专题08 概率综合问题（7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08 概率综合问题 【题型归纳目录】 题型一：决策问题 题型二：概率最值问题 题型三：顺序排位问题 题型四：赛制问题 题型五：概率递推问题 题型六：期望递推 题型七：高尔顿板问题 【典型例题】 题型一：决策问题 【例1】（2025·高二·福建宁德·期末）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； (2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列； (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 【变式1-1】（2025·高二·湖南湘潭·期末）一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作. (1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率； (2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考： 方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元. 方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？ 【变式1-2】（2025·高三·广东广州·阶段练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中． (1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？ (2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围． 【变式1-3】（2025·高二·福建福州·期末）“东方味王”餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一套新产品．该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废．公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），假设该新产品每日销量相互独立，得到如下的柱状图： (1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望； (2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份，28百份两种方案中应选择哪种？ 题型二：概率最值问题 【例2】（2025·高二·重庆·期中）某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； (2)若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序），在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分，2分，3分，总分不低于4分就可以获得奖品.已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，，，且在这三处的投篮相互独立. (1)求甲获得奖品的概率. (2)在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率. (3)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投n（，）个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球.试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 【变式2-2】（2025·高二·重庆·期中）甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. (1)求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. (2)两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. (3)甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 题型三：顺序排位问题 【例3】（2025·高三·浙江·开学考试）甲，乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球3次，进一球积2分；方式二，投三分球2次，进一球积3分.甲和乙投进两分球的概率分别为和，投进三分球的概率分别为和，且两人投篮互不影响.先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜.已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式. (1)试判断甲，乙两人会分别优先选择何种投篮方式； (2)现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率. 【变式3-1】（2025·高二·重庆·期中）陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为，，. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏的分布列和数学期望. (3)，，三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按，，的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数的数学期望的最大值. 【变式3-2】（2025·高二·贵州黔东南·期末）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示. 歌曲 猜对的概率 0.6 0.5 0.3 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 (1)该嘉宾从三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率. (2)若猜歌名的规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 题型四：赛制问题 【例4】（2025·高二·江苏徐州·期中）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球． (1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； (2)求第一局比赛甲获胜的概率； (3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率． 【变式4-1】（2025·高二·江苏徐州·期中）2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． (2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 【变式4-2】（2025·高二·辽宁丹东·期中）某娱乐节目设置答题过关赢奖励活动，活动规则如下：参与者需先答3道无奖题，至少答对2道才能参与有奖答题，有奖答题设置3道题，前2道题每答对1道奖励100元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励200元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与答题比赛，无奖答题的3道题每道题答对的概率均为，有奖答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. (1)求甲能进入有奖答题的概率. (2)已知甲进入有奖答题环节. ①求甲获得奖金的分布列及数学期望； ②从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 题型五：概率递推问题 【例5】（2025·高二·山西·期中）暑假来临之际，某校组织学生去敬老院进行慰问演出，计划表演合唱和跳舞两个节目，据统计，该校的学生只表演合唱，另外的学生既表演合唱又表演跳舞，每位学生若只表演合唱，则记1分；若既表演合唱又表演跳舞，则记2分．