第1章 1 等腰三角形-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（北师大版）

参考答案及解析 参考答案及解析 第一章三角形的证明 AC,AD平分∠BAC,.AD⊥BC,∠ADB=90°， 1等腰三角形 .∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-70°=20. 课时1等腰三角形的性质 10.(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, 【基础巩固练】 ∴.∠BED=∠CFD=90. 1.B D是BC的中点，∴.BD=CD. 2.∠B=∠C(答案不唯一) P∠BED=∠CFD 3.证明：(1)在△B0D和△COE中， 在△BED和△CFD中，{∠B=∠C, r∠BOD=∠COE, [BD=CD, ∠B=∠C, .△BED≌△CFD(AAS)..DE=DF. BD =CE, (2)解：连接AD.由(1)可知AD平分∠BAC. .△BOD≌△COE(AAS),.OD=OE. 由“AAS”可证△ABD≌△ACD,∴.AB=AC. (2):点D,E分别是AB,AC的中点， ∴AD⊥BC.∴，∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90 .AD BD,AE CE. ∴.∠BAD=∠BDE=4O. BD=CE,∴.AD=AE ∴.∠BAC=2∠BAD=80°. ∠B=∠C, 【能力提升练】 在△ABE和△ACD中，∠A=∠A, 1.A[解析]：AB=AC,.∠B=∠C.DA⊥AC, LAE =AD, ∴∠DAC=90°.∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B= .△ABE≌△ACD(AAS). 2∠BAD,.5∠BAD+90°=180°，.∠BAD=18. 4.B5.D 2.D[解析]在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∴.AD 6.C[解析]AB=AC,,∠ABC=∠ACB.∠OBC 是△ABC的中线，S6c=2Sa4D=2×DE·AB =∠OCA,∴.∠OCB=∠OBA.∠A=70°，∴.∠ABC =∠ACB=55°，.∠0BC+∠0CB=55°，.∠B0C =DEA服Sc=4C·BR,4C·BF =125. 7.B[解析]：∠B=85°，∠ACB=45°，÷∠BAC= DE AB.AB-ACBF=DE.DE4.BF 180°-85°-45°=50°.，AB∥CD,.∠ACD= =8.故选D. ∠CAB=50°.AD=AC,.∠D=∠ACD=50°.故 3.15°或75°[解析]AB=AC,∠ABC=70°， 选B. ∴∠ACB=70°，∠CAB=40°.CA=CP,.∠CAP 8.解：设∠B=xAB=AC,∠C=x.AC=CD, =∠CPA.分两种情况讨论：当点P在，点B的左侧 ∠CAD=∠CDA. 时，如答图①，∠CAP=(180°-70)÷2=55°， AD=BD,∴.∠BAD=∠B=x .∠BAP=∠CAP-∠CAB=55°-40°=15°；当，点 由三角形的外角性质，得∠CDA=∠B+∠BAD= 2x,.∠CMD=2x. P在点B的右侧时，加答图②，∠CP=子LACB= 在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°， 35°，.∠BAP=∠CAP+∠CAB=35°+40°=75 .x+2x+2x=180°，解得x=36°， 综上，∠BAP的度数为15°或75 ,∠B=∠C=36°，∠BAC=180°-36°-36°=108°， ,△ABC的三个内角的度数分别是108°，36°，36 9.20°[解析]AB=AC,∠BAC=100°，：∠B= ∠C=(180-∠BMC)=40e.BD=BE, PB C B C 3题答图① 3题答图② ÷∠BDE=∠BED=2(180°-∠B)=70AB= 4.2[解析]因为∠ABC=90°.AD∥BC,所以∠A= 180°-∠ABC=90°，∠AEB=∠FBC.因为CF⊥BE, ·1· 八年级数学·北师版（下册） 所以∠BFC=90°，所以∠A=∠BFC. 分线，可剃定△BCE≌△CBD,得到BD=CE,不符 ∠A=∠BFC, 在△AEB和△FBC中， ∠AEB=∠FBC, 合题意：C选项，由∠ABD=号LABC,LACB= BE CB, 3LACB,可得LDBC=LECB,可判定△BCE鸟 所以△AEB≌△FBC(AAS),所以BF=EA=8,所以 EF=BE-BF=10-8=2. △CBD,得到BD=CE,不符合题意；D选项，由 5.(1)证明：，CF∥AB,∠ADF=∠F,∠A=∠ECF ∠ABD=∠BCE,不能判定△BCE≌△CBD,得不到 r∠A=∠ECF, BD=CE,符合题意.故选D. 在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠F, 2.解：BM=DE+DF. DE=FE, SAARC=SAAB即+SA4cD, ∴.△ADE≌△CFE(AAS). 