18.2 平行四边形的判定-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（华东师大版）

第18章平行四边形 18.2平行四边形的判定 课时1平行四边形的判定定理1,2 《基础巩固练 [答案32] 知跟盒①根据平行四边形的定义判定 求证：四边形ABCD为平行四边形 如图，木棒a平行于木棒b,当木棒c 棒d时，木棒a、b、c、d围城的四边形是平行四 边形. 6题图 1题图 2(牡丹江中考)如图，在四边形ABCD中，AB= DC,请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行1 知跟息③平行四边形的判定定理2一组对边 四边形，你所添加的条件为 平行且相等 顺次连结平面上A、B、C、D四点得到一个四边 形，从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C, ④∠B=∠D这四个条件中任取两个，可以得出 2题图 “四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况 知织点②平行四边形的判定定理1两组对边 共有 () 分别相等 A.5种 B.4种 3下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是 C.3种 D.1种 8(江苏徐州校级一模)如图，AB∥CD,AB=CD, ( 点E、F在BD上，∠BAE=∠DCF,连结AF、EC. A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形 求证： C.两个锐角三角形 D.两个全等三角形 (1)AE=FC; 4如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD.若 (2)四边形AECF是平行四边形 ∠B=110°，则∠A的度数为 8题图 4题图 A.110°B.80° C.70° D.90 5一个四边形的边长依次为a、b、c、d,且(a-c)2 +1b-d1=0,则这个四边形为 6已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,且 AB=DC=5,AC=4,BC=3. 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 57 八年级数学·华师版（下册） 《能力提升练> [答案P33] ①如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成6如图，△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形. 如图的四块，为了能从商店配到一块与原来相 求证：四边形ADEF是平行四边形 同的玻璃，他带了其中两块碎玻璃去商店，其编 号应该是 ① ④ ③ 6题图 1题图 A.①② B.②④ C.③④ D.①③ 2一个四边形的边长依次是a、b、c、d,且a2+b2+ c2+d=2ac+2bd,则这个四边形是 —,依 据是 如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边 3如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作等 AB、CD上的点，且∠CBF=∠ADE. 边三角形△ABD、△BCE、△ACF,则四边形 (1)求证：△ADE≌△CBF; ADEF的形状是 (2)四边形DEBF是不是平行四边形？请说明 理由. D 7题图 3题图 4如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两 点，AF=CE,DF=BE,DF∥BE. (1)求证：△AFD≌△CEB: (2)求证：四边形ABCD是平行四边形 ⊙题型变式 讲本P30案P34 ①（题型1变式）如图，在平行四边形ABCD中，延 长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连 4题图 结EF,分别交AB、CD于点M、N,连结DM、BN. (1)求证：△AEM≌△CFN: (2)求证：四边形BMDN是平行四边形 5如图，口ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点， AF与BE交于点G,CE与DF交于点H. 求证：四边形EGFH是平行四边形. 