专题01 导数及其应用（易错必刷50题10种题型专项训练）（期末复习专项训练）高二数学下学期湘教版

专题01 导数及其应用（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　平均变化率问题 题型二　求切线方程与切点坐标 题型三　求复合函数的导数 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型五　利用导数求函数的单调区间 题型六　已知单调性求参数的取值范围 题型七　判断、证明函数的单调性 题型八　含参数单调性讨论 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 题型十　导数在解决实际问题中的应用 题型一　平均变化率问题 1．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·辽宁·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 5．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型二　求切线方程与切点坐标 6．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 7．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·吉林白山·阶段练习）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 题型三　求复合函数的导数 11．（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 12．（24-25高二下·河南·期中）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 14．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数. (1)若时，，求的最小值； (2)若时，判断曲线是否为中心对称图形？若是，试求出对称中心. 15．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 16．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 17．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 19．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 20．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型五　利用导数求函数的单调区间 21．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 22．（24-25高二下·四川泸州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·河北·期中）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程. (2)求函数的单调区间； 24．（24-25高二下·河北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)如果函数在定义域内单调递减，求实数t的取值范围. 25．（24-25高二下·广东·期中）已知函数的图象在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间． 题型六　已知单调性求参数的取值范围 26．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 题型七　判断、证明函数的单调性 31．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 32．（2025·浙江·三模）若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“T函数”. (1)判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由. （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. (2)若非常值函数存在二阶导数，证明：为“T函数”的充要条件是为常值函数. (3)已知非常值函数为“T函数”，且.记为不超过x的最大整数，讨论函数在区间上的单调性. 33．（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； (2)过坐标原点作曲线的切线，求证：切点的横坐标为． 34．（2025高二·全国·专题练习）求证：． 35．（2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的可导函数，对于任意实数，均有，当时，，若，求实数的取值范围. 题型八　含参数单调性讨论 36．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 37．（24-25高二下·广东·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求证：． 38．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 39．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 40．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 41．（24-25高二下·山东·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二下·湖北十堰·期中）已知函数.当时，，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 43．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 44．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的极值； (2)若，求在区间上的最大值. 45．（2025·全国·模拟预测）已知函数． (1)求证：函数有极小值；并求的极小值为0时的值； (2)若，求的取值范围． 题型十　导数在解决实际问题中的应用 46．（24-25高二下·安徽·阶段练习）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 47．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 48．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的建造费用为千元.    (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的值，并求出最小值. 49．（23-24高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 50．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数及其应用（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　平均变化率问题 题型二　求切线方程与切点坐标 题型三　求复合函数的导数 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型五　利用导数求函数的单调区间 题型六　已知单调性求参数的取值范围 题型七　判断、证明函数的单调性 题型八　含参数单调性讨论 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 题型十　导数在解决实际问题中的应用 题型一　平均变化率问题 1．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】C 【分析】分别计算平均变化率，利用作差法即可判断. 【详解】由题意有，，所以，即， 故选：C. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：B 3．（24-25高二下·辽宁·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义列式计算． 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：C. 4．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用平均变化率的定义进行求解即可 【详解】在区间上的平均变化率为. 