专题10 独立性检验（4大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题12 独立性检验 【题型归纳目录】 题型一：列联表 题型二：等高条形图 题型三：独立性检验的基本思想 题型四：独立性检验解决实际问题 【知识点梳理】 1、列联表 设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 总计 2、独立性检验 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 3、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【典型例题】 题型一：列联表 【典例1-1】（2025·高二·宁夏固原·期中）下面是一个列联表，则表中处的值分别为（    ） 总计 25 73 21 总计 49 A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48 【答案】C 【解析】由个列联表知： ， 解得， 故选：C 【典例1-2】（2025·高二·全国·单元测试）2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为列联表． 高度辐射 轻微辐射 合计 身体健康 30 A 50 身体不健康 B 10 60 合计 C D E 则A，B，C，D的值依次为（    ） A．20，80，30，50 B．20，50，80，30 C．20，50，80，110 D．20，80，110，50 【答案】B 【解析】 故选：B. 【变式1-1】（2025·高二·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】对于A， ， 对于B，， 对于C，， 对于D， 显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大, 故选:B. 【变式1-2】（2025·高二·山西朔州·阶段练习）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（    ） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．25 B．45 C．60 D．75 【答案】A 【解析】设男生的人数为（），根据题意列出列联表如下所示： 单位：人 喜爱度 性别 合计 男生 女生 喜欢航天 4n 3n 7n 不喜欢航天 n 2n 3n 合计 5n 5n 10n 则， ∵依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，∴， 即，解得，∴，又， ∴结合选项知B，C，D正确． 故选：A． 题型二：等高条形图 【典例2-1】（2025·高二·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【答案】A 【解析】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 【典例2-2】（2025·高二·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 【变式2-1】（2025·贵州·二模）为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ） A．样本中不愿意选该门课的人数较多 B．样本中男生人数多于女生人数 C．样本中女生人数多于男生人数 D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数 【答案】B 【解析】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课， 则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误； 对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大， 所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误. 故选：B． 【变式2-2】（2025·四川达州·一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 【答案】C 【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确； 根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误. 故选：C. 题型三：独立性检验的基本思想 【典例3-1】（2025·高二·天津·期中）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【解析】零假设为：爱好跳绳与性别无关. A.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关.选项A正确. B. ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关，但无法判断这个结论犯错误的概率是否超过.选项B错误. C.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项C错误. D. ∵， ∴在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项D错误. 故选：A. 【典例3-2】（2025·高二·福建漳州·期中）为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中. 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（    ） A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058 【答案】B 【解析】， 故选：B 【变式3-1】（2025·高三·贵州黔西·阶段练习）某农业兴趣小组针对两种肥料的作用进行对比试验，经过一季的试验后，对“使用肥料A”和“使用肥料B”的220株植物的生长情况进行研究，按照植株的高度大于或等于60厘米为“高株”，60厘米以下为“矮株”统计，得到如下的列联表： 高株 矮株 合计 使用肥料A 20 90 110 使用肥料B 40 70 110 合计 60 160 220 (1)根据上面的列联表判断，依据的独立性检验，能否认为“使用哪种肥料与植株高度”有关； (2)为了进一步研究，从这批植物高株中用分层抽样的方法抽出6株，再从这6株中抽出3株，求抽到“使用肥料A”植物的株数X的分布列和数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设“使用哪种肥料与植株高度”无关， 由， 因为，所以依据的独立性检验，不能推断不成立，即不能认为“使用哪种肥料与植株高度”有关；. （2）要从这批植物高株中用分层抽样的方法抽出6株，则“使用肥料”和“使用肥料”的应分别抽取2株、4株， 从这6株中抽出3株，抽到“使用肥料”植物的株数可能值为， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. 【变式3-2】（2025·高二·河北保定·期末）为考察某种药物M对预防疾病N的效果，进行了动物实验，根据200个有放回简单随机样本的数据，得到的数据如下表： 单位：只 药物M服用情况 疾病N 未患疾病N 患疾病N 未服用 60 40 服用 80 20 (1)估计未服用药物的动物中患疾病的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效果？ 附临界值表及参考公式： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由列联表知，末服用药物的动物有100只，其中患疾病的有40只， 所以估计末服用药物的动物中患疾病的概率为． （2）零假设为：认为药物对预防疾病没有效果， ， 所以根据的独立性检验，可以推断不成立， 所以认为药物对预防疾病有效果，此推断犯错误的概率不大于0.005． 题型四：独立性检验解决实际问题 【典例4-1】（2025·高二·河北·期中）AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 (1)根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ (2)现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 【解析】（1）填写列联表为： 焦虑 不焦虑 合计 男性 40 10 50 女性 20 30 50 合计 60 40 100 零假设：焦虑与否与性别无关． 