专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球（9大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球 【题型归纳目录】 题型一：正方体、长方体外接球 题型二：正四面体外接球 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 题型四：直棱柱外接球 题型五：直棱锥外接球 题型六：正棱锥外接球 题型七：垂面模型 题型八：锥体内切球 题型九：棱切球 【知识点梳理】 考点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 考点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 考点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 考点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 考点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 考点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 考点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 考点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 题型一：正方体、长方体外接球 【典例1-1】（2025·高一·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·高二·浙江·学业考试）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型二：正四面体外接球 【典例2-1】（2025·高二·湖南·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高一·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·贵州六盘水·期末）如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 【典例3-1】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥每对异面的棱长度都相等，且的边长分别为，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高一·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积 A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 . 题型四：直棱柱外接球 【典例4-1】（2025·高一·浙江绍兴·期中）已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B．1 C． D．3 【典例4-2】（2025·高一·浙江·期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高三·河南许昌·期中）在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，在棱上，若过三棱锥四个顶点的球的体积为，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．1或2 【变式4-2】（2025·高三·云南楚雄·期末）在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型五：直棱锥外接球 【典例5-1】（2025·湖南邵阳·二模）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·高一·浙江温州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高三·天津·阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：正棱锥外接球 【典例6-1】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·浙江·期中）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：垂面模型 【典例7-1】（2025·辽宁·三模）已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【典例7-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高二·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高一·四川成都·期末）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ）    A． B． C． D． 题型八：锥体内切球 【典例8-1】（2025·高一·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 【典例8-2】（2025·高三·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【变式8-1】（2025·高二·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【变式8-2】（2025·高一·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 题型九：棱切球 【典例9-1】（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ． 【典例9-2】（2025·高一·河南商丘·期中）已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为 ． 【变式9-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为 . 【变式9-2】（2025·高三·全国·阶段练习）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 . 【强化训练】 1．（2025·高一·重庆·期中）若球是圆锥的内切球，且圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·浙江杭州·期中）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·广西·期中）有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．3 4．（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高一·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·重庆荣昌·期中）已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2025·高一·广东汕头·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（   ） A．该半正多面体的表面积是 B．直线与平面所成的角为45° C．该半正多面体有外接球，且它的表面积为 D．该半正多面体有内切球，且它的表面积为 8．（多选题）（2025·高一·山东·期中）在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A．四面体的表面积为40 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的表面积为 D．记四面体内切球的球心为，则 9．（多选题）（2025·高一·内蒙古兴安盟·期中）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 10．（多选题）（2025·高一·湖南衡阳·期中）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 11．（2025·高一·江西赣州·期末）已知一个正四棱台的上下底面边长之比为，体积为，若此正四棱台的内切球存在，则这个内切球的表面积为 . 12．（2025·高三·江西宜春·阶段练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ． 13．（2025·高三·福建三明·期末）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球 【题型归纳目录】 题型一：正方体、长方体外接球 题型二：正四面体外接球 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 题型四：直棱柱外接球 题型五：直棱锥外接球 题型六：正棱锥外接球 题型七：垂面模型 题型八：锥体内切球 题型九：棱切球 【知识点梳理】 考点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 考点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 考点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 考点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 考点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 考点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 考点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 考点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 题型一：正方体、长方体外接球 【典例1-1】（2025·高一·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正方体棱长为2，体对角线为外接球的直径， 所以外接球半径， 所以正方体外接球的表面积为， 故选：C. 