故选：D 5．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式计算求解. 【详解】因为函数， 则. 故选：D. 题型二　求切线方程与切点坐标 6．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 【答案】D 【分析】利用切线的斜率和导数的关系求解即可. 【详解】将切线方程整理为 ，其斜率为，因此. 切点在切线上，将代入切线方程： 所以 故选：D. 7．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 8．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 9．（24-25高二下·吉林白山·阶段练习）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线所过的点求出切点，即可得解. 【详解】（1）， ， 切线方程为， 即； （2）设切点为， 则， 切线方程为， 切线过点， ， ， ， 或， 切线方程为或． 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，根据题意，得到，且 ，列出方程组，即可求得的值，得到答案； （2）由（1）得到，求得，设切点为，得到切线方程为，将点代入切线方程，求得的值，进而求得切线方程. 【详解】（1）解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. （2）解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 题型三　求复合函数的导数 11．（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】B 【分析】由题意得，求导得，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 对其求导，则有，所以关于直线对称. 故选：B 12．（24-25高二下·河南·期中）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故选：D 13．（24-25高二下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的恒等式化简函数解析式，利用整体思想以及复合函数单调性，由正弦函数的单调区间，建立不等式组，可得答案； （2）利用求导法则求导，利用整体思想以及余弦函数的最值，建立方程，可得答案. 【详解】（1）， 令，其中， 解得，其中， 所以函数的单调减区间为. （2）， 易知当时，其中，函数取得最小值为， 所以函数取得最小值时，，其中. 14．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数. (1)若时，，求的最小值； (2)若时，判断曲线是否为中心对称图形？若是，试求出对称中心. 【答案】(1) (2)是，对称中心为点 【分析】（1）当时，求得，由，结合，即可求得的最小值； （2）由，结合的定义域关于对称，且，得到对称中心. 【详解】（1）解：由函数，可得的定义域为. 当时，函数，可得， 因为，所以，当且仅当，等号成立， 又因为，可得，解得， 所以的最小值为. （2）解：当时，由函数， 则函数的定义域关于对称， 且 所以曲线是中心对称图形，对称中心为点. 15．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可； （2）利用自导函数的定义构造函数，再求导即可推理得证. （3）由共轭互导函数的定义对进行求导运算可证明，并确定的一个解，再证明唯一性即可.. 【详解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 16．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得切线斜率，由直线的点斜式方程即得， （2）根据对称可知为奇函数，即可利用定义域对称求解. 【详解】（1）当时，， 则 ，又 故在点处的切线方程为，即 （2）由的图象关于点中心对称，可知的图象关于原点对称， 即为奇函数， 则由的定义域关于原点对称，可得，即， 于是，定义域为，故 联立解得； 此时，,符合题意； 所以. 17．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出，列方程组即可求解； （2）先判断出点不是切点，可设切点为，由导数的几何意义和过两点的斜率公式，列方程即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以 解得， 所以函数的解析式为. （2）因为， 所以点不在函数的图象上，即其不是切点，则设切点为. ，则该切线的斜率为. 又因为该切线过点， 所以，解得或. 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为，即. 综上所述，该切线的一般式方程为或. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 19．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【详解】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 20．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 题型五　利用导数求函数的单调区间 21．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】利用导数，再进行赋值求解，然后根据导数的正负来求单调区间即可． 【详解】求导得：，再令得： ， 再由，令得; ，联立上两式可得：， 故， 由，满足解得：或， 所以的单调递增区间为，， 故选：B． 22．（24-25高二下·四川泸州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数可判断偶函数在单调递增，即可分类求解. 【详解】由得，故函数在单调递增， 又是定义域为的奇函数，是定义域为的奇函数， 故是定义域为的偶函数， 所以函数在单调递减， 结合，故当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上可得的解集为， 故选：D 23．（24-25高二下·河北·期中）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程. (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)函数的单调减区间为，无增区间 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得函数的图象在点处的切线方程； （2）分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）已知函数 于是而 所以得即. （2） 令则. 由得 当时，单调递增； 当时，单调递减. 从而.即. 所以函数的单调减区间为，无增区间 24．（24-25高二下·河北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)如果函数在定义域内单调递减，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求导后令，解得递增区间； （2）将问题转化为在区间内恒成立，可得对恒成立，可得答案. 【详解】（1）因为函数， 则当时，， . 令，解得（舍去）， 由得， 所以的单调递增区间为. （2）因为函数，， 则， 函数在定义域内单调递减， 对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 当时，， ， 即实数的取值范围为. 25．（24-25高二下·广东·期中）已知函数的图象在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)，. (2)单调增区间为和，单调减区间为． 【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数和斜率的关系，即可求出， （2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值． 【详解】（1）由题意可知， 已知函数图象在处的切线方程是， 所以，， 解得，． （2）由（1）可知，的解析式为， 则， 令，解得或， 令，解得或，则函数在和上单调递增， 令，解得，则函数在上单调递减， 综上所述，的单调增区间为和，单调减区间为． 题型六　已知单调性求参数的取值范围 26．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 27．