2AC·BM=AB,DE+74C,DR (2)解：△ADE≌△CFE. AB=AC,∴.BM=DE+DF. ∴，AD=CF=4..BD=AB-AD=5-4=1. 3.C[解析]：△ABC为等边三角形，AD⊥BC,AD 6.证明：(1)AB=AE,D为线段BE的中点， 所在直线是BC的垂直平分线，∠ABC=60°.：E是 ∴，AD⊥BC.∴∠C+∠DAC=90 AD上一点，.EB=EC,∴.∠EBD=LECD. ∠BAC=90°， ∠CED=50°，∴.∠ECD=40°，∴.∠EBD=40°， .∠BAD+∠DAC=90°.∴.∠C=∠BAD. ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-40°=20°，故 (2)AF∥BC,∴.∠EAF=∠AEB. 选C. AB=AE,∴∠B=AEB. 4.A[解析]过点A作AD∥1，如答图，则∠BAD= .∠B=∠EAF ∠B.l∥h,.AD∥l2,.∠DAC=∠a=40° 又：AB=EA,∠BAC=∠AEF=90°， :△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，.∠B= △BAC≌△AEF.,AC=EF ∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°故选A 题型变式 B 1.证明：AC∥DF,∴.∠ACB=∠F B .·BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF r∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠F BC EF, 4题答图 ∴.△ABC≌△DEF 5.75°[解析]△ABC为等边三角形，AD⊥BC, 2.(1)证明：如答图，过点A作AF⊥BC于F 六∠DAC=∠BMC=30:AD=AB,∠ADE= 2（180°-∠DME)=2180-30)=750 6.120°[解析]：△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠C 2题答图 =60°.：PE⊥AB,PF⊥AC,.∠PEB=∠PFC=90°， .AB =AC,AD=AE,..BF CF,DF EF, .∠EPB=∠FPC=90°-60°=30°，∴∠EPF= .BF DF =CF EF,..BD=CE. 180°-30°-30°=120°. (2)解：，BD=CE,F为DE的中点， 7.(1)解：DB=DE,∠E=∠DBE. BD DF =CE +EF,..BF=CF. ,△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， :AB=AC,∴.AF⊥BC,∠B=∠C .∠DBC=30°，∴.∠E=∠DBE=30°， .∠C=∠B=90°-70°=20°. ,∠BDE=180°-30°-30°=120°. 课时2等边三角形的性质 (2)证明：：△ABC是等边三角形， 【基础机囿练】 ∠ACB=60. 1,D[解析]A选项，由BD,CE分别为AC,AB上的 ∠E=30°，.∠CDE=∠ACB-∠E=30°， 高，可判定△BCE≌△CBD,得到BD=CE,不符合 .∠CDE=∠E,∴.CD=CE, 题意；B选项，由BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平 .△CED是等腰三角形. ·2 参考答案及解析 题型变式 ∠ADB=∠C+∠DAC, 1.B[解析]如答图，AB=AC,∴.∠B=∠C,∴∠2 ∠ABD=∠ADB,.AD=AB. +∠y=∠1+∠a,∴∠2-∠1=La-∠y. 6.B[解析]已知五个正数的和等于1，用反证法证 △DEF是等边三角形，.∠4=∠3=60°，∴.∠2+ 明这五个正数中至少有一个大于或等于}，先要假 ∠am=∠1+∠β=120°，∴∠2-∠1=∠β-∠a, ∠a-∠y=∠B-∠a,∴.2∠a=∠B+∠y.故选B. 设这五个正戴新小于行故选B 7.证明：假设∠DAB是钝角或直角， AB=AC,AD是底边BC上的高，∴.∠BAC=2∠DAB. :·∠DAB是钝角或直角， .2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立，，∠DAB是一个锐角 E 1题答图 【能力捉升练】 课时3等腰三角形的判定和反证法 1.10[解析]如答图，根据折叠可知∠1=∠2，易知 【基础巩固练】 ∠1=∠3，.∠2=∠3，，ED=EB.BE=5, 1.C DE=5重叠部分的面积=DE:AB=宁×5 2.C[解析]如答图，根据题意，得∠CBD=84°， ∠CAB=42°，.∠C=∠CBD-∠CAB=42°，.∠C ×4=10 =∠CAB.BC=AB.AB=15×2=30(海里)， ,BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里. 4北 D B 东 1题答图 A 2.(1)解：AB=AC,AD⊥BC, 南 ∴.∠BAD=∠CAD,∠ADC=90 2题答图 3.D[解析]：∠A=36°，∠C=72°，∴.∠ABC=180° 又，∠C=42°，∴.∠BAD=∠CMD=90°-42°=48 -72°-36°=72°，∠ABC=∠C,AB=AC, (2)证明：，AB=AC,AD⊥BC, .