专题08 立体几何中的范围与最值问题（6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08立体几何中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：截面问题 题型二：面积、周长问题 题型三：体积问题 题型四：长度问题 题型五：线段和最值问题 题型六：角度问题 【知识点梳理】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力． 【典型例题】 题型一：截面问题 【例1】（多选题）（2025·高一·湖南邵阳·期中）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【变式1-1】（多选题）（2025·高一·福建龙岩·期中）如图，在长方体中，，，，E是棱上的一个动点，下列命题正确的是（   ） A．长方体外接球的表面积为 B．过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为 C．在棱上存在相应的点G，使得平面 D．若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则的最小值为 【变式1-2】（多选题）（2025·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（   ）    A．圆锥的母线长为4 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为 D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 题型二：面积、周长问题 【例2】（多选题）（2025·高一·重庆·期中）如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D．截面四边形的周长的最小值为10 【变式2-1】（2025·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为 . 题型三：体积问题 【例3】（2025·高一·全国·专题练习）在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为 . 【变式3-1】（2025·高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 . 题型四：长度问题 【例4】（2025·新疆喀什·模拟预测）若将半径为1，6，9的三个球放入一个正方体的容器中，则该容器的棱长的最小值为 . 【变式4-1】（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点在线段上运动，则（    ） A．对任意的点，有 B．存在直线，使 C．过点可以作4条直线与，均成角 D．的最小值为 【变式4-2】（多选题）（2025·高一·浙江杭州·期中）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．存在点，使得直线与共面 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 题型五：线段和最值问题 【例5】（多选题）（2025·高一·云南临沧·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 【变式5-1】（多选题）（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【变式5-2】（多选题）（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（    ）    A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时， C．当时，取得最小值 D．的最小值为 题型六：角度问题 【例6】（多选题）（2025·高一·江西宜春·阶段练习）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 【变式6-1】（多选题）（2025·高一·福建·期末）已知棱长为2m的正方体中，下列结论中正确的是（ ） A．若点P在线段上运动，异面直线AP与所成的角范围为 B．若点在线段上运动，的最小值 C．若将正方体 视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器 D．若点P在 的内部及边界上运动，且m, 则动点P的轨迹长为 m 【变式6-2】（多选题）（2025·高一·山东临沂·期末）在正方体中，是棱的中点，是棱上的点，则（    ） A．直线与平面所成角为 B．当点位于的中点时， C．二面角的平面角余弦值范围为 D．存在点，使得平面 【变式6-3】（2025·高一·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2025·高一·湖北武汉·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点， (1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值． 【强化训练】 1．（2025·高一·广东湛江·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·高一·广西·期中）有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．3 3．（2025·高一·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为9π B．三棱锥体积的最大值为9 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 5．（多选题）（2025·高一·福建泉州·期中）正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的有（   ） A．该八面体的表面积为 B．该八面体的体积为 C．若点为棱上的动点，则的最小值为 D．若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为 6．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点D是的中点，点P为线段上的一个动点，下列说法正确的是（   ） A．平面与底面ABC的交线平行于 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与直线CD可能相交 D．的最小值为 7．（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 8．（多选题）（2025·高一·江苏南通·期中）在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使与平面相交 B． C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为 9．（多选题）（2025·高一·福建莆田·阶段练习）棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．若平面，则的最小值为 D．若，则动点的轨迹长度为 10．（多选题）（2025·高一·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 11．