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】，令， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得， 故选：C 28．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 29．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 30．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合分类讨论求得，经验证符合题意. 【详解】由求导可得， 当时，，单调递减，无单调递增区间，不符合题意； 当时，因为函数的单调递增区间为，则有，解得. 当时，， 则时，，单调递减；时，；时，，单调递增. 故函数的单调递增区间为，符合题意. 所以. 故选：C. 题型七　判断、证明函数的单调性 31．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【详解】（1）， 在处的切线与直线平行， ， （2）函数的定义域为， 和都大于0，可得 又 所以在上单调递减                又  所以，解得：或 因此原不等式的解集为． 32．（2025·浙江·三模）若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“T函数”. (1)判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由. （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. (2)若非常值函数存在二阶导数，证明：为“T函数”的充要条件是为常值函数. (3)已知非常值函数为“T函数”，且.记为不超过x的最大整数，讨论函数在区间上的单调性. 【答案】(1)（ⅰ）不是“T函数”；（ii）不是“T函数”；（iii）是“T函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）看是否恒等于 0.若恒为 0 就是“T 函数”，不为 0 就不是. （2）已知非常值，为常值时，其导数y'恒为 0.因为不恒为 0，所以能推出，即是“T 函数”，反过来也能推，二者等价. （3）由（2）设等式，用三角函数表示和，通过求导得出，得到表达式，进而得到和含、的式子.再根据确定和的值，得出.最后根据分段得到分段形式，分析单调性. 【详解】（1）（ⅰ），故不是“T函数”； （ii）不恒为0，故不是“T函数”； （iii）恒成立，故是“T函数”. （2）由为非常值函数，得不恒为0. 是常值函数恒成立恒成立为“T函数. （3）由（2）设（r为正常数）， 令，，其中为关于x的函数，记为， 因此，故恒成立即（c为常数）， 因此，， 又，得， 进而解得，故. 因此 所以函数 可得函数在上单调递减，在上单调递增. 33．（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； (2)过坐标原点作曲线的切线，求证：切点的横坐标为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可知对任意的，恒成立，由参变量分离得，求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，可得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合可解方程，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数在区间上是减函数，则对任意的，恒成立， 故对任意的恒成立， 令，其中， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 所以，，故实数的取值范围是. （2）设切点坐标为，，则切线斜率为， 所以，函数在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程并化简得， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，且，由可得， 因此，切点的横坐标为. 34．（2025高二·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】构造函数并利用导数求出函数单调性，再结合不等式计算可得结论. 【详解】证明：设， 则， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 根据对数的运算性质得，． 35．（2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的可导函数，对于任意实数，均有，当时，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意可得，令，即可判断的单调性与奇偶性，从而问题即为，即可转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】，， 令，则， 当时，，则，即函数在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减. ，，， 所以，即，解得，即实数的取值范围. 题型八　含参数单调性讨论 36．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，在上为减函数 (3) 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，故可求切线方程. （2）根据、分类讨论后可得导数的符号，从而可得函数的单调性. （3）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围. 【详解】（1），，． 切线方程为，． （2）， 当时，，∴在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得． ∴在上为增函数，在上为减函数． （3）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立， 令，， ． 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ∴， 则． 37．（24-25高二下·广东·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入，对函数求导，求得斜率即可写出直线方程；（2）对函数求导，分，两种情况讨论； （3）由第二问的单调性可知，通过放缩即可证得不等式成立. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2），则． 对于方程． 当，即时，，函数在上单调递减； 当，即时，方程有两不等根， ，且， 所以当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，． （3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即当时，． 因为，所以，所以， 即， 所以， ， ， … ， 累加可得 ， 即， 所以． 38．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）根据题意，求得，分和，两种情况，再结合两根得到大小，分三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得 且， 故曲线在点处的切线方程. （2）由函数，其定义域为， 且， ① 若，可得 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ② 若时，则，令，可得或， 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上递增，在上递减， 综上可得：当时，在上递增，在上递减； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 39．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）求导，根据垂直关系可得求解. （2）求导，讨论时，，得，当时，，当时， ，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性， （3）构造，判断是奇函数，进而得的对称中心为，根据对称性可得，进而根据函数的单调性得解. 【详解】（1）， 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． （2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增； 当时，令，得，， 当时，，， 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 令，， 是奇函数，则的对称中心为， 恒成立， ，即，，则． 