假设每位学生是否表演跳舞相互独立，视频率为概率． (1)从该校学生中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望及方差； (2)从该校学生中随机抽取若干人，在总得分为4的条件下，求抽取了3人的概率； (3)从该校学生中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现分的概率为，求数列的通项公式． 【变式5-1】（2025·高二·浙江·期中）甲、乙两盒子中各有枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 . (1)求 ，的值； (2)求数列的通项公式； (3)并求使不等式成立的最小值. 【变式5-2】（2025·高二·河北·期中）某学校有两家餐厅，王同学开学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复. (1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率； (2)记王同学第n天去A餐厅用餐概率为，写出关于的表达式； (3)证明数列是等比数列，并求出的通项公式. 题型六：期望递推 【例6】（2025·高三·贵州黔西·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列（且）； (3)求的期望（用表示，且）. 【变式6-1】（2025·高三·广东·开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 【变式6-2】（2025·吉林长春·模拟预测）某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为． (1)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由； (2)设，证明：； (3)定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望． 题型七：高尔顿板问题 【例7】（2025·高二·湖南·期中）如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义. (1)直接写出时的分布列； (2)证明：； (3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式. 【变式7-1】（2025·高二·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的分布列； (2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. （ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； （ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求. 【强化训练】 1．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 2．（2025·高二·江苏苏州·阶段练习）甲、乙，丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束． (1)按甲、乙、丙的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数X的数学期望的最大值． (2)若这种陶器制作成功后需要检测合格才能上市销售，如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利100元；如果这种陶器不能上市销售，则每件陶器亏损80元，已知甲已经制成了4件这种陶器，且甲制作的陶器检测合格的概率为，求这4件陶器最终盈亏Y的概率分布和数学期望． 3．（2025·高二·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 4．（2025·高二·四川眉山·期末）甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中. (1)经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？ (2)以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率. 5．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 6．（2025·高二·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 概率综合问题 【题型归纳目录】 题型一：决策问题 题型二：概率最值问题 题型三：顺序排位问题 题型四：赛制问题 题型五：概率递推问题 题型六：期望递推 题型七：高尔顿板问题 【典型例题】 题型一：决策问题 【例1】（2025·高二·福建宁德·期末）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； (2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列； (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 【解析】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为， 则， 解得，故的最小值为0.8． （2）设为正常工作的设备数，由题意可知，， ， ， ， ， 从而的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （3）设方案1､方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8， 可知计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”， 计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2． 【变式1-1】（2025·高二·湖南湘潭·期末）一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作. (1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率； (2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考： 方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元. 方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？ 【解析】（1）当时，每台设备能正常工作的概率为：， 所以一天内制冰厂不亏本的概率为； （2）若不采取措施，设总损失为，当前每台设备能正常工作的概率为0.6， 故元； 设方案1、方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85， 故元； 采用方案2，对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75， 故元， 又，且， 因此，从期望损失最小的角度，当时，可以选择方案1或2； 当时，选择方案2； 当时，采取方案1. 【变式1-2】（2025·高三·广东广州·阶段练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中． (1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？ (2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围． 【解析】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率： ， 第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率： ， 所以当时，， 即，所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛. （2）由题意的可能取值为16或8， 由（1）知业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛， 此时业余队获胜的概率， 专业队获胜的概率， 所以非平局的概率， 平局的概率， 所以， 因为， 所以. 