第18讲 平行四边形的性质与判定（3个知识清单+12类热点题型讲练+分层练习） 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第18讲 平行四边形的性质与判定 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................................3 题型02利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................................5 题型03平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................................8 题型04判断能否构成平行四边形..............................................................................................................................................11 题型05添一个条件成为平行四边形..........................................................................................................................................14 题型06数图形中平行四边形的个数..........................................................................................................................................17 题型07求与已知三点组成平行四边形的点的个数...................................................................................................................18 题型08证明四边形是平行四边形...............................................................................................................................................22 题型09全等三角形拼平行四边形问题........................................................................................................................................25 题型10利用平行四边形的判定与性质求解................................................................................................................................26 题型11利用平行四边形性质和判定证明....................................................................................................................................31 题型12平行四边形性质和判定的应用........................................................................................................................................37 分层练习.........................................................................................................................................................................................41 夯实基础........................................................................................................................................................................................41 能力提升.........................................................................................................................................................................................65 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 题型01利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，对角线相交于点O，，，则的周长为 ． 3．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，，，． (1)求的长度． (2)计算的面积． 题型02利用平行四边形的性质证明 4．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 ． 6．（24-25八年级下·天津东丽·期中）如图，在平行四边形中，连接，是延长线上的点，是延长线上的点，且，连接交于点．求证：． 题型03平行四边形性质的其他应用 7．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）平行四边形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 8．（八年级下·甘肃酒泉·期末）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ． 9．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 题型04判断能否构成平行四边形 10．（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，若，则四边形是 ，理由是 ． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 题型05添一个条件成为平行四边形 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是 ． 15．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知， (1)求作：平行四边形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点O．过点O作线段与边分别交于点E，F，设的面积为，的面积为，求的值． 题型06数图形中平行四边形的个数 16．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．（24-25八年级下·贵州·期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是 ． 18．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    题型07求与已知三点组成平行四边形的点的个数 19．（22-23八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 21．（24-25八年级下·全国·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)作出三角形关于直线对称的三角形 (2)说明三角形可以由三角形经过怎样的变换而得到？ (3)若在图中，有一点D，连接A，B，C，D，可以构成一个平行四边形，请在图2中画出． 题型08证明四边形是平行四边形 22．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，若，且，则四边形是 ，理由是 ． 24．（24-25八年级下·天津·期中）已知四边形是平行四边形， (1)如图①，若，平分且交于点M，且交于点N，则的大小________（度），的大小________（度）； (2)如图②，若，求证：四边形是平行四边形． 题型09全等三角形拼平行四边形问题 25．（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（八年级下·全国·课后作业）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 27．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 28．