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（    ）    A．圆台的体积为 B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为 12．（多选题）（2025·高一·浙江台州·期中）在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹长度为 B．直线不可能与垂直 C．直线与平面所成角为 D．三棱锥的体积最大值为 13．（多选题）（2025·高一·山东济南·期中）已知圆锥母线长为6，是底面一条直径.则（    ） A．若是等边三角形，则圆锥外接球表面积为 B．若，则过圆锥顶点S的截面面积的最大值是 C．若，则从A点出发沿着侧面再回到A点的最短路程是 D．若是等边三角形，则圆锥内切球体积为 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08立体几何中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：截面问题 题型二：面积、周长问题 题型三：体积问题 题型四：长度问题 题型五：线段和最值问题 题型六：角度问题 【知识点梳理】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力． 【典型例题】 题型一：截面问题 【例1】（多选题）（2025·高一·湖南邵阳·期中）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【解析】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 【变式1-1】（多选题）（2025·高一·福建龙岩·期中）如图，在长方体中，，，，E是棱上的一个动点，下列命题正确的是（   ） A．长方体外接球的表面积为 B．过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为 C．在棱上存在相应的点G，使得平面 D．若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】A选项：由已知，长方体体对角线长， 其中，R为外接球的半径，则，外接球的表面积，A选项正确； B选项： 在长方体的棱上取点F，满足，连接、， 因为,则，同理可证， 则四边形为平行四边形，是过A，E，三点的平面截长方体所得截面， 则周长， 将侧面与沿着展开，可得侧面展开图如下图所示， 当A，E，三点共线时有最小值， 此时，B选项正确； C选项中，假设平面，若E与C与重合，在上取点H，满足， 则，由图可知，的平行线与平面相交，假设不成立， C选项错误； D选项：E点为的一个三等分点，则在上取三等分点N，在上取二等分点M， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在上取靠近的三等分点P， 连接，因为，所以， 由等分关系，，所以， 平面，平面， 所以平面， 又，平面 所以平面平面，结合题意可知F的轨迹为. 又因为，所以，， 所以的最小值是等边三角形的高线，，D选项正确. 故选： 【变式1-2】（多选题）（2025·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（   ）    A．圆锥的母线长为4 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为 D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 【答案】ACD 【解析】对于A，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，故A正确； 对于B，圆锥的侧面展开图的圆心角，故B错误； 对于C，如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周， 又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长， 且，故C正确； 对于D，，又设圆锥的内切球的圆心为，半径为，球与圆锥侧面相切于,则, 则，即，解得,故D正确. 故选：ACD. 题型二：面积、周长问题 【例2】（多选题）（2025·高一·重庆·期中）如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D．截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【解析】 对于A，取中点，取靠近的三等分点， 则四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，则， 所以四点共面，故A错误； 对于，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半， 所以，故B正确； 对于C，若中点为为的四等分点（靠近）， 由已知，则， 延长，设它们交于点，则， 又，所以， 延长，设它们交于点，则， 则，即， 又，则，则， 所以点与点重合，即三线共点，故C正确. 对于D，由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将右面和后面相邻两面展开， 当三点共线时，最小，最小值为， 所以截面四边形的周长的最小值为10，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-1】（2025·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】由余弦定理可知：， 即，又，解得. 因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径； 记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为， 则有， 当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有 ， 再由，可知， 故，解得，此时， 故答案为：. 题型三：体积问题 【例3】（2025·高一·全国·专题练习）在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为 . 【答案】/ 【解析】 由题设，在一个圆上，故， 又，则，即，故是四边形外接圆的直径， 由平面，平面，则， 由，面，则面，面，则， 由，面，则面，面，则， 则是二面角的平面角，故， 令且，则，，故， 且都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心， 所以外接球半径， 当时，，此时球O的体积的最小值为. 故答案为：. 【变式3-1】（2025·高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 . 【答案】 【解析】设球的半径为，则球的体积为， 所以球体积取得最小值时，则球的半径最小. 设，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H， 易知分别为的中点，且四点共圆， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O， 为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图： 由条件知， 在中，由余弦定理可得 ， ∴的外接圆直径， 当时，球的半径取得最小值. 