【变式1-3】（2025·高二·福建福州·期末）“东方味王”餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一套新产品．该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废．公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），假设该新产品每日销量相互独立，得到如下的柱状图： (1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望； (2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份，28百份两种方案中应选择哪种？ 【解析】（1）根据题意可得，的所有可能取值为24，25，26，27，28，29，30． ，， ，， ，， ． 的分布列如下： 24 25 26 27 28 29 30 ． （2）当每两天生产配送27百份时，利润为 （百元）． 当每两天生产配送28百份时，利润为（百元）． 由于，所以选择每两天生产配送27百份． 题型二：概率最值问题 【例2】（2025·高二·重庆·期中）某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； (2)若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 【解析】（1）由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P （2）设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序），在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分，2分，3分，总分不低于4分就可以获得奖品.已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，，，且在这三处的投篮相互独立. (1)求甲获得奖品的概率. (2)在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率. (3)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投n（，）个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球.试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 【解析】（1）甲三次投篮都命中的概率， 甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率， 所以甲获得奖品的概率. （2）记“甲获得奖品”为事件A，“甲三次投篮都命中”为事件B. 在甲获得奖品的情况下，甲三次投篮都命中的概率为. （3）设甲的投篮次数为X，则X的分布列为 X n P 则. 令（），则， ，当时，，当时， 所以， 故当时，甲投篮次数的期望最大. 【变式2-2】（2025·高二·重庆·期中）甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. (1)求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. (2)两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. (3)甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 【解析】（1）设事件M为“甲射击的命中目标”；事件N为“乙射击的命中目标”； 由题意，，所以， 两人各射击一次，都没有命中目标的概率为， 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为. （2）设事件为“两人各射击一次，只有一个人命中目标”，事件为“两人各射击一次，甲命中目标”， 所以， ， 则所求概率为. （3）设甲射击的次数为，所有可能取值为， ， 所以的分布列为 则， 令，则， ，因单调递减， 当时，，即； 当时，，即 又 所以， 所以当时，甲射击次数的期望最大. 题型三：顺序排位问题 【例3】（2025·高三·浙江·开学考试）甲，乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球3次，进一球积2分；方式二，投三分球2次，进一球积3分.甲和乙投进两分球的概率分别为和，投进三分球的概率分别为和，且两人投篮互不影响.先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜.已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式. (1)试判断甲，乙两人会分别优先选择何种投篮方式； (2)现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率. 【解析】（1）设甲选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为； 乙选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为. 可分别求出随机变量，，，的分布列. ， ， 0 2 4 6 所以. 同理可得 0 3 6 0 2 4 6 0 3 6 所以，. 因为，，所以甲，乙两人都会优先选择方式一. （2）记最终结果为甲获胜为事件A，乙以一分之差惜败为事件B. 由 ， 得. 由， 得. 又， ， 所以， 即在最终结果为甲获胜的条件下，乙以一分之差惜败的概率为. 【变式3-1】（2025·高二·重庆·期中）陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为，，. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏的分布列和数学期望. (3)，，三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按，，的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数的数学期望的最大值. 【解析】（1）分别记甲､乙､丙经第一次烧制后合格的事件分别为， 设表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件，则 ； （2）分别记甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件， 则，，. 设经过两轮烧制后合格品的件数为，则， 由题意，即的可能取值为， 由于；； ，. 所以；；，， 所以随机变量的分布列为 120 300 故随机变量的数学期望， （3）由题意，制作陶器人数的可能值为1，2，3. 于是，，， 则随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 所以， 又，则， 设，， 所以在上单调递增，则， 所以，所以当时，的最大值为. 【变式3-2】（2025·高二·贵州黔东南·期末）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示. 歌曲 猜对的概率 0.6 0.5 0.3 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 (1)该嘉宾从三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率. (2)若猜歌名的规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 【解析】（1）分别用、、表示猜对歌曲、、歌名的事件，则、、相互独立， 用表示事件“该嘉宾从、、随机选择一首歌曲，且猜对歌名”， 用表示事件“该嘉宾选择歌曲”， 用表示事件“该嘉宾选择歌曲”， 用表示事件“该嘉宾选择歌曲”， 则，，，， 所以 . （2）依题意的可能取值为、、、， 所以， ， ， ， 所以的分布列如下： 所以. 