第18章 专项7-8 平行四边形的综合应用&平行四边形问题中的分类讨论思想&真题检测训练-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（华东师大版）

参考答案及解析 5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 2.(1)证明：：FE∥BC,FD∥BE, .AD∥BC,AD=BC,∴.∠ADF=∠BEF 四边形BEFD为平行四边形， 点F是AB的中点，∴.AF=BF .∠B=∠EFD. AB=AC, r∠ADF=∠BEF, ,∠B=∠ACB. 在△ADF和△BEF中，∠AFD=∠BFE, .FE//BC, AF BF, ∴，∠AFE=∠ACB, .△ADF≌△BEF(A.A.S.),.DF=EF ,∠AFE=∠EFD. .FC=GC, 又，AF=BF,∴.四边形AEBD是平行四边形 .∠GFC=∠FGC. (2)解：如答图，过点D作DG⊥BC于点G,过点B ∠AFE=∠GFC=∠EFD,∴.∠EFD=∠FGC, 作BH⊥CD于点H, .FD//CG, BD=BC=5,CD=6, .四边形DFGC为平行四边形， ..0D=0G ..CH=DH-7CD-3, (2)解：：△ABC为等腰直角三角形， .∠B=45°， .BH=√BC-CF=√52-32=4 易得△FCG为等腰直角三角形. BGx DGCDx B :四边形DFGC为平行四边形， .FG=DC=2,DF=CG. DG=CD×BH_6×4_24 设CG=CF=x, BC 5=5 x2+x2=22 :四边形AEBD是平行四边形，∴，BE=AD. ∴x=2(负值已舍去)， 又：AD=BC,∴BE=BC=5, .BE=DF=CG=√2. ∴，平行四边形AEBD的面积为 3.解：(1)补全的图形如答图所示，点0即为所求 B6xDc=5x号=24 D 3题答图 (2)ACBC两组对边分别相等的四边形是平行 5题答图 四边形平行四边形的对角线互相平分 题型变式 4.9[解析]：四边形ABCD是平行四边形，点A、C 1.B 的坐标分别是(2,4)，(3,0)，∴.点B的坐标为 2.1或3[解析]设运动tg时，以点M、E、N、F为顶 (5,4).把点A(2,4)的坐标代入y= 年，得k=8, 点的四边形是平行四边形.CD∥AB,∴.当ME= “反比例画数的表达式为y=8设直线BC的表 NF时，以，点M、E、N、F为顶点的四边形是平行四边 达式为y=kx+b.把点B(5,4),C(3,0)的坐标分别 形.由题意，得ME=I4-l,NF=15-2l,∴.|4- =15-2l,.4-t=5-2t或4-t=2t-5,∴.4=1或 代入，得k+hA解得=2，。·直线BG的表 13k+b=0, 1b=-6, t=3.故答案为1或3. 「y=2x-6, 专项7平行四边形的综合应用 达式为y=2x-6解方程组8得任4或 (y=- . ly=2 1.D[解析]平行四边形ABCD,AD=BC,AB= CD,OA=OC..EO LAC,..AE EC..AB +BC+ [皮（不特合题意，合去）点D的金标为 CD+AD=16cm,.AD+DC=8cm,.△DCE的周 1 (4,2),即D为BC的中点，SAMm= 长是CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD= 8cm.故选D. 六Sat0@=52w-S6m=3X4-4×3×4=9, ·35· 八年级数学·华师版（下册） 5.解：(1)点A(-2,a)在一次函数y1=x-2的图象 线c在直线a、b之间时，a与b之间的距离为 上，∴.a=-2-2=-4,A(-2,-4). 5cm,b与c之间的距离为2cm,∴，a与c之间的距离 :A(-2,-4)在反比例函数为=上(k≠0)的图 为5-2=3(cm).综上所述，a与c之间的距离为 3cm或7cm.故选C. 象上-4= 2k=8, “反比例函数的表达式为为=8 (2:点B(m,2)在反比例函数为=的图象上， 1题答图① 1题答图② 2=是即m=484,2) ,氢易错分析 直线c的位置不明确，注意分①直线c在 令y1=0,得x-2=0,.x=2,D(2,0). 