专题09 回归直线方程的计算（5大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题09回归直线方程的计算 【题型归纳目录】 题型一：线性回归 题型二：相关系数 题型三：残差的计算 题型四：线性回归方程的计算 题型五：非线性回归方程的计算 【知识点梳理】 1、两个变量线性相关 (1)散点图：将样本中个数据点(i＝1,2，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2、回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程： ①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据,,． ②设所求回归方程为，其中是待定参数． ③由最小二乘法得 其中，是回归方程的斜率，是截距． 3、当经验回归方程并非形如(）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 建立非线性经验回归模型的基本步骤 （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； （2）由经验确定非线性经验回归方程的模型； （3）通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）； （4）按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； （5）消去新元，得到非线性经验回归方程； （6）得出结果后分析残差图是否有异常 ． 【典型例题】 题型一：线性回归 【典例1-1】（2025·高二·安徽·期末）在线性回归分析中，已知，，则 . 【答案】5 【解析】 , 将代入计算得到， ，解得. 故答案为：5. 【典例1-2】（2025·高二·江苏扬州·期末）将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 . 参考公式：. 【答案】/1.875 【解析】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 【变式1-1】（2025·江西南昌·一模）2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下： 调查人数 300 400 500 600 700 感染人数 3 3 6 6 7 并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为 ． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字） 【答案】 【解析】由题设表格中的数据可得，故， 故，而， 故疫苗有效率为， 故答案为：. 【变式1-2】（2025·高二·黑龙江·期末）下列命题中，正确的命题有 .①回归直线恒过样本点中心，且至少过一个样本点；②用相关指数来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，越接近于1说明模型的拟合效果越好；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好. 【答案】②③ 【解析】①回归直线恒过样本点中心， 但不一定过样本点，故错误； ②用相关指数来刻画回归效果.在线性回归模型中，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，越接近于1说明模型的拟合效果越好，故正确； ③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；正确. ④两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好，故错误. 故答案为：②③ 题型二：相关系数 【典例2-1】（2025·高二·贵州黔西·期末）已知变量和变量的3对随机观测数据为，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】作出散点图，如图： 观察图形，得点在一条直线上， 所以这组样本数据的样本相关系数为1. 故选：C 【典例2-2】（2025·高二·浙江宁波·期末）给出四组成对数据：（1）；（2）；（3）；（4），其中样本相关系数最小的是（    ）（提示：样本相关系数） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【解析】分别作出四组数据的散点图， 根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小， 故选：D 【变式2-1】（2025·高二·辽宁·期末）在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为所有的样本点都在直线上，所以相关系数满足. 又因为，所以，所以. 故选：C. 【变式2-2】（2025·高二·江苏泰州·期末）已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．m的值为6.2 B．回归直线必过点（2，4.4） C．样本点（4，m）处的残差为0.1 D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变 【答案】C 【解析】由题意可知， 所以样本中心为， 将点代入，可得，解得，故A正确； 由，得样本中心为，所以回归直线必过点（2，4.4），故B正确； 当时，， 由，得样本点处的残差为，故C错误； 因为样本中心为， 所以 由相关系数公式知， ，将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变，故D正确； 故选：C. 题型三：残差的计算 【典例3-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则 ． 【答案】 【解析】根据题意得，解得. 故答案为：. 【典例3-2】（2025·高二·福建泉州·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据: 5 6 8 9 12 （人） 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为 . 【答案】/ 【解析】，， 将代入中得，， 解得， 故，当时，， 故残差为. 故答案为： 【变式3-1】（2025·重庆·三模）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为 . 【答案】0.5/ 【解析】将代入，得，解得， 所以， 故当时，， 所以残差. 故答案为：0.5. 【变式3-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为 .（残差观测值-预测值） 【答案】 【解析】， 因为回归直线过点，代入，可得， 当时，， 所以残差为. 故答案为： 题型四：线性回归方程的计算 【典例4-1】（23-24高二下·河北沧州·期中）2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 【解析】（1），， ，， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是0.27秒． （2）根据（1）得到，； ，； ，； ，； ，， 所以，即步长残差和为0． 对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下： ． 【典例4-2】（22-23高二下·河南驻马店·期末）市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份x 1 2 3 4 5 6 净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 (1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01） (2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率 ，.