专题07 第六章  二项式定理（2考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单07 第六章  二项式定理 （2个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（2025·北京东城·二模）已知，则实数 【变式1-1】.（2025高三下·全国·专题练习）．( ) 【变式1-2】.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二下·湖北宜昌·期中）化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（24-25高二下·天津河东·期中）在 的展开式的中间一项是 . 【变式2-1】.（24-25高二下·河南周口·期中）的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【变式2-3】.（24-25高二下·浙江湖州·阶段练习）的展开式中第四项是（   ） A．-20 B．20 C．-160 D．160 【变式2-4】.（2025高三下·全国·专题练习）的展开式中的中间项为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】二项式系数（和）（） 【例3】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为 【变式3-1】.（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则的值为（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【变式3-2】.（24-25高二下·河南新乡·期中）二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（   ） A．8 B．10 C．16 D．32 【变式3-3】.（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（    ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9 【变式3-4】.（24-25高二下·北京顺义·期中）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 ． 【考点题型四】指定项系数（有理项）（） 【例4】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【变式4-1】.（2025·山西朔州·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（   ） A．15 B．6 C．20 D．2 【变式4-2】.（24-25高二下·重庆·期中）展开式中的的系数为（   ） A．60 B．64 C．-160 D．240 【变式4-3】.（2025·广东汕头·模拟预测）的展开式中的有理项个数为 . 【变式4-4】.（24-25高二下·山东济宁·期中）已知的展开式中第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【考点题型五】系数和（） 【例5】（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3). 【变式5-1】.（24-25高二下·河北邢台·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-2】.（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 【变式5-3】.（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 【变式5-4】.（24-25高二下·广东潮州·期中）设，求： (1)； (2)； (3)． 【考点题型六】系数最大（小）项（） 【例6】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知的二项展开式中第二项的系数与第三项的系数的和是48. (1)求的值以及展开式的通项； (2)求展开式中的常数项； (3)直接写出展开式系数最大的项. 【变式6-1】.（24-25高二下·安徽池州·期中）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【变式6-2】.（24-25高二下·广西防城港·期中）已知的展开式中所有二项式系数之和为 (1)求的展开式所有项的系数和； (2)求的展开式中的系数； (3)判断的展开式中第几项的系数的绝对值最大. 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【变式6-4】.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. (1)求； (2)求展开式中系数最大的项. 【考点题型七】三项展开式系数问题（） 【例7】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【变式7-1】.（24-25高二下·福建泉州·期中）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（24-25高二下·河南·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（24-25高二下·广东深圳·期中）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【变式7-4】.（24-25高二下·山东·期中）展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为 ． 【考点题型八】两个二项式相乘展开系数问题（） 【例8】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）的展开式中常数项是 【变式8-1】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 【变式8-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）在的展开式中，的系数是 （结果用数字表示）. 【变式8-3】.（24-25高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为 .（数字作答） 【变式8-4】.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中含项的系数为 . 【考点题型九】二项式定理应用（） 【例9】（2025·安徽·模拟预测）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位数字为 . 【变式9-1】.（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．一 B．二 C．三 D．日 【变式9-2】.（24-25高二下·福建三明·期中）已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 【变式9-3】.（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）今天是星期五，天以后是星期（   ） A．一 B．日 C．五 D．六 【考点题型十】杨辉三角形（） 【例10】（24-25高二下·陕西安康·期中）“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（   ）    A．8 B．9 C．10 D．15 【变式10-1】.（多选）（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【变式10-2】.（多选）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A． B．