直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况 Sam=Saw+5aw=7x0Dxxl+7×0Dx 讨论求解 2.D[解析]如答图①，BE=3cm,CE=4cm. l=7×2x4+7x2x2=6 :四边形ABCD为平行四边形， (3)(0,2)或(0，-6)或(-2,0)或(6,0) ,AD=BC,AB=CD,AD∥BC.∴.∠DAE=∠AEB. ①如答图①，当四边形M,N,CD是平行四边形时， AE平分∠BAD,∴.∠BAE=∠DAE. ∴.∠BAE=∠AEB...AB=BE=3cm DM1∥y轴，DM1=CN1, :AE平分∠BAD,..∠BAE=∠DAE. .M1(2,4),.CN1=4. C(0,-2),.N(0,2) ∴∠BAE=∠AEB.AB=BE=3cm .口ABCD的周长为(3+3+4)×2=20(cm). M N 0 D 2题答图① 2题图答② 如答图②，BE=4cm,CE=3cm. 同理可得AB=BE=4cm, 5题答图① 5题答图② ∴□ABCD的周长为(4+4+3)×2=22(cm) ②如答图②，当四边形M2CN,D是平行四边形时， :以易错分析 同理得N2(0,-6). 本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成 ③如答图③，当四边形M,N,DC是平行四边形时， 3cm和4cm两部分，没有明确哪部分是3cm, CM3∥DN.在y1=x-2中，当x=0时，y1=-2, 哪部分是4.cm,故分两种情况 ∴C(0,-2),M3(-4,-2),DN3=CM3, 3.D[解析]①如答图①，在口ABCD中，：BC=AD .DN3=4. =8,BC∥AD,CD=AB,∴.∠DAE=∠AEB,∠ADF= D(2,0,).N(-2,0) ∠DFC.,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分 ∠ADC交BC于点F,∠BAE=∠DAE,∠ADF= B N ∠CDF,∴.∠BAE=∠AEB,∠CDF=∠CFD,∴.AB= 0/D BE,CF=CD.EF=2,..BC=BE +CF -EF =2AB N M: -EF=8,,AB=5.②如答图②，同理，BC=BE+ CF+EF=2AB+EF=8,∴，AB=3.综上所述，AB的 5题答图③ 5题答图④ 长为3或5.故选D. ④如答图④，当四边形MDN,C是平行四边形时， 同理得DN4=CM=4,.N(6,0). 综上，点N的坐标为(0,2)或(0，-6)或(-2,0)或 B E F (6,0). 3题答图① 3题答图②② 专项8平行四边形问题中的分类讨论思想 :易错分析 1.C[解析]如答图①，直线c在直线a、b外时，a 解无图问题时考虑不全面造成漏解 与b之间的距离为5cm,b与c之间的距离为2cm, 在解无图问题时，往往需要对点、线的位置 .a与c之间的距离为5+2=7(cm);如答图②，直 分类讨论，否则会出现漏解的情况 ·36. 参考答案及解析 4.√89或17[解析]分两种情况讨论：①当∠ABC F 为锐角时，如答图①，过点A作AE⊥BC于点E,根 据题意得，BC·AE=80,∴AE=8.在Rt△ABE中， AB=√89，AE=8,.BE=5,CE=BC-BE=10- 5=5.在R1△AEC中，AC=√AE+CE=√82+5 6题答图① 6题答图② =√89.②当∠ABC为钝角时，如答图②，过点A作 7.解：(1)四边形ABCD是平行四边形， AE⊥BC交CB的延长线于点E,∴∠AEB=90°.在 ∴AD∥BC,∴，∠AEB=∠CBE. Rt△ABE中，AB=89,AE=8,BE=5,.CE= :BE是∠ABC的平分线， BC+BE=10+5=15.在Rt△AEC中，AC= .∠ABE=∠CBE,∴.∠ABE=∠AEB,.AE=AB. √AE+CE=√82+15=17.综上所迷，AC的值 .2AB =6 cm,.'.AE =3 cm. 故AE的长为3cm 为√89或17. (2)由(1)知，AE=3cm AD =6 cm,.'.ED =AD-AE =3(cm). 由题意知，EM=tcm,CN=4tcm(0≤t≤3) :AD∥BC,要使以M、E、B、N四点为顶点的四边形 B E C 是平行四边形，∴.只需EM=BN. 4题答图① 4题答图② 当点N在边BC上时，BN=BC-CN=6-4t(cm), 5.4:1:2或3：2：1[解析]：四边形ABCD是平行四 边形，∴AB∥CD,∴.∠CDE=∠DEA.DE是∠ADC 54=6-4,解得4=号 的平分线，，∠CDE=∠ADE,.