专题03 第八章 立体几何初步（考点串讲，17大考点&17大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

人教A版（2019）高一数学下学期·期末大串讲 第八章 基本立体图形，直观图，表面积和体积（17考点&17题型） 人教A版2019 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 易错易混 04 押题预测 考点透视 清单01 基本立体图形  清单02 直观图  考点透视 清单03 多面体表面积（侧面积）  清单04 多面体体积  考点透视 清单05 旋转体表面积（侧面积）  考点透视 清单06 旋转体体积  考点透视 清单07 球的表面积与体积  考点透视 清单08 平行关系  考点透视 清单09垂直关系  考点透视 清单10 异面直线所成角  考点透视 清单11 直线与平面所成角  清单12 二面角  考点透视 清单12 二面角  考点透视 清单13 内切球等体积法  考点透视 清单14 内切球独立截面法  考点透视 清单15 外接球补形法  考点透视 清单16 单面定球心法  考点透视 清单17 双面定球心法  考点透视 题型剖析 【考点题型一】基本立体图形 【答案】C 题型剖析 题型剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题 题型剖析 【考点题型三】立体几何中的截面问题 【答案】C 题型剖析 【考点题型四】平面几何图形的直观图 题型剖析 【考点题型五】多面体表面积和体积 【答案】C 题型剖析 【考点题型六】旋转体表面积和体积 题型剖析 【考点题型七】直线与平面平行 题型剖析 【考点题型七】直线与平面平行 题型剖析 【考点题型八】平面与平面平行 题型剖析 【考点题型九】直线与平面垂直 题型剖析 【考点题型九】直线与平面垂直 题型剖析 【考点题型十】平面与平面垂直 题型剖析 【考点题型十】平面与平面垂直 题型剖析 【考点题型十一】线线垂直证明 题型剖析 【考点题型十一】线线垂直证明 题型剖析 【考点题型十二】空间几何体的体积（点到平面的距离） 题型剖析 【考点题型十三】异面直线所成角 【答案】B 题型剖析 【考点题型十四】直线与平面所成角 题型剖析 【考点题型十四】直线与平面所成角 题型剖析 【考点题型十四】直线与平面所成角 【考点题型十五】二面角 题型剖析 【考点题型十五】二面角 题型剖析 【考点题型十六】空间几何体内切球 题型剖析 【考点题型十七】空间几何体外接球 【答案】A 题型剖析 易错易混 【答案】A 押题预测 【答案】C 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 （2）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 计算多面体每个面的面积之和 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 圆柱的表面积： （1）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）圆锥的表面积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）圆台的表面积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）圆锥的体积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）圆台的体积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）球的表面积： （2）球的体积: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ②直线与平面平行，直线与交线平行 ③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行 ④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行 ⑤两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行 ①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ②一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线 ③一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面 ④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面 通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 （1）定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. （2）等体积法求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） 3、射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：， 可求出. 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C．棱台的各侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 【详解】对于A，如下图所示：显然该几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，即A错误； 对于B，易知正六边形的中心与相邻两顶点构成的三角形即为正三角形，如下图，显然正六棱锥的侧棱比底边长，因此其侧面不可能是正三角形，即B错误； 对于C，根据棱台定义即可判断C正确； 对于D，在直角梯形中，如下图所示： 以直角梯形的直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台， 若以直角梯形的腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，即D错误. 【例2】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）正方体棱长为，为线段的动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图，连接，， 则由题意可知当为等腰三角形，当垂直于时最短， 此时为中点，面， 如图延长至，使得，连接， 则面，且， 所以，，面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为： 【例3】（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 【例4】（24-25高一下·河南许昌·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形OABC的直观图，其中，，则原四边形OABC的面积与周长的数值之比为 ． 【详解】在矩形，令交轴于点，由，， 得为的中点，且， 在平面直角坐标系内作出原四边形，且四边形为平行四边形，， 点是中点，，，， 因此四边形的周长为50，面积为， 所以四边形OABC的面积与周长的数值之比为. 故答案为： 【例5】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点， 上、下底面三角形的高分别为，， 所以，， 所以，又， 所以正三棱台的高为， 上底面积为，下底面积为， 所以正三棱台的体积为. 故选：. 