△ABC是等腰三角形.：DE∥BC,.∠AED= .∠BAD=∠CAD. ∠ABC,∠ADE=∠C,∠AED=∠ADE,∴.△AED :EF∥AC,.∠F=∠CAD, 是等腰三角形.BD平分∠ABC,·∠ABD= .∠BAD=∠F,∴.AE=FE. ∠DBC=36°，.∠A=∠ABD=36°，∠EDB=∠EBD 3.证明：假设a与b相交于点M,如答图. =36°，∴△ABD,△BDE都是等腰三角形.∠BDC 因为a∥c,b∥c, =180°-72°-36°=72°，∴.∠C=∠BDC=72°， 所以过点M有两条直线平行于直线c, ∴，△BDC是等腰三角形.综上，等腰三角形有5个. 这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 4.证明：：AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD. 平行相矛盾， DE∥AC,.∠EDA=∠CAD,∴.∠BAD=∠EDA. 所以a∥6. AD⊥BD, 'M ∴.∠B+∠BAD=90°，∠BDE+∠EDA=90°， .∠B=∠BDE,∴.EB=ED, .△BDE是等腰三角形 3题答图 5.证明：：在R1△ABC中，∠BAC=90°， 题型变式 ∴.∠B+∠C=90° 1,(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, 又：∠BAD=2∠C, .∠DCG+∠CDG=90. ∴.∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C, 即∠B=∠C+∠DAC CB-CDLRCG-LDCG-LBCD. ·3 八年级数学·北师版（下册） BF⊥CD于点E, 在Rt△AED和Rt△CFD中，AD=CD,DE=DF, .∠ABF+∠CDG=90°， ∴.Rt△AED≌Rt△CFD,∴.∠A=∠C, ·∠ABF=LDCG= 立∠BCD. ,∠A=∠B=∠C,∴.△ABC是等边三角形. 4.证明：(1)：△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴，AB=AC,AD=AE,∠BAC=DAE. ∴LBAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. rAB=AC, D G 1题答图 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, (2)解：△BCF是等腰三角形，理由如下： LAD =AE, ∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45 .△ABD≌△ACE(SAS)..BD=CE. :∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, (2)由(1)可知△ABD≌△ACE, .∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. .∠ABM=∠ACN :∠BCG=∠DCG=LABF, 又：∠BAM=∠DAE=60°， ∠BCF=∠BFC,.BC=BF, .∠CAN=180°-60°-60°=60°=∠BAM. ∴.△BCF是等腰三角形. r∠MBA=∠NCA, 2.证明：假设点D与点E重合 在△ABM和△ACN中，AB=AC, AD是△ABC的中线，AE⊥BC, I∠BAM=∠CAN, .AD垂直平分BC, ∴.△ABM≌△ACN(ASA)..BM=CN .AB=AC,与AC>AB相矛盾， (3)由(2)知△ABM≌△ACN,∠CAW=60°， 点D与点E不重合。 ,AM=AN.,△AMMN是等边三角形. 课时4等边三角形的判定与含30°角的 ∴∠ANM=6O°=∠DAE..MW∥BE. 直角三角形的性质 5.C6.D 【基础巩置练】 7.D[解析]因为∠A=60°，∠C=90°，所以∠B= 1.C[解析]易知三个角都相等的三角形、有两个角 180°-60°-90°=30°，在RL△ABC中，因为AC= 等于60°的三角形一定是等边三角形，故A,B项不 2km,所以AB=2AC=4km. 特合题意；C项，等腰三角形底边上的高与中线重 8.C[解析]AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C 合，所以一边上的高也是该边上的中线的三角形不 =30.:DE⊥AB,DF⊥AC,DE=BD,DF= 一定是等边三角形，故C项符合题意；D项，有一个 外角等于120°的等腰三角形，即有一个内角等于 DC DE+DF-D+DG(RD+DG) 60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，故D项 不特合题意 =28c=5m 2.①②④[解析]~LACB=90,LA=30°，∠B9.A[解析]：在△ABC中，LA:LB:LBCM=1:2:3, =60°.①当DC=DB时，由“有一个角是60°的等腰 ∴.∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°.AB=12, 三角形是等边三角形”可判定△BCD为等边三角 ∴BC=6.CD⊥AB,∴∠BDC=90°，∴.