故. 故答案为： 题型四：长度问题 【例4】（2025·新疆喀什·模拟预测）若将半径为1，6，9的三个球放入一个正方体的容器中，则该容器的棱长的最小值为 . 【答案】 【解析】因为不共线三点可唯一确定一个平面，而过三个球球心截三个球所得球的截面面积最大， 所以由正方体结构特征可知要使该容器的棱长达到最小，则两大球相切， 且三个球球心均在正方体体对角面内，两个大球均分别与与自己同侧的正方体角落所在的三个面相切， 如图为截正方体体对角面和两个大球所得截面， 则， 假设最小球球心在上，且小球与该侧正方体的三个面均相切， 则， 所以求该容器的棱长的最小值只需考虑两个大球即可， 延长和相交于点B，设该正方体容器棱长为a，则， 所以， 化简解得. 故答案为： 【变式4-1】（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点在线段上运动，则（    ） A．对任意的点，有 B．存在直线，使 C．过点可以作4条直线与，均成角 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，如图，连接，，， 在正方体中，，平面， 平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，，故A正确； 对于B选项，当分别为，的中点时，，证明如下： 当为的中点时，则为的中点， 为的中位线，， 存在直线，使，故B正确； 对于C选项，与成角，当点与点重合时， 原问题等价于过作直线与，成角，可作三条直线， 即一条为直线的平行线，一条是直线， 第三条与图中的平行，其中是等边三角形， 过点只能作三条直线与，成角，故C错误； 对于D选项，的最小值即为异面直线，的距离， 即为两平行平面和的距离，即为点到平面的距离，设为， 正方体的棱长为1，， ， ，， 即，，故D正确. 故选：ABD. 【变式4-2】（多选题）（2025·高一·浙江杭州·期中）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．存在点，使得直线与共面 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A选项，在正方体中，，，如图1， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，A对； 对于B选项，假设存在点，使得直线与共面， 由A选项知，点、直线可确定平面， 若直线与共面，则平面，矛盾，假设不成立， 因此，不存在点，使得直线与共面，B错； 对于C选项，将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2，则， 在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错； 对于D选项，如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：AD. 题型五：线段和最值问题 【例5】（多选题）（2025·高一·云南临沧·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于，连接、，易知，，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确 对于，连接，，如图：   ，，四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面，同理四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面，，平面，平面， 平面平面，平面，平面，故B正确 对于， 由知，又平面，平面， 平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，故C错误 对于， 将平面和平面沿直线展开为一个平面，如图： 则当为与的交点时，取得最小值为的长度， ，， ， 中，由余弦定理可得 ， 即的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 【变式5-1】（多选题）（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 【变式5-2】（多选题）（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（    ）    A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时， C．当时，取得最小值 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】A：延长交于，连接并延长交于，连接交于， 连接，则平面截正方体的截面为，根据作图易知， 所以有，为线段中点，则为线段中点， 结合平面的基本性质及正方体的结构特征知且，则为平行四边形，对； B：由外接球的球心必在正方体上下底面中心连线上，如下图示， 所以球体半径为，则，得， 则到下底面距离，又在线段上运动， 所以在下底面上方，则，显然不存在这样的点，错； C：将面展开与面在同一平面上，如下图， 当为与的交点时，最小 ，对； D：如下图，线段关于面的对称线段为，它们的交点为， 则在平面中， 且， 则关于面对称的点在线段上， 若对称点为，连接，则， 若与的夹角为，则，所以， 若，则，此时不在线段上，不符； 所以，即最小为，错. 故选：AC 题型六：角度问题 【例6】（多选题）（2025·高一·江西宜春·阶段练习）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 因为为四边形内（含边界）的一个动点， 故当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形， 此时，A错； 对于B选项，连接、、、， 在正方体中，平面平面， 因为平面，所以，点到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，B对； 对于C选项，连接， 因为且，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，C对； 对于D选项，因为，所以异面直线与所成角等于直线与所成的角， 易知为等边三角形，如下图所示： 当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值， 当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值， 因此，异面直线与所成角的范围为，D正确. 故选：BCD. 【变式6-1】（多选题）（2025·高一·福建·期末）已知棱长为2m的正方体中，下列结论中正确的是（ ） A．若点P在线段上运动，异面直线AP与所成的角范围为 B．若点在线段上运动，的最小值 C．若将正方体 视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器 D．若点P在 的内部及边界上运动，且m, 则动点P的轨迹长为 m 【答案】BCD 【解析】对于A中，在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即为 当点运动到点的位置时，此时，所以A不正确； 对于B中，在正方体中，把沿着展开， 使得与在同一平面上，其中为边长为的等边三角形， 为直角边为的等腰直角三角形，如图所示， 可得，则， 连接，在中，可得 ，所以， 即的最小距离为，所以B正确； 对于C中，因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图所示，过的中点作，设， 可得，则， 即，解得，且， 以为轴可以对称放置底面直径为的圆柱， 若底面直径为的圆柱，与正方体的上下底面均相切， 设圆柱的底面圆心为，与正方体的下底面的切点为， 可知，，则， 即，可得， 根据对称性可知圆柱的高， 所以底面直径为，高为的圆柱能够被整体放入正方体内，所以C正确. 