ED，ED交OB于点Q 则点E的坐标为 点D的坐标为，是等腰直角三角形 OB是的角平分线 点为的中点 ，即点C的坐标为 是CE的垂直平分线（等腰三角形的三线合一性质） 四边形PCAD周长： 由两点之间线段最短得：当P与点Q重合时，最小，最小值为，此时四边形PCAD的周长最小 设直线OB的解析式为 将代入得，解得 则直线OB的解析式为 设直线ED的解析式为 将代入得，解得 则直线ED的解析式为 联立，解得 则点Q的坐标为 故选：C.    【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短公理、利用待定系数法求一次函数的解析式，利用垂直平分线的性质、两点之间线段最短公理确定使四边形PCAD周长最小的点P的位置是解题关键. 二、填空题 46．把一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新图像对应的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据函数图象上下平移的规律可求得答案． 【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，掌握函数图象平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 47．写出一个图象经过第一、二、四象限的一次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数图象经过的象限可得一次函数的一次项系数小于0，常数项大于0，由此即可得出答案． 【详解】解：因为一次函数图象经过第一、二、四象限， 所以这个一次函数的一次项系数小于0，常数项大于0， 所以符合条件的一次函数的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 48．已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线． 【答案】9 【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题、正多边形的外角问题 【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：多边形的外角和都是， 内角和等于， 设这个多边形有条边， ，解得：， 从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线． 故答案为：9． 49．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是 ． 【答案】5 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查正多边形外角和及三角形内角和，熟练掌握正多边形外角和及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而根据正多边形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴正多边形的边数； 故答案为5． 50．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是 ． 【答案】﹣1 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】直接把点（m，n）代入函数y=2x+1即可得出结论． 【详解】解：∵点（m，n）在函数y=2x+1的图象上， ∴2m+1=n，即2m﹣n=﹣1． 故答案为﹣1． 51．矩形的外角和等于 度． 【答案】360． 【知识点】多边形的内角和 【详解】直接根据概多边形外角和等于360度的性质得矩形的外角和等于360度． 52．如图，在菱形中，为对角线的中点，点M在边上，点N在边上，连接．当最小时，的长为 ． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质．根据垂线段最短可得，当且过O时，最小，过O作于N，根据菱形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：根据垂线段最短可得，当MN⊥BC且过O时，最小，过O作于N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 53．如图，矩形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过次翻滚后点对应点记为的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形 【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，， ∵长方形的周长为：， 每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次，是的对应点， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键． 54．如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题 【详解】①当点E在B点时，将沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处，如解图①，此时CF最小，则，在中，， ∴，设，则，， 在中，∵，∴，解得； ②当点F在D点时，将沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处，如解图②，此时CF最大，CF的长为3，∴CF的取值范围为． 【点睛】 55．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中， ； ；； ．其中正确的是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出得出对应线段之间关系进而得出答案，得出 是解题关键． 【详解】解：①∵是的中点， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②延长， 交延长线于，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∵， ，故 ③错误，不符合题意； ④设， 则， ∴， ∴， ∴∠ ∵， ∴，  故④正确，符合题意， 故答案为：． 56．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点E、O，连接，则的长为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、线段垂直平分线的性质 【分析】证明，在中，由勾股定理得出，得出方程，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于的方程． 57．如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5 cm和3 cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】延长GH交DC的延长线于N，由“AAS”可证△FGH≌△CNH，可得GH=HN，GF=CN=3，在Rt△GDN中，由勾股定理可求GN的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长GH交DC的延长线于N， ∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5和3， ∴AE∥GF∥CD，GF=AG=3，DC=AD=5， ∴∠FGH=∠N，GD=2， ∵点H是CF的中点， ∴CH=FH， 在△FGH和△CNH中， ， ∴△FGH≌△CNH（AAS）， ∴GH=HN，GF=CN=3， ∴DN=DC+CN=8， ∴GN=， ∴GH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 58．