相关系数. 参考数据：，，，，，. 【解析】（1）由条件则， ， . 根据相关系数公式则 . 因此可以用线性回归模型拟合x与y的关系. （2）根据（1）则变量x，y线性相关，设所求的线性回归方程为. 根据回归方程的回归系数公式则 . 又因为. 从而可得变量x，y线性回归方程为 当时， 因此预测9月份的利润为3.32万元. 【变式4-1】（22-23高二下·河北沧州·期末）两个具有相关关系的变量的一组统计数据为，，…．其样本中心点为，且由统计知，，样本相关系数． (1)求； (2)根据样本相关系数以及下面所附公式，建立关于的经验回归方程． 附：，，． 【解析】（1） ， 代入数据可得． （2）由已知得，，∵， ∴， ， ∴关于的经验回归方程为． 【变式4-2】（21-22高一下·西藏拉萨·期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； (2)求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：相关系数公式． 参考数据： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【解析】（1）由已知数据可得，， 所以， ， ， 所以相关系数． 因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系． （2），， 所以回归方程为． 当时，． 即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为550千克 题型五：非线性回归方程的计算 【典例5-1】（2023·江苏镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【解析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 【典例5-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 【解析】（1）设， 则，，∴ 令，，∴至少应开放21条滑道 （2）设事件“小红排队时间总和恰为120分钟” 则4个体验项目选取3个，或是超级冰滑梯和雪花摩天轮选1个，或是梦想大舞台3个中选2个，则 ， （3）方式①：中奖次数， 方式二：设中奖次数为 ， ， ，所以选方式一 【变式5-1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【解析】（1）将两边取对数得：， 令，则， 因为， 所以根据最小二乘估计可知：， 所以， 所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 【变式5-2】（2018·广东茂名·一模）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 【解析】（1）由题意，则，， ，， y关于x的线性回归方程为. （2）（i）对于线性回归模型，，， 相关指数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当，时（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 【强化训练】 1．（2025·高二·山西·期中）下图为根据某组成对数据绘制的散点图，根据最小二乘法得到了经验回归直线1（实线）与经验回归曲线2（虚线）如图，并分别计算了两模型的决定系数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，模型2拟合效果更好，故. 故选：. 2．（2025·高二·山西·期中）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由关于的回归方程为，且样本点， 当时，可得，所以残差为. 故选：A. 3．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为－0.92，0.46，0.79，0.85，则（   ） A．甲组数据变量间的线性相关程度最强 B．乙组数据变量间的线性相关程度最强 C．丙组数据变量间的线性相关程度最强 D．丁组数据变量间的线性相关程度最强 【答案】A 【解析】设变量间的线性相关系数为，当越接近1时，相关程度越强， 因为， 所以甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱． 故选：A. 4．（2025·高二·辽宁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．回归直线至少经过一个样本点； B．可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强； C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低； D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05. 【答案】D 【解析】对A：线性回归方程可以不经过任何一个样本点，故A错； 对B：因为越大则两个变量的相关程度越强，故B错； 对C：残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，故C错； 对D：因为，所以可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确. 故选：D 5．（2025·河南·三模）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（    ）（实际值与预计值之差） A． B． C．0.02 D．0.04 【答案】B 【解析】因为， 所以，所以关于的线性回归方程为， 2025年3月对应的，故此时残差为. 故选：B. 6．（2025·高二·河南南阳·期中）现有一组样本数据都在直线上，则该组样本数据的相关系数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由样本数据都在直线上，可得， 因为的斜率为负数，所以，所以． 故选：A. 7．（2025·高二·江西抚州·期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 【答案】A 【解析】由题意得，解得， 因此， 由两边取对数，得， 又，所以，即． 故选：A． 8．（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（   ） A．，具有负相关关系，相关系数 B．每增加一个单位，平均减少个单位 C．第二个样本点对应的残差 D．第三个样本点对应的残差 【答案】C 【解析】A.相关系数的绝对值不超过1，A错误； B.由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B错误； C.第二个样本点对应的残差，C正确； D.第三个样本点对应的残差，D错误． 故选：C. 9．（多选题）（2025·高二·福建·期中）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为 计算其相关系数为r₁，决定系数为R².经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为 相关系数为r₂，决定系数为.下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由图可知两变量呈现正相关，故，去掉“离群点”后，相关性更强，所以 故 故A 正确，B不正确. 根据图象当去掉F点后，相关性更强，点A，B，C，D，E会更靠近直线，直线的倾斜程度会略向x轴偏向，故斜率会变小， 因此可判断，故C正确，D错误. 故选： AC. 10．