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，线段与相交于点，，，则的最小值为 ． 29．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，使，且点刚好在的延长线上，连接，，． (1)求的度数； (2)求的面积． 题型11利用平行四边形性质和判定证明 30．（24-25八年级下·北京·期中）如图1，在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 31．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，线段与线段相交于点O，，，，，，则线段的长为 ． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，点，在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请直接写出图中所有面积等于面积3倍的三角形． 题型12平行四边形性质和判定的应用 33．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 34．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 夯实基础 一、单选题 1．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形中，对角线与相交于点，、分别是对角线BD上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断四边形是平行四边形的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足. E是AB边上的一个动点，以CE，BE为邻边画平行四边形CEBF，则下列线段的长等于对角线EF最小值的是（    ）. A．AC B．BC C．CD D．AB 4．如图，，，，，垂足分别为C，G，则下列说法错误的是（　　） A． B．A，B两点间的距离就是线段的长 C． D．与两平行线间的距离就是线段的长 5．下列判断正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 C．两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形 D．两条对角线相等的四边形一定是平行四边形 6．如图，，，，下面的四个结论中： ①AB = CD； ②BE = CF；③；④，其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ． 10．如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 11．如图，在中，，，，点是边上一动点，以为对角线的所有平行四边形中，对角线最小的值是 ． 12．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为 ； 13．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是68°25′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为 . 14．如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连结EF，点M，N是线段EF上的两点，且EM=FN，连结AN，CM．若 ，则= ． 三、解答题 15．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 16．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形． 17．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？ 18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CE=3cm，FC=1cm，求AB，BC的长及ABCD面积． 19．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F. （1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）； （3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）. 20．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABDC的顶点A，B，C的坐标分别是（-1，0），（3，0），（0，2），点M是y轴正半轴上的动点，点N是x轴正半轴上的动点． (1)填空：点D的坐标为_______；CN+DN的最小值为_________ (2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，若四边形OMDB的面积是8，求t的值； (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒．问：S△EMD-S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 能力提升 一、单选题 21．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　　） A．一组对角相等 B．对角线互相平分 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相垂直 22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 23．平行四边形的周长是36㎝，＝8㎝，则＝ ㎝. 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3． （1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S= ； （2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′ S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．    三、解答题 25．某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形． 求证：AB=CD，_________ （1）补全求证部分； （2）请你写出证明过程． 26．如图所示在直角梯形ABCD中，ADBC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)设△DPQ的面积为S，用含有t的代数式表示S．并写出t的取值范围； (2)当△DPQ的面积为36时，求运动时间t的值． (3)当四边形PCDQ是平行四边形，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 平行四边形的性质与判定 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................................3 题型02利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................................5 题型03平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................................8 题型04判断能否构成平行四边形..............................................................................................................................................11 题型05添一个条件成为平行四边形..........................................................................................................................................14 题型06数图形中平行四边形的个数..........................................................................................................................................17 题型07求与已知三点组成平行四边形的点的个数...................................................................................................................18 题型08证明四边形是平行四边形...............................................................................................................................................22 