如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案， 【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即， 在中，， ∴． ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴ 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴和均为等腰三角形，且， ∴， 由得到，则， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 59．如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到，…，则的面积等于 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】首先分别求出、、，然后找到图形面积与序号之间的规律，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形OAA1B1是正方形， ∴OA＝AA1＝A1B1＝1， ∴的面积＝＝， ∵∠OAA1＝90°， ∴OA12＝12+12＝2， ∴OA2＝A2A3＝2， ∴的面积＝＝1， 同理可求：的面积＝＝2，…， ∴的面积＝2n﹣1， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到图形面积与序号之间的规律是解题的关键． 三、解答题 60．初三级一位学生对本班同学的上学方式进行了一次调查统计，图5①和图5②是他通过采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有多少名学生？ （2）在图5①中将表示“骑车”的部分补充完整． （3）在扇形统计图中，“步行”部分对应的圆心角的度数是多少？ （4）如果全年级共有300名学生，请你估算全年级骑车上学的学生人数． 【答案】（1）50；（2）详见解析；（3）36°（4）210(人) 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）利用步行的人数和相应的百分比即可求出学生总数； （2）因为骑车的人所占的百分比为1-10%-20%，进而即可求出骑车的人数； （3）利用“步行”部分所占的百分比即可求出对应的圆心角的度数； （4）因为全年级共有300名学生，利用骑车的人所占的百分比即可求出全年级骑车上学的学生人数． 【详解】解：（1）5÷10%=50 答：该班共有50名学生． （2）50×（1-10%-20%）=35 如图． （3）360°×10%=36° 答：步行部分对应的圆心角的度数是36° （4）∵由图（2）可知50名学生中有70%骑车， ∴全年级骑车上学学生人数可估算为300×70%=210（人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了由样本估计总体． 61．为看丰富学生课余文化生活，某中学组织学生进行才艺比赛，每人只能从以下五个项目中选报一项:.书法比赛，.绘画比赛，.乐器比赛，.象棋比赛，.围棋比赛根据学生报名的统计结果，绘制了如下尚不完整的统计图： 图1 各项报名人数扇形统计图： 图2 各项报名人数条形统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）学生报名总人数为 人； （2）如图1项目D所在扇形的圆心角等于 ； （3）请将图2的条形统计图补充完整； （4）学校准备从书法比赛一等奖获得者甲、乙、丙、丁四名同学中任意选取两名同学去参加全市的书法比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率. 【答案】（1）200；（2）54°；（3）见解析；（4） 【知识点】根据概率公式计算概率、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求条形统计图的相关数据 【分析】（1）根据A的人数及所占的百分比即可求出总人数； （2）用D的人数除以总人数再乘360°即可得出答案； （3）用总人数减去A,B,D,E的人数即为C对应的人数，然后即可把条形统计图补充完整； （4）用树状图列出所有的情况，找出恰好选中甲、乙两名同学的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）学生报名总人数为（人）， 故答案为：200； （2）项目所在扇形的圆心角等于， 故答案为：54°； （3）项目的人数为， 补全图形如下： （4）画树状图得： 所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种. 恰好选中甲、乙两名同学的概率为. 【点睛】本题主要考查扇形统计图与条形统计图的结合，能够从图表中获取有用信息，掌握概率公式是解题的关键． 62．某校对学生课外数阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了中学生每学期阅读课外书籍数量的统计图（不完整）．设表示阅读书籍的数量（为正整数，单位：本），其中A：1≤≤2；B：3≤≤4；C：5≤≤6；D：≥7．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题： ⑴ 本次共调查了多少名学生？ ⑵ 补全条形统计图，并判断中位数在哪一组； ⑶ 计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数． 【答案】⑴ 本次调查了200名学生 ⑵ D高40,中位数在B组 ⑶ 圆心角度数为． 【知识点】条形统计图、扇形统计图、求扇形统计图的圆心角 【分析】通过扇形图可得A所占得百分比为19%，通过条形图可得A的频数为38，用A的频数除以A所占的百分比即可求出调查的学生总数；（2）用总人数减去A、B、C的频数，求出D的频数即可补全条形图，从而判断中位数；（3）用D的频数除以总人数求出D所占百分比，再乘以360°即可求出扇形D的圆心角 ． 【详解】⑴ 本次调查了=200名学生． ⑵ 200－38－74－48=40，D高40，中位数在B组． ⑶ 圆心角度数为×360°=72°． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 63．如图，点E、F、G分别在▱ABCD的边AB、BC和AD上，且BA＝BF，AE＝AG，连接FE．求证：FE＝FG．    【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF=∠BAF，由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得FE=FG． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF=∠BFA， ∵BA=BF， ∴∠BAF=∠BFA， ∴∠DAF=∠BAF， 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS) ∴FE=FG． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 64．先阅读下列材料，再解答问题． 尺规作图： 已知：，D是边上一点，如图1． 求作：四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的做法如下： （1）设计方案 先一个符合题意的草图，如图2， 再分析实现目标的具体方法． （2）设计作图步骤，完成作图 作法：如图3， ①以点C为圆心、为半径画弧； ②再以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点F； ③连接与． ∴四边形即为所求． 请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹 （3）推理论证 证明：∵___________，___________ ∴四边形DBCF是平行四边形．