（多选题）（2025·高二·湖南衡阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．决定系数越小，模型的拟合效果越差 B．经验回归方程相对于样本点的残差为0.5 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．一组数，，，…，的平均数为a，若再插入一个数a，则这个数的方差变大 【答案】AC 【解析】由决定系数性质得，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A正确， 残差为，故B错误； 若随机变量服从正态分布，， 由正态分布性质得，故C正确， 我们令，，，此时平均数， 方差为，插入一个数2， 此时平均数为，方差为， 方差显然变小了，即再插入一个数a，则这个数的方差可能变小，故D错误． 故选：AC 11．（多选题）（2025·高二·山西吕梁·期中）一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】AD 【解析】对于A，由经验回归方程的斜率为负，可知样本负相关，即A正确； 对于B，易知， 代入方程计算可得，即B错误； 对于C，由残差图可知，处理以后的残差比处理前的残差更集中，可知，即C错误； 对于D，处理以后的残差的绝对值更小，所以处理后的决定系数变大，即D正确. 故选：AD 12．（2025·高二·河南郑州·期末）从某大学随机选择名女大学生，其身高和体重数据如表所示： 身高 体重 根据表中的数据可得回归直线方程，，这表明女大学生的体重差异有 是由身高引起的． 【答案】 【解析】因为，这表明女大学生的体重差异有是由身高引起的. 故答案为：. 13．（2025·高二·山西·期中）以下是标号分别为①，②，③的三幅散点图，它们的样本相关系数分别为，那么相关系数的大小关系为 .（按由小到大的顺序排列）. 【答案】 【解析】图①散点线性相关关系较弱，接近于0； 图②散点数据负相关，且线性相关程度很强，接近于； 图③散点数据正相关，且线性相关程度较强，接近于1， 所以相关系数的大小关系为. 故答案为： 14．（2025·高二·江西萍乡·期中）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变是对于反应变量变化的线性相关度，则 . 【答案】 【解析】由已知样本数据所对应的点均在直线上，则，又，所以满足负相关，即. 故答案为： 15．（2025·高二·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【解析】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2018-2022年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例（百分比）与年份编号之间的关系： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 21 26 40 49 54 则与的样本相关系数 （保留3位小数）． 附：，． 【答案】0.976 【解析】由题意可知：， 可得， 所以． 故答案为：0.976. 17．（23-24高二下·广东肇庆·期末）用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则 ． 【答案】 【解析】因为，两边取自然对数可得， 令，可得，又， 所以，，所以， 所以. 故答案为： 18．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】甲 【解析】因为，所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 19．（21-22高二下·江苏徐州·期末）下表所示是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 处理量（亿吨） 1.8 1.97 2.1 2.26 2.4 2.55 2.69 (1)由数据可知，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国生活垃圾无害化处理量. 附：，，，.相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【解析】（1）由表中数据和附注中数据可得：，， 所以. 因为y与t的相关系数近似为0.999，说明y与t的线性相关相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. （2）由（1）得， . 所以y关于t的回归方程为：. 将2023代入回归方程得：. 所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约3亿吨. 20．（24-25高二下·辽宁·期中）某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度x%的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 (1)求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ (2)求y关于x的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值． 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，． 【解析】（1）由题，，， 所以关于的相关系数， 所以与具有较强的线性相关关系. （2）由（1），，则， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 所以当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的预测值为. 21．（24-25高二下·河南南阳·期中）某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 【解析】（1）由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． （2）由题设，，， 所以，因此y关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元． 22．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 16.9 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 0.5 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 1.3 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. (1)请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ (2)在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： 【解析】（1）由题意，， 则模型①拟合效果更好， 其中3月的销售数据为异常数据. （2）剔除3月的销售数据，得到剩余的五组数据， 此时，， ，， 所以， 则， 则模型①新的经验回归方程为，， 当时，， 由此预测7月份的销售额为万元. 23．（24-25高二下·宁夏银川·期中）人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2018年－2023年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2018年用1表示，2019年用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：亿元)，试回答： (1)根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱(精确到小数点后2位)； (2)若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元). 