1题图 5题图 58 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第18章平行四边形 课时2平行四边形的判定定理3 《基础巩固练> [答案P34门 知银点©平行四边形的判定定理3对角线互 细银点②平行四边形性质与判定的综合 相平分 4下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形 ①（数村P86定理变式）如图，在四边形ABCD中， 的是 对角线AC和BD交于点O,下列条件能判定四 A.一组对边平行，另一组对边相等 边形ABCD为平行四边形的是 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组邻边相等，一组对角相等 D.一组对边平行，一组对角互补 5(河北石家庄新华区模拟)如图，已知四边形 1题图 A.OA=OB,OC=OD B.OA=OC,OB=OD ABCD的面积为8cm2,AB∥CD,AB=CD,E是 C.OB=AB,OD =CD D.OA=OB,AC=BD AB的中点，那么△AEC的面积是 2小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了 这样一种方法：如图，将两根木条AC、BD的中点 重叠，并用钉子固定，用四根木条顺次连结AB、 5题图 BC、CD、DA,则四边形ABCD就是平行四边形， 6(责港期末)如图，在口ABCD中，连结AC,过点 这种方法的依据是 B作BM⊥AC,垂足为E,交CD于点M,过点D 作DN⊥AC,垂足为F,交AB于点N (1)求证：四边形BMDN是平行四边形； (2)已知AF=12,EM=5,求AN的长. 2题图 A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 6题图 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 3如图，在口BEDF中，点A、C在对角线EF所在 的直线上，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平 行四边形 3题图 见此图标服井音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 八年级数学·华师版（下册） 《能力提升练 [答案34] )(武汉期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC 5(兰州期末)如图，在平行四边形ABCD中，点F 和BD相交于点O,下列条件不能判定四边形 是AB的中点，连结DF并延长，交CB的延长线 ABCD是平行四边形的是 ( 于点E,连结AE. A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC.AD=BC (1)求证：四边形AEBD是平行四边形： C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC.OB=OD (2)若BD=BC=5,CD=6,求平行四边形AEBD 的面积 1题图 2题图 5题图 2如图，在口ABCD中，点E、F分别是边BC、AD上 的点，下列条件：①AE∥CF;②BE=FD;③∠1= ∠2；④AE=CF,若要添加其中一个条件，使四边 形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可 以是 ( A.①②③④ B.①2③ )题型变式 讲本31答案35 C.②③④ D.①③④ (题型2变式)如图，在四边形ABCD中，AB= 3(重庆渝中区调研)如图，在平行四边形ABCD DC,AB∥DC,点E为BC的中点，连结AC,若四 中，对角线AC、BD交于点O,E、F是对角线AC 边形ABCD的面积为16，则△AEC的面积为 上的两点，AE=CF.求证：四边形BEDF是平行 四边形 1题图 3题图 A.2 B.4 C.8 D.16 2(题型3变式)如图，在口ABCD中，AB=10cm,F 是AB的中点，E为边CD上一点，DE=4cm.点 4如图，口ABCD的对角线相交于点O,直线EF经 M从D点出发，沿DC以1cm/s的速度匀速运 过点O,分别与AB、CD的延长线交于点E、F,连 动到点C,同时点N从点B出发，沿BA以2cm/s 结AF、CE.求证：四边形AECF是平行四边形. 的速度匀速运动到点A.一个点停止运动后，另 一个点也随之停止运动.当运动时间是 s时，以点M、E、N、F为顶点的四边形 是平行四边形 4题图 D M 2题图 60 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩八年级数学·华师版（下册） 【能力捉升练】 题型变式 1.D[解析]□ABCD的对角线AC、BD交于点O, 1.解：四边形ABCD为平行四边形， ,AO=CO,B0=DO,AD∥BC,.