（___________）（填推理依据） 【答案】（1）图见解析；（2）CF=BD，DF=BC；两组对边相等的四边形是平行四边形． 【知识点】证明四边形是平行四边形、作线段(尺规作图) 【分析】（1）根据两组对边相等的四边形是平行四边形，作对边相等即可解答； （2）根据作法由两组对边相等的四边形是平行四边形即可完成解答． 【详解】解：（1）如图： （2）证明：∵CF=BD，DF=BC ∴四边形DBCF是平行四边形．（两组对边相等的四边形是平行四边形） 故答案为：CF=BD，DF=BC；两组对边相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了基本作图-尺规作图作线段和平行四边形判定，掌握平行四边形的判定是解题关键． 65．“书籍是人类进步的阶梯”，某校为了了解学生的读书情况，对学生的读书情况设计了调查问卷：你最喜欢的书籍的种类是：A文学类，B科普类，C教辅类，D历史类，E其它（每个学生必选且只选其中一类）．学校准备根据调查结果购进一批图书，随机抽取部分学生调查问卷的数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图表和统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： 统计表： 类别 频数 频率 A文学类 a 25% B科普类 60 C教辅类 40 b% D历史类 15% E其它 10% 条形统计图： (1)______，______； (2)请将历史类的条形补充完整； (3)请你通过分析数据，为学校购书提出一个合理化的建议． 【答案】(1)50，20． (2)见解析 (3)建议学校多购买文学类和科普类的书籍． 【知识点】求条形统计图的相关数据、画条形统计图、频数分布表 【分析】（1）先求出样本容量，再根据频率求出a，再求出C类的频率即可； （2）根据D类的频数补全统计图即可； （3）根据频率选择购买哪种书籍即可． 【详解】（1）解：本题的样本容量为20÷10%=200， ， C类的频率为，则； 故答案为：50，20． （2）解：D类的频数为200-50-60-40-20=30，补全统计图如图， （3）解：B类的频率为，A类的频率为， 建议学校多购买文学类和科普类的书籍． 【点睛】本题考查了统计图和统计表的应用，解题关键是根据统计图表获取准确信息，利用相关知识求解． 66．某校为了解该校九年级学生对蓝球、乒乓球、羽毛球、足球四种球类运动项目的喜爱情况，对九年级部分学生进行了随机抽样调查，每名学生必须且只能选择最喜爱的一项运动项目，将调查结果统计后绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，回答下列问题： （1）这次被抽查的学生有 人；请补全条形统计图； （2）在统计图2中，“乒乓球”对应扇形的圆心角是 度； （3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级最喜欢足球的学生约有 人． 【答案】(1)60；（2）144；（3）48. 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】(1)根据C类的人数是9，所占的比例是20%，据此即可求得总人数； (2)利用360°乘以对应的比例即可求解； (3)利用总人数480，乘以对应的比例即可． 【详解】(1)被抽查的学生数是：9÷15%=60（人），   D项的人数是：60﹣21﹣24﹣9=6（人）； 条形统计图如图所示； (2)乒乓球”对应扇形的圆心角是：360°×=144°； (3)480×=48（人）． 考点：(1)条形统计图；(2)用样本估计总体；(3)扇形统计图. 67．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁； ②以P为圆心，长为半径画弧，交l于点，连接； ③分别以点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接， ______，______， 四边形是平行四边形（__________）（填推理依据）． ． 【答案】（1）见解析；（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】（1）利用作法补全图形； （2）根据两组对边分别相等判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）补全的图形如图所示： （2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 68．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝5，AD＝13，点 E 为 BC 上一点，将△ABE沿 AE 折叠，使点 B 落在长方形内点 F 处，连接 DF 且 DF＝12． （1）试说明：△ADF 是直角三角形； （2）求 BE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）1． 【知识点】矩形与折叠问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）由折叠的性质可知AF=AB=5，然后再依据勾股定理的逆定理可证明△ADF为直角三角形； （2）由题意可证点E、D、F在一条直线上，设BE=x，则EF=x，DE=12+x，EC=13-x，在Rt△CED中，依据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处， ∴AF=AB=5， ∵=25+144=169==， ∴∠AFD=90° ∴△ADF是直角三角形； （2）∵折叠 ∴BE=EF，∠B=∠AFE=90° 又∵∠AFD=90° ∴点D，F，E在一条直线上． 设BE=x，则EF=x，DE=12+x，EC=13-x， 在Rt△CED中，∠C=90°， ∴， 即 ． ∴x=1． ∴BE=1． 【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 69．如图，四边形是平行四边形，为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接，若．求证：四边形为菱形． 证明：如图∵四边形是平行四边形 ∴______①______ ∴ 又∵中，，于点 ∴______②______ 在和中 ∴ ∴______③______ 又∵ ∴四边形为平行四边形 又∵______④______ ∴平行四边形为菱形 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据题意，过点作的垂线，垂足为点，交于点； （2）证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2） 证明：连接，如图∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵中，，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查了作垂线，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 70．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A，B均在格点上． （1）在图1中画出以为边且周长为无理数的，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）． （2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、正方形的判定定理理解 【分析】（1）根据题意，只要使得AB的邻边AD的长是无理数即可； （2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边形为所作． 【详解】.解：（1）如图四边形即为所作，答案不唯一． （2）如图，四边形即为所求作的正方形． 