【例6】（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 【详解】（1），，所求几何体的体积为． （2）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆柱下底面、侧面和半球面， 因为，，，， 故所求几何体的表面积为； 【例7】（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. （1）证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； 【例7】（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. （2）解：在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为, 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 【例8】（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面. 【详解】连接交于，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面． 【例9】（24-25高二上·湖南娄底·开学考试）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【详解】（1）证明：连接，交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面； 【例9】（24-25高二上·湖南娄底·开学考试）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面. （2）证明：取的中点，连接， 又为的中点，有，， 已知，， 则有，，四边形为平行四边形， 有，即有， 平面，平面，所以平面. 【例10】（23-24高一下·广东江门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面． 【详解】（1）∵，且为的中点， ∴． ∵底面为矩形，∴， ∴； （2）∵底面为矩形，∴． ∵平面平面，平面平面， ∴AB⊥平面．而平面， ， 又，，平面， 平面，而平面， ∴平面平面． 【例10】（23-24高一下·广东江门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面． （3）如图，取中点，连接． 分别是和的中点，，且， ∵四边形为矩形，且E为AD的中点， ， ，且，∴四边形为平行四边形， 又平面，GD平面， ∴平面． 【例11】（24-25高二上·云南玉溪·期中）如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； 【详解】（1） 连接CM，，，是AB中点， 且， 四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 平面平面，又平面， 平面. 【例11】（24-25高二上·云南玉溪·期中）如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； （2），平面， 平面， 平面， ， 又，四边形是平行四边形， 平行四边形为正方形，． 又，平面，平面， 所以平面，平面，. 【例12】（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知在四棱锥中，底面为正方形，侧面为边长为2的等边三角形，则四棱锥体积的最大值为 ． 【答案】 【详解】依题意可知，当侧面底面时，四棱锥的体积最大． 取为，连接,则， 由于侧面底面，且交线为,，平面， 故底面, 因为和正方形的边长均为2，故 故 故答案为： 【例题13】.（2025高三·全国·专题练习）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，可作图， 则，，设， 在中，易知， 在中，，，， 在长方体中，易知， 则为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，则，同理可得， 由余弦定理，得． 故选：B 【例14】（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）若为的中点，连接，又F，G分别是的中点， 所以且，而底面是正方形，则且， 所以，，故为平行四边形，即， 由平面，平面，则平面； 【例14】（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． （2）由（1）及，则，而，故， 由底面，底面，则， 所以， 由底面是正方形，则， 所以，F是的中点，则， 由且都在面平面内，故平面； 【例14】（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． （3）由底面，底面，则，， 又，，， 所以，则， 令棱锥的高为，又， 则，所以， 又，故GA与平面所成角的正弦值为. 【例15】（2025·辽宁·一模）如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 【详解】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以，， 因为，，，、平面，所以，平面. (2)求平面与平面所成角的正切值. （2）过在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 由（1）知平面，因为平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，为平面与平面所成的角，设. 在中，，，，， 所以，，， 在中，，，，， 所以，，则， 在中，， 所以，平面与平面所成角的正切值为. 【例16】（24-25高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 【例题17】.（24-25高一下·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意：将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，该三棱锥的外接球的半径为，如图： 则有，所以，所以，即， 所以球的体积为， 故选：A. 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角. 设，则，，. 在中，由余弦定理可得， 则，所以.故选：A 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，，故选：C. 2．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ． 【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点，连接， 由为的中点，得，四边形为平行四边形， 则，又，则四边形是平行四边形， ，于是，四边形是平行四边形， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 又平面，P在正方体表面上移动，于是点的轨迹是与正方体的交线， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 3．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； 【详解】（1）方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. （2）平面与平面垂直. 证明如下： 因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图所示，五面体的底面是边长为4的正方形，均为正三角形，顶棱且平面． (1)求五面体的体积； (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）五面体中，因为平面， 平面，平面平面，所以. 过点作，作，垂足分别为，， 过点作，作，垂足分别为，， 连结，，如图， 取中点，连结，易得，则， 因为，易得，因，是平面内两相交直线， 所以平面，因为平面，所以， 又，是平面内两相交直线， 所以平面， 因为，且和是全等的等边三角形， 所以，， 在中，，，可得， 由分析知，四棱锥和的体积相等，且均为， 三棱柱的体积， 所以，该五面体的体积为. （2）由（1）及四边形为正方形知，， 所以，， 所以即为平面和平面所成的平面角， 在中，，， 由余弦定理得， 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为. $$