专题03 概率（易错必刷35题7种题型专项训练）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题03 概率 （易错必刷35题7种题型专项训练） 题型一　条件概率 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　正态曲线的图像的应用 题型六　利用正态分布的对称性求概率 题型七　正态分布的实际应用 题型一　条件概率 1．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）从如下6个函数中任取1个函数，记事件为“取到的函数是奇函数”，事件为“取到的函数是偶函数”，则下列结论中正确的是（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥. A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建漳州·一模）设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立 4．（2025高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中红球6个，绿球4个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回． (1)对于事件，当时，求证：； (2)若某同学摸球三次，请利用（1）中的结论，求三次都摸到绿球的概率． 5．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题： (1)该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？ (2)入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？ (3)若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 题型二　全概率公式 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国·专题练习）个人相互传球，球从甲手中传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余的个人中的任何一个．求： (1)传了次球，球仍没有回到甲手里的概率； (2)传了次球（），没有一个人接到过两次球的概率； (3)第次传球时仍由甲手中传出的概率． 10．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁的概率为0.2，被两发炮弹击中而被击毁的概率为0.5，被三发炮弹击中必定被击毁．在战斗中，甲、乙两坦克分别向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率． 题型三　贝叶斯公式 11．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二下·山东聊城·期末）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高二下·湖北·阶段练习）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 15．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 题型四　离散型随机变量的分布列 16．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 17．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 18．（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19．（2025·广西北海·模拟预测）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想，票房一路攀升，成为全球动画电影票房冠军．截至2025年3月9日全球票房达到148.86亿元，下图为某平台向200名观众征集该电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这200名观众评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布列及期望． 20．（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球． (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率． 题型五　正态曲线的图像的应用 21．（23-24高三上·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（    ） A．估计该校高三学生人数为1200 B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70． C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425． D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多． 22．（2023高三上·全国·专题练习）老张每天17:00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条路线可以选择．乘坐路线A所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家，要5分钟，乘坐路线B所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（    ） （参考数据：，则，，） A．若乘坐路线A，则在17:48前到家的可能性超过1% B．若乘坐路线B，18:00前一定能到家 C．乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样 D．乘坐路线B比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更小 23．（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 24．（2024·湖南衡阳·二模）某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58． (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次征文比赛作品的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？ 参考数据：． 25．（2022·全国·模拟预测）某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图. (1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）. 附：若，则， ，. 题型六　利用正态分布的对称性求概率 26．（2022·江苏·模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高二下·辽宁沈阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 29．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知随机变量，若，则 . 30．（2023·江西赣州·二模）3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．中国的3D打印技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置．我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某种零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果： 质量指标 频率 (1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①若，求的值； ②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于的件数最有可能是多少？ 附参考数据：，若，则，，． 题型七　正态分布的实际应用 31．