【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键． 71．如图，在菱形中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理． （1）利用菱形的性质结合已知条件用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2）， ， ，， ． 72．如图，三角形A’B’C是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A’，点B与点B’，点C与点C’分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题． (1)分别写出点A、点B、点C、点A’、点B’、点C’的坐标，并说明三角形A’B’C’是由三角ABC经过怎样的平移得到的． (2)若点M (a+2， 4-b)是点N (2a-3， 2b- 5)通过(1)中的变换得到的，求a和b的值． 【答案】（1）A(0，3)，B(2，1)，C (3，4)，A’ (-3，0)，B’（-1， -2)，C’(0，1)，△ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位可以得到△A’B’C’；（2）a=8，b=4． 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、平移综合题(几何变换) 【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离； （2）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值 【详解】解：（1）由图可知，A(0，3)，B(2，1)，C (3，4)，A’ (-3，0)，B’（-1， -2)，C’(0，1)， ∴△ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位可以得到△A’B’C’． (2)由(1)中的平移变换的2a-3-3=a+2， 2b-5-3=4-b，解得a=8，b=4． 【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 73．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 【答案】(1)， (2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式． （1）根据两家公司的费用计算方法求解即可； （2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算． 【详解】（1）解：根据题意，， 当时，， ∴，； （2）解：时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算； 当时， 当时，， 解得， 此时选择甲乙公司一样合算； 当时，且， 解得， 此时选择乙公司合算； 当时，， 解得， 此时选择甲公司合算； ∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算． 74．如图，在四边形中，，，E是的中点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，再证明，根据，证明四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 75．如图，在中，点E、F是上两点，，连接，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键． 由，可得，，证明，则，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， 四边形是矩形． 76．综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 【答案】(1)1.5 (2)2或3 (3)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、根据三角形中线求长度 【分析】（1）利用三角形中线的性质即可解决问题 （2）证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）过点作，交延长线于点H，先证明，则，，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与不全等与为积等三角形， ∴．， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． （3）如图，过点作，交延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与为积等三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 77．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．    (1)将向左平移5个单位得到，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、写出直角坐标系中点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】（1）作出点A、B、C平移后的对应点、、，再顺次连接即可； （2）作出点、绕点顺时针旋转后的对应点、，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为．      【点睛】本题主要考查了旋转作图和平移作图，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点． 78．尺规作图：如图，将平行四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】以为圆心，的长为半径画弧，交于；分别以，为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交的交点为，则即为折痕； 本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的折痕． 79．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ． (1)求证：△APD≌△BQC； (2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形． 【答案】证明见解析 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵CQ∥DB， ∴∠BCQ=∠DBC， ∵DP=CQ， ∴△ADP≌△BCQ； （2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP， ∴四边形CQPD是平行四边形， ∴CD=PQ，CD∥PQ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴AB=PQ，AB∥PQ， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∵△ADP≌△BCQ， ∴∠APD=∠BQC， ∵∠∠APD+∠APB=180°， ∴∠ABP=∠APB， ∴AB=AP， ∴四边形ABQP是菱形． 【点睛】考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 80．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请在网格中画出； (2)请仅用无刻度的直尺作出的平分线．