根据列联表中的数据得， 故依据的独立性检验，可以推断不成立， 即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关． （2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人， 其中男性人数为（人）；女性人数为（人） 由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3． ， 随机变量的分布列如下： 1 2 3 则． 【典例4-2】（2025·高二·宁夏银川·期中）我校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为500的样本进行调查，并得到如下2X2列联表： 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 140 400 不满意 100 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前3的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，.3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入总决赛的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）表如下所示 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 140 260 400 不满意 60 40 100 合计 200 300 500 原假设:满意程度与性别没有关系    依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为原假设不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错率不超过0.05. （2）设能答对2道题及以上为事件A     X的可能取值为0，1，2，3，X服从二项分布， 又，， ，， 所以的分布列为： 则； 【变式4-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 (1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ (2)现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【解析】（1）根据题目数据可完善列联表： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 15 45 B社区 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即认为居民满意度与所在社区无关. （2）已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【变式4-2】（2025·高二·山东青岛·期中）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【解析】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 【变式4-3】（2025·高二·浙江·期中）为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 (1)判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ (2)对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）设：浓度与汽车流量无关，由 ， 所以有的把握认为不成立，即浓度与汽车流量有关. （2）由题知， 则，所以事件对事件是抑制作用. 【变式4-4】（2025·高二·浙江·期中）假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表， 合计 合计 课本中给出统计量计算公式如下： 此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，）， 把，，，称为期望频数，记作， 即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和） 根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示： 教学方法\成绩级别 低 中 高 总计 传统方法 20 30 50 100 在线学习 35 45 20 100 互动式学习 25 15 60 100 总计 80 90 130 300 (1)已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率． (2)（i）求，； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异． 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 【解析】（1）记“传统式学习方法中成绩级别为低的同学概率”为事件A， “传统式学习方法中成绩级别为中的同学概率”为事件B， “传统式学习方法中成绩级别为高的同学概率”为事件C， “传统式学习方法中参加数学兴趣小组同学的概率”为事件D． 则， ，． （2）（i）， ； （ii）．， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ，，； 所以这三种教学方法对学生数学成绩影响存在显著差异． 【强化训练】 1．（2025·高二·北京朝阳·期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表： 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生/人 14 7 21 男生/人 8 11 19 合计/人 22 18 40 注：独立性检验中，． 常用的小概率值和相应的临界值如下表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据这些数据，给出下列四个结论： ①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响； ②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响； ③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05； ④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响． 其中，正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为， 男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为， 因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误； ，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误. 故选：B. 2．（2025·高二·重庆九龙坡·阶段练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 50 乙班人数 20 合计 30 110 附：，其中. 根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 优秀 非优秀 合计 甲班人数 50 乙班人数 20 合计 30 110 由题表中的数据可得: , 因为, 所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为. 故选：D 3．（2025·高二·全国·课后作业）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生的人数可能为（    ）． 