题型09全等三角形拼平行四边形问题........................................................................................................................................25 题型10利用平行四边形的判定与性质求解................................................................................................................................26 题型11利用平行四边形性质和判定证明....................................................................................................................................31 题型12平行四边形性质和判定的应用........................................................................................................................................37 分层练习.........................................................................................................................................................................................41 夯实基础........................................................................................................................................................................................41 能力提升.........................................................................................................................................................................................65 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 题型01利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键；根据平行四边形对边平行结合平行线的性质，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，对角线相交于点O，，，则的周长为 ． 【答案】26 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出． 由平行四边形的性质推出，，求出，即可得到的周长． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为： 26 ． 3．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，，，． (1)求的长度． (2)计算的面积． 【答案】(1)3 (2)48 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理算出，再结合平行四边形的性质，即可作答． （2）结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解： ，，， ． ∵四边形是平行四边形， ， （2）解：由（1）得 ∴． 题型02利用平行四边形的性质证明 4．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．由平行四边形的性质容易得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ， 故选：D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 ． 【答案】8或12/12或8 【知识点】利用平行四边形的性质证明、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等角对等边等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．由于平行四边形的两组对边互相平行，又平分，由此可以推出所以，则；同理可得，，再分两种为情况：F点在D、E之间；F点在C、E之间．求得各自的便可得． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； 同理可得，， 当点F在D、E之间时，如图1， ∵， ∴； 当点F在C、E之间时，如图2， ∵， ∴． 故答案为：8或12． 6．（24-25八年级下·天津东丽·期中）如图，在平行四边形中，连接，是延长线上的点，是延长线上的点，且，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明，即可得证． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴． 题型03平行四边形性质的其他应用 7．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）平行四边形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补，逐项判断即可解答． 【详解】解：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补， 平行四边形不一定有的性质是对角线相等，即C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知性质是解题的关键． 8．（八年级下·甘肃酒泉·期末）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ． 【答案】120°和60° 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 9．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 题型04判断能否构成平行四边形 10．（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，若，则四边形是 ，理由是 ． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴在四边形中，若，则四边形是平行四边形，理由是两组对边相等的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形；两组对边相等的四边形是平行四边形． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解，，；； (2)见详解 (3)见详解 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标、判断能否构成平行四边形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （2）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （3）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了四边形综合，旋转作图，平移作图，勾股定理，平行四边形的判定，准确的在网格中作图及平行四边形的判定是本题的解题关键． 【详解】（1）解：如图，为所求，且，； （2）解：如图，则△为所求，且 （3）解：如图， ， 且， 四边形为平行四边形． 题型05添一个条件成为平行四边形 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为， 故选：C． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知， (1)求作：平行四边形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点O．过点O作线段与边分别交于点E，F，设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)1 【知识点】作线段(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，基本作图，全等三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键． （1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，作和相等的边即可，分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧交于点，连接、，即可得到平行四边形； （2）由平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， ∴． 