∠CFE=∠AEF, AD=BC,∠BAD=∠C=60. ∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中， ∠EAB=40°，∴.∠EAD=∠BAD-∠EAB=20O ∠EA0=∠FC0. ∠DAB=60°，∠ABC=120 A0=C0 △A0E≌△C0F(A.S.A.), BE平分∠ABC,.∠CBE=60°， ∠AOE=∠COF, .△BCE是等边三角形，∴BE=BC, ,OE=OF,AE=CF.又∠DOC=∠BOA,∴.选项 ∴BE=AD.∠BED=120°=∠ADE. D成立，选项A、B、C不成立 BE =AD. 2.B[解析]四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD 在△BDE与△AED中， ∠BED=∠ADE. =6.△0CD的周长为16，.0D+0C=16-6= ED=DE. 10.BD=2OD,AC=2OC,∴.平行四边形ABCD的 ∴△BDE≌△AED(S.A.S.), 两条对角线的和=BD+AC=2(OD+OC)=20. ∴.∠DBE=∠EAD=20°. 3.6cm[解析]：四边形ABCD为平行四边形， ,∴.∠CBD=20°+60°=80 .AB CD,AD BC. 2.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， rAB =CD, ∴AD∥BC,AD=CB,∠ABC=∠ADC. 在△ABD和△CDB中，BD=DB, ∴∠BCA=∠CAD. LAD =CB, :BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC, .△ABD≌△CDB(S.S.S.). .∠ADG=∠CBE. AE L BD,AE =3 cm,BD =8 cm, ∠DAG=∠BCE, 5m=80:4状=宁x8x3=2(em). 在△ADG和△CBE中， AD=CB, I∠ADG=∠CBE SOAmcD =2SAARD =24 cm'. .△ADG≌△CBE(A.S.A.), 设AD与BC之间的距离为h. .DG=BE,∠AGD=∠BEC,∠CGD=∠AEB BC =4 cm,..SBuncD BC.h =4h cm', ∴.DG∥BE 即4h=24,解得h=6.故答案为6cm. (2)解：如答图，过E作EH⊥BC于H. 4.1<m<11[解析]：四边形ABCD是平行四边 EF⊥AB,BE平分∠ABC, 形，AC=10,BD=12,0A=0C=5,0D=0B=6. .EH EF=6. 在△OAB中，OB-OA<m<OB+OA, 口ABCD的周长为56， .6-5<m<6+5,.1<m<11. .AB+BC=28. 故答案为1<m<11. 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形， :SAAC AB·EBF+2BC·BH 2题答图 ∴.0D=OB,0A=0C 点M、N分别是OB、OD的中点，.ON=OM. 4B+BC)·BF=号×28x6=84 ,ON=OM」 3.C 在△AON与△COM中， ∠AON=∠COM, 18.2平行四边形的判定 LOA=0C. 课时1平行四边形的判定定理1,2 .△AOW≌△C0M(S.A.S.). 【基础巩圈练】 .AN CM. 1.平行于（或） 6.解：(1)无数 2.AB∥DC(答案不唯一) (2)如答图.（答案不唯一） 3.D[解析]两个完全一样的三角形，即两个全等三 角形，一定可以拼成一个平行四边形. 4.C[解析]AB=CD,BC=AD,∴.四边形ABCD是 6题答图 平行四边形，÷AD∥BC,∴.∠A+∠B=180.∠B (3)两条直线都经过对角线的交点. =110°，∴∠A=70 ·32· 参考答案及解析 5.平行四边形[解析](a-c)2+1b-d1=0,.a3.平行四边形 [解析]：在△ABC和△DBE中， -c=0,b-d=0,a=c,b=d,,四边形为平行四 BC BE, 边形. ∠ABC=∠DBE, 6.证明：AB=DC=5,AC=4,BC=3, BA BD, .AB'=AC2 +BC, .△ABC≌△DBE(S.A.S.), ÷∠BCA=90 .DE AC,:.DE=AF. :AD∥BC, 在△ABC和△FEC中， 六.∠DAC=∠BCA=90 BC EC, DC=5,AC=4, ∠ACB=∠FCE, .AD DC2 -AC*=9. CA CF, ,AD=3(负值已舍去)， △ABC≌△FEC(S.A.S.), .AD BC. .FE =AB...FE =AD, ∴.四边形ABCD为平行四边形 ∴.四边形ADEF是平行四边形. 7.C【解析]由①③可以推得四边形两组对边分别 4.证明：(1)，DF∥BE, 平行，所以四边形ABCD为平行四边形；由①④可 .∠DFA=∠BEC. 