∠BCD= 形；②当AD=CD时，∠ACD=∠A=30°，∴.∠BCD 30°，.DB=3. =∠B=∠BDC=60°，△BCD为等边三角形： 10.C[解析]如答图，过C作CD1BA,交BA的延长 ③当△ACD是等腰三角形，且∠A为顶角时，△BCD 线于D,则∠D=90°.AB=AC,∠B=15°， 不是等边三角形：④当△BCD是等腰三角形时， ∴.∠ACB=∠B=15°，.∠DAC=∠B+∠ACB=30°， :∠B=60°，∴△BCD为等边三角形，∴，∠BCD= 60°，∴.∠ACD=30°，∴.△ACD为等腰三角形.综上， CD=4C=3x10=5故选C 正确的说法是①②④. D 3.证明：，AB=AC,∴.∠B=∠C :D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, B .∴.AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 10题答图 ·4. 参考答案及解析 【能力提升练】 如答图②.DG∥AB, 1.解：△APQ为等边三角形.理由： ∴.∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60. :△ABC为等边三角形，∴AB=AC ∴∠GDC=∠DGC=∠GCD=60°. AB=AC, △GCD为等边三角形..DG=CD=CG 在△ABP和△ACQ中， ∠ABP=LACQ, :△EDF为等边三角形 BP=CQ, ∴.ED=FD,∠EDF=∠GDC=60 .△ABP≌△ACQ(SAS), .∠EDG=∠FDC. ∴.AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. ∴.△EGD≌△FCD.∴.EG=FC. :△ABC为等边三角形， .EG=CG+CE=CD+CE, .∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， .CF CD +CE. ∴.∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， 2.解：(1)，△ABC为等边三角形， ∴△APQ是等边三角形. ·AB=AC=BC=8,∠B=∠C=60°. 2.(1)证明：：△ABC是等边三角形， AD=2,..BD =AB-AD=8-2=6. ∴.AB=CM,∠BAE=∠C=6O 在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°， 又：AE=CD,.△ABE≌△CAD.∴BE=AD. (2)解：由(1)知△ABE≌△CAD, E=D=2×6=3 ∴.∠CAD=∠ABE. ,.CE=BC-BE=8-3=5 .∠BPD=∠PAB+∠ABE=∠PAB+∠CAD= 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=90°-60°=30°， ∠BAC=60°， CF-2CE-7x5 又.BQ⊥AD,∴.∠PBQ=90°-∠BPD=90°-60°=30° ,BP=2PQ=6..BE=BP+PE=6+1=7. A=4C-P0=8-多-号 .'AD=BE =7. (2)在△BDE和∠CEF中， 题型变式 r∠BED=∠CFE=90°， 1.【问题解决】 ∠B=∠C, 证明：在CD上截取CH=CE,连接EH,如答图①. (DE =EF, △ABC是等边三角形， .△BDE≌∠CEF(AAS).∴.BE=CF ,∠ECH=60°.∴.△CEH是等边三角形. ∴.EH=EC,∠CEH=6O LCEF=30°，BE=CF=2EC △DEF是等边三角形， BE=兮BC=号BD=2BE= ∴.DE=FE,∠DEF=6O. ∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=6O. AD=AB-BD=号当A0=号时，DB=R ∴.∠DEH=∠FEC.∴.△DEH≌△FEC. 专项1分类讨论思想在等腰三角形中的应用 .DH FC..CD CH+DH=CE FC, 1.解：①当底边长为6，腰长为7时，符合三角形三边 即CE+CF=CD. 关系，周长为6+7+7=20： ②当底边长为7，腰长为6时，符合三角形三边关 系，周长为7+6+6=19. 2.解：若∠C为底角， ①如答图①，当AB=AC时， G ,AD⊥BC,∴BD=CD 1题答图① 1题答图② 【类比探究】 AD-CAD=BD=CD,..C=45* 解：CF=CD+CE. ②如答图②，当AB=BC时， 理由：△ABC是等边三角形， ∴，∠A=∠B=60° AD=28cA0=2, 过点D作DG∥AB,交AC的延长线于点G, 又AD⊥BC,.∠ABD=30°，，∠C=75 .5.第一章三角形的证明 第一章 三 角形的证明 1等腰三角形 课时1等腰三角形的性质 《基础巩固练 [答案叫] 每圆圆①全等三角形的判定 知限胞③等腰三角形的性质定理 ①（重庆中考）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB 6如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=70°，0是△ABC =∠DBC,添加一个条件，不能证明△ABC和 内一点，且∠OBC=∠OCA,则∠B0C的度数为 △DCB全等的是 () A.