第行所有数字之和为 C．第行的第个数最大 D．第行中从左到右第个数与第个数之比为 【变式10-3】.（多选）（24-25高二下·山东·期中）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（    ）    A． B． C． D． 【考点题型十一】二项式定理中的新定义题（） 【例11】（24-25高二下·重庆·期中）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如8和14被3除得的余数都是2，则记.若，且，则的值可以是（   ） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 【变式11-1】.（24-25高二下·河北·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 【变式11-2】.（2025·广东·模拟预测）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二进制是“逢二进一”的进制，例：二进制转化成十进制数为.若正整数n可以用位二进制数表示，其中，记.已知关于x的多项式，则该多项式中x的奇次项系数和为 . 提升训练 一、单选题 1．（河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题）若的展开式中的系数为240，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（江西省新九校协作体2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题）的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知二项式的展开式中各项二项式系数和为256，，，则实数（   ） A．-3 B．-2 C．-1 D．1 4．（24-25高二下·广东深圳·期中）二项式展开式中含项的系数为（    ） A． B．80 C． D．40 5．（24-25高二下·湖北荆州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 6．（24-25高二下·北京·期中）蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇.现在有一只蜜蜂从入口向下（不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的.蜜蜂到达第n层（有n条竖直线段）第m通道（从左向右计）的不同路径数为.例如：，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）若，则（   ） A．243 B．-243 C．-3125 D．3125 8．（24-25高二下·河北·期中）除以7的余数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 二、多选题 9．（24-25高二下·广东东莞·期中）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的所有二项式系数之和为64 C．展开式中不含项 D．展开式的第5项系数最大 10．（2025·全国·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（上海市浦东新区2024-2025学年高三下学期三模数学试题）已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为 .（结果用数值表示） 12．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第 项. 四、解答题 13．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知二项式. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 14．（24-25高二下·天津滨海新·期中）二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求n的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； (3)求展开式中的常数项. 15．（24-25高二下·湖北荆州·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； (3)求展开式中含的项的系数及有理项． 16．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知.求： (1)； (2)； (3). 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 第六章  二项式定理 （2个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（2025·北京东城·二模）已知，则实数 【答案】 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 【变式1-1】.（2025高三下·全国·专题练习）．( ) 【答案】正确 【知识点】组合数的性质及应用、二项展开式的应用 【分析】利用将左侧作转化，结合二项式定理即可判断正误. 【详解】由， 所以 ，故正确. 故答案为：正确 【变式1-2】.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果． 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 【变式1-3】.（24-25高二下·湖北宜昌·期中）化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用 【分析】由二项式定理写可得答案. 【详解】因为， ，所以. 故选：C. 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（24-25高二下·天津河东·期中）在 的展开式的中间一项是 . 【答案】20 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由二项展开式的性质结合通项计算可得. 【详解】由二项式展开式的性质可得展开式一共有7项，所以中间一项为第4项， 所以在 的展开式的中间一项是. 故答案为：20. 【变式2-1】.（24-25高二下·河南周口·期中）的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】写出通项公式，令，求出第4项即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 【变式2-2】.（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项. 【详解】由题意， 在中，展开式的通项为， 令，解得， ∴展开式中常数项是. 故选：C. 【变式2-3】.（24-25高二下·浙江湖州·阶段练习）的展开式中第四项是（   ） A．-20 B．20 C．-160 D．160 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据通项公式计算. 【详解】由题意得展开式的第四项为. 故选：C. 【变式2-4】.（2025高三下·全国·专题练习）的展开式中的中间项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】应用二项式的展开式通项确定中间项位置，即可写出对应项. 【详解】由题意，且， 所以时为中间项，即为． 故选：B 【考点题型三】二项式系数（和）（） 【例3】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为 【答案】12 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】写出第项的二项式系数与第项的二项式系数，即可得到方程，根据组合数的性质计算可得 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为， 依题意可得，所以. 