【典例1-2】（2025·高二·浙江·学业考试）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线， ∴球的半径是r， ∴球的表面积是4 故选：A 【变式1-1】（2025·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 【变式1-2】（2025·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知长方体的对角线长为. 所以外接球半径为， 体积为. 故选：A. 题型二：正四面体外接球 【典例2-1】（2025·高二·湖南·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接. 在中，.易知点为等边的中心， 所以. 易知，所以. 所以，点即为球心，球的半径为， 表面积为. 故选：D. 【典例2-2】（2025·高一·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为， 令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，， 即，， 而， 则， 在中，，解得，， 所以它的外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 【变式2-1】（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 故选：C 【变式2-2】（2025·高二·贵州六盘水·期末）如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆内最大正三角形即圆内接正三角形. 设该圆内接正三角形的半径为，边长为， 则， 解得， 如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为， 则， 过点作平面，为底面正三角形的中心，连接， 则在中，由正弦定理得，则， 所以高， 设正四面体外接球球心为，则 于是外接球的半径， 在中，，则， 所以，解得， 则其外接球的表面积为． 故选：B. 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 【典例3-1】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥每对异面的棱长度都相等，且的边长分别为，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三棱锥每对异面的棱长度相等， 该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线上分别为，设该长方体的长、宽、高分别为，，， 且不妨设，，， ， 三棱锥外接球的直径为， 外接球的体积为. 故选：B. 【典例3-2】（2025·高一·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意：将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，该三棱锥的外接球的半径为，如图： 则有，所以，所以，即， 所以球的体积为， 故选：A. 【变式3-1】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：先将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果. 因为将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，所以由得 因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为 因此四面体的外接球的表面积为， 选D. 【变式3-2】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】不妨设四面体为，，，， 可将四面体放置在长方体中，如图所示: 设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，， 则四面体的体积， 该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则， 所以球的表面积为. 故答案为：；. 题型四：直棱柱外接球 【典例4-1】（2025·高一·浙江绍兴·期中）已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【解析】，则，则， 所以外接圆的半径， 设，所以直三棱柱外接球的半径， 球的体积，所以，即， 所以三棱柱的体积. 故选：A 【典例4-2】（2025·高一·浙江·期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，的中点分别为，，连接，取的中点． 直三棱柱中，，， 四边形是平行四边形，有， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心． 因为平面，所以平面， 所以为的外接球的球心． 连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故选：C． 【变式4-1】（2025·高三·河南许昌·期中）在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，在棱上，若过三棱锥四个顶点的球的体积为，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，，，则外接圆圆心为中点， 令三棱锥外接球球心为，则平面，设此球半径为， 由，得，而外接圆半径，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，由，得，解得或， 而，所以. 故选：A 【变式4-2】（2025·高三·云南楚雄·期末）在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，即， 则外接圆的半径为， 则直三棱柱外接球的半径为， 外接球的表面积为. 故选：B. 题型五：直棱锥外接球 【典例5-1】（2025·湖南邵阳·二模）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 【典例5-2】（2025·高一·浙江温州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 故选：C. 【变式5-1】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，底面的外接圆半径， 又平面，且，则三棱锥的外接球半径， 所以外接球表面积为. 故选：B 【变式5-2】（2025·高三·天津·阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面， 则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得： ， 因此外接圆半径，球的半径， 所以球O的表面积. 故选：C 题型六：正棱锥外接球 【典例6-1】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【典例6-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正三棱锥，，，则，即， 因此正三棱锥的侧棱两两垂直， 以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球， 该球的直径为，半径， 所以该三棱锥的外接球的体积. 故选：A 【变式6-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取CD的中点Q，连接AQ、BQ，则， 由，得， 因为三棱锥为正三棱锥，所以， 而Q是CD的中点，所以， 又平面，所以平面， 由平面，得，又， 平面，所以平面， 由平面，所以，， 根据正三棱锥的特点可得， 故可将三棱锥补成以为棱的正方体，如图， 所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球. 由 得，可得正方体的棱长为，所以， 即，所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 【变式6-2】（2025·高二·浙江·期中）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过作平面于，连接， 因为，可得， 所以为的外心，所以三棱锥的外心在上， 因为，由正弦定理可得， 所以， 设外接球的半径为，则可得，所以， 所以该三棱锥的外接球表面积为. 故选：B. 题型七：垂面模型 【典例7-1】（2025·辽宁·三模）已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】如图，平面与平面外接圆圆心分别为、， 外接圆半径分别为、， 三棱锥外接球球心为，半径，中点为， 由球的性质知平面，平面，，， ∵为中点，∴，， ∵面面，∴， 即四边形为矩形，∴，， ∴，， 解得，，， 由正弦定理，， ， 故选：C. 【典例7-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点在平面内作作，垂足点为， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则， 所以，三棱锥的外接球的球心为中点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 设球的半径为，则， 又，，所以，，，， 所以，， 所以，三棱锥的体积为， 解得，因此，球的表面积为. 故选：A. 【变式7-1】（2025·高二·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设中点为，连接， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，， 所以，， 过点作， 因为平面平面，平面平面，平面，平面 所以平面，平面， 所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为， 则由得，由得， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 设球心为，中点为，连接， 则， 所以， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 【变式7-2】（2025·高一·四川成都·期末）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角，平面， 所以平面， 因为，，所以，, ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，解得， 所以该球的体积为. 