专题06 复数（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第6个专题复数。本专题涵盖复数的概念、复数的加、减、乘法运算、实系数一元二次方程等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 复数（讲义） 一、复数的概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__ __，满足i2＝__ __．全体复数所构成的集合C＝__ __叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__ __与__ __． 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__ _． 4. 复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示： 二、复数的几何意义 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做__ __，x轴叫做__ __，y轴叫做__ __．实轴上的点都表示__ __；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 3．复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__ _或__ __．即|z|＝|a＋bi|＝__ __，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__ __(a的绝对值)． 4．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__ __，虚部__ __时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__ _． 三、复数的加、减、乘法运算 1．复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__ _．， z1－z2＝__ _． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：__ _．； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__ __． 3．复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． 4．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__ _． 5．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝__ __ 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝___ _． 四、实系数一元二次方程的解法 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 【考点1】复数的概念 1．(2025年江苏) 已知复数为实数，则复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．(2024年河南）若复数，则 . 【考点2】复数的加、减、乘法运算 3．(2024吉林）若为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 4．(2024江苏）若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点3】实系数一元二次方程 5．(2024河南）在复数集中，方程的根为（    ） A． B． C． D． 知识点1 复数的概念 1．已知复数，则 . 2．下列复数为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知复数为纯虚数，则的值为（    ）． A． B． C． D．2 4．若复数，则的共轭复数的模等于（   ） A．5 B． C． D． 5. 已知i为虚数单位，，，若，则的值是（   ） A． B．2 C．3 D．1 6．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．在复平面内，复数对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 为 （   ） A． B． C． D． 9．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知，则复数z等于（   ） A． B． C． D． 知识点2 复数的加、减、乘法运算 1．若为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 3．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 4．设，且为正实数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B．3 C． D．1 6．已知复数，则等于（    ） A．3 B．2 C． D． 7．已知复数，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 8．设为虚数单位，则（　　） A．0 B．1 C． D． 9． ． 10．已知为虚数单位，复数，则 ． 知识点3 实系数一元二次方程 1．在复数集中，方程的根为（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的一个根是，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复数范围内，方程的根是（   ）. A．2或 B．或4 C．或 D．或 4．已知实系数一元二次方程的一个根是，则（    ） A．25 B．19 C． D． 5．若复数是一元二次方程的一个根，则复数的模为（    ） A． B． C． D． 6．若方程有一个根是，则另一个根在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7. 实系数一元二次方程（，，且）的两个虚根在复平面中关于 对称.（填“实轴”或“虚轴”） 8．若实系数一元二次方程的一个根为，则 ． 9．已知是方程的一个根，则实数的值为 ． 10．若，其中为虚数单位. (1)求复数； (2)若复数是实系数一元二次方程的根，求b，c的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第6个专题复数。本专题涵盖复数的概念、复数的加、减、乘法运算、实系数一元二次方程等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 复数（讲义） 一、复数的概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． 4. 复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示： 二、复数的几何意义 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做__复平面__，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__．实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 3．复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． 4．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 三、复数的加、减、乘法运算 1．复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：__z1＋z2＝z2＋z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__． 3．复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． 4．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 5．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝__z2·z1__ 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__ 四、实系数一元二次方程的解法 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 【考点1】复数的概念 1．(2025年江苏) 已知复数为实数，则复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的概念，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由题意知复数为实数， 所以虚部，即， 所以复数为， 则复数的共轭复数是. 故选：D. 2．(2024年河南）若复数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的乘法运算，及复数的模的概念，即可求解. 【详解】因为复数， 所以. 