∠DEA=∠ADE, 当点N在边CB的延长线上时， .AE=AD.如答图①，若AB=6,AD=4,则AE=AD 三4：P是AB的中点，AP=之AB=3,EF=A证 BN =CN-BC =4t-6(cm), ∴.t=4t-6,解得t=2 -AF=1,BE=AB-AE=2,∴AE:EF:BE=4:1:2.如 答图②，若AB=4,AD=6,易得AE=AD=6.F是 故当：=号或1=2时，以M,EB,N四点为顶点的 MB的中点，所以MF=B=2…BF=AB-AF=4, 四边形是平行四边形， (3)如答图，连结BD交MN于点O, BE=AE-AB=2,.AE:EFBE=6:4:2=3:2:1. B N C 7题答图 :线段NM将平行四边形ABCD的面积二等分， FE 5题答图① 5题答图② ,NM必过BD的中点， 6.解：如答图①，当点E在边BA的延长线上，点F在 ..OB=OD. 边AD上时，在口ABCD中，AB∥CD,∴∠E= AD∥BC,∴.∠MDO=∠NBO. ∠DCE.,CE平分∠BCD,∴.∠DCE=∠BCE, r∠MDO=∠NBO, LE=LBCE又：∠B=74∠BGE=2(180 在△MOD和△NOB中 OD=OB. L∠DOM=∠BON, -∠B)=2×(180-74)=53AD∥BC, .△MOD≌△NOB(A.S.A.),.DM=BN. ∴.∠AFE=∠BCE=53°，∴.∠EFD=180°-∠AFE 由题意知，EM=tcm,CV=4tcm, =180°-53°=127°. .DM=3-t(cm),BN=6-4(cm), 如答图②，当点E在边BA上，点F在边DA的延长 六.3-t=6-4t,解得t=1. 线上时，在□ABCD中，AD∥BC,∠D=∠B=74°， 故当，=1时，线段NM将平行四边形ABCD的面积 ∴∠F=∠BCE.:CE平分∠BCD,·.∠DCE= 二等分 ∠BCE,∴.∠F=∠DCE,又∠D=74°，∴∠EFD= 真题检测训练 2(180°-∠D)=7×(180°-749)=530 1.C[解析]四边形ABCD是平行四边形，∠BAC =40°，.AB∥CD,.∠ACD=∠BAC=40. 综上所述，∠EFD的度数为127°或53 :∠ACB=80°，∴.∠BCD=∠ACB+∠ACD=120° ·37. 八年级数学·华师版（下册） 2.D[解析]如答图，连结OA,设AB交y轴与点C,|7.证明：(1)在△AEF和△DEC中， 四边形OBAD是平行四边形，且面积是5，.Sa40s AE DE, =子5ow=子.AB/0D,AB⊥y轴点B在反 ∠AEF=∠DEC, LFE =CE, 比例画数y=子（✉>0）的图象上，顶点A在反比例 ,△AEF≌△DEC(S.A.S.). (2)△AEF≌△DEC,∴.∠AFE=∠DCE, 画数y=兰（x<0)的国象上Saw=受，小am ∴，AB∥CD.AD∥BC, ∴，四边形ABCD为平行四边形 k 第19章矩形、菱形与正方形 =-2. 19.1矩形 1.矩形的性质 【基础巩围练】 1.矩形 2.14125[解析]矩形周长=(3+4)×2=14，矩 D O 2题答图 形面积=3×4=12，矩形对角线长=√3+4=5. 3.4a+2b[解析]∠B=80°，四边形ABCD为平行 3.B[解析]~四边形ABCD是矩形， 四边形，∴，∠D=80°.由折叠可知∠ACB=∠ACE, ∴.AC=BD,OA=OC,OD=OB,∴.OA=OB. 又AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴.∠ACE= ∠AOB=60°，，△AOB是等边三角形， ∠DAC,∴.△AFC为等腰三角形，∴.AF=FC=a.设 ..AO=AB,..AC=2A0 =2AB. ∠ECD=x,则∠ACE=2x,.∠DAC=2x.在△ADC ,AC+AB=2AB+AB=12,∴，AB=4.故选B. 中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°= 4.60°[解析]，ABCD为矩形，∴.∠ABC=90 180°，解得x=20°..∠DFC=4x=80°，.△DFC为 ∠CBA'=30°，LABA'=LABC-∠CBA'=60 等腰三角形，DC=FC=a,∴AD=AF+FD=a+ 由折叠可知LMBE=LA'BE=子LABA'=30,∠A b,∴.□ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b) =∠A=90°，在△A'BE中，∠BEA'=180°-∠A'- =4a+2b. ∠A'BE=180°-90°-30°=60° 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 5.5[解析]：四边形ABCD是矩形，AC=BD= AB=CD,∠A=∠C. BE=DH,∴AB-BE=CD-DH,即AE=CH 10,0B=0D=2BD,0D=5 AE CH, 6.12 cm,8 cm,12 cm,8 cm 在△AEF和△CHG中，{∠A=∠C, [解析]：矩形ABCD的周长为40cm,∴.2(AB+ LAF=CG, AD)=40cm,.AB+AD=20cm.①.△AOB的周 ∴.△AEF≌△CHG(S.A.S.),∴EF=HG 长比△AOD的周长多4cm,∴.A0+B0+AB-A0- 5.D[解析]A.80°+110°≠180°，故A选项不符合 D0-AD=4cm.点O是矩形ABCD的对角线的交 题意；B.只有一组对边平行不能确定是平行四边 点，∴.B0=D0,∴.AB-AD=4cm.②联立①②，解得 形，故B选项不符合题意；C,不能判断出任何一组 AB=12 cm.AD =8 cm..'BC =AD=8 cm,CD =AB 对边是平行的，故C选项不符合题意；D.有一组对 12cm.,∴，矩形ABCD的各边长分别为12cm,8cm, 边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符 12 cm,8 cm 合题意， 7.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， 6.B[解析]，EF∥AC,GF∥AB,.四边形AEFG是 .AC=BD,BC∥AD, 平行四边形，∠B=∠GFC,∠C=∠EFB.:AB= .BC∥DE. AC,∴.∠B=∠C,÷∠B=∠EFB,∠GFC=∠C, :BD∥CE, ∴EB=EF,FG=GC,∴.四边形AEFG的周长=AE+ .四边形DECB是平行四边形， EF+FG+AG=AE+EB+GC+AG=AB+AC=8+8 .BD=CE, =16. ∴.AC=CE. ·38.第18章 平行四边形 专项7平行四边形的综合应用 [答案35] 类型①平行四边形与三角形的综合 类型③平行四边形与函数的综合 (山东德州期中)如图，口ABCD的周长为16cm, ④如图，以口ABC0的顶点O为原点，边OC所在 AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于点E,则 直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的 △DCE的周长为 坐标分别是(2,4)，(3,0)，过点A的反比例函数 y=←的图象交BC于点D,连结AD,则四边形 AOCD的面积是 1题图 A.7 cm B.16 cm C.9 cm D.8 cm 2如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,点E为AB 上一点，过点E作EF∥BC,交AC于点F,过点F 作FD∥AB,交BC于点D.以CF为边，作等腰 4题图 △FCG,令CF=CG,且点G在EF的延长线上 5(重庆万州区校级期末)如图，在平面直角坐标系 (1)证明：OD=0G: 中，一次函数y1=x-2的图象与反比例函数为2 (2)若DC=2,求BE的长 兰≠0)的图象交于4(-20)，B(m,2)两点，与7 轴交于点C,与x轴交于点D,连结OA、OB. (1)求反比例函数，=(k≠0)的表达式 2题图 (2)求△AOB的面积； (3)点N为坐标轴上一点，点M为y2的图象上 一点，当以点C、D、M、N为顶点的四边形是 平行四边形时，请直接写出所有满足条件的 类型②平行四边形与尺规作图的综合 N点的坐标 3(北章四中模拟)已知线段AB(如图①)，求作点 O,使0是线段AB的中点.