故答案为:12. 【变式3-1】.（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则的值为（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和公式直接求解. 【详解】由题意，展开式中的所有二项式系数之和为，所以. 故选：C. 【变式3-2】.（24-25高二下·河南新乡·期中）二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（   ） A．8 B．10 C．16 D．32 【答案】D 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答. 【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是. 故选：D 【变式3-3】.（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（    ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9 【答案】D 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据题意分类讨论二项式系数最大得出项数. 【详解】若的展开式中只有第五项的二项式系数最大可知； 当时，展开式有8项，则第四项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 当时，展开式有10项，则第六项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 故选：D. 【变式3-4】.（24-25高二下·北京顺义·期中）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质得二项式系数最大的项，写出展开式的通项，即可求出二项式系数最大的项. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 又，所以二项式系数最大的项是第项，即， 故答案为： 【考点题型四】指定项系数（有理项）（） 【例4】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】由项的系数确定参数、求有理项或其系数、二项式系数的增减性和最值、等差中项的应用 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式和等差中项知识求出； （2）根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数最大，求解即可； （3）利用的指数为整数求出，再根据通项公式可求出结果. 【详解】（1）展开式的通项为：， 因为展开式中的前三项系数成等差数列．所以， 整理得：，解得：或（舍）． 所以； （2）第5项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大项为； （3）展开式的通项为 当时，；当时， 【变式4-1】.（2025·山西朔州·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（   ） A．15 B．6 C．20 D．2 【答案】A 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式定理求出项即可得该项系数. 【详解】在的展开式中，含有项为， 所以展开式中含有项的系数为15. 故选：A 【变式4-2】.（24-25高二下·重庆·期中）展开式中的的系数为（   ） A．60 B．64 C．-160 D．240 【答案】D 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出展开式通项公式，令得，从而得到的系数. 【详解】展开式通项公式为， 令得， 故展开式中的的系数为. 故选：D 【变式4-3】.（2025·广东汕头·模拟预测）的展开式中的有理项个数为 . 【答案】3 【知识点】求有理项或其系数 【分析】根据二项式的展开式通项分析求解即可. 【详解】的展开式通项为， 由可得. 故答案为：3. 【变式4-4】.（24-25高二下·山东济宁·期中）已知的展开式中第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由项的系数确定参数、求有理项或其系数 【分析】（1）写出展开式的通项，依题意，即可得解； （2）令，且，求出，再代入计算可得. 【详解】（1）二项式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以，解得； （2）二项式的通项为（且）， 令，解得或或或或， 所以展开式的有理项有，， ，，， 即展开式中的有理项为，，，，共5项. 【考点题型五】系数和（） 【例5】（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）令即可求出； （2）令即可求出，进而可求； （3）令即可求出，结合（2）即可求. 【详解】（1）令得. （2）令，则， 由（1）知， 所以. （3）令，则① 由（2）知② 由①+②得， . 【变式5-1】.（24-25高二下·河北邢台·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）由，写出展开式的通项，即可得到展开式中不含的奇数次幂的项，从而得解； （2）令，可得，令求出，结合（1）即可得解. 【详解】（1）因为， 则展开式的通项为（且）， 所以展开式中不含的奇数次幂的项， 又， 所以， 所以； （2）因为， 令，得； 令，得； 又，则， 所以． 【变式5-2】.（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 【答案】(1)-1 (2) (3) 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）令可求的值； （2）可得，再结合（1）可求的值； （3）由，结合（1）（2）可得答案. 【详解】（1）令，则①； （2），则 ，则②； 得，③ （3）得，④ ④-③化简 【变式5-3】.（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． （2）， 令，解得； 令，整理得， 故． （3）的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 【变式5-4】.（24-25高二下·广东潮州·期中）设，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2)243 (3) 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）设，求出即可； （2）先利用二项式定理确定系数的正负，从而得出； （3），最后计算即可. 【详解】（1）设， 则. （2）∵， ∴，， ∴. （3） . 【考点题型六】系数最大（小）项（） 【例6】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知的二项展开式中第二项的系数与第三项的系数的和是48. (1)求的值以及展开式的通项； (2)求展开式中的常数项； (3)直接写出展开式系数最大的项. 【答案】(1)，通项为，； (2)； (3) 【知识点】求指定项的系数、求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数 【分析】（1）写出通项公式，得到第二项和第三项的系数，得到方程，求出，进而得到通项； （2）在（1）的基础上得到，求出常数项； （3）当为奇数时，项的系数为负数，当为偶数时，项的系数为正数，列举出为偶数时各项的系数，比较后得到答案. 