题型四：赛制问题 【例4】（2025·高二·江苏徐州·期中）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球． (1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； (2)求第一局比赛甲获胜的概率； (3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率． 【解析】（1）依题意知，X的所有可能取值为0，1，2； ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P X的均值为； （2）设第一局比赛甲获胜为事件B，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z， 则，，； 由知，，，， 由全概率公式得， ， 解得，即第一局比赛甲获胜的概率； （3）由（2）知，所以估计甲每局获胜的概率均为， 根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y， 因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5， 所以，，； 所以该场比赛甲获胜的概率为 【变式4-1】（2025·高二·江苏徐州·期中）2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． (2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 【解析】（1）（ⅰ）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为． （ⅱ）由题知，可取值为、， ，， 所以的分布列为 2 3 0.52 0.48 （2）三局两胜制郑钦文最终获胜概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率 所以，化简得， 因为，，所以，即，所以， 所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是． 【变式4-2】（2025·高二·辽宁丹东·期中）某娱乐节目设置答题过关赢奖励活动，活动规则如下：参与者需先答3道无奖题，至少答对2道才能参与有奖答题，有奖答题设置3道题，前2道题每答对1道奖励100元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励200元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与答题比赛，无奖答题的3道题每道题答对的概率均为，有奖答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. (1)求甲能进入有奖答题的概率. (2)已知甲进入有奖答题环节. ①求甲获得奖金的分布列及数学期望； ②从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 【解析】（1）记甲能进入有奖答题为事件，即3道无奖题至少答对2道题， 所以. （2）①可能取， 因为， ， 所以的分布列为 0 100 200 400 所以. ②若确定不挑战第3道题，获得奖金为，则的分布列为 0 200 所以. 若确定挑战第3道题，获得奖金为，则的分布列为 0 100 400 . 令，则. 故当时，，建议挑战第3道题； 当时，，挑战和不挑战第3道题都可以； 当时，，建议不挑战第3道题. 题型五：概率递推问题 【例5】（2025·高二·山西·期中）暑假来临之际，某校组织学生去敬老院进行慰问演出，计划表演合唱和跳舞两个节目，据统计，该校的学生只表演合唱，另外的学生既表演合唱又表演跳舞，每位学生若只表演合唱，则记1分；若既表演合唱又表演跳舞，则记2分．假设每位学生是否表演跳舞相互独立，视频率为概率． (1)从该校学生中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望及方差； (2)从该校学生中随机抽取若干人，在总得分为4的条件下，求抽取了3人的概率； (3)从该校学生中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现分的概率为，求数列的通项公式． 【解析】（1）X的可能取值为2，3，4， 可得，，． 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 所以． ． （2）设“总得分为4”为事件，“抽取了3人”为事件， 则，， 所以在总得分为4的条件下，抽取了3人的概率为． （3）由题意可知， 其中， 所以， 又，所以是首项为1的常数列，故， 所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故，即． 【变式5-1】（2025·高二·浙江·期中）甲、乙两盒子中各有枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 . (1)求 ，的值； (2)求数列的通项公式； (3)并求使不等式成立的最小值. 【解析】（1）设事件第次操作时，从甲盒中取出的是红色棋子为， 事件第次操作时，从乙盒中取出的是红色棋子为， 则事件第一次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子可表示为， 又，事件与事件互为互斥事件，事件与事件独立， 所以， 所以， 若第1次操作后甲、乙盒中各有一红一黄棋子， 则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为， 若第1次操作后甲盒中为两个红色棋子，乙盒中为两个黄色棋子或甲盒中为两个黄色棋子，乙盒中为两个红色棋子， 则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为， 所以. （2）因为，故 所以，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， （3）因为，由（2）可得， 所以 整理得，又，，函数为增函数， 所以的最小值为. 【变式5-2】（2025·高二·河北·期中）某学校有两家餐厅，王同学开学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复. (1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率； (2)记王同学第n天去A餐厅用餐概率为，写出关于的表达式； (3)证明数列是等比数列，并求出的通项公式. 【解析】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得， 所以； （2）设表示第天去餐厅用餐，则， 根据题意得， 由全概率公式得，， 即；     （3）由整理得，， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即. 题型六：期望递推 【例6】（2025·高三·贵州黔西·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列（且）； (3)求的期望（用表示，且）. 【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为， 所以， ①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为， 若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， 综上可知：，. （2）经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为， ①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为， 若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时： 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 故. ， 因此， 因此为等比数列，且公比为. （3）由（2）知为等比数列，且公比为，首项为， 故，所以， . 【变式6-1】（2025·高三·广东·开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 【解析】（1）设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， （2）因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【变式6-2】（2025·吉林长春·模拟预测）某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为． (1)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由； (2)设，证明：； (3)定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望． 