∠ABC=∠DCB B.AB=DC A.140° B.110 C.125 D.115 C.AC =DB D.∠A=∠D B 6题图 7题图 」题图 2题图 7(江苏连云港月劣)如图，在△ABC与△ACD中， 2如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠A=∠D,要使 ∠B=85°，∠ACB=45°，AC=AD,AB∥CD.则 △ABF≌△DCE,应添加的条件是 ∠D的度数为 ( (只需要写出一个条件) A.40° B.50 C.55° D.65 3(百色中考)如图，点D,E分别是AB,AC的中 8如图，在△ABC中，点D在BC上AB=AC=CD, 点，BE,CD相交于点O,∠B=∠C,BD=CE 且AD=BD.求△ABC的三个内角的度数 求证：(1)OD=OE: (2)△ABE≌△ACD. 8题图 3题图 知织点（④等腰三角形性质定理的推论 9(长春期末)如图，在△ABC 中，AB=AC,AD平分∠BAC, 点E在边AB上，且BD= 细樱点②全等三角形的性质 BE.若∠BAC=100°，则B 9题图 4如图，若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成 ∠ADE的大小为 立的是 10如图，在△ABC中，∠B=∠C,过BC的中点D A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE 作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F C.AB=AE D.∠ABC=∠AED (1)求证：DE=DF: (2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数 4题图 5题图 10题图 ⑤如图，△ABD兰△ACE,若AB=6,AE=4,则CD 的长度为 ( A.10 B.6 C.4 D.2 见此图标租科音/微信扫码领取配套资源税步提升成绩 八年级数学·北师版（下册） 《能力提升练 [答率H] ①（皱州期末）如图，在△ABC中，AB=AC,过点A (2)求证：AC=EF 作DA⊥AC交BC于点D.若∠B=2∠BAD,则 ∠BAD的度数为 A.18°B.20° C.30° D.360 6题图 1题图 2题图 3题图 2(湖南长沙里城区期来)如图，在△ABC中，AB= AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于 ⑦题型变式 讲本P3答案P2 点F,DE=4,则BF的长为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 ①（题型1变式）如图，已知点E,C在线段BF上， 3(绍兴中考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B= ∠A=∠D,BE=CF,AC∥DF 70°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，交直线 求证：△ABC≌△DEF. BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数是 ④如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=90°，AD∥BC,以B 为圆心，BC长为半径画弧， 1题图 与AD相交于点E,连接BE, B 过点C作CF⊥BE,垂足为 4题图 点F.若AE=8,BC=10,则 EF的长为 ⑤如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB,DF 交AC于E点，DE=EF 2(题型2变式)如图①所示，点D,E在△ABC的 (1)求证：△ADE≌△CFE; 边BC上，AB=AC. (2)若AB=5,CF=4,求BD的长 (1)若AD=AE.求证：BD=CE: (2)如图②所示，若BD=CE,F为DE的中点， ∠BAF=70°，求∠C的度数. 5题图 2题图① 2题图② 6(黄石中考)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E 为边BC上的点，且AB=AE,D为线段BE的中 点，过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且 AF,EF相交于F (I)求证：∠C=∠BAD: 2 「见色图标眼林音/假体扫码领取配套资源稳步提升成绩 第一章 三角形的证明 课时2等边三角形的性质 《基础玥固练 [答案2] 细思点①等腰三角形中的相等线段 5如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D,AE 1如图，在△ABC中，AB=AC,下列条 =AD,则∠ADE= 件中，不能使BD=CE的是( ABD,CE分别为AC,AB上的高 B.BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的 B 平分线 1题图 C.LABD-LABC.LACE-LACB 5题图 6题图 6(甘肃张掖期中)如图，P是等边△ABC的边BC D.