临界值表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：． A．30 B．54 C．62 D．75 【答案】B 【解析】设男生的人数为，则女生的人数也为． 根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢抖音 不喜欢抖音 n 合计 则． 由于有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关， 则， 即，得， 因为，则n的可能取值有9，10，11，12，13，14， 因此，调查中男生人数的可能值为54，60，66，72，78，84． 故选：B． 4．（2025·高二·海南·期末）某机构为研究中老年人坚持锻炼与患糖尿病、高血压、冠心病、关节炎四种慢性疾病之间的关系，随机调查部分中老年人，统计数据如下表至表，则这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是（    ）     表 表 患糖尿病 未患糖尿病 坚持锻炼 6 14 不坚持锻炼 7 25 患高血压 未患高血压 坚持锻炼 2 18 不坚持锻炼 11 21 表 表 患冠心病 未患冠心病 坚持锻炼 4 16 不坚持锻炼 9 23 患关节炎 未患关节炎 坚持锻炼 7 13 不坚持锻炼 6 26 A．糖尿病 B．高血压 C．冠心病 D．患关节炎 【答案】B 【解析】由表1得：， 由表2得：， 由表3得：， 由表4得：， 所以这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是高血压， 故选：B. 5．（2025·高二·全国·课后作业）某工科院校对A，B两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格： 专业A 专业B 合计 女生 12 男生 46 84 合计 50 100 若认为工科院校中“性别”与“专业”有关，则犯错误的概率不会超过（    ） A．0.005 B．0.01 C．0.025 D．0.05 【答案】D 【解析】根据题意，填写列联表如下： 专业A 专业B 合计 女生 12 4 16 男生 38 46 84 合计 50 50 100 则．又，所以认为工科院校中“性别”与“专业”有关，犯错误的概率不会超过0.05， 故选：D. 6．（多选题）（2025·高二·河南·阶段练习）某兴趣小组为研究本校学生每周平均体育运动时间与性别是否有关联，进行了一次抽样调查.已知被抽取的男、女生人数相同.调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的占，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的占.若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关联，则被抽取的男生人数可以是（    ） 附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】BCD 【解析】设被抽取的男生人数为，依题意可得的列联表如下： 性别 运动情况 总计 每周平均体育运动时间超过4小时 每周平均体育运动时间不超过4小时 男生 x 女生 x 总计 若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关联， 则， 解得，则被抽取的男生至少有70人. 故选：BCD. 7．（多选题）（2025·山东济南·一模）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【答案】BC 【解析】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. 8．（多选题）（2025·高二·吉林长春·阶段练习）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据．从该地的人群中任选一人，设A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．则下列选项正确的是（   ） 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．依据的独立性检验，可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 B．利用该调查数据，可得到的估计值为0.4，的估计值为0.1 C．. D．利用该调查数据，可得到R的估计值为5 【答案】ABC 【解析】对于选项A，由列联表得 所以根据小概率值的独立性检验，认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异，故选项A正确； 对于选项B，由已知得故选项B正确； 对于选项C，由题意得， 又 所以，故选项C正确； 对于选项D，由已知得， 所以，故选项D错误. 故答案选：ABC． 9．（2025·高二·全国·课后作业）欲知作家性别对读者的性别影响，某出版社派工作人员到各书店随机调查了500位买书的顾客，结果如下表所示． 读者 作家 总计 男作家 女作家 男读者 142 122 264 女读者 103 133 236 总计 245 255 500 则在差错不超过0.05的前提下作者的性别与读者的性别 （填“有关”或“无关”）． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】有关 【解析】零假设：作者的性别与读者的性别无关， ，其中， 由公式得， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下作者的性别与读者的性别有关． 故答案为：有关. 10．（2025·高二·全国·课后作业）若两个分类变量与的列联表为： 合计 10 15 25 40 16 56 合计 50 31 81 则“与之间有关系”这个结论出错的概率为 ． 【答案】0.01 【解析】由列联表数据,可求得 ， 所以“与之间有关系”出错的概率为0.01． 故答案为：0.01 11．（2025·高二·全国·课后作业）对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示： 手术 心脏病 合计 又发作过 未发作过 心脏搭桥 39 157 196 血管清障 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据计算 ，能否根据小概率值的独立性检验作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 （填“能”或“不能”）． 【答案】 1.779 不能 【解析】零假设为：这两种手术对病人又发作心脏病的影响无差别． 根据列联表中的数据，可以求得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 即认为这两种手术对病人又发作心脏病的影响无差别． 故答案为：1.779；不能 12．（2025·辽宁本溪·模拟预测）电信诈骗是指通过电话､网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程､非接触式诈骗的犯罪行为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联表所示. 性别 是否熟悉“反诈”知识 合计 不熟悉 熟悉 男 24 16 40 女 12 48 60 合计 36 64 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关？ (2)为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩X近似服从正态分布，若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩； (3)为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为元，求的期望和方差. 参考公式 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：若随机变量则 【解析】（1）零假设为：该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别无关， 经计算得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. （2）因为， 又，， 故本次知识竞赛预期的平均成绩大约为83. （3）记小王答对题的数量为，则，由题意得， 则， 所以， . 