专题05 第十章 概率（考点串讲，4大考点&12大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

人教A版（2019）高一数学下学期·期末大串讲 第十章 概率（4考点&12题型） 人教A版2019 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 易错易混 04 押题预测 考点透视 清单01 互斥事件与对立事件  考点透视 清单02 古典概型的概率  考点透视 清单03 概率的基本性质  考点透视 清单04 事件的独立性  题型剖析 【考点题型一】互斥事件与对立事件 【答案】D 题型剖析 【考点题型二】计算古典概型概率 题型剖析 【考点题型二】计算古典概型概率 题型剖析 【考点题型三】有放回与无放回概率 【答案】AD 题型剖析 【考点题型四】根据古典概型概率求参数 【答案】C 题型剖析 题型剖析 【考点题型五】利用概率的加法公式求古典概型概率 题型剖析 【考点题型六】互斥事件的概率 题型剖析 【考点题型七】对立事件的概率 【答案】C 题型剖析 【考点题型八】相互独立事件，互斥事件，对立事件的辨别 【答案】AB 题型剖析 【考点题型八】相互独立事件，互斥事件，对立事件的辨别 【答案】D 题型剖析 【考点题型九】独立事件的判断 题型剖析 【考点题型九】独立事件的判断 题型剖析 【考点题型九】独立事件的判断 【答案】C 题型剖析 【考点题型九】独立事件的判断 题型剖析 【考点题型十】独立事件的乘法公式 题型剖析 【考点题型十一】独立事件的实际应用 题型剖析 【考点题型十一】独立事件的实际应用 题型剖析 【考点题型十二】随机模拟 易错易混 押题预测 【答案】D 押题预测 【答案】D 押题预测 押题预测 押题预测 1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 【例1】（23-24高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 【例2】（24-25高一下·江西赣州·期中）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478. (1)求这6个数据的75%分位数及平均数； (2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率. 【详解】（1）因为， 所以这6个数据的75%分位数是249， 这6个数据的平均数是. (2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率. （2）从6个数据中任取2个数据，样本空间 ，共含有15个样本点， 设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”， 则，共含有6个样本点， 所以. 答：取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率为. 对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确；故选：AD. 【例3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确； 对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法， 其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确； 对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确； 【例题4】.（2024·全国·模拟预测）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【详解】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后 该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法. 《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法. 从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为 根据题意可得，解得， 即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本. 故选：C 【例题5】.（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 【例6】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黄球的概率是 . 【详解】解：设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”， 则事件两两互斥， 根据题意，得，即， 解得，所以得到黄球的概率是. 故答案为：. 【例7】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，， 则有，又，即， 解得，故. 故选：C. 【例8】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 【详解】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系，可知A显然是正确的； 对于B，当与是互斥事件时，才有，对于任意两个事件A，B，满足，所以B正确； 对于C，事件A，B，C彼此互斥，但不一定是全体样本空间，故不一定等于1，还可能小于1； 对于D，只要等于全体样本空间，必定有，但事件与不一定互斥,故D错误． 故选：AB 【变式8-1】.（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 【例9-1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质， 由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点， 其中事件，共5个样本点，故， 所以，摸出两球标号互质的概率为. 【例9-1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. （2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为： ，共12个样本点， 其中第一次摸出球的标号小于，可得， 第二次摸出球的标号小于，可得， 所以，则，， 所以，所以事件与事件不独立. 【变式9-1】.（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 【变式9-1】.（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 【例10】（2025·四川绵阳·三模）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲､乙､丙3个问题，已知他答对甲､乙､丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为 . 【详解】由题意，至少能够连续将2道题都答对， 包含的情况有：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对， 则小张获得额外加分的概率为. 故答案为：. 【例11】（23-24高二上·云南玉溪·期中）1.垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． 【详解】（1）设 “一轮活动中小明答对一题”，“一轮活动中小亮答对一题”，则，.设““明亮队”在一轮活动中一题都没有答对”，则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以与相互独立，从而与相互独立，所以，.所以“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率为； 【例11】（23-24高二上·云南玉溪·期中）1.垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． （2）设“两轮活动中小明答对了道题”，“两轮活动中小亮答对了道题”，，1，2.由题意得，，，， 设““明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则.由于和相互独立，与互斥，所以. 所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率. 【例12】（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 1．（湖南省娄底市多校联考2024-2025学年高二普通高中学业水平合格性考试（四）数学试题）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ． 【答案】/0.5 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，共有： 16种； 2张卡片上的数字之积是4的倍数有：8种； 即概率为， 故答案为：##0.5. 1．（2025·全国·一模）从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【详解】从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数的情况有： ，共种； 符合题意的有，共种. 所以概率为. 故选：D. 2．（2026高三·全国·专题练习）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率； (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率. 【详解】（1）设表示小明两轮猜对1句诗词的事件，则. 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率； (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率. （2）设，分别表示事件“小明两轮猜对1句、2句诗词”，，分别表示事件“小王两轮猜对1句、2句诗词”，则，，         ，.         设事件“两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对3句诗词”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，             所以， 即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是. 4．（24-25高一上·江西·期末）已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【详解】（1）由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. （2）由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. $$