故答案为： 【考点2】复数的加、减、乘法运算 3．(2024吉林）若为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算即可. 【详解】. 故选：A. 4．(2024江苏）若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算计算，再分析选项即可. 【详解】因为复数， 所以. 故选：B. 【考点3】实系数一元二次方程 5．(2024河南）在复数集中，方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求根公式求实系数一元二次方程在复数范围内的根即可. 【详解】在复数集中，方程的根为 . 故选：D. 知识点1 复数的概念 1．已知复数，则 . 【答案】/ 【分析】根据共轭复数的知识求得正确答案. 【详解】由于复数，所以. 故答案为： 2．下列复数为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数运算性质，逐个计算，再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】选项A，，该选项错误； 选项B，，该选项错误； 选项C，，该选项错误； 选项D，，故为纯虚数，该选项正确， 故选：D. 3．已知复数为纯虚数，则的值为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算法则得到，结合纯虚数的概念，即可求解 【详解】， 因为是纯虚数，即，解得， 故选：A. 4．若复数，则的共轭复数的模等于（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念得出的共轭复数，再由复数模的公式求值即可. 【详解】已知复数， 则的共轭复数为，所以， 故选：C. 5. 已知i为虚数单位，，，若，则的值是（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的运算方式，即可求解. 【详解】由题意知， 则， 所以，， 所以． 故选：A. 6．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】复数为纯虚数的充要条件：实部为0，虚部不为0，据此列式可求解． 【详解】复数为纯虚数 ，即. 故选：B 7．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的类型和充要条件的概念即可判断. 【详解】若，则复数是纯虚数， 所以由“”可以推出“复数为纯虚数”； 若复数为纯虚数，则，解得， 所以由“复数为纯虚数”可以推出“”； 综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C. 8．在复平面内，复数对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的坐标得到，再由共轭复数的概念即可解答. 【详解】已知在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ， 则，所以 的共轭复数 ， 故选：B. 9．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义即可求解. 【详解】复数的共轭复数为，则对应点的坐标为，位于第三象限． 故选：C． 10．已知，则复数z等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的模和复数的运算即可得解. 【详解】因为， 所以，所以． 故选：C. 知识点2 复数的加、减、乘法运算 1．若为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算即可. 【详解】. 故选：A. 2．若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算计算，再分析选项即可. 【详解】因为复数， 所以. 故选：B. 3．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的运算结合共轭复数即可得解. 【详解】， 其共轭复数为. 故选：C. 4．设，且为正实数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法的运算求解即可. 【详解】因为，且为正实数， 所以，解. 故选:D. 5．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念及复数的运算可求解. 【详解】因为，所以，则 ， 所以它的虚部为. 故选：C 6．已知复数，则等于（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算及复数模的运算可求. 【详解】， 则； 故选：D. 7．已知复数，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法法则及虚部的概念即可求解. 【详解】因为，所以的虚部为． 故选：A． 8．设为虚数单位，则（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】 故选：A． 9． ． 【答案】/ 【分析】根据复数加减法的代数运算性质，即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 10．已知为虚数单位，复数，则 ． 【答案】5 【分析】先求出共轭复数，再由复数的乘法运算计算即可. 【详解】∵，∴， ∴． 故答案为:5. 知识点3 实系数一元二次方程 1．在复数集中，方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求根公式求实系数一元二次方程在复数范围内的根即可. 【详解】在复数集中，方程的根为 . 故选：D. 2．已知一元二次方程的一个根是，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程虚数根的特征和根与系数的关系，可求得复数，从而得其共轭复数，据此可判断结果. 【详解】由题可知， 一元二次方程的另一个根是，则 ，解得. 所以复数的共轭复数为，其对应的点为，在第一象限. 故选：A 3．在复数范围内，方程的根是（   ）. A．2或 B．或4 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式求解. 【详解】方程的判别式， 在复数范围内，方程的根为， 故选：C． 4．已知实系数一元二次方程的一个根是，则（    ） A．25 B．19 C． D． 【答案】B 【分析】利用实系数一元二次方程的根的性质来求解和的值，即可求解. 【详解】一元二次方程有两个共轭复数根，一个根是， 方程的另一个根是， 所以由根与系数的关系得，， 故，得到. 故选：B. 5．若复数是一元二次方程的一个根，则复数的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的求得，再利用复数模的计算即可得解. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 所以复数也是关于x的方程的一个根， 所以有，则， 所以. 故选：C. 6．若方程有一个根是，则另一个根在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由一元二次方程的两个虚数根为共轭复数，得到另一个根，进而得到其对应坐标. 【详解】由方程有一个根为. 所以另外一个根一定为. 所以其在复平面上对应的点为.在第三象限. 故选：C. 7. 实系数一元二次方程（，，且）的两个虚根在复平面中关于 对称.（填“实轴”或“虚轴”） 【答案】实轴 【分析】在复数范围内解一元二次方程，再结合复数的几何表示判断即可. 【详解】实系数一元二次方程（，，且） ∵方程有两个虚根，∴， ∴方程的虚根为， ∴方程的两个虚根互为共轭复数，两个共轭复数的点关于实轴对称. ∴方程的两个虚根在复平面中关于实轴对称. 故答案为：实轴. 8．若实系数一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】16 【分析】利用韦达定理先求出易得答案. 【详解】∵实系数一元二次方程的一个根是虚数， ∴判别式，∴方程有两个互为共轭复数的根， ∴另一个根为． 由根与系数的关系可得，， 即，． 综上，． 故答案为：. 9．已知是方程的一个根，则实数的值为 ． 【答案】5 【分析】一、将方程的根代入方程求解即可；二、根据复数范围一元二次方程根的特点，利用韦达定理易得答案. 【详解】方法一：由题意得，即，、整理得，解得． 方法二：∵方程的一个根是虚数，∴判别式， ∴方程有两个互为共轭复数的根，∴另一个根为． 由根与系数的关系可得，即． 故答案为：. 10．若，其中为虚数单位. (1)求复数； (2)若复数是实系数一元二次方程的根，求b，c的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据复数的运算法则，两边同时除以，化简即可； （2）根据复数是实系数一元二次方程的根，可得其共轭复数也是该方程的根，再由根与系数的关系求解. 【详解】（1） 由题意，，其中为虚数单位. 两边同时除以，得到： . （2）设复数是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数也是该方程的根. 根据根与系数的关系可得： ， 解得，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$