13．（2025·高二·山东烟台·期中）近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 【解析】（1）零假设为：DeepSeek的使用频率与用户满意度之间无关联． 根据表中数据，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联． （2）（1）由题知，样本中DeepSeek高满意度用户的频率为， 设事件“恰好第4次抽取后停止抽取”， 需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户， 则． 即恰好第4次抽取后停止的概率为． （2）由题知，样本中学生的高满意度用户频率为，教师的高满意度用户频率为． 又，，， ，，， 的所有可能取值为0，1，2， 则 ， ． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 P 14．（2025·高三·重庆·阶段练习）为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生， 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二: 表一: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表: (1)从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算 、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联? (2)请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论， 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论， 请提出可行性建议； (3)现在从表二中，抽取样本容量为的样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望. 【解析】（1）由表格中的数据可得，， 所以，该中学高三年级学生的性别和身高有关联. （2）零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立， 即该中学高三年级学生的身高与性别无关， 第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确， 而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性， 因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量. （3）个数据由小到大的顺序为：、、、、、、、、、， 因为，因此第百分位数为， 身高小于的人共人，其中男生有人，女生有人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 因此. 15．（2025·四川宜宾·三模）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. (1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 【解析】（1）由题可得，列联表如下： 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 25 125 150 没有抗体 20 30 50 合计 45 155 200 假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联. 根据列联表中的数据，得：， 根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）由题知每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为， 所以随机变量， 所以，要使最大，则 解得：，所以. 16．（2025·高二·河北沧州·期中）某机构为了调查喝酸奶是否可以降体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，实验组中人员每天喝220g酸奶，对照组中人员每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 至少减少1kg 每天喝220g酸奶 2 18 20 每天喝220g牛奶 8 12 20 合计 10 30 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断喝酸奶与降体脂有关联？ (2)若将表中所有数据都扩大为原来的k（）倍，再用独立性检验推断喝酸奶是否与降体脂有关联，若要使得依据的独立性检验，可以推断喝酸奶与降体脂有关联，求k的最小值. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）零假设为：喝酸奶与降体脂没有关联. 根据列联表中的数据，可得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喝酸奶与降体脂有关联. （2）. 令，解得. 因为，所以k的最小值为3. 17．（2025·湖南湘潭·三模）为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷调查，回收整理了400份问卷并整理数据，得到如下列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 18~22岁 160 40 200 23~27岁 s 70 t 合计 290 110 400 (1)求表中s，t的值； (2)分别计算18~22岁和23~27岁青年群体对新产品感兴趣的频率； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）由列联表可得，         ． （2）由题意可得18~22岁青年群体对新产品感兴趣的频率为：，     23~27岁青年群体对新产品感兴趣的频率为：． （3）零假设为：对新产品感兴趣与青年的年龄段无关联． 因为，     则根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【解析】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 独立性检验 【题型归纳目录】 题型一：列联表 题型二：等高条形图 题型三：独立性检验的基本思想 题型四：独立性检验解决实际问题 【知识点梳理】 1、列联表 设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 总计 2、独立性检验 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 3、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【典型例题】 题型一：列联表 【典例1-1】（2025·高二·宁夏固原·期中）下面是一个列联表，则表中处的值分别为（    ） 总计 25 73 21 总计 49 A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48 【典例1-2】（2025·高二·全国·单元测试）2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为列联表． 高度辐射 轻微辐射 合计 身体健康 30 A 50 身体不健康 B 10 60 合计 C D E 则A，B，C，D的值依次为（    ） A．20，80，30，50 B．20，50，80，30 C．20，50，80，110 D．20，80，110，50 【变式1-1】（2025·高二·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-2】（2025·高二·山西朔州·阶段练习）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（    ） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．25 B．45 C．60 D．