（22-23高三·山西·阶段练习）小李，小王相约周日到晋祠游玩，两人约定早上7:00各自从家出发，小李乘坐301路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(44，4).小王乘坐804路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40，16).下列说法从统计角度可认为不合理的是（    ） 参考数据: ，则，，) A．小王在7:28前到达晋祠的可能性不超过1% B．小王比小李在7:50前到达晋祠的可能性更小 C．小李和小王在7:48前到达晋祠的可能性一样 D．小李比小王在7:44前到达晋祠的可能性更大 32．（2024高二下·全国·专题练习）某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 参考： A．456 B．558 C．584 D．651 33．（23-24高二下·河北邯郸·期中）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望． 34．（23-24高二下·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 35．（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛. (1)已知该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）. (2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为，求的分布列及数学期望. 参考数据：若，则，， 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率 （易错必刷35题7种题型专项训练） 题型一　条件概率 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　正态曲线的图像的应用 题型六　利用正态分布的对称性求概率 题型七　正态分布的实际应用 题型一　条件概率 1．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）从如下6个函数中任取1个函数，记事件为“取到的函数是奇函数”，事件为“取到的函数是偶函数”，则下列结论中正确的是（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断各函数的奇偶性得到事件，再由互斥事件的加法公式得到A，C错误；由独立事件的乘法公式可得B正确；由条件概率可得D错误. 【详解】的定义域为关于原点对称，且，所以①为既是奇函数又是偶函数； ，定义域为，所以②为奇函数； ，定义域为，所以③为奇函数； ，定义域为，所以④为偶函数； ，所以⑤为非奇非偶函数； 定义域为，所以⑥为非奇非偶函数； 所以事件包含①②③，事件包含①④，， 对于A，，故A错误； 对于B，表示取到的函数不是奇函数，表示取到的函数不是偶函数，故故B正确； 对于C，，由于，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 3．（2025·福建漳州·一模）设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立 【答案】C 【分析】由条件概率公式计算可判断A；由条件概率与对立事件概率公式计算可判断B；由，，可得，可判断C；由已知不能说明成立判断D. 【详解】对于A选项，，若，则，不符合题意，故A选项不正确； 对于B选项，，若， 则，所以，即不符合题意.故B选项不正确； 对于C选项，因为A与B互斥，所以，又，， 所以，，所以，故，故C选项正确； 对于D选项，，不能说明成立，故D选项不正确. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中红球6个，绿球4个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回． (1)对于事件，当时，求证：； (2)若某同学摸球三次，请利用（1）中的结论，求三次都摸到绿球的概率． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据（1）中结论，由条件概率计算公式计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以，得证． （2）记事件“第次摸到绿球”为． 由题意可知，，． 由（1）中结论， 可得． 答：求三次都摸到绿球的概率为． 5．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题： (1)该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？ (2)入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？ (3)若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用位置优先，结合分步乘法计数原理列式计算. （2）利用分类加法计数原理，及组合计数问题列式计算. （3）利用条件概率公式计算得解. 【详解】（1）分两步：第一步先安排最左端和最右端，有种；第二步安排中间的人，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种. （2）分两类：第一类，没有班长，有种；第二类，一个班长，有种. 根据分类加法计数原理，共有种. （3）记事件“第一次抽到男生”，事件“第二次抽到女生”， ，，， 所以在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 题型二　全概率公式 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及已知可得、，再由全概率公式及对立事件概率关系求. 【详解】由且，故， 由，故， 由于，则， 故． 故选：B 7．（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式和条件概率公式即可得出答案. 【详解】设事件：知道答案，事件：答对本题， 则，， 则 故选：D 9．（2024高三·全国·专题练习）个人相互传球，球从甲手中传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余的个人中的任何一个．求： (1)传了次球，球仍没有回到甲手里的概率； (2)传了次球（），没有一个人接到过两次球的概率； (3)第次传球时仍由甲手中传出的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）由古典概型概率计算公式即可求解； （3）由全概率公式可得，，构造等比数列即可得解. 【详解】（1）由古典概型概率计算公式可得，． （2）由古典概型概率计算公式可得，． （3）记{第次传球时仍由甲手中传出}，要求，为此记． 若发生，就不可能发生，即，而． 由全概率公式，得， 即．所以． 又，利用迭代得， 从而． 10．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁的概率为0.2，被两发炮弹击中而被击毁的概率为0.5，被三发炮弹击中必定被击毁．在战斗中，甲、乙两坦克分别向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率． 【答案】0.96217 【分析】分情况讨论，运用全概率公式，结合条件概率求解即可 【详解】设{敌目标被击毁}，{敌目标恰被发炮弹击中}（）， 则， ， ，， ． 由全概率公式，得， 即 题型三　贝叶斯公式 11．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的性质及变式可求得，由已知可求得，根据贝叶斯公式可求得答案． 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为， 所以． 所以． 故选：A 12．（22-23高二下·山东聊城·期末）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 故选：C 13．（22-23高二下·湖北·阶段练习）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，利用全概率公式计算出的值，然后利用贝叶斯公式计算出的值. 【详解】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书， 则，，， 由全概率公式可得， 所以，. 故选：B. 14．