（保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【知识点】利用菱形的性质证明、平移(作图)、勾股定理与网格问题 【分析】（）根据平移的性质作图即可； （）取格点，连接，由网格和勾股定理可得，可知四边形为菱形，故平分； 本题考查了平移作图，菱形的性质，勾股定理，掌握平移和菱形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 81．为丰富“阳光一小时”体育锻炼活动，学校准备购买足球、篮球共100个，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多30元，用5400元购买的篮球的个数比用4800元购买的足球的个数少20个． (1)求篮球和足球的单价． (2)为了支持学校开展体育活动，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？ 【答案】(1)足球的单价为元，篮球的单价为元 (2)最省钱的购买方案：篮球购买个，足球购买个，最少费用为元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据“用5400元购买的篮球的个数比用4800元购买的足球的个数少20个”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购买了个篮球，总费用为，则购买了个足球，根据“购买篮球数量不少于足球的一半”列出一元一次不等式，求出的取值范围，求出关于的关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意； ∴（元）， ∴足球的单价为元，篮球的单价为元； （2）解：设购买了个篮球，总费用为，则购买了个足球， 根据题意得：， 解得：， 由题意得；， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小，为（元），此时（个）， ∴最省钱的购买方案：篮球购买个，足球购买个，最少费用为元． 82．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）： ①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是 形； ② 当△ABC满足条件 时，四边形AFBD是正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）① 矩形；②，且 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查各种四边形的判定，（1）要证明四边形AFBD是平行四边形一组对边平行且相等；（2）①对角线相等的平行四边形是矩形，②对角线相等且垂直的平行四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵AF∥BC ∴∠AFE=∠ECD，∠FAE=∠CDE 又∵E是AD的中点 ∴AE=DE ∴ ∴AF=DC 又∵D是BC的中点 ∴DB=DC ∴AF=DB 又∵AF∥BC ∴四边形AFBD是平行四边形 （2）解：由（1）知四边形AFBD是平行四边形， ，D是BC的中点， ,, 四边形AFBD是矩形. 若, D是BC的中点 则, 四边形AFBD是正方形. 故：① 矩形；②，且． 83．一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利(元) 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． （1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ （2）如果先进行精加工，然后进行粗加工． ①试求出销售利润元与精加工的蔬菜吨数之间的函数关系式； ②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？ 【答案】（1）应安排4天进行精加工，8天进行粗加工 （2）①= ②安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）本题等量关系为：精加工天数十粗加工天数=12，精加工吨数+粗加工吨数=140，列出方程组求解即可． （2）①根据精加工吨数和粗加工吨数的等量关系，用精加工吨数m来表示粗加工吨数，在列出W与m之间的关系， ②根据题意要求先确定m的取值范围，然后表示W并求出W最大值． 【详解】解：（1）设应安排天进行精加工，天进行粗加工， 根据题意得 解得 答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工． （2）①精加工吨，则粗加工（）吨，根据题意得 = ②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， 解得 又在一次函数中，， 随的增大而增大， 当时， 精加工天数为=1， 粗加工天数为 安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题关键在于看清题意，找到正确的等量关系，列出方程式，最后解出答案． 84．“高山云雾出名茶”，得天独厚的自然地理环境，宜人的亚热带季风气候，冬不寒冷，夏不炎热，造就了云南丰富茶树品种资源．某茶叶专卖店准备购买A、两种茶叶进行销售，如果分别用1600元购买A、两种茶叶，购买A种茶叶的数量比购买种茶叶的数量少2千克，已知种茶叶的单价为A种茶叶单价的． (1)求A、两种茶叶的单价分别为多少元？ (2)茶叶专卖店计划购买A、两种茶叶共60千克，总费用不多于10400元，并且要求A种茶叶数量不能低于15千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多少元？ 【答案】(1)A种茶叶的单价为200元，种茶叶的单价为160元 (2)当A种茶叶购买15千克，种茶叶购买45千克时，费用最少，最少为10200元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的经济问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】(1)设A种茶叶单价元，则种茶叶单价为元，根据题意得到分式方程，解方程即可得出结论； (2)设购买种茶叶千克，总费用为元，则购买种茶叶千克，可得一次函数的解析式，再由可得m的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种茶叶单价元，则种茶叶单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：A种茶叶的单价为200元，则种茶叶的单价为160元； （2）解：设购买种茶叶千克，总费用为元，则购买A种茶叶千克， ， 由题意可得 解得，， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元，其中， 答：当A种茶叶购买15千克，种茶叶购买45千克时，费用最少，最少为10200元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用及一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解． 85．某商店第一次用600元购进某种铅笔若干支，第二次又用600元购进该种铅笔，但这次每支的进价比第一次贵l元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价及购进的数量； （2）若将这两次购进的铅笔按同一单价x（元，支）全部销售完毕，并要求获利不低于420元，求获利y（元）关于单价x（元／支）的函数关系式及定义域，并在直角坐标系内画出它的大致图象． 【答案】（1）第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支．（2）y=270x-1200（x≥6）． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】（1）设第一次每支铅笔的进价为a元／支，根据第二次购进数量比第一次少了30支列方程，然后解方程即可； （2）根据利润=一只的利润×数量，分别表示出两次的利润，然后y=第一次的利润+第二次的利润可得函数关系式. 