75 题型二：等高条形图 【典例2-1】（2025·高二·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【典例2-2】（2025·高二·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】（2025·贵州·二模）为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ） A．样本中不愿意选该门课的人数较多 B．样本中男生人数多于女生人数 C．样本中女生人数多于男生人数 D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数 【变式2-2】（2025·四川达州·一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 题型三：独立性检验的基本思想 【典例3-1】（2025·高二·天津·期中）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【典例3-2】（2025·高二·福建漳州·期中）为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中. 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（    ） A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058 【变式3-1】（2025·高三·贵州黔西·阶段练习）某农业兴趣小组针对两种肥料的作用进行对比试验，经过一季的试验后，对“使用肥料A”和“使用肥料B”的220株植物的生长情况进行研究，按照植株的高度大于或等于60厘米为“高株”，60厘米以下为“矮株”统计，得到如下的列联表： 高株 矮株 合计 使用肥料A 20 90 110 使用肥料B 40 70 110 合计 60 160 220 (1)根据上面的列联表判断，依据的独立性检验，能否认为“使用哪种肥料与植株高度”有关； (2)为了进一步研究，从这批植物高株中用分层抽样的方法抽出6株，再从这6株中抽出3株，求抽到“使用肥料A”植物的株数X的分布列和数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式3-2】（2025·高二·河北保定·期末）为考察某种药物M对预防疾病N的效果，进行了动物实验，根据200个有放回简单随机样本的数据，得到的数据如下表： 单位：只 药物M服用情况 疾病N 未患疾病N 患疾病N 未服用 60 40 服用 80 20 (1)估计未服用药物的动物中患疾病的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效果？ 附临界值表及参考公式： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 题型四：独立性检验解决实际问题 【典例4-1】（2025·高二·河北·期中）AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 (1)根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ (2)现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 【典例4-2】（2025·高二·宁夏银川·期中）我校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为500的样本进行调查，并得到如下2X2列联表： 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 140 400 不满意 100 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前3的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，.3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入总决赛的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式4-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 (1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ (2)现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【变式4-2】（2025·高二·山东青岛·期中）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【变式4-3】（2025·高二·浙江·期中）为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 (1)判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ (2)对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式4-4】（2025·高二·浙江·期中）假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表， 合计 合计 课本中给出统计量计算公式如下： 此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，）， 把，，，称为期望频数，记作， 即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和） 根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示： 教学方法\成绩级别 低 中 高 总计 传统方法 20 30 50 100 在线学习 35 45 20 100 互动式学习 25 15 60 100 总计 80 90 130 300 (1)已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率． (2)（i）求，； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异． 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 【强化训练】 1．（2025·高二·北京朝阳·期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表： 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生/人 14 7 21 男生/人 8 11 19 合计/人 22 18 40 注：独立性检验中，． 常用的小概率值和相应的临界值如下表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据这些数据，给出下列四个结论： ①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响； ②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响； ③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05； ④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响． 其中，正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2025·高二·重庆九龙坡·阶段练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 50 乙班人数 20 合计 30 110 附：，其中. 根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·全国·课后作业）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生的人数可能为（    ）． 临界值表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：． A．30 B．54 C．62 D．75 4．