8.1.2样本相关系数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

8.1成对数据的统计相关性 第八章 成对数据的统计分析 课时2 样本相关系数 新知探究 探究一： 情境设置 如图所示，回答下列问题： 问题1：由上图可判断出图①中，𝑥，𝑦是负相关，图②中，𝑢，𝑣 是正相关，那么能否判断出图②的相关性比图①强？ 问题2: 怎样定量刻画两个变量的线性相关程度？ 2 新知探究 探究一： 情境设置 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，其中，，，和，，，的均值分别为和.将每个变量的观测数据减去其均值，得到成对数据为，，，，并绘制散点图. . 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理.我们用 分别除和，得，，，. 3 新知生成 知识点一 样本相关系数 样本相关系数 (1)我们常用样本相关系数来确切地反映成对样本数据的相关程度， (2)相关系数是研究变量之间线性相关程度的量. 4 一、样本相关系数 例题1 足球运动是世界上普及率最高的运动之一，某国大力发展校园足球.为了了解本地 区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据： 根据上表数据，计算𝑦与𝑥的样本相关系数𝑟，并判断𝑦与𝑥 是正相关关系还是负相关关系. 参考公式和数据：，, , . 【解析】由题意得, ， 所以 ，故与是正相关关系. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 足球特色学校 百个 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70 5 反思感悟 方法总结 计算样本相关系数的一般步骤: (1)先计算平均数,； (2)再计算，； (3)最后代入样本相关系数公式计算，注意计算要准确. 6 新知运用 跟踪训练1 共享汽车是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，类似于在租车行业里的短时间的租车.它手续简便，打个租车电话或在网上就可以预约订车.某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分.设消费者的年龄为𝑥 ，对共享汽车的体验评分为𝑦.若根据统计数据，计算得，且年龄𝑥 的方差为，评分𝑦的方差为，求𝑦与𝑥的样本相关系数𝑟 ，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的线性相关性强弱(当|𝑟|≥0.75 时，认为线性相关性强，否则认为线性相关性弱). 【解析】因为，所以 .因为，所以 .又因为 ，所以样本相关系数 .因为 ,所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的线性相关性很强. 7 新知探究 探究二：相关系数的性质 情境设置 问题1：样本相关系数𝑟 的正负能反映出成对变量的什么关系？ 【解析】当𝑟>0 时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一 个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. 当𝑟<0 时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据 的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. 8 新知生成 知识点二 相关系数的性质 相关系数𝑟 的性质 (1)样本相关系数𝑟的取值范围为[−1,1] ； (2)若𝑟>0 ，成对样本数据正相关； (3)若𝑟<0 ，成对样本数据负相关； (4)|𝑟|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强； (5) |𝑟| 越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱. 9 二、 相关系数的性质 例2 假设关于某种设备的使用年限𝑥(单位：年)与所支出的维修费用𝑦 (单位：万元)有如下统计资料： 参考数据及公式：，，， .样本相关系数 .(1) 求， ；(2)对𝑥，𝑦 进行线性相关性检验. 【解析】(1) 依题意可得， . (2)又， ， ,所以 . 所以可以认为𝑥与𝑦 之间具有很强的正线性相关关系. 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 10 反思感悟 方法总结 利用样本相关系数从数值上判断变量间的线性相关程度，这种方法是定量的方法.与散点图相比较，样本相关系数要精确得多，需要注意的是样本相关系数𝑟的绝对值小，只是说明变量线性相关程度低，但不一定不相关，可能非线性相关. 11 新知运用 跟踪训练2 近年来，随着互联网的发展，各种网约车服务在我国各城市迅猛发展，为 人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在某省的发 展情况，该省某调查机构从本省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A,B两项 指标数,(𝑖=1,2,3,4,5) ，数据如下表所示： , ， 试求与之间的样本相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系.附：样本相关系数公式 .参考数据：, . 【解析】， ， ， 故 .因为𝑟≈0.95，所以可以推断𝑦与𝑥 正线性相关，且具有较强的线性相关关系. 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A指标数 2 4 5 6 8 B指标数 3 4 4 4 5 12 随堂检测 1. 若变量𝑦与𝑥之间的样本相关系数𝑟=−0.983 2，则变量𝑦与𝑥 之间( ). A.不具有线性相关关系 B.具有线性相关关系 C.线性相关关系还需要进一步确定 D.相关关系很弱 2.给出下列命题： ①样本相关系数𝑟∈𝐑 ； ②当样本相关系数𝑟>0 时，两个变量正相关； ③两个变量的相关性越强，样本相关系数𝑟 就越接近于1. 其中真命题的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 3.相关变量𝑥，𝑦 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关性分析.方案一：根 据图中所有数据，得到相关系数；方案二：剔除点(10,21) ，根据剩下的数据得到相 关系数.则( ). A. B. C. D. B B D 13 随堂检测 4.关于两个变量𝑥和𝑦 的7组数据如表所示： 求变量𝑦与𝑥的样本相关系数，并判断变量𝑦与𝑥 之间是正相关还是负相关 21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325 【解析】 ， ， ， ， ， . ， 变量与之间是正相关. 14 课堂小结 1.知识清单： (1)样本相关系数； (2)相关系数的性质. 15 $$