【解析】（1）， ， 所以事件与事件相互独立. （2）依题意，，， ， 则，， ， 于是，， 所以. （3）， 由（2）知，，而， 数列中的奇数项是以为首项，为公比的等比数列， 当为奇数时，， 又，则，因此； 当为偶数时，， ，解得， 所以. 题型七：高尔顿板问题 【例7】（2025·高二·湖南·期中）如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义. (1)直接写出时的分布列； (2)证明：； (3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式. 【解析】（1）时的分布列为： 1 2 3 （2）由题得， 倒序有，两式相加有 由于，依次类推，上式可化简为， 由组合数性质，有，故有，化简得，得证. （3）设向格子最大编号为的高尔顿板中投入的一个球落入格子的编号为， 由于无交集的独立事件的期望具有累加性，则有， 其中，由（2）有. 即， 则， 两式相减得， 化简得. 【变式7-1】（2025·高二·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的分布列； (2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 【解析】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7． ， ， ， ， 则的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 P （2）由（1）得，， 的分布列为： Y 0 1 5 10 P 则， 小州同学能盈利． 【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. （ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； （ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求. 【解析】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右. 所以. （2）（i）记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7. 由题意可得；；；； 所以M的分布列为： M 1 2 3 4 5 6 7 P 因为，所以X的可能取值为：0,40，80，120. 其中,,,. 所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为： X 0 40 80 120 P 所以数学期望为. （ii）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为. 因为，所以. 【强化训练】 1．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9， 10，11的概率分别为， 从而， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)， 当时， 当时， 因为， 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值， 故应选． 2．（2025·高二·江苏苏州·阶段练习）甲、乙，丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束． (1)按甲、乙、丙的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数X的数学期望的最大值． (2)若这种陶器制作成功后需要检测合格才能上市销售，如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利100元；如果这种陶器不能上市销售，则每件陶器亏损80元，已知甲已经制成了4件这种陶器，且甲制作的陶器检测合格的概率为，求这4件陶器最终盈亏Y的概率分布和数学期望． 【解析】（1）X的可能值为1，2，3. 于是，，， 则随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 均值为， ， 设，，所以h(x)在上单调递增， 所以, 所以，所以当时，E(X)的最大值为． （2）设4件陶器中能上市销售的件数为ξ，则不能上市销售的件数为4-ξ， ξ的可能值为0，1，2，3，4，且， ， 设这4件陶器最终盈亏Y，则，可能值为-320，-140，40，220，400， 可得，，， ，， Y 40 220 400 P (元)． 3．（2025·高二·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 【解析】（1）设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 所以. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 由（1）知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则， 因此， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 期望. 4．（2025·高二·四川眉山·期末）甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中. (1)经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？ (2)以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率. 【解析】（1）因为甲的盒子里面有2个红球1个白球，甲摸到红球，甲向前走一步， 所以每一轮甲前进的概率为； 因为乙的盒子里面有2个红球3个白球，乙摸到白球，乙向前走一步， 所以每一轮乙前进的概率为； 因为，即每一轮甲前进的概率都大于每一轮乙前进的概率， 所以经过多轮比赛后，估计甲走的步数多. （2）若频率作为概率，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多有三种情况： 乙走两步甲走一步，概率为； 乙走两步甲走零步，概率为； 乙走一步甲走零步，概率为； 综上，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率为 5．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【解析】（1）“机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； （2）依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； （3）“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 即. 6．（2025·高二·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 【解析】（1）依题意，传球2次后球在甲手中包括两个基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲， 所以传球2次后球在甲手中的概率为. （2）设第n次传球后球在甲手中的概率为， 则当时，第次传球后球在甲手中的概率为，第次传球后球不在甲手中的概率为， 显然，若要第n次传球后球在甲手中，则第次传球后球必定不能在甲手中， 无论此时球在乙或丙的手中，传给甲的概率都是，则有，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，，即. （3）设第n次传球后球在甲手中的概率，球在乙手中的概率， 球在丙手中的概率,则球在丁手中的概率， 则有， ，， ，， 于是，且，又， 则是以为首项，为公比的等比数列，， 又于是， 而，且有， 于是，又，则， 若为奇数，则，此时， 若为偶数，则，此时. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$