【详解】（1）的通项公式为， 第二项的系数为，第三项的系数为， 故，解得，负值舍去， 故展开式的通项为，； （2）由（1）知，， 令，解得，故， 故常数项为； （3）系数最大的项为，理由如下： 由通项公式可得，， 当为奇数时，项的系数为负数，当为偶数时，项的系数为正数， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 故展开式系数最大的项为. 【变式6-1】.（24-25高二下·安徽池州·期中）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解； （2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案. 【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 【变式6-2】.（24-25高二下·广西防城港·期中）已知的展开式中所有二项式系数之和为 (1)求的展开式所有项的系数和； (2)求的展开式中的系数； (3)判断的展开式中第几项的系数的绝对值最大. 【答案】(1)1 (2) (3)第3项 【知识点】求指定项的系数、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由所有二项式系数之和列式求得n，令可求得展开式所有项的系数和； （2）求出的展开式通项，令x次数等于5，解得r，可求出的系数； （3）写出展开式的通项，列不等式组，可求出的展开式中系数绝对值最大的项． 【详解】（1）因为所有二项式系数之和是128，所以，所以， 令，得，所以的展开式所有项的系数和为1； （2）的展开式的通项， 令，得， 所以的展开式中的含的项为， 故的展开式中的系数为； （3）展开式中系数的绝对值最大项相当于展开式中系数最大项， 而展开式的通项， 由得，因为r为整数，所以 所以的展开式中第3项的系数的绝对值最大． 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求指定项的二项式系数、由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解； （2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解； （3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可. 【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； （2）展开式的通项为（，）， 令，解得，所以，所以常数项为第5项60. （3）系数的绝对值为 ，则 所以，即，，所以， 因此，系数绝对值最大的项是. 【变式6-4】.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. (1)求； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用二项式系数和的公式求得，再利用赋值法求得要求式子的值. （2）求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】（1）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 令，则， 两式相加可得 （2）二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 【考点题型七】三项展开式系数问题（） 【例7】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】利用整体思想将三项视为二项，连续用两次通项公式即可求解. 【详解】因为， 所以通项公式， 因为要求的系数，所以令， 此时， 又的通项公式， 令，解得， 则的展开式中的系数为， 因此，的展开式中的系数为. 故选：B. 【变式7-1】.（24-25高二下·福建泉州·期中）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】写出三项展开式通项，对照，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 故的展开式通项为， 由可得， 因此，展开式中的系数. 故选：B. 【变式7-2】.（24-25高二下·河南·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】写出展开式通项，对照，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】在的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由可得， 故展开式中项的系数为． 故选：C． 【变式7-3】.（24-25高二下·广东深圳·期中）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由可得或， 因此，展开式中的系数为. 故答案为：. 【变式7-4】.（24-25高二下·山东·期中）展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为 ． 【答案】4 【知识点】二项展开式各项的系数和、三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】通过赋值求得，再根据展开式中常数项的产生，结合组合数的计算即可求得结果. 【详解】由题意，取，可得，解得， 则即，其展开式中的常数项可由两种形式的项构成： ① 3个括号全部选常数项1，可得这样的常数项为1； ② 2个括号选的项且1个括号选的项，可得这样的常数项为. 综上可得，展开式中的常数项为. 故答案为：4. 【考点题型八】两个二项式相乘展开系数问题（） 【例8】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）的展开式中常数项是 【答案】61 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先求的通项公式，分布求出常数项和项的系数即可. 【详解】由展开式的通项公式有，， 所以当时，，当时，， 所以的展开式中常数项为， 故答案为：61 【变式8-1】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先利用二项式定理求出的展开式中含的项和含的项即可. 【详解】由的展开式可得，含的项为， 含的项为， 则的展开式中，含的项为， 故的展开式中，项的系数为. 故选：B 【变式8-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）在的展开式中，的系数是 （结果用数字表示）. 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由中和的系数即可求解. 【详解】中的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数是， 故答案为： 【变式8-3】.（24-25高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为 .（数字作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数. 【详解】由的展开式通项为，， 当时，，当时，， 所以含的项为. 故的系数为. 故答案为：. 【变式8-4】.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中含项的系数为 . 【答案】10 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，结合多项式的乘法，可得答案. 【详解】由的展开式的通项为， 令，，令，， 则的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 【考点题型九】二项式定理应用（） 【例9】（2025·安徽·模拟预测）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位数字为 . 