（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【答案】(1) (2)该球取自乙箱的可能性更大 【分析】（1）由条件概率的定义，分别求出从甲箱摸出的球是黑球的概率和从乙箱摸出的球是黑球的概率，然后由全概率公式，即可得答案. （2）根据贝叶斯公式，分别求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比较其大小，即可得到答案. 【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则，，， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率， 该球取自乙箱的概率， 因为，所以该球取自乙箱的可能性更大. 15．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 【答案】(1) (2)0.048 (3)3，说明见解析 【分析】（1）根据第1，2，3台车床加工的零件数之比即可求得答案； （2）根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据贝叶斯公式分别计算出在这个零件是次品的条件下由每个车间生产的概率，比较大小，即可判断出结论. 【详解】（1）由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件， 它是第1台机床生产的概率； （2）设事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”， ， ， 现任取一个零件，它是次品的概率 （3）， ， ， 而，所以它是第3台机床生产的可能性最大． 题型四　离散型随机变量的分布列 16．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意：. 所以. 所以. 故选：D 17．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由独立事件乘法公式求得，进而结合分布列求解即可； 【详解】依题意，甲、乙、丙都打中的概率， 解得（负值已舍去）， 所以乙打中的概率为． 由题意可得，的可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以． 故选：D． 18．（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 19．（2025·广西北海·模拟预测）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想，票房一路攀升，成为全球动画电影票房冠军．截至2025年3月9日全球票房达到148.86亿元，下图为某平台向200名观众征集该电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这200名观众评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)79.5 (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为可得答案； （2）将每个矩形的中点乘以每个矩形的高再乘以10后相加可得平均数； （3）求出的可能取值及对应的概率可得分布列，再由期望公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意知，解得； （2）估计这200名观众评分的平均数 ； （3）中的人数为人，中的人数为人， 所以按照分层抽样的方法随机抽取的7人中， 评分在的抽取（人），评分在的抽取（人）． 被抽取到的3人中评分在的人数的可能取值为0，1，2，3． ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 期望． 20．（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球． (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率． 【答案】(1)分布列见解析； (2). 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为0、1、2，结合超几何分布求分布列； （2）设出相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式求解. 【详解】（1）由题意，随机变量，则，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 （2）记第一次从甲袋随机摸出1个球，摸出的是对应事件分别为， 第二次摸到的是3号球为事件，则，， 所以. 题型五　正态曲线的图像的应用 21．（23-24高三上·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（    ） A．估计该校高三学生人数为1200 B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70． C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425． D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多． 【答案】B 【分析】由正态分布曲线的对称性可求得，由频数、频率和总数的关系可求得结果． 【详解】解：由，得， ． 估计该校学生人数为：人，A不正确； 估计该校学生中成绩不超过90分的人数为，B正确； 估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为，C错误； 由， 估计该校学生中成绩不超过90分的人数与超过130分的人数相等，D错误， 故选：B． 22．（2023高三上·全国·专题练习）老张每天17:00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条路线可以选择．乘坐路线A所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家，要5分钟，乘坐路线B所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（    ） （参考数据：，则，，） A．若乘坐路线A，则在17:48前到家的可能性超过1% B．若乘坐路线B，18:00前一定能到家 C．乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样 D．乘坐路线B比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更小 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的对称性以及正态分布的概率对四个选项逐一判断即可. 【详解】设乘坐路线A所需时间为，乘坐路线B所需时间为 对于A，由知，， 因为，所以，所以A选项错误； 对于B，“18:00前一定能到家”是随机事件，可能发生，可能不发生，所以B选项错误； 对于C，，，，， 因此乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样，选项C正确． 对于D，，，乘坐路线B比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更大，选项D错误． 故选：C. 23．（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 24．（2024·湖南衡阳·二模）某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58． (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次征文比赛作品的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？ 参考数据：． 【答案】(1)样本平均数为，样本方差为. (2)分 【分析】（1）根据题意，由平均数与方差的公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件结合正态分布的概率计算公式可得，，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，， ， 所以样本平均数为，样本方差为. （2）因为得分服从正态分布，且，，则， 所以，又，即， 所以， 又，即， 所以， 所以前50名的作品作者评奖总共50篇，获奖率为， 因为，则， 所以， 即分数线约为分. 25．