∠ABD=∠BCE 上任意一点，PE⊥AB,PF⊥AC,点E,F为垂足， 2如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上的一点， 则∠EPF= 连接AD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BM1 ⑦（云南保山期中）如图，△ABC是等边三角形. 为AC边上的高，试探索DE+DF与BM的大小 BD是AC边上的高，延长BC至E,使DB=DE. 关系 (1)求∠BDE的度数： (2)求证：△CED为等腰三角形. 2题图 7题图 知恩處②等边三角形的性质 3如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,E为AD 上一点，∠CED=50°，则∠ABE等于() A.10° B.159 C.20 D.259 心题型变式 讲本仍答案P3 ①（题型3变式）如图，△ABC中，AB=AC,△DEF 为等边三角形，则∠&，∠B,∠y之 间的关系为 ( 3题图 4题图 ④（山东成海六校联考）已知直线1，∥L2,将等边三 A.2∠B=∠a+∠Y B.2∠x=∠B+∠y 角形按如图所示的方式放置，若∠a=40°，则 C.2LB=∠a-∠y ∠B等于 ( D.2∠a=∠β-∠y 1题图 A.20°B.30° C.40° D.509 见此图标围科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 3 八年级数学·北师版（下册） 课时3 等腰三角形的判定和反证法 《基础巩固练 [答案P3] 细假息①等腰三角形的判定 5(上海奉贤区期中)如图，已知在△ABC中，D是 ①（上海普陀区期中）下列三角形中，等腰三角形 BC上的一点，∠BAC=90°，∠BAD=2∠C. 的个数是 求证：AD=AB. 50 45 540° ① ② ③ 1题图 5题图 A.1 B.2 C.3 D.4 2(教村P10T4变式)一条船从海岛A出发，以15 海里时的速度向正北航行，2小时后到达海岛 B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在 海岛B的北偏西84方向上.则海岛B到灯塔C 的距离是 ( 如织点②反证法 A.15海里 B.20海里 6(河南平顶山期末)已知五个正数的和等于1，用 C.30海里 D.60海里 反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等 3如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD平 分∠ABC,ED∥BC,则图中等腰三角形的个 于乃，先要假设这五个正数 () 数是 A.2 A都大于兮 B都小于号 B.3 C没有-个小于号 D.没有一个大于号 C.4 乙（辽宁装山校级调研）如图，在等腰三角形ABC D.5 3题图 ④（云南模拟）如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足 中，AB=AC,AD是底边BC上的高，请你利用反 证法证明∠DAB是一个锐角， 为D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形 7题图 4题图 46 见色图标眼林音/假信扫码领取配套资源稳步捉升成绩 第一章三角形的证明 《能力提升练 [答案3] ①（河南信阳期中）将一张长 )题型变式 讲本4答案3 方形纸片ABCD按如图所示 的方式进行折叠，若AE=3, ①（题型4变式）如图，在△ABC中，AC>BC,∠A AB=4,BE=5,则重叠部分 =45°，D是AB边上一点，且CD=CB,过点B作 的面积是 1题图 BF⊥CD于点E,与AC交于点F 2(重庆中考B卷)如图，在△ABC中，AB=AC,AD （)求证：∠ABF=∠BCD: ⊥BC于点D. (2)判断△BCF的形状，并说明理由. (1)若∠C=42°，求∠BAD的度数： (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线 于点F.求证：AE=FE. D 1题图 2题图 2(题型5变式)如图，在△ABC中，AC>AB,AD是 △ABC的中线，AE⊥BC于点E,用反证法证明： 3用反证法证明：如图，已知直线a∥c,b∥c,求 点D与点E不重合 证：a∥b. 3题图 2题图 「见此图标胆科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 5 八年级数学·北师版（下册） 课时4等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 《基础明固练 [答案P4] 细思点①等边三角形的判定 知限点②含有30°角的直角三角形的性质/ ①（福州期中）下列三角形中，不一定是等边三角 ⑤（教村PI2练习变式）如图，在△ABC中，∠BAC 形的是 =90°，∠C=30°，AD⊥BC,垂足为D,则BD与 A.