附：线性回归方程，其中；相关系； 参考数据： 【解析】（1）∵，，，， ∴相关系数.        ∵相关系数，∴y与x具有线性相关关系，且正相关很强. （2）设y关于x的线性回归方程为， 其中； ， ∴y关于x的线性回归方程为， 把代入得(亿元)， 故据此预测2022年中国人工智能教育市场规模将达到约2677亿元. 24．（24-25高二下·河南·期中）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 【解析】（1）由表中数据可知，，， ，，， 则， 因为，故相关程度较高； （2），，则， ， 故， 令，解得，故研发投入至少9.4亿元. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09回归直线方程的计算 【题型归纳目录】 题型一：线性回归 题型二：相关系数 题型三：残差的计算 题型四：线性回归方程的计算 题型五：非线性回归方程的计算 【知识点梳理】 1、两个变量线性相关 (1)散点图：将样本中个数据点(i＝1,2，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2、回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程： ①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据,,． ②设所求回归方程为，其中是待定参数． ③由最小二乘法得 其中，是回归方程的斜率，是截距． 3、当经验回归方程并非形如(）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 建立非线性经验回归模型的基本步骤 （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； （2）由经验确定非线性经验回归方程的模型； （3）通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）； （4）按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； （5）消去新元，得到非线性经验回归方程； （6）得出结果后分析残差图是否有异常 ． 【典型例题】 题型一：线性回归 【典例1-1】（2025·高二·安徽·期末）在线性回归分析中，已知，，则 . 【典例1-2】（2025·高二·江苏扬州·期末）将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 . 参考公式：. 【变式1-1】（2025·江西南昌·一模）2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下： 调查人数 300 400 500 600 700 感染人数 3 3 6 6 7 并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为 ． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字） 【变式1-2】（2025·高二·黑龙江·期末）下列命题中，正确的命题有 .①回归直线恒过样本点中心，且至少过一个样本点；②用相关指数来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，越接近于1说明模型的拟合效果越好；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好. 题型二：相关系数 【典例2-1】（2025·高二·贵州黔西·期末）已知变量和变量的3对随机观测数据为，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A． B． C．1 D． 【典例2-2】（2025·高二·浙江宁波·期末）给出四组成对数据：（1）；（2）；（3）；（4），其中样本相关系数最小的是（    ）（提示：样本相关系数） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式2-1】（2025·高二·辽宁·期末）在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·江苏泰州·期末）已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．m的值为6.2 B．回归直线必过点（2，4.4） C．样本点（4，m）处的残差为0.1 D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变 题型三：残差的计算 【典例3-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则 ． 【典例3-2】（2025·高二·福建泉州·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据: 5 6 8 9 12 （人） 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为 . 【变式3-1】（2025·重庆·三模）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为 . 【变式3-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为 .（残差观测值-预测值） 题型四：线性回归方程的计算 【典例4-1】（23-24高二下·河北沧州·期中）2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 【典例4-2】（22-23高二下·河南驻马店·期末）市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份x 1 2 3 4 5 6 净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 (1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01） (2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率 ，.相关系数. 参考数据：，，，，，. 【变式4-1】（22-23高二下·河北沧州·期末）两个具有相关关系的变量的一组统计数据为，，…．其样本中心点为，且由统计知，，样本相关系数． (1)求； (2)根据样本相关系数以及下面所附公式，建立关于的经验回归方程． 附：，，． 【变式4-2】（21-22高一下·西藏拉萨·期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； (2)求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：相关系数公式． 参考数据： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 题型五：非线性回归方程的计算 【典例5-1】（2023·江苏镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【典例5-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 【变式5-1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【变式5-2】（2018·广东茂名·一模）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 【强化训练】 1．