（2022·全国·模拟预测）某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图. (1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）. 附：若，则， ，. 【答案】(1)分布列见解析， (2)127 【分析】（1）由频率分布直方图求得，进一步有，所以有二项分布，由此即可求出对应的概率、分布列以及数学期望； （2）由题意，结合题中所给参考数据求得即可进一步得解. 【详解】（1）， ∴，∴， ∴，， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 ∴. （2）记该校高二男生立定跳远成绩为Y厘米，则， ∴ ， ∴估计该校高二男生立定跳远得满分的人数为. 题型六　利用正态分布的对称性求概率 26．（2022·江苏·模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式，再结合不等式求解作答. 【详解】因，且，则有，即， 不等式为：，则，， 所以，，A，B，D均不正确，C正确. 故选：C 27．（22-23高二下·辽宁沈阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D 28．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【答案】4 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据对称性可得：，所以， 故答案为：4 29．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知随机变量，若，则 . 【答案】4 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以 又因为， 所以由对称性知，. 故答案为：4 30．（2023·江西赣州·二模）3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．中国的3D打印技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置．我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某种零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果： 质量指标 频率 (1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①若，求的值； ②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于的件数最有可能是多少？ 附参考数据：，若，则，，． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意结合平均数和方差的公式运算求解； （2）①根据正态分布的性质运算求解；②根据题意结合二项分布的概率公式列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， （2）由（1）可得：， 即. ①因为， 所以. ②由①可知：， 设这500件零件中质量指标不少于的件数为，则， 可得， 令，即， 解得， 且，则，即当时，概率最大， 所以这500件零件中质量指标不少于的件数最有可能是489. 题型七　正态分布的实际应用 31．（22-23高三·山西·阶段练习）小李，小王相约周日到晋祠游玩，两人约定早上7:00各自从家出发，小李乘坐301路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(44，4).小王乘坐804路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40，16).下列说法从统计角度可认为不合理的是（    ） 参考数据: ，则，，) A．小王在7:28前到达晋祠的可能性不超过1% B．小王比小李在7:50前到达晋祠的可能性更小 C．小李和小王在7:48前到达晋祠的可能性一样 D．小李比小王在7:44前到达晋祠的可能性更大 【答案】D 【分析】利用正态分布的原则求解. 【详解】记小李路上所需时间为X，小王路上所需时间为Y. 对于,，所以合理； 对于，小李在7:50前到达晋祠的概率为，小王在7:50前到达晋祠的概率为.小李在7:50前到达晋祠的概率要大，所以选项合理； 对于，小李在7:48前到达晋祠的概率为， 小王在7:48前到达晋祠的概率为，选项合理； 对于，小李在7:44前到达晋祠的概率为，小王在7:44前到达晋祠的概率为.小王在7:44前到达晋祠的概率要大，选项不合理. 故选：. 32．（2024高二下·全国·专题练习）某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 参考： A．456 B．558 C．584 D．651 【答案】B 【分析】根据正态分布的概率分布即可求解. 【详解】因为， 故人数为， 故选：B. 33．（23-24高二下·河北邯郸·期中）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望． 【答案】(1)丙级； (2). 【分析】（1）根据给定条件，依次求出和值，再利用样本数据估算相应区间的概率，与评判法则比对即得. （2）从生产流水线上随意抽取2件零件的次品数服从二项分布，利用二项分布求出，利用古典概率求出从样本中随意抽取2件零件的次品数对应的概率，并求出，再利用期望的性质求解即得. 【详解】（1）依题意，，，， 观察数表得：直径小于的共有10件，直径大于的零件共有10件， 直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件， 直径小于等于的共有1件，直径大于的零件共有1件， ，， ， 所以设备的性能等级为丙级． （2）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件， 则样本中次品共6件，估计设备生产零件的次品率为0.06， 依题意，从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为， 则，于是； 从样本中随意抽取2件零件其次品数设为，则的可能取值为， ， 于是， 则次品总数的数学期望. 34．（23-24高二下·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)或16 【分析】（1）X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望； （2）由正态分布性质得，再由二项分布结合已知列出不等式组即可得解. 【详解】（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布， 因此， 则，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为. （2）据题意可知， 那么 有， 要使取最大值，只需， 得：且， 故：当或16时，取得最大值. 35．（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛. (1)已知该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）. (2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为，求的分布列及数学期望. 参考数据：若，则，， 【答案】(1)（i）能；（ii）人(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意，得到，，结合，得出结论； （ii）设全校参与本次竞赛的人数为，根据正态分布曲线的对称性，得到“反诈达人”的概率，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到男生和女生了解“反诈”知识的概率，以及的所有可能取值，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布 可得，，因为，则该同学能被评为“反诈标兵”. （ii）设全校参与本次竞赛的人数为，“反诈达人”的概率为： 则，解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为人. （2）解：由题意知，男生了解“反诈”知识的概率为，女生了解“反诈”知识的概率为， 随机变量的所有可能取值为， 可得 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 5 所以，期望为. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$