40．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，然后根据导数的几何意义求解切线方程，即可求解斜率； （2）求出导函数，按照和分类讨论，解导数不等式即可求解单调区间； （3）根据（2）的单调减区间，利用区间关系列不等式求解即可得解. 【详解】（1）当 时，函数，令得，即切点坐标为 ， 又 则 即切线斜率 ， 故切线方程为 ，即， 则曲线在点处的切线的斜率为2. （2）函数的定义域为 ，， ①当 时， 恒成立，故函数的单调增区间为 ； ②当 时， 令 解得 ， ，随x的变化情况如下表: x 0 单调递增 y极大值 单调递减 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述，当 时，函数的单调增区间为 ； 当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 （3）因为函数在上单调递减，所以由（2）可知且， 解得 ，所以. 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 41．（24-25高二下·山东·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立， 参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可. 【详解】由函数，得， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即，等价于恒成立， 令，则， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 42．（24-25高二下·湖北十堰·期中）已知函数.当时，，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，需对导函数再次求导分析的正负，对进行分类讨论即可得出答案. 【详解】由题设得，， 设，， 则， 当即时，，故在上为增函数， 故，即，所以在上为增函数，故； 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上单调递减， 所以，即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍去； 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍去， 综上，. 故选：A. 43．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数讨论含参函数的单调性，令、即可求解； （2）由（1）可得，利用二阶导数讨论可知在上单调递减，且，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，，， 求导得. 当，由，解得或；由，解得. 当时，恒成立. 当时，由，解得或；由，解得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，的在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以. 令，，得. 令，，得， 所以在单调递减，得， 所以.所以在上单调递减. 因为且，所以， 则，所以a的取值范围为. 44．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的极值； (2)若，求在区间上的最大值. 【答案】(1)的极大值为4，极小值为0 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程可得，再由导数判断出单调性即可得极值； （2）利用导数求得函数在区间上的单调性，得出其最值的表达式，再对参数的取值范围进行分类讨论得出其最大值. 【详解】（1）由题意， 所以，解得， 因此，则， 由，得或，所以在区间和上单调递增； 由，得，所以在区间上单调递减， 故的极大值为，极小值为. （2）由， 令，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最大值为或. 而，， ①当，即时，， ②当，即时，. 综上，当时，；当时，. 45．（2025·全国·模拟预测）已知函数． (1)求证：函数有极小值；并求的极小值为0时的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）利用导函数的单调性，结合特殊点导数值分析函数的单调性，从而求出极小值，再解出极小值为0时的值即可； （2）利用导函数分析函数的单调性，求出函数的最小值，根据题设得到关于的对数不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，，所以， 因为，都是增函数，且由题意知，所以是增函数， 又因为，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值， 由，得. （2）由题意知，所以是增函数，由得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由对任意实数成立，得，所以，即的取值范围是. 题型十　导数在解决实际问题中的应用 46．（24-25高二下·安徽·阶段练习）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【答案】(1)，（） (2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系. （2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值. 【详解】（1）由题意：，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 47．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【答案】(1)选项见解析，①答案见解析；②答案见解析 (2) 【分析】（1）①根据所选方案，确定正四棱锥的底面边长和斜高，可得出正四棱锥的侧面积的表达式； ②根据所选方案，确定正四棱锥的底面面积和高，可得出正四棱锥体积的表达式，然后结合导数求其最大值； （2）根据（1）中的结果可得出结论. 【详解】（1）选择甲方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减， ∴当时，. 选择乙方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减 ∴当时，. 选择丙方案：①， ②该正四棱锥的高， ， 令，则， 当时，；当时，. 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 所以当时，. （2）甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了， 因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想：. 48．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的建造费用为千元.    (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的值，并求出最小值. 【答案】(1)，定义域为； (2)当时，最小值 【分析】（1）由题意，利用体积公式求出和的关系，然后求解建造费用，化简即可得到关于的函数表达式，结合实际意义求解定义域即可； （2）利用导数，判断函数的单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案. 【详解】（1）由题意可得，， 解得，则， 所以容器的建造费用为， 故，定义域为； （2）因为， 令，得， 又， 当时，，函数为减函数， 故当时，有最小值，此时， 因此可得该容器的建造费用最小时的半径为2米，最小值千元. 49．（23-24高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度； （2）利用导数研究函数单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意知，，， 则，，所以. 所以栈道总长度为 （2）建造栈道的费用为，则， 令，得，又，解得， 当时， ，当时， ， 则在单调递减，在单调递增， 故， 此时， 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 50．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$