以推得四边形两组对边分别平行，所以四边形 DF BE,AF=CE, ABCD为平行四边形：由③④可以推得四边形两组 对角分别相等，所以四边形ABCD为平行四边形 .△AFD≌△CEB. 故选C (2)由(1)知△AFD≌△CEB. 8.证明(1)：AB∥CD,∴.∠B=∠D. .AD=CB,∠DAF=∠BCE. ∠B=∠D .AD∥CB 在△ABE和△CDF中 AB=CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 、∠BAE=∠DCF, 5.证明：：四边形ABCD是平行四边形 ∴.△ABE≌△CDF(A.S.A.) ∴.AD∥BC且AD=BC .AE CF. E、F分别为AD、BC的中点， (2)由(1)中△ABE≌△CDF,得AE=CF,∠AEB= AE-TAD.CF-7BC. ∠CFD. .∴.180°-∠AEB=180°-∠CFD, ∴.AE∥CF且AE=CF 即∠AEF=∠CFE, ∴四边形AFCE是平行四边形. ,AE∥CF .AF∥EC 又，AE=CF, 同理可证BE∥FD. ∴四边形AECF是平行四边形 ∴.四边形EGFH是平行四边形. 【能力捉升练】 6.证明：△ABD、△BCE,△ACF都是等边三角形， 1,D[解析]只有①③两块碎玻璃角的两边互相平 .BA AD,CF CA,CE=CB, 行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就 ∠ACF=∠ECB=60°， 是平行四边形的顶点，带①③两块碎玻璃，就可 .∠ACF-∠ACE=∠ECB-∠ACE, 以配到一块与原来相同的玻病.故选D ∴.∠ACB=∠FCE, 2.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行 .△CEF≌△CBA, 四边形[解析]原等式可化为a2-2ac+e2+ ∴.EF=BA=AD. 2bd+f=0,.(a-c)2+(b-d)2=0,.a-c=0,b 同理可证△BDE≌△BAC, -d=0,.a=c,b=d,∴.这个四边形是平行四边形， ∴，DE=AC=AF 依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ADEF是平行四边形. ·33· 八年级数学·华师版（下册） 7.(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， 5.2cm2[解析]AB∥CD,AB=CD,∴，四边形 ∴.∠A=∠C,AD=BC. r∠ADE=∠CBF, 1×8= ABCD是平行四边形，S6e=S△e= 在△ADE与△CBF中，AD=BC, 1 [∠A=∠C, 4(cm).E是AB的中点，一SA匹=2SA2了 .△ADE≌△CBF(A.S.A.). ×4=2(cm2). (2)解：四边形DEBF是平行四边形.理由如下： :四边形ABCD为平行四边形， 6.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .DC∥AB,DC=AB,∴.DF∥EB. ∴.AB∥CD △ADE≌△CBF,∴AE=CF, :BM⊥AC,DN⊥AC, ∴.AB-AE=CD-CF,即DF=EB, .BM∥DN ∴四边形DEBF是平行四边形 ∴.四边形BMDN是平行四边形 题型变式 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， 1.证明(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD ,∠DAB=∠BCD,AD∥BC, ∴∠CAB=∠DCA. .∴.∠EAM=∠FCN,∠E=∠F 由(1)知四边形BMDN是平行四边形， r∠EAM=∠FCN, ∴.DM=BN, :在△AEM与△CFN中 AE=CF. .AN=CM. ∠E=∠F, BM⊥AC,DN⊥AC, △AEM≌△CFN(A.S.A.). ∴.∠AFN=∠CEM=90°， (2),四边形ABCD是平行四边形. .△AFW≌△CEM. ∴.AB=CD,AB∥CD .FN EM=5. 又，△AEM≌△CFN, 在R△AFN中，由勾股定理，得AN=√AF+F ,AM=CN,∴.BM=DN =13. BM /DN. 【能力提升练】 ∴.四边形BMDN是平行四边形. 1.C[解析]A项，由两组对边分别平行的四边形是 课时2平行四边形的判定定理3 平行四边形，可知A能判定这个四边形是平行四边 【基础巩固练】 形；B项，由两组对边分别相等的四边形是平行四 1.B 边形，可知B能判定这个四边形是平行四边形：C 2.A[解析]由已知可得A0=C0,B0=D0,∴.