（2025·高二·海南·期末）某机构为研究中老年人坚持锻炼与患糖尿病、高血压、冠心病、关节炎四种慢性疾病之间的关系，随机调查部分中老年人，统计数据如下表至表，则这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是（    ）     表 表 患糖尿病 未患糖尿病 坚持锻炼 6 14 不坚持锻炼 7 25 患高血压 未患高血压 坚持锻炼 2 18 不坚持锻炼 11 21 表 表 患冠心病 未患冠心病 坚持锻炼 4 16 不坚持锻炼 9 23 患关节炎 未患关节炎 坚持锻炼 7 13 不坚持锻炼 6 26 A．糖尿病 B．高血压 C．冠心病 D．患关节炎 5．（2025·高二·全国·课后作业）某工科院校对A，B两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格： 专业A 专业B 合计 女生 12 男生 46 84 合计 50 100 若认为工科院校中“性别”与“专业”有关，则犯错误的概率不会超过（    ） A．0.005 B．0.01 C．0.025 D．0.05 6．（多选题）（2025·高二·河南·阶段练习）某兴趣小组为研究本校学生每周平均体育运动时间与性别是否有关联，进行了一次抽样调查.已知被抽取的男、女生人数相同.调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的占，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的占.若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关联，则被抽取的男生人数可以是（    ） 附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．65 B．70 C．75 D．80 7．（多选题）（2025·山东济南·一模）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 8．（多选题）（2025·高二·吉林长春·阶段练习）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据．从该地的人群中任选一人，设A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．则下列选项正确的是（   ） 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．依据的独立性检验，可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 B．利用该调查数据，可得到的估计值为0.4，的估计值为0.1 C．. D．利用该调查数据，可得到R的估计值为5 9．（2025·高二·全国·课后作业）欲知作家性别对读者的性别影响，某出版社派工作人员到各书店随机调查了500位买书的顾客，结果如下表所示． 读者 作家 总计 男作家 女作家 男读者 142 122 264 女读者 103 133 236 总计 245 255 500 则在差错不超过0.05的前提下作者的性别与读者的性别 （填“有关”或“无关”）． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 10．（2025·高二·全国·课后作业）若两个分类变量与的列联表为： 合计 10 15 25 40 16 56 合计 50 31 81 则“与之间有关系”这个结论出错的概率为 ． 11．（2025·高二·全国·课后作业）对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示： 手术 心脏病 合计 又发作过 未发作过 心脏搭桥 39 157 196 血管清障 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据计算 ，能否根据小概率值的独立性检验作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 （填“能”或“不能”）． 12．（2025·辽宁本溪·模拟预测）电信诈骗是指通过电话､网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程､非接触式诈骗的犯罪行为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联表所示. 性别 是否熟悉“反诈”知识 合计 不熟悉 熟悉 男 24 16 40 女 12 48 60 合计 36 64 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关？ (2)为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩X近似服从正态分布，若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩； (3)为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为元，求的期望和方差. 参考公式 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：若随机变量则 13．（2025·高二·山东烟台·期中）近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 14．（2025·高三·重庆·阶段练习）为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生， 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二: 表一: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表: (1)从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算 、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联? (2)请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论， 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论， 请提出可行性建议； (3)现在从表二中，抽取样本容量为的样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望. 15．（2025·四川宜宾·三模）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. (1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 16．（2025·高二·河北沧州·期中）某机构为了调查喝酸奶是否可以降体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，实验组中人员每天喝220g酸奶，对照组中人员每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 至少减少1kg 每天喝220g酸奶 2 18 20 每天喝220g牛奶 8 12 20 合计 10 30 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断喝酸奶与降体脂有关联？ (2)若将表中所有数据都扩大为原来的k（）倍，再用独立性检验推断喝酸奶是否与降体脂有关联，若要使得依据的独立性检验，可以推断喝酸奶与降体脂有关联，求k的最小值. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17．（2025·湖南湘潭·三模）为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷调查，回收整理了400份问卷并整理数据，得到如下列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 18~22岁 160 40 200 23~27岁 s 70 t 合计 290 110 400 (1)求表中s，t的值； (2)分别计算18~22岁和23~27岁青年群体对新产品感兴趣的频率； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 14 学科网（北京）股份有限公司 $$