【详解】（1）设第一次每支铅笔的进价为a元／支， 则据题意得=30， ∴a1=4，a2=-5（舍）， =150． 答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支． （2）由题意得：y=（x-4）150+（x-5）120=270x-1200， 即获利y（元）关于单价x（元／支）的函数关系为：y=270x-1200（x≥6）．    （10分） 考点：1.分式方程的应用；2.确定函数关系式及图像. 86．如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ，， ， 在和中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 87．声音在空气中传播的速度y（米/秒）是气温x (摄氏度)的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速． 气温x/摄氏度 0 5 10 15 20 音速y/(米/秒) 331 334 337 340 343 （1）求y 与 x之间的函数关系式 （2）气温x=22(摄氏度)时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地相距多远？ 【答案】（1）（2）1721 【知识点】一次函数的实际应用 【分析】(1)由表中的数据可知，温度每升高5℃，声速就提高3米/秒，所以y是x的一次函数，利用待定系数法即可求出该函数解析式； (2)令x=22，求出此时的声速y，然后利用路程=速度×时间即可求出该距离． 【详解】(1)根据表中数据可知y与x成一次函数关系， 故设y=kx+b，取两点(0，331)，(5，334)代入关系式得 ，解得， ∴函数关系式为y=x+331； (2)把x=22代入y=x+331， 得y=×22+331=344.2， 334.2×5=1721m， ∵光速非常快，传播时间可以忽略， 故此人与燃放烟花的所在地相距约1721m． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是仔细分析表中的数据，利用待定系数法求出函数解析式． 88．某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． (1)，两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)A每件进价120元，B每件进价150元； (2)A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】（1）设A每件进价x元，B每件进价y元， 由题意得， 解得：， 答：A每件进价120元，B每件进价150元； （2）设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得， 解得， 设利润为y元，则， ∵y随a的增大而减小， ∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800， 答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 89．阅读下面材料： 我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算． 例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 解：∵y＝﹣2x+5 ∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5 ∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为： d＝＝＝＝ 根据以上材料解答下列问题： (1)求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离； (2)如图，直线＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． (3)若将绕其与y轴的交点逆时针旋转90度与相交，直接写出大于时，x的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数图象平移问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、点到直线的距离 【分析】（1）把点Q的坐标代入公式d＝计算即可； （2）在直线y＝﹣x上任意取一点P，求出点P的坐标，然后根据距离公式即可求出点P到直线y＝﹣x+2的距离，即可得出两平行线间的距离； （3）先求出旋转后的直线解析式，然后求出此直线与与的交点，最后观察图象即可得出结论. 【详解】（1）∵3x﹣y+7＝0， ∴A＝3，B＝﹣1，C＝7． ∵点Q（﹣2，2）， ∴d＝， ∴点Q（﹣2，2）到到直线3x﹣y+7＝0的距离为； （2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y＝﹣x+2， 在直线y＝﹣x上任意取一点P， 当x＝0时，y＝0． ∴P（0，0）． ∵直线y＝﹣x+2， ∴A＝1，B＝1，C＝﹣2 ∴d＝， ∴两平行线之间的距离为； （3）直线：y＝﹣x+2与y轴的交点为（0，2）， 设直线绕其与y轴的交点逆时针旋转90度后的直线解析式为y＝x+b， ∴2=b， ∴旋转后直线为y＝x+2， 联立方程组 ， 解得 ∴交点坐标为（-1，1）， 由图象可知：大于时，x的取值范围为. 【点睛】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式等知识点，正确理解点到直线的距离公式是解题的关键. 90．在“母亲节”到来之际，某校九年级团支部组织全体团员到敬老院慰问.为筹集慰问金，团员们利用课余期间去卖鲜花．已知团员们从花店按每 支1.5元的价格买进鲜花共支，并按每支5元的价格全部卖出，若从花店购买鲜花的同时，还用去50元购买包装材料． （1）求所筹集的慰问金y（元）与x（支）之间的函数表达式； （2）若要筹集不少于650元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？ 【答案】（1）；（2）200. 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【详解】试题分析：（1）根据：慰问金=销售额-成本，可得所筹集的慰问金y（元）与x（支）之间的函数表达式. （2）根据要筹集的慰问金大于等于650元，可将至少要卖出的鲜花支数求出． 试题解析：（1）所筹集的慰问金y（元）与x（支）之间的函数表达式为：． （2）当y≥650时，即3.5x-50≥650， 解得x≥200． 答：若要筹集不少于650元的慰问金，至少要售出鲜花200支． 考点：一次函数和一元一次不等式的应用． 91．2021年初，澄城樱桃入选第四批国家级特色农产品优势区，与此同时，樱桃产业也成为了当地的特色王牌产业，被称作是农民脱贫致富的“看家果”．小李想在澄城县某果园购买一些樱桃，经了解，该果园的樱桃有以下两种销售方案： 方案1：整箱销售（无包装），定价为20元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的樱桃的价格打8折； 方案2：整箱销售（精美包装），每箱装10斤，定价为200元/箱． (1)设小李购买樱桃x斤，按方案1购买的付款金额为y1元，求出y1与x之间的函数关系式； (2)若小李想在该果园购买30斤樱桃，并将这些樱桃（每10斤装箱）送给外地的三个好朋友，已知小李购买散称樱桃自己包装时，每10斤需要包装费30元．请你帮助小李计算，按哪种方案购买更划算？ 【答案】(1) (2)小李按照方案二购买更划算 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意和题干中的数据，即可写出按方案1购买的付款与之间的函数关系式； （2）根据题意，可以分别计算出两种方案下的花费情况，再比较大小即可得出答案． 