作法如下：①如图②， 在AB上方选取一点C,连结AC、BC;②先以点A 为圆心、BC长为半径画弧；再以点B为圆心、AC 长为半径画弧，两弧在AB下方交于点D;③连 结CD与线段AB交于点O,则O就是所求作的 5题图 5题备用图 线段AB的中点. A 3题图① 3题图② (1)根据题意，在图②中补全图形：（保留作图 痕迹) (2)证明（括号内填推理的依据）： 连结AD、BD, BD= .AD= ,四边形 ACBD是平行四边形( .O是线段AB的中点( 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 八年级数学·华师版（下册） 专项8平行四边形问题中的分类讨论思想 [答案36] ①（陕西西安质检）已知直线a、b、c在同一平面内，如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm, 且a∥b∥c,a与b之间的距离为5cm,b与c之间 BE是∠ABC的平分线，交AD与点E,点M从点 的距离为2cm,则a与c之间的距离是( E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运 A.3 cm B.7cm 动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s C.3cm或7cm D.以上都不对 的速度运动.当点M运动到点D时，点N随之 2在口ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3cm 停止运动，设运动时间为ts 和4cm两部分，则口ABCD的周长为( (1)求AE的长： A.20 cm B.22 cm (2)是否存在以M、E、B、N四点为顶点的四边形 C.10cm D.20cm或22cm 是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存 3若在□ABCD中，AD=8,AE平分∠BAD交BC 在，请说明理由； 于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2, (3)当t为何值时，线段NM将平行四边形ABCD 则AB的长为 的面积二等分？ A.3 B.5 C.2或3 D.3或5 4口ABCD的面积为80，AB=√89，BC=10.则AC 的值为 7题图 5若口ABCD的相邻两边的长分别为6和4，DE平 分∠ADC交直线AB于点E,F是AB的中点，则 AE:EF:BE= 6在口ABCD中，∠B=74°，CE平分∠BCD交直线 BA于点E,交直线AD于点F,求∠EFD的度数. 62g 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第18章平行四边形 真题检测训练 [答案37] 考点①平行四边形的性质 考点②平行四边形的判定 (湖南湘潭中考)在口ABCD中（如图），连结AC, 5(河北中考)依据所标数据，下列一定为平行四 已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD= 边形的是 () o 人80102 011 A B 1题图 10 A.80°B.100° C.120° D.140° 70 2(黑龙江龙东地区中考)如图，在平面直角坐标 系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶 D 点B在反比例函数y=2（x>0)的图象上，顶点 6(浙江嘉兴中考)如图，在△ABC中，AB=AC= 8,点E、F、G分别在边AB、BC、AC上，EF∥AC, A在反比例函数y=(x<0)的图象上，顶点D GF∥AB,则四边形AEFG的周长是() 在x轴的负半轴上，若平行四边形OBAD的面积 是5，则k的值是 ( A.2 B.1 C.-1 D.-2 6题图 A.8 B.16 C.24 D.32 2题图 3题图 (湖南株洲中考)如图，点E在四边形ABCD的 3(江面中考)如图，将口ABCD沿对角线AC翻 边AD上，连结CE,并延长CE交BA的延长线于 折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B= 点F,已知AE=DE,FE=CE. 80°，∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则□ABCD (1)求证：△AEF≌△DEC: 的周长为 .(用含a、b的式子表示) (2)若AD∥BC,求证：四边形ABCD为平行四 4(广西梧州中考)如图，在口ABCD中，E、G、H、F 边形 分别是AB、BC、CD、DA上的点，且BE=DH,AF =CG.求证：EF=HG 7题图 4题图 见此图标服井音/微信扫码领取配套资源稳步提升成端