题型06数图形中平行四边形的个数 16．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 17．（24-25八年级下·贵州·期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是 ． 【答案】3个 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形． 【详解】 解：如图所示： 故答案为：3个． 18．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    【答案】5，图见解析 【知识点】数图形中平行四边形的个数、格点作图题 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：    故答案为：5． 题型07求与已知三点组成平行四边形的点的个数 19．（22-23八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形、求与已知三点组成平行四边形的点的个数、平移(作图) 【分析】作出图形，结合图形进行分析可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 将向左平移各单位得到， 此时； 将向右平移各单位得到； 此时； 将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到， 此时； 综上所述， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形． 20．（22-23八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、证明四边形是平行四边形 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 21．（24-25八年级下·全国·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)作出三角形关于直线对称的三角形 (2)说明三角形可以由三角形经过怎样的变换而得到？ (3)若在图中，有一点D，连接A，B，C，D，可以构成一个平行四边形，请在图2中画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、平移(作图)、画轴对称图形、画旋转图形 【分析】（1）根据题意首先确定A、B、C三点关于直线对称的对称点位置，再进行连接即可； （2）由题意结合图形平移和旋转的性质根据图形位置进行分析解答即可． （3）结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行作图即可． 本题主要考查图形平移和旋转，平行四边形的判定，解题的关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置． 【详解】（1）解：三角形如图所示： （2）解：先将三角形向上平4个单位，再绕点逆时针旋转可得到三角形；或先将三角形 绕点 逆时针旋转，再向上平移4个单位，可得到三角形． （3）解：平行四边形如图所示： 题型08证明四边形是平行四边形 22．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题关键．根据平行四边形的判定解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故选：A． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，若，且，则四边形是 ，理由是 ． 【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：在四边形中，若，且， 所以四边形是平行四边形， 理由是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 24．（24-25八年级下·天津·期中）已知四边形是平行四边形， (1)如图①，若，平分且交于点M，且交于点N，则的大小________（度），的大小________（度）； (2)如图②，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)70，35 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，求得，得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：70，35； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， 又， ∴四边形是平行四边形． 题型09全等三角形拼平行四边形问题 25．（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 26．（八年级下·全国·课后作业）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵六个三角形是全等的正三角形， ∴OA=EF，AF=OE， ∵两组对边分别相等， ∴四边形AOEF为平行四边形； 同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形， ∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键． 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 27．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】连接，过A作交的延长线于M，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度． 【详解】解：连接，过A作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等， 同理的面积和的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是 ∵， ∴， ∵的面积是18， ∴ ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C． 28．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，线段与相交于点，，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，可得四边形是平行四边形，，在中，可得的长度，根据勾股定理可得的长度，根据，可得的最小值为，即的最小值为，由此即可求解． 【详解】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴，， ∴， 在中，， 在中，，且， ∴的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，图形平移的性质，两点之间线段最短，平行四边形的判定和性质等知识的综合，掌握合理构造辅助线，运用勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 29．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，使，且点刚好在的延长线上，连接，，． (1)求的度数； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由旋转的性质可知：，由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由（1）可知：，然后可得四边形是平行四边形，则有，进而可得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型11利用平行四边形性质和判定证明 30．（24-25八年级下·北京·期中）如图1，在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 甲方案：利用对角线互相平分得证；乙方案：由，可得,即可得，再利用对角线互相平分得证；丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案：四边形是平行四边形 ，， 又 四边形为平行四边形． 丙方案:四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选：A． 31．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，线段与线段相交于点O，，，，，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题是四边形综合问题，主要考查平移的基本性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识点．