对于D中，连接和，在正方形中，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，同理可证：， 因为，且平面，所以平面， 设与平面交于点，可得，所以， 由，可得， 又因为等边的边长为，其内切圆的半径为， 如图所示，过点作，可得点为的中点，且， 可得，所以，则， 所以动点P的轨迹为的3倍，其长度为，所以D正确. 故选：BCD 【变式6-2】（多选题）（2025·高一·山东临沂·期末）在正方体中，是棱的中点，是棱上的点，则（    ） A．直线与平面所成角为 B．当点位于的中点时， C．二面角的平面角余弦值范围为 D．存在点，使得平面 【答案】BC 【解析】设正方体的棱长为2， 对A，易知三棱锥为正三棱锥， 所以点在底面内的投影为的中心，记为，记中点为， 连接，则为直线与平面所成角， 因为， 所以，所以，A错误； 对B，记的中点为，连接， 因为分别为的中点， 所以平面，， 又平面，所以， 因为为正方形，所以，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 又平面，所以，B正确； 对C，记平面与交于点，与交点为，连接， 因为，为的中点，所以， 因为为正方形，所以， 又是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以，所以是二面角的平面角， 易知，当点与点重合时，最小，此时， 当点与点重合时，最大， 此时， 所以二面角的平面角余弦值范围为，C正确； 对D，因为，且，所以为平行四边形，所以， 假设存在点，使得平面，则平面， 因为平面，所以， 又，所以在平面内过点存在两条直线与垂直（矛盾）， 所以，不存在点，使得平面，D错误. 故选：BC 【变式6-3】（2025·高一·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知， 四边形是矩形，， 所以初始状态时直线与直线所成的角为， 已知矩形中，，， ， 翻折过程中，如下图， 因为，所以，则与平面不垂直， 因为，， 所以异面直线与不垂直， 翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图： 因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为； 故选：C 【变式6-4】（2025·高一·湖北武汉·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点， (1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值． 【解析】（1）过点的截面是，理由如下： 设平面平面，平面平面， ∴，又，分别是和的中点， ∴，，∴，∴即为直线， ∴正方体中过点的截面是； （2）如图，易证为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z， 过Z作ZN⊥平面EPH，交面于N，则N为的中心， 三棱锥的外接球球心Q在直线ZN上， 设外接球半径为，，则， 其中，， 故， ∴球的表面积； （3）取的中点，又的中点，则，又， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又在正方体中，， 平面，平面， ∴平面，又， ∴平面平面， ∴点在线段上运动，又， ∴直线与所成的角即为直线与所成的角， 又平面，平面， ∴，是直角三角形， ∴， 当与垂直时，取得最小值， 其中，由勾股定理得， 故的最小值为， ∴，此时取得最大值， 由于且， 故，故的最大值为， ∴直线与所成的角的余弦值的最大值为. 【强化训练】 1．（2025·高一·广东湛江·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】过点分别作交于点，交于点 2．（2025·高一·广西·期中）有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解析】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积， 由题意知小球体积为，容器剩余的容积为， 由得， 故选：D. 3．（2025·高一·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 当四面体的每条棱为正方体各个面的对角线时，此时四面体的内切球最大， 则四面体的各棱长均为：，设内切球的球心为，半径为， 取的中点M，连接，作垂直平面，垂足G在的三等分点上(靠近点M)，如图所示： 由，，得，得， 则， 由得， ， 因为四面体的各个棱长都相等，所以， 得， 得． 故选：C 4．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为9π B．三棱锥体积的最大值为9 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BD 【解析】在中，, 则圆锥的母线长，半径. 对于选项A：圆锥SO的侧面积为，故选项A错误； 对于选项B：当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为：，故选项B正确； 对于选项C：当点B与点A重合时，为最小角； 当点B与点C重合时，，达到最大值， 又因为点B与A，C不重合，则. 又，可得，故选项C错误； 对于选项D：因为，所以. 又，所以为等边三角形，∴. 将以AB为轴旋转到与共面， 得到，则为等边三角形，. 如图：. 因为，, ∴； 故选项D正确. 故选：BD 5．（多选题）（2025·高一·福建泉州·期中）正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的有（   ） A．该八面体的表面积为 B．该八面体的体积为 C．若点为棱上的动点，则的最小值为 D．若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由于正八面体每个面都是边长为的正三角形， 故该正八面体的表面积为，A对； 对于B选项，在正四棱锥中，设顶点在底面内的射影为点， 则为正方形的中心，即为的中点， 因为正方形的边长为，则， 故， 因此，该正八面体的体积为，B错； 对于C选项，将面和面延展为同一个平面，如下图所示： 易知四边形是边长为的菱形，且， 当、、三点共线时，取最小值， 且，C对； 对于D选项，考虑点在侧面上运动时点的轨迹长度，如下图所示： 易知，且是边长为的等边三角形， 则三棱锥是正三棱锥，则点在底面内的射影点为的中心， 取为的中点，连接、，则， 因为，，故，则， 所以，为等腰直角三角形，且， ， 因为为等边的中心，则， 所以，， 因为平面，平面，所以， 则， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在内的圆弧， 因为，所以，圆切线段于其中点， 同理可知，圆切线段、于其中点，故点的轨迹是的内切圆圆，且圆的半径为， 综上所述，动点的轨迹长度为，D对. 故选：ACD. 6．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点D是的中点，点P为线段上的一个动点，下列说法正确的是（   ） A．