【答案】7 【知识点】整除和余数问题、不同进制数的互化 【分析】由，通过二项式定理展开即可求解. 【详解】， 而，故最后一位数为7. 故答案为：7 【变式9-1】.（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．一 B．二 C．三 D．日 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据二项式定理可得除以的余数，进而得到结论. 【详解】 ， ，能被整除， 又，再过天后是星期一. 故选：A. 【变式9-2】.（24-25高二下·福建三明·期中）已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 【答案】C 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合整除思想求解. 【详解】依题意，， 而能被6整除，则是6的正整数倍，ABD不满足，C满足. 故选：C 【变式9-3】.（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）今天是星期五，天以后是星期（   ） A．一 B．日 C．五 D．六 【答案】D 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果. 【详解】因为 故除以7的余数为1，故今天是星期五，天以后是星期六. 故选：D. 【考点题型十】杨辉三角形（） 【例10】（24-25高二下·陕西安康·期中）“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（   ）    A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】B 【知识点】组合数的计算、杨辉三角 【分析】根据杨辉三角中的数字规律及组合数计算即可求解. 【详解】由杨辉三角知：第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第9行第9个数是. 故选：B. 【变式10-1】.（多选）（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】ABC 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和的公式即可求解A，根据组合数的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B,由组合数的性质可得，B正确， 对于C, ,C正确， 对于D, 第29行中从左到右第14个数为,第15个数为，两者不相等，D错误， 故选：ABC 【变式10-2】.（多选）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A． B．第行所有数字之和为 C．第行的第个数最大 D．第行中从左到右第个数与第个数之比为 【答案】ABD 【知识点】杨辉三角 【分析】对于A，利用组合数运算公式计算；对于B，根据杨辉三角的每行系数和为即可；对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大；对于D，第行第个数为，第个数为，作比较即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 以此类推，第行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第行，第个数为， 第个数为，即，故D正确； 故选：ABD. 【变式10-3】.（多选）（24-25高二下·山东·期中）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】杨辉三角、整除和余数问题 【分析】由，再利用二项式展开式可得答案. 【详解】因为 ， 所以被2024除所得的余数为，所以. 故选：AC. 【考点题型十一】二项式定理中的新定义题（） 【例11】（24-25高二下·重庆·期中）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如8和14被3除得的余数都是2，则记.若，且，则的值可以是（   ） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理得到，从而被10除得的余数是1，所以被10除得的余数也是1，得到答案. 【详解】 ， 故被10除得的余数是1，所以被10除得的余数也是1， 其中满足要求，其他三个选项不合要求. 故选：A 【变式11-1】.（24-25高二下·河北·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】先利用二项式定理化简，再用二项式定理展开即可求得被10除得的余数即可. 【详解】因为 所以被10除得的余数为0， 而2020，2021，2022，2025被10除得的余数分别是0，1，2，5， 故的值可以是2020. 故选：A. 【变式11-2】.（2025·广东·模拟预测）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二进制是“逢二进一”的进制，例：二进制转化成十进制数为.若正整数n可以用位二进制数表示，其中，记.已知关于x的多项式，则该多项式中x的奇次项系数和为 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、二项式的系数和、不同进制数的互化 【分析】依据题意得到的含义，要使得为奇数，则要求除最高位外其余的加起来为偶数，依据二项式系数的性质得到位二进制数中共有个，由等比数列求和公式求得答案. 【详解】因为，或， 所以表示正整数的二进制表示中的个数， 要计算关于x的多项式中奇数项的系数和， 即为计算时为奇数的个数， 按位数讨论，位二进制数，只有，是奇数，共个； 位二进制数，最高位是，要使所有位加起来是奇数， 则要求其余的位中有偶数个，依据二项式系数的性质得， 所以总个数为， 故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题）若的展开式中的系数为240，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】利用二项展开式的通项，根据的系数为240列式，代入验证法求即可. 【详解】的展开式通项为. 令得展开式中的系数为，即， 对于A，时，，不满足方程； 对于B，时，，不满足方程； 对于C，时，，满足方程； 对于B，时，，不满足方程. 故选：C 2．（江西省新九校协作体2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题）的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 【答案】C 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中常数项为. 故选：C 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知二项式的展开式中各项二项式系数和为256，，，则实数（   ） A．-3 B．-2 C．-1 D．1 【答案】A 【知识点】求指定项的系数 【分析】由二项式的展开式即可求解. 【详解】由题知，，解得， ，， ，，，. 故选：A． 4．（24-25高二下·广东深圳·期中）二项式展开式中含项的系数为（    ） A． B．80 C． D．40 【答案】B 【知识点】求指定项的系数 【分析】求得展开式通项为，令，得到，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式通项为， 令，可得，则， 即含项的系数为. 故选：B. 5．（24-25高二下·湖北荆州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据题意，令，求得，再令，可得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由， 令，可得， 再令，可得， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二下·北京·期中）蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇.现在有一只蜜蜂从入口向下（不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的.蜜蜂到达第n层（有n条竖直线段）第m通道（从左向右计）的不同路径数为.例如：，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】杨辉三角 【分析】由题可知，，且，可推得，，利用组合数即可求解. 【详解】由题可知，， 且， 结合杨辉三角的性质和以及以上递推关系， 可推得，，所以，即， 因为， 所以可能取到0，1，2，7，8，9，所以解集为， 故选：B. 7．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）若，则（   ） A．243 B．-243 C．-3125 D．3125 【答案】D 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】令，得，令和即可求解. 【详解】令，所以，所以， 令得， 令得， 所以， 故选：D. 8．（24-25高二下·河北·期中）除以7的余数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据二项式定理展开式研究计算即可. 【详解】， 前面10项都是7的倍数，最后一项不是7的倍数， 除以7的余数为除以7的余数， 又除以7的余数为2， 故除以7的余数为2. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·广东东莞·期中）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的所有二项式系数之和为64 C．展开式中不含项 D．展开式的第5项系数最大 【答案】BCD 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，展开式共有7项，A错误； 对于B，展开式的所有二项式系数之和为，B正确； 对于C，展开式的通项， 而无解，因此展开式中不含项，C正确； 对于D，由选项C知，展开式奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，第1，3，5项的系数 分别为，因此展开式的第5项系数最大，D正确. 故选：BCD 10．（2025·全国·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和 【分析】通过赋值法判断ABC，由二项式定理判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则1，故B正确； 对于C，令，则，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 11．（上海市浦东新区2024-2025学年高三下学期三模数学试题）已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为 .（结果用数值表示） 【答案】12 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】先令表示出各项系数和，求出的值，再利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】令代入中得，，则， 根据二项式定理，含的项为，所以含项的系数为12. 故答案为：12. 12．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第 项. 【答案】4 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，利用作商法推断系数的单调性求得答案. 【详解】依题意，，即，所以,解得； 展开式的通项公式，令， 当时，，由，解得， 则，即最大， 所以展开式系数最大项是第4项. 故答案为：4 四、解答题 13．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知二项式. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】（1）由二项式的通项确定值，再代入通项即可求得； （2）根据二项式定理性质，结合，即可确定二项式系数最大的项为第四项，即可求得. 【详解】（1）易得二项式的通项公式为： ，. 令，解得， 故该二项式的展开式中的常数项为. （2）因，二项展开式共有7项， 由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项， 即. 14．（24-25高二下·天津滨海新·期中）二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求n的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1)6 (2)64，4096 (3)960 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用前三项二项式系数和为22，可列方程求得的值； （2）令即可求得各项系数和； （3）由二项式定理可得展开式的通项，令的系数为0求得的值，再将代入通项即可得到常数项. 【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22， ， 或（舍）， 故n的值为6. （2）展开式中各项的二项式系数和为. 令，则展开式各项系数和为. （3）由题意得，展开式通项， 令，得， 所以常数项为960. 15．（24-25高二下·湖北荆州·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； (3)求展开式中含的项的系数及有理项． 【答案】(1) (2)展开式中二项式系数最大的项为，各二项式系数和为 (3)展开式中含的项的系数为，有理项为，， 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、求有理项或其系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）求得展开式的通项，得到前三项系数为，结合题意，列出方程，即可求得的值； （2）根据二项展开式的性质，得到展开式中二项式系数最大的项为第五项，结合通项求得展开式的底5项，以及各二项式系数和； （3）由展开式的通项，令，得到，求得含的项的系数，再由，4，8，求得对应的有理项. 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为， 因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为， 所以，即，所以（舍去）或． （2）解：当时，可得所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即，且各二项式系数和为． （3）解：由二项式展开式的通项公式为：， 令，可得，所以含的项的系数为； 设展开式中第项为有理项，由， 当，4，8时对应的项为有理项，其中有理项分别为：． 16．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)256 (2)32896 (3) 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）利用赋值法，令即可得解； （2）利用赋值法，令，结合（1）解得； （3）首先写出展开式的通项，即可判断的正负，结合（2）得解. 【详解】（1）因为， 令，可得； （2）令，可得， 则， ； （3）因为的展开式的通项公式为， 所以， 所以当为偶数时，，当为奇数时，， ， 对于，令可得， 所以 . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$