【详解】（1）由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，y1与x之间的函数关系式是； （2）按方案一购买需要花费：（元）， 按方案二购买需要花费：（元）， ∵， ∴小李按照方案二购买更划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，写出相关的函数解析式． 92．如图所示，已知ABCD，AB=CD，∠A=∠D． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，∠1=2∠2，CF=5，求AF+BC的值．    【答案】（1）见详解；（2）5 【知识点】利用矩形的性质证明、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由题意根据矩形的判定定理即“有一内角为直角的平行四边形是矩形”进行证明即可； （2）根据题意延长DA，CE交于点G，并运用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质进行综合分析即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵ABCD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ABCD， ∴∠A+∠D=180°， 又∵∠A=∠D， ∴∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD为矩形； （2）延长DA，CE交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°，ADBC， ∴∠GAE=90°，∠G=∠2， ∵E是AB边的中点， ∴AE=BE， 在△AGE和△BCE中，， ∴△AGE≌△BCE（AAS）， ∴AG=BC， ∴， ∵∠1=2∠2=，∠G=∠2， ∴， ∵CF=5， ∴AF+BC=5． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握并通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 93．新冠肺炎突袭，防疫物资紧缺成为各国急需解决的难题，作为一个负责任大国，中国向各国验发出口防疫物资，深圳海关现要验发万件物资．为了尽快把防疫物资发往各国，深圳海关把工作效率提高到原计划的倍，结果比原计划提前小时完成了验发出口防疫物资． (1)求原计划每小时验发出口多少万件防疫物资？ (2)中国将第一批次援助巴基斯坦防疫物资打包成件．现计划租用甲、乙两种飞机共架，将这批口罩和防护服全部运往巴基斯坦，且乙种飞机数量不少于甲种飞机的．如果甲种飞机每架需付运输费万元，乙种飞机每架需付运输费万元，在租用甲、乙两种飞机时，应该如何安排可使运输费最少？最少运输费是多少万元？ 【答案】(1)万 (2)当租用甲种飞机架，乙种飞机架时，使运输费最少，最少运输费是万元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题 【分析】（1）设原计划每小时验发出口万件防疫物资，则实际每小时验发出口万件防疫物资，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设租用甲种飞机架，则租用乙种飞机架，根据题意列出不等式，得出设总运输费为万元，根据题意，列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）设原计划每小时验发出口万件防疫物资，则实际每小时验发出口万件防疫物资， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每小时验发出口万件防疫物资． （2）设租用甲种飞机架，则租用乙种飞机架， 依题意得：， 解得：． 设总运输费为万元，则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值， 此时． 答：租用甲种飞机架，则租用乙种飞机架，最少运输费是万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键． 94．有一张矩形纸片，，分别是边，上的点（不与顶点重合），如图所示，若将矩形分成面积相等的两部分．求证：． 【答案】见解析 【知识点】梯形、利用矩形的性质证明 【分析】根据题知，EF将矩形分割为两个面积相等的梯形，而且两个梯形腰相等，利用面积相等即可证得． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质及梯形的面积公式，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键． 95．植树造林不仅可以美化家园，同时也可以调节气候、促进经济发展．在植树节前夕，某单位计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元． (1)若购进的A、B两种树苗刚好1220元，求A、B两种树苗分别购买了多少棵？ (2)若购买A种树苗a棵，所需总费用为w元．求w与a的函数关系式． (3)若购买时A种树苗不能少于5棵，w的最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)A种树苗购进10棵，B种树苗购进7棵 (2) (3)，理由见解析 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设购进A种树苗x棵，购进B种树苗y棵，根据“购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元，购进的A、B两种树苗刚好1220元”列方程组解答即可； （2）根据所需费用为w＝A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答； （3）结合（2）利用一次函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）设A、B两种树苗分别购进x棵、y棵．根据题意得： 解这个方程组得： 答：A种树苗购进10棵，B种树苗购进7棵． （2） （3） 随a的增大而增大 而 当时有最小值： 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决（3）的关键． 96．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，已知是由经过顺时针旋转变换得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是_______，旋转角的大小是________； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出按顺时针方向旋转90°得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）O（0，0）；90°．（2）作图见解析，A2（1，−3），B2（3，1），C2（3，−3）． 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心． （2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，旋转中心的坐标是O（0，0），旋转角为90°． 故答案为：O（0，0）；90°． （2）如图，△A2B2C2即为所求作．A2（1，−3），B2（3，1），C2（3，−3）． 【点睛】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 97．问题提出 （1）将线段平移至线段，则线段与线段的数量关系是______，位置关系是______． 问题研究 （2）如图1，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为多少？ 问题解决 （3）如图2，有一块三角形余料，，．工人师傅想利用余料裁一个，要求，D在上，且，请问能否裁出一个周长最小的？