故选：A. 题型八：锥体内切球 【典例8-1】（2025·高一·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 【答案】64 【解析】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 【典例8-2】（2025·高三·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【答案】3 【解析】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 【变式8-1】（2025·高二·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【解析】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 【变式8-2】（2025·高一·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 题型九：棱切球 【典例9-1】（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ． 【答案】 【解析】如图示： 取的中心E，连接PE，则平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上. 连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，，连接OD. 因为平面ABC，所有 . 因为平面，平面，，所有平面. 因为平面，所有 .过O作，交PA于点F. 球O的半径为r，则. 由题意：为正三角形，因为，所以，，. 因为，，所以，所以. 设，所以，因为，所以，解得:，所以，故球O的表面积为． 故答案为： 【典例9-2】（2025·高一·河南商丘·期中）已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为 ． 【答案】/ 【解析】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC， 连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC， 在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径， 过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设， 因为，所以求得， 由勾股定理得：，且∠ASE=30°，设OE=h， ，SO=3-h，， 由题意得：，解得：或， 当时，，此时球O的表面积为； 当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，， 可求得最大半径， 而当时，， 显然不成立，故舍去， 综上：球O的表面积为 故答案为： 【变式9-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为 . 【答案】 【解析】如图， 正三棱柱的各棱长均为， 以A为球心与棱相切的球的半径为， 则以平面为截面的上半球的体积为. 又， 球A位于正三棱柱内的部分的体积为. 故答案为：. 【变式9-2】（2025·高三·全国·阶段练习）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 . 【答案】 【解析】将三棱锥补全为正方体，如下图所示： 则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球， 设正方体棱长为，则，解得：， 所求的球的半径，球的体积. 故答案为：. 【强化训练】 1．（2025·高一·重庆·期中）若球是圆锥的内切球，且圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由球是圆锥的内切球，且圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形， 得圆锥的轴截面正三角形内切圆是球的截面大圆， 因此球的半径为， 所以球的体积. 故选：B 2．（2025·高一·浙江杭州·期中）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在中，由余弦定理，， ，， 设的外接圆半径为，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 3．（2025·高一·广西·期中）有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解析】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积， 由题意知小球体积为，容器剩余的容积为， 由得， 故选：D. 4．（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以的外接圆半径为． 设球半径为，则， 所以， ． 故选：D． 5．（2025·高一·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为N， 由题意，， 半球形容器的球心为O， 显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为A， 连接ON，则小球的半径， 球O的半径； 所以半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为， 故选：B 6．（2025·高一·重庆荣昌·期中）已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：直四棱柱即为长方体， 则外接球的半径， 所以外接球的体积为. 故选：D. 7．（多选题）（2025·高一·广东汕头·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（   ） A．该半正多面体的表面积是 B．直线与平面所成的角为45° C．该半正多面体有外接球，且它的表面积为 D．该半正多面体有内切球，且它的表面积为 【答案】ABC 【解析】半正多面体的表面积是，A对， 由题左图示，易知平面平面，平面， 所以直线在平面上的投影与正方体底面一条棱所在直线重合，且直线与其投影所成角为，B对， 由题设，易知正方体的棱长为2，结合对称性， 若半正多面体存在内切球、外接球，它们的球心重合且为正方体的中心， 所以正方体的中心到半正多面体各顶点的距离均为， 故半正多面体有外接球，且它的表面积为，C对， 正方体的中心到半正多面体的正方形侧面距离为1， 正方体的中心和半正多面体三角形侧面的三个顶点所成棱锥是棱长为的正四面体， 所以该正四面体的高为， 故半正多面体不存在内切球，D错. 故选：ABC 8．（多选题）（2025·高一·山东·期中）在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A．四面体的表面积为40 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的表面积为 D．记四面体内切球的球心为，则 【答案】ACD 【解析】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为, ,解得，，. 每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确. 体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为), 得四面体体积为.选项B错误. 四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确. 因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）（2025·高一·内蒙古兴安盟·期中）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 【答案】ACD 【解析】对于A，设球的半径为，则，解得，球表面积，A正确； 对于B，球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的8倍，B错误； 对于C，依题意，球的半径，球的表面积为，C正确； 对于D，令正方体的棱长为2，则球的半径为，则球的体积与正方体的体积之比： ，D正确. 故选：ACD 10．（多选题）（2025·高一·湖南衡阳·期中）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对C,圆锥的体积,C选项错误， 对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确. 故选：ABD 11．（2025·高一·江西赣州·期末）已知一个正四棱台的上下底面边长之比为，体积为，若此正四棱台的内切球存在，则这个内切球的表面积为 . 【答案】 【解析】 如图所示，分别取上下底边中点，可得如图等腰梯形， 设上下底面边长分别为，，即，， 又该四棱台存在内切球，设其球心为， 则为中点，且，， 所以，则， 又四棱台的体积， 解得，即 所以内切球半径， 表面积. 故答案为： 12．（2025·高三·江西宜春·阶段练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ． 【答案】 【解析】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径， 其表面积． 故答案为：. 13．（2025·高三·福建三明·期末）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 【答案】 【解析】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为， 由正三角形性质知， 与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得， 球体积为． 故答案为：． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$