（2025·高二·山西·期中）下图为根据某组成对数据绘制的散点图，根据最小二乘法得到了经验回归直线1（实线）与经验回归曲线2（虚线）如图，并分别计算了两模型的决定系数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·山西·期中）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为－0.92，0.46，0.79，0.85，则（   ） A．甲组数据变量间的线性相关程度最强 B．乙组数据变量间的线性相关程度最强 C．丙组数据变量间的线性相关程度最强 D．丁组数据变量间的线性相关程度最强 4．（2025·高二·辽宁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．回归直线至少经过一个样本点； B．可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强； C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低； D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05. 5．（2025·河南·三模）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（    ）（实际值与预计值之差） A． B． C．0.02 D．0.04 6．（2025·高二·河南南阳·期中）现有一组样本数据都在直线上，则该组样本数据的相关系数（    ） A． B． C． D．1 7．（2025·高二·江西抚州·期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 8．（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（   ） A．，具有负相关关系，相关系数 B．每增加一个单位，平均减少个单位 C．第二个样本点对应的残差 D．第三个样本点对应的残差 9．（多选题）（2025·高二·福建·期中）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为 计算其相关系数为r₁，决定系数为R².经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为 相关系数为r₂，决定系数为.下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·湖南衡阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．决定系数越小，模型的拟合效果越差 B．经验回归方程相对于样本点的残差为0.5 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．一组数，，，…，的平均数为a，若再插入一个数a，则这个数的方差变大 11．（多选题）（2025·高二·山西吕梁·期中）一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 12．（2025·高二·河南郑州·期末）从某大学随机选择名女大学生，其身高和体重数据如表所示： 身高 体重 根据表中的数据可得回归直线方程，，这表明女大学生的体重差异有 是由身高引起的． 13．（2025·高二·山西·期中）以下是标号分别为①，②，③的三幅散点图，它们的样本相关系数分别为，那么相关系数的大小关系为 .（按由小到大的顺序排列）. 14．（2025·高二·江西萍乡·期中）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变是对于反应变量变化的线性相关度，则 . 15．（2025·高二·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 16．（24-25高二下·全国·课后作业）近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2018-2022年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例（百分比）与年份编号之间的关系： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 21 26 40 49 54 则与的样本相关系数 （保留3位小数）． 附：，． 17．（23-24高二下·广东肇庆·期末）用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则 ． 18．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 19．（21-22高二下·江苏徐州·期末）下表所示是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 处理量（亿吨） 1.8 1.97 2.1 2.26 2.4 2.55 2.69 (1)由数据可知，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国生活垃圾无害化处理量. 附：，，，.相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 20．（24-25高二下·辽宁·期中）某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度x%的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 (1)求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ (2)求y关于x的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值． 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，． 21．（24-25高二下·河南南阳·期中）某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 22．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 16.9 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 0.5 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 1.3 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. (1)请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ (2)在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： 23．（24-25高二下·宁夏银川·期中）人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2018年－2023年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2018年用1表示，2019年用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：亿元)，试回答： (1)根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱(精确到小数点后2位)； (2)若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元). 附：线性回归方程，其中；相关系； 参考数据： 24．（24-25高二下·河南·期中）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$