作，过作，两直线交于，连接，证是直角三角形，得，过点作的垂线交于点，求出，，根据四边形是平行四边形可得答案． 【详解】解：作，过作，两直线交于，连接， 则四边形是平行四边形， 所以，，， ， ， ， 是直角三角形， ，， 由勾股定理得：， 过点作的垂线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，点，在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请直接写出图中所有面积等于面积3倍的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形，得证明，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． （2）先证明，得，结合三角形面积公式以及当高相等时，三角形的底边的比等于面积的比，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， 即 ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图：分别过点作 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴． ∴图中所有面积等于面积3倍的三角形有，，，． 题型12平行四边形性质和判定的应用 33．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 34．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 【答案】 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等， 四边形和四边形的面积相等， 共对， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 夯实基础 一、单选题 1．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得． 【详解】解：如图： 四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图，平行四边形中，对角线与相交于点，、分别是对角线BD上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断四边形是平行四边形的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定及全等三角形的性质即可作出判断． 【详解】解：A、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD， 若BE=DF，则OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形； B、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD， 若DE=BF，则OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形； C、若∠BAE=∠DAF，不能判断四边形是平行四边形； D、∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC ∴∠ADB =∠DBC ， ∵∠BCE=∠DAF， 在△DAF和△BCE中， ， ∴△DAF≌△BCE（ASA）， ∴ DF=BE， ∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及判定定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及判定定理. 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足. E是AB边上的一个动点，以CE，BE为邻边画平行四边形CEBF，则下列线段的长等于对角线EF最小值的是（    ）. A．AC B．BC C．CD D．AB 【答案】C 【分析】根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，对角线EF为最小值. 【详解】解：根据垂线段的性质可知，EF⊥AB时为最小值. ∵四边形CEBF为平行四边形，∴FC∥BE，即FC∥BA. 故CD的长等于对角线EF最小值. 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质. 4．如图，，，，，垂足分别为C，G，则下列说法错误的是（　　） A． B．A，B两点间的距离就是线段的长 C． D．与两平行线间的距离就是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查平行线间距离．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A．∵，， ∴，此选项说法正确； B．∵是线段， ∴A，B两点间的距离就是线段的长，此选项说法正确； C．∵，，， ∴，此选项说法正确； D．∵，， ∴与两平行线间的距离就是线段的长，此选项说法错误， 故选：D． 5．下列判断正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 C．两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形 D．两条对角线相等的四边形一定是平行四边形 【答案】B 【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误； B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C．两组邻角分别互补的四边形不一定是平行四边形，还可能是梯形，故本选项错误； D．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形的两条对角线相等，故本选项错误； 故选B． 6．如图，，，，下面的四个结论中： ①AB = CD； ②BE = CF；③；④，其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：如下图所示，连接，由，得，所以，由，得，，由，得， 由，所以①正确； 由，所以②正确； 由，所以③正确； 由的底和高相等，所以面积相等，所以④正确； 正确的有4个， 故选：A 【点睛】此题考查两直线平行的性质定理、三角形全等的判定定理的应用、三角形全等的性质定理的应用，平四边形面积的计算． 7．如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：延长到使，则四边形是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到，根据跟勾股定理得到，于是得到结论； 解法二：延长交于，证明得，，最后根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：解法一：延长到使，则四边形是平行四边形， ，， 是的中点， 是的中点， ， ， ， ； 解法二：延长交于， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 二、填空题 9．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ． 【答案】13 【分析】由条件可知ABCD，ADBC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC． 【详解】解：由条件可知ABCD，ADBC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴BC=AD=13． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 10．如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，添加：，根据平行四边形的性质得，，继而得到，即可得证．掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：添加的一个条件为．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，在中，，，，点是边上一动点，以为对角线的所有平行四边形中，对角线最小的值是 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的对角线互相平分可知，，，根据垂线段最短可知，当取最小值时，最短，此时，由三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】在中，， ， 四边形是平行四边形， ，， 当取最小值时，最短，此时， 是的中位线， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为 ； 【答案】 【详解】分析：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证△ABM≌△ECM，再证得AB=NE，因为AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，可得∠AEH=30°，AH=AE=1，根据勾股定理可得EH = ，EN=2，即可得AB=. 