四边 项，不能判定这个四边形是平行四边形（可能是等 形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的 腰梯形)：D项，由对角线互相平分的四边形是平行 四边形是平行四边形.故选A 四边形，可知D能判定这个四边形是平行四边形 3.证明：连结BD,交AC于点O(答图略). 2.B 四边形BEDF是平行四边形， 3.证明：四边形ABCD是平行四边形. ∴.0D=OB,OE=OF. ∴.0A=0C,0B=OD. 又：AE=CF, .AE =CF, .AE+OE=CF+OF. .OE=OF. 即OA=OC. 0B =OD. .四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形BEDF是平行四边形 4.B[解析]A.一组对边平行，另一组对边相等，可 4,证明：四边形ABCD是平行四边形， 能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故选项A不 ∴.OD=OB,OA=OC,AB∥CD, 特合题意；B.一组对边平行，一组对角相等，可得到 ∴.∠DFO=∠BEO. 两组对边分别平行，是平行四边形，故选项B符合 ∠FDO=∠EBO. 题意：C.由一组邻边相等，一组对角相等，不能判定 .△FDO≌△EB0. 一个四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； ∴.OF=OE. D.一组对边平行，一组对角互补，可能是等腰梯形， 又0A=0C, 不一定是平行四边形，故选项D不符合题意 ∴，四边形AECF是平行四边形 ·34· 参考答案及解析 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形. 2.(1)证明：FE∥BC,FD∥BE, .AD∥BC,AD=BC,∴∠ADF=∠BEF ∴四边形BEFD为平行四边形， 点F是AB的中点，∴，AF=BF ∴.∠B=∠EFD .AB=AC, ,∠ADF=∠BEF, .∠B=∠ACB. 在△ADF和△BEF中 ∠AFD=∠BFE, .FE//BC, LAF BF, ∴.∠AFE=∠ACB, △ADF≌△BEF(A.A.S.),.DF=EF ∴.∠AFE=∠EFD .FC=GC. 又，AF=BF,∴.四边形AEBD是平行四边形. ∴.∠GFC=∠FGC (2)解：如答图，过点D作DG⊥BC于点G,过点B :∠AFE=∠GFC=∠EFD,∴.∠EFD=∠FGC, 作BH⊥CD于点H, .FD//CG, BD=BC =5,CD=6, .四边形DFGC为平行四边形， .0D=0G ..CH=DH-7CD-3. (2)解：△ABC为等腰直角三角形， .∠B=45°， .BH=√BC-CH=√52-32=4 易得△FCG为等腰直角三角形. ySaa=BC×DG=CDxBH.. :四边形DFGC为平行四边形. .FG=DC=2,DF=CG. DG=CD×BH_6×4.24 设CG=CF=x, BC 5=5 .x2+x2=22, :四边形AEBD是平行四边形，∴.BE=AD. “.x=迈（负值已舍去）， 又，AD=BC,∴.BE=BC=5, :BE DF =CG=2. ∴.平行四边形AEBD的面积为 3.解：(1)补全的图形如答图所示，点0即为所求 BE×DG=5× =24 24 D 3题答图 (2)ACBC两组对边分别相等的四边形是平行 5题答图 四边形平行四边形的对角线互相平分 题型变式 4.9[解析]，四边形ABCD是平行四边形，点A、C 1.B 的坐标分别是(2,4)，(3,0)，，点B的坐标为 2.1或3[解析]设运动1s时，以点M、E、N、F为顶 (5,4).北点A(2,4)的坐标代入了=车，得=8 点的四边形是平行四边形.CD∥AB,∴当ME= ·反比例函数的表达式为y=8设直线BC的表 NF时，以，点M、E、N、F为顶点的四边形是平行四边 达式为y=hx+b.把点B(5,4),C(3,0)的坐标分别 形.由题意，得ME=I4-tl,NF=15-2tl,∴.14-t =15-211,∴.4-1=5-21或4-1=21-5，.1=1或 代入，得 6解号化之6直线C怡表 t=3.故答案为1或3. ry=2x-6, 专项7平行四边形的综合应用 达式为y=2x-6.解方程组 8得{4或 [y=- y=2 1.D[解析]平行四边形ABCD,.AD=BC,AB= CD,OA=OC.:EO⊥AC,∴，AE=EC.AB+BC+ [三皮（不特合题流，合去）“点D的丝标为 CD+AD=I6cm,∴.AD+DC=8cm,∴.△DCE的周 (4,2),即D为BC的中点，Sam=4Sam 长是CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD= 8cm.故选D. ∴5a8nm=Sam-Sam=3x4-子×3x4=9 ·35·