三个角都相等的三角形 BC的数量关系是 () B.有两个角等于60的三角形 C.一边上的高也是该边上的中线的三角形 A即=号C 8.BD-BC D.有一个外角等于120的等腰三角形 2在R1△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D在边 c.mD-nc D.BD=BC AB上，连接CD.给出下列四种说法： ①当DC=DB时，△BCD一定为等边三角形： ②当AD=CD时，△BCD一定为等边三角形： ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等 D 边三角形； 5题图 6题图 ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等 6(西宁中考)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B 腰三角形. =30°，AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上 其中正确的说法是 ,(填序号) 一点，连接DE,则下列说法错误的是() 3(泉州期未)如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC A.∠CAD=30 B.AD=BD 的中点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且 C.BD=2CD D.CD=ED DE=DF.求证：△ABC是等边三角形. 7(福戏中考)如图，某研究性学习小组为测量学 校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近 选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°，∠C= 90°，AC=2km.据此，可求得学校与工厂之间的 距离AB等于 3题图 A.2 km B.3 km C.23 km 7题图 D.4 km 8如图是“人字形”"钢架，其中斜梁AB=AC,顶角 ∠BAC=120°，跨度BC=I0m,AD为支柱（即底 4如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B, 边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB于点E,DF A,E在同一直线上，连接BD交AC于点M,连接 ⊥AC于点F,则DE+DF等于 () CE交AD于点N,连接MN.求证： A.10m B.9.5m C.5 m D.2.5m (1)BD=CE; (2)BM=CN; (3)MN∥BE. 4题图图 8题图 9题图 9如图，在△ABC中∠A:∠B:∠BCA=1:2:3,CD ⊥AB于点D,AB=12,则DB等于 () A.3 B.4 C.6 D.9 10(福炖龙岩期中)等腰三角形的底角是15°，腰长 为10，则其腰上的高为 () A.8 B.7 C.5 D.4 见之图标限杵衣/假信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第一章 三角形的证明 《能力提升练 [答案5] ①（四川泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC )题型变式 讲本4答案5 内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP= CQ,问△APQ是什么形状的三角形？试说明你 ①（题型6变式）（烟台中考）如图，在等边三角形 的结论. ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC 上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF,连 接CF. [问题解决] 如图①，若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD: [类比探究] 1题图 如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线 段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系，并 说明理由。 1题图① 1题图② 2如图，△ABC为等边三角形，AE=CD,AD,BE相 交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1. (1)求证：BE=AD: (2)求AD的长 2(题型7变式)（常州奥验初级中学期末）如图， 等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动 点，过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥ AC于点F (1)若AD=2,求AF的长： 2题图 (2)当AD取何值时，DE=EF? 2题图 “见此图标胆科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 7