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由． 【答案】（1）相等；平行；（2）的最小值为6；（3）能，周长的最小值是，理由见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平移的性质求解、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由平移的性质可得答案； （2）如图1，过点A作，且使，连接交于点F，则此时的值最小，连接，证明四边形是平行四边形，再进一步解答即可； （3）如图2，作点B关于的对称点，连接 ，，，作，且，可得四边形是平行四边形，由的周长，可得要求的周长最小，即求最小，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵线段平移至线段， ∴，， （2）如图1，过点A作，且使， 连接交于点F，则此时的值最小， 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴，在中， ， ∴的最小值为6； （3）能， 理由：如图2，作点B关于的对称点，连接 ，，， 作，且， ∴四边形是平行四边形， 由对称得，， ，， ∴，为等边三角形， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵的周长， ∴要求的周长最小，即求最小， ∵， ∴如图3，当点B，C，共线时，的值最小，即求的长， 在中， ∴周长的最小值是． 【点睛】本题考查的是平移的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 98．移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如下表： 套餐 月保底费（元） 包通话时间（分钟） 超时费（元分钟 A 38 120 0.1 B C 118 不限时 设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为元，元，其中B套餐的收费金额元与通话时间x分钟的函数关系如图所示： （1）结合表格信息，求与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）结合图像信息补全表格中B套餐的数据； （3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由． 【答案】（1）；（2） ；（3）见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据表格中套餐的信息，可得关于的函数关系式，然后根据函数关系式写出相应的自变量取值范围； （2）根据图象信息可求出表格中套餐的数据，并补全表格； （3）根据题意通过计算比较在不同取值范围中选择哪种套餐的费用最少即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 整理可得，； （2）由图象可得套餐月保底费为元，包通话时间为分钟，超时费为 元分钟， 故答案为：； （3）当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少． 理由如下： 当x>360时，设: 又∵图像过点（360，58），（480，70）两点 解得： ∴     ， 令，得， 令，得， 即当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 99．两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置 (1)如图①，求证：四边形ABCD是菱形． (2)如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S四边形ABCD＝16，PB＝2， ①求∠BAD的度数； ②求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)①45°；②6﹣4 【知识点】、根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长、四边形其他综合问题 【详解】（1）如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q， 则∠AED＝∠CQD＝90°， ∵矩形纸片宽度均为4， ∴DE＝DQ， 又∵∠CDE＝∠ADQ＝90°， ∴∠ADE＝∠CDQ， 在△ADE和△CDQ中， ， ∴△ADE≌△CDQ（ASA）， ∴AD＝CD， 又∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）①如图1， ∵S四边形ABCD＝16， ∴AB×DE＝16，即AB×4＝16， ∴AB＝4＝AD， ∴， ∴∠BAD＝45°； ②如图2， ∵菱形ABCD中，AB＝BC＝4，而PB＝2， ∴CP＝4﹣2， 又∵PF⊥AD，AD∥BC， ∴PF⊥BC， 又∵∠PCG＝∠BAD＝45°， ∴PG＝4﹣2， ∴FG＝PF﹣PG＝4﹣（4﹣2）＝6﹣4， 又∵∠CDF＝45°＝∠DGF， ∴DF＝FG＝6﹣4． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 100．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E． (1)若BC＝BD，tan∠ABE＝3，DE＝16，求BC的长． (2)若∠DBC＝45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF＝2EO，求证：CF＝CD． 【答案】(1)BC＝20或16；(2)证明见解析. 【知识点】根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、利用勾股定理证明线段平方关系、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】(1)根据题意设BC＝x，则AD＝BD＝x，得到AE＝3x﹣48，再根据勾股定理即可解答 (2)延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG．可得到△BEM≌△BEF(SAS)，再由此得到四边形BGDN是正方形，最后证明△DNF≌△DGC(SAS)，即可解答 【详解】(1)设BC＝x，则AD＝BD＝x， ∵DE＝16， ∴BE＝x﹣16， ∵AE⊥BD，tan∠ABE＝3， ∴AE＝3(x﹣16)＝3x﹣48， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， x2﹣(3x﹣48)2＝162， 解得，x＝20或16， ∴BC＝20或16， (2)延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG． ∵AE⊥BD， ∴OG⊥BD， ∵OB＝OD， ∴BG＝DG， ∵∠DBC＝45°， ∴∠BDG＝45°， ∴∠BGD＝90°， ∵OG∥AM，OA＝OC， ∴OH＝ AF＝OE，HF＝HC， ∴∠OEH＝∠OHE＝45°＝∠OBC， ∴EH∥BC， ∴EF＝MF， ∵BE⊥MF，BF＝BF， ∴△BEM≌△BEF(SAS)， ∴∠MBE＝∠EBF＝45°，BM＝BF， ∴∠DNB＝∠NBG＝90°， ∴四边形BGDN是正方形， ∴DG＝DN＝BN＝BG， ∴MG＝FN， ∵AM∥OG，OA＝OC， ∴MG＝CG， ∴CG＝FN， 在△DNF和△DGC中， ， ∴△DNF≌△DGC(SAS)， ∴DF＝DC，∠NDF＝∠GDC， ∴∠FDC＝∠NDG＝90°， ∴CF＝ CD． 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形全等和正方形的性质，综合性比较大，熟练掌握证明性质是解题关键 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$