详解： 如图，过点E作EH⊥AN于点H． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CE， ∴∠BAM=∠CEM，∠B=∠ECM． ∵M为BC的中点， ∴BM=CM． 在△ABM和△ECM中， ， ∴△ABM≌△ECM（AAS）， ∴AB=CD=CE，AM=EM=4， ∵N为边DC的中点， ∴NE=3NC=AB，即AB=NE， ∵AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°， ∴∠AEH=30°， ∴AH=AE=1， ∴EH= = ， ∴NH=AN-AH=2-1=1， ∴EN==2， ∴AB=×2=； 故答案为． 点睛：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 13．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是68°25′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为 . 【答案】68°25′ 【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，进而即可求解. 【详解】因为AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以∠2=∠1=68°25′， 故答案为68°25′. 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对角相等是关键. 14．如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连结EF，点M，N是线段EF上的两点，且EM=FN，连结AN，CM．若 ，则= ． 【答案】30°/30度 【分析】先根据SAS证明，利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，再根据外角的性质求出∠ECM，进而即可求解． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠AFN=∠CEM， ∵FN=EM，AF=CE， ∴（SAS）． ∴∠NAF=∠ECM， ∵∠CMF=∠CEM+∠ECM， ∴100°=70°+∠ECM， ∴∠ECM=30°， ∴∠NAF=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题 15．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形的性质可得，再证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形． 【答案】详见解析 【分析】根据∠1=∠2，∠3=∠4可得AD∥BC，AB∥CD，然后根据平行四边形的判定定理证明. 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， 理由： ∵∠1=∠2，∴AD∥BC， 又∵∠3=∠4，∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，判定方法共有五种：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 17．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？ 【答案】见解析 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，AD，BE，CF等均为枕木， 由题意，AD∥BE，AD=BE， ∴四边形ADEB为平行四边形， ∴AB∥DE， 同理可证，四边形BEFC等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CE=3cm，FC=1cm，求AB，BC的长及ABCD面积． 【答案】AB的长是cm，BC的长是cm，平行四边形ABCD的面积是cm2． 【试题分析】根据平行四边形的性质，30°所对的直角边是斜边的一半求解. 【试题解析】∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠C=360°-∠AEC-∠EAF-∠AFC=120°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C+∠B=180°， ∴∠B=60°， ∴∠BAE=30°， ∴AB=2BE， 设BE=a，则AB=2a， ∵CE=3cm，FC=1cm， ∴DF=2a-1， 又∵∠AFD=90°，∠D=60°， ∴∠DAF=30°， ∴AD=2DF=4a-2， ∵AD=BC=a+3， 解得a=， ∴AB=2a= ，BC=a+3= +3＝ ， ∵∠AEB=90°，AB= ，BE=， ∴AE= ， ∴平行四边形ABCD的面积是：BC•AE= ×＝， 即AB的长是cm，BC的长是cm，平行四边形ABCD的面积是cm2．． 19．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F. （1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）； （3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）. 【答案】(1)DE＋DF＝AB.理由见解析； (2) ①当点D在CB的延长线上时， AB＝DE－DF；②当点D在线段BC上时，AB＝DE＋DF；③当点D在BC的延长线上时， AB＝DF－DE.(3)AB＝DE＋DG＋DF. 【分析】（1）如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB； （2）当点D在直线BC上时，分三种情况： ①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF-BF=DE-DF； ②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF； ③当点D在BC的延长线上时，如图5，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE-CE=DF-DE； （3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF． 【详解】（1）DE+DF=AB. 理由如下： 如图1，∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE=AF. ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B， ∴∠FDB=∠B， ∴DF=FB， ∴DE+DF=AF+FB=AB； （2） ①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，AB=DE-DF； ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE=AF. ∴∠FDB=∠BCA， ∵AB=AC， ∴∠BCA =∠B， ∴∠FDB=∠B=∠DBF， ∴DF=FB， ∴AB=AF-BF=DE-DF； ； ②当点D在线段BC上时，同题（1），AB=DE+DF； ③当点D在BC的延长线上时，如图5，AB=DF-DE； ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DF=AE. ∴∠CDE=∠B， ∵AB=AC， ∴∠BCA =∠B=∠DCE ， ∴∠CDE=∠DCE， ∴CE=DE， ∴AB=AC=AE-CE=DF-DE； ； （3）AB=DE+DG+DF. ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DF=AE， ∵DE∥AB， ∴∠EGC=∠B， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B， ∴∠C=∠EGC， ∴EG=EC，即DE+DG=CE， ∴AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF． 故答案为（1）DE+DF=AB. 理由见解析；（2）①当点D在BC的反向延长线上时，如图4见解析，AB=DE-DF；②当点D在线段BC上时，同题（1），AB=DE+DF；③当点D在BC的延长线上时，如图5见解析，AB=DF-DE；（3）AB=DE+DG+DF. 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键. 20．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABDC的顶点A，B，C的坐标分别是（-1，0），（3，0），（0，2），点M是y轴正半轴上的动点，点N是x轴正半轴上的动点． (1)填空：点D的坐标为_______；CN+DN的最小值为_________ (2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，若四边形OMDB的面积是8，求t的值； (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒．问：S△EMD-S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)（4，2），4 (2)t的值是； (3)）S△EMD-S△OEN的值不会发生变化，S△EMD-S△OEN的值是3． 【分析】（1）作C（0，2）关于x轴的对称点C'（0，-2），连接DC'交x轴于N，此时CN+DN最小，最小值为C'D的长，由A（-1，0），B（3，0），四边形ABDC是平行四边形，可得DC=AB=4，D（4，2），在Rt△DCC'中，利用勾股定理求得DC'=4，即得CN+DN的最小值为4； （2）根据S四边形OCDB=7，四边形OMDB的面积是8，知M在C的上方，且S△CDM=8-7=1，故CM•DC=1，即（t-2）×4=1，可解得t的值； （3）连接OD，由S△EMD-S△OEN=S△MOD+S△NOD=OM•CD+ON•OC=3，可得S△EMD-S△OEN的值是3，不会变化． 【详解】（1）解：作C（0，2）关于x轴的对称点C'（0，-2），连接DC'交x轴于N，此时CN+DN最小，最小值为C'D的长，如图： ∵A（-1，0），B（3，0）， ∴AB=4， ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴DC=AB=4， ∴D（4，2）， 在Rt△DCC'中， DC'=， ∴CN+DN的最小值为4， 故答案为：（4，2），4； （2）解：如图： ∵S四边形OCDB=×（4+3）×2=7， 又四边形OMDB的面积是8， ∴M在C的上方，且S△CDM=8-7=1， ∴CM•DC=1， 即（t-2）×4=1， 解得t=， 答：t的值是； （3）解：S△EMD-S△OEN的值不会发生变化，理由如下： 连接OD，如图： ∵S△EMD-S△OEN=S四边形MOND， ∴S△EMD-S△OEN =S△MOD+S△NOD =OM•CD+ON•OC =t×4+（3-2t）×2 =2t+3-2t =3， ∴S△EMD-S△OEN的值是3，不会变化． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及平移的性质、轴对称的性质，坐标与图形性质、平行四边形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平移的性质是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　　） A．一组对角相等 B．对角线互相平分 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相垂直 【答案】B 【分析】平行四边形的判定定理：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，据此进行判断即可． 【详解】解：如图： A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； B、∵、，∴四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意； C、“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如：筝形，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理得应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目． 22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由等腰三角形的角平分线性质得到DH＝EH＝3，由平行四边形的性质和平行线的性质得到DA＝DG，AH＝GH，再由勾股定理AH＝，从而得到正确答案. 【详解】如图，设AG交BD于H． ∵AD＝AE，AG平分∠BAD， ∴AG垂直平分DE， ∴DH＝EH＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠AGD＝∠GAB， ∵∠DAG＝∠GAB， ∴∠DAG＝∠DGA， ∴DA＝DG， ∵DE⊥AG， ∴AH＝GH， 在Rt△ADH中，AH＝＝＝4， ∴AG＝2AH＝8． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的角平分线性质、勾股定理和平行线的性质，解题的关键是推得DA＝DG 和AH＝GH. 二、填空题 23．平行四边形的周长是36㎝，＝8㎝，则＝ ㎝. 【答案】10 【分析】根据平行四边形的性质即可求出． 【详解】因为平行四边形的两组对边分别相等，□ABCD的周长为36cm， 所以AB＋BC＝18cm， 则BC＝10cm. 故答案为10. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握该性质是本题解题的关键. 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3． （1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S= ； （2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′ S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．    【答案】 15 = 【详解】解：（1）∵AB=DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD的面积S=5×3=15， 故答案为：15 （2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，    ∵E是AD中点， ∴AE=DE， 又∵AB∥CD， ∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE， 在△ABE和△DPE中， ∵， ∴△ABE≌△DPE（AAS）， ∴S△ABE=S△DPE，BE=PE， ∴S△BCE=S△PCE， 则S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE =S△PDE+S△CDE+S△BCE =S△PCE+S△BCE =2S△BCE =2××BC×EF =15， ∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S， 故答案为：= 三、解答题 25．某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形． 求证：AB=CD，_________ （1）补全求证部分； （2）请你写出证明过程． 【答案】（1）BC=DA；（2）证明过程见解析 【分析】（1）根据题意容易得出结论； （2）连接AC，与平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，证出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，由ASA证明△ABC≌△CDA，得出对应边相等即可． 【详解】（1）BC=DA； （2）连接AC，如图所示：          ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， 在△ABC和△CDA中，， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD，BC=DA； 考点：平行四边形的性质 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 26．如图所示在直角梯形ABCD中，ADBC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)设△DPQ的面积为S，用含有t的代数式表示S．并写出t的取值范围； (2)当△DPQ的面积为36时，求运动时间t的值． (3)当四边形PCDQ是平行四边形，求t的值． 【答案】(1)S=96-6t； (2)t=10； (3)t=5． 【分析】（1）由题意得出AQ=t，DQ=16-t，△DPQ的面积S=DQ•AB，即可得出S与t之间的函数关系式； （2）把S=36代入S与t之间的函数关系式，即可得出t的值； （3）若四边形PCDQ是平行四边形，则DQ=PC，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：AQ=t， ∴DQ=16-t， ∴△DPQ的面积S=×（16-t）×12=96-6t， 即S与t之间的函数关系式为：S=96-6t； （2）解：当S=36时，96-6t=36， 解得：t=10， ∴t=10时，△DPQ的面积是36； （3）解：∵PB=2t， ∴PC=21-2t， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ=PC， ∴16-t=21-2t， 解得：t=5， ∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、三角形面积的计算等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 1 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