平面与底面ABC的交线平行于 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与直线CD可能相交 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，设平面与底面的交线为，因为平面∥平面， 平面平面，所以∥，所以A正确， 对于B，连接交于点，连接，因为四边形为矩形， 所以为的中点， 因为点是的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为点为线段上的一个动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以B正确， 对于C， 延长相交，设交点为， 易知与平面相较于点， 在平面内，不在直线上，不在平面内， 由异面直线判定定理可知：直线与直线CD异面，故C错误； 对于D，由选项C可知，则为等边三角形， 如图，将平面和平面展在同一个平面内，则的最小值为， 在中，，则， 所以，所以， 所以的最小值为，所以D正确， 故选：ABD 7．（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面， 所以平面， 所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确. 选项B：直线与所成的角即直线与所成的角， 当为的中点时，所成的角最大，为， 当与（或）重合时，所成的角最小，为， 所以与所成角的取值范围为，B正确. 选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2， 则，在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错误. 选项D：如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D正确. 故选；ABD 8．（多选题）（2025·高一·江苏南通·期中）在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使与平面相交 B． C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】由正方体知，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 所以平面平面，平面，则平面，A错； 由平面，平面，则，又， 由且都在平面内，则平面，平面， 所以，同理可证，而且都在平面内， 所以平面，平面，则，B对； 由上平面，而到平面的距离， 而，则到平面的距离， 所以与平面所成角的正弦值为， 要使正弦值最大，只需最小，当时，有最小， 所以最小正弦值为，C对； 将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示， 当且仅当共线时，最小， 而，，故，D对. 故选：BCD 9．（多选题）（2025·高一·福建莆田·阶段练习）棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．若平面，则的最小值为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对于A，因，平面，平面， 则平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 则， 故A正确； 对于B，三棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同， 则外接球半径，则外接球表面积为，故B正确； 对于C，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹， 又， ， 所以当为的中点，即为等腰三角形底边上的高时， 最小， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，取线段的中点，连接， 在中，；在中，， 则， 又因，则，则， 因平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且， 则点的轨迹为线段， 又，则动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ABD 10．（多选题）（2025·高一·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：A B D. 11．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（    ）    A．圆台的体积为 B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，因为，， 所以圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 所以圆台的高， 所以圆台的体积，故A正确； 由，得， 因为，所以， 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接， 因为为中点，所以， 因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 此时母线所在直线与平面所成的角最大为， ，故B正确； 由，得，， 所以，当两条母线所在直线夹角为时面面积最大为，故C错误； 如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线， 由得，， 所以，， 取中点，则，， 所以，故D正确. 故选：ABD 12．（多选题）（2025·高一·浙江台州·期中）在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹长度为 B．直线不可能与垂直 C．直线与平面所成角为 D．三棱锥的体积最大值为 【答案】ACD 【解析】连接，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 平面，所以，同理可得， 因为，平面，所以平面， 设平面，即平面， 对于A，由得，， 则，， 所以点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，其周长为.故A正确； 对于B，当时，因为，所以平面，此时.故B错误； 对于C，因为平面，所以为直线与平面的所成角，,，故C正确； 对于D，因为点到直线的距离为，点到直线的最大距离为， 故的面积的最大值为, 因为平面，则 三棱锥体积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 13．（多选题）（2025·高一·山东济南·期中）已知圆锥母线长为6，是底面一条直径.则（    ） A．若是等边三角形，则圆锥外接球表面积为 B．若，则过圆锥顶点S的截面面积的最大值是 C．若，则从A点出发沿着侧面再回到A点的最短路程是 D．若是等边三角形，则圆锥内切球体积为 【答案】ACD 【解析】对于A、D，边长为6的等边三角形中线长为，其外接圆和内切圆半径分别为中线的三分之二和中线的三分之一， 故此时圆锥的外接球半径为，内切球半径为，代入球面面积公式及球体体积公式，故A、D正确； 对于B，因为轴截面顶角为钝角，此时经过两条垂直母线的截面面积最大， 最大面积为18，故B错误； 对于C，因为圆锥侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形， 利用三角形余弦定理可以求得，故C正确. 故选：ACD 14 学科网（北京）股份有限公司 $$