专题08 玩转条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式（5大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题08 玩转条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式 【题型归纳目录】 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质 题型三：全概率与贝叶斯公式 题型四：乘法公式 题型五：条件概率综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有， 6、在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：条件概率的计算 【典例1-1】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高二下·天津·期中）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·北京延庆·期中）盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（   ） A． B． C． D． 题型二：条件概率的性质 【典例2-1】（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）    A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件C不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 题型三：全概率与贝叶斯公式 【典例3-1】（24-25高二下·广东广州·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率． 【典例3-2】（24-25高二下·北京·期中）A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人． (1)求选出的2人来自不同家庭的概率； (2)在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率； (3)若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率． 【变式3-1】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【变式3-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 题型四：乘法公式 【典例4-1】（24-25高二下·上海金山·期末）已知第一层书架中有6本数学书，4本语文书；第二层书架中有8本数学书，12本语文书．随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为 ． 【典例4-2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为 ． 【变式4-1】（24-25高三上·天津河东·期中）袋中有个红球，个白球共个球，现有一个游戏：从袋中任取个球，两个球颜色恰好相同则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是 ；有个人参与这个游戏，则至少有人获奖的概率是 ． 【变式4-2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ． 题型五：条件概率综合应用 【典例5-1】（24-25高二下·福建三明·期中）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． (1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【典例5-2】（24-25高二下·山东青岛·期中）春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【变式5-1】（24-25高二下·河北石家庄·期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为． (1)求甲班第二场比赛获胜的概率； (2)用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列； (3)已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率． 【变式5-2】（24-25高二下·山东·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率． (2)求在一轮中乙摸出红球的概率． (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【强化训练】 1．（24-25高二下·福建泉州·期中）一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若，则 3．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知一个家庭有两个孩子，其中有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二，那么另外一个也是男孩的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏淮安·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖南·期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高二下·重庆渝中·期中）若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 9．（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二下·浙江·期中）食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·河南郑州·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 12．（24-25高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为 13．（24-25高二下·山东济宁·期中）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 . 14．（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 15．（24-25高二下·福建三明·期中）甲､乙两个袋中各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋随机取出一个球放入乙袋.第二次再从乙袋中取出一个球.记“第一次从甲袋中取出红球”，“第一次从甲袋中取出白球”，“第二次从乙袋中取出红球”，“第二次从乙袋中取出白球”. (1)求第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率； (2)求在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的概率. 16．（24-25高二下·福建泉州·期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 17．（24-25高二下·山东临沂·期中）现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. (1)求甲在比赛中获胜的概率； (2)求比赛需打两局的概率； (3)已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率. 18．（24-25高二下·辽宁·期中）假设你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 19．（24-25高二下·安徽合肥·期中）（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 20．（24-25高二下·浙江·期中）在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. (1)第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. (2)小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 21．（24-25高二下·福建龙岩·期中）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． (1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率； (2)求甲在每轮比赛中获胜的概率； (3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 22．（24-25高二下·河南·阶段练习）某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 玩转条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式 【题型归纳目录】 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质 题型三：全概率与贝叶斯公式 题型四：乘法公式 题型五：条件概率综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有， 6、在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：条件概率的计算 【典例1-1】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判， 注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为， 第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法； 再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法； 最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为， 因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下， 第四裁判员是男生的概率为， 故选：A. 【典例1-2】（24-25高二下·天津·期中）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，； 所以. 故选：C 【变式1-1】（24-25高二下·北京延庆·期中）盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到白球为事件B， 则， 所以在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到白球的概率为. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】事件A包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个， 其中，事件B包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个， 概率. 故选：A. 题型二：条件概率的性质 【典例2-1】（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，. 故选：D 【典例2-2】（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 【变式2-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，， 故选：A． 【变式2-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）    A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件C不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 【答案】A 【解析】依题意，图示中涂色部分的面积为 . 故选：A. 题型三：全概率与贝叶斯公式 【典例3-1】（24-25高二下·广东广州·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率． 【解析】（1）①根据题意，若第一次取出红球，此时袋中剩余个红球，5个白球. 则在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.。 ②根据题意，用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球即为第一次取到白球，第二次取到红球， 其概率为. （2）根据题意，记事件为“车床加工的零件为次品”，事件为“该零件由第台车床加工”，则. 已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为,则. 故. 则这个零件是次品的概率为. 【典例3-2】（24-25高二下·北京·期中）A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人． (1)求选出的2人来自不同家庭的概率； (2)在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率； (3)若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率． 【解析】（1）设“选出的2人来自不同家庭”为事件C，则； （2）设“选出的第1个人来自A家的条件下，第2个人也来自A家”为事件D，则； （3）由（1）知，选出的2人来自不同家庭的概率为0.6，所以选出的2人来自同一家庭的概率为0.4， 所以由全概率公式得最终游戏成功的概率为． 【变式3-1】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【解析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． （2）． 【变式3-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 【解析】（1）用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则， ． ． （2）甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81， 甲车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76， 乙车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 因为，所以应扩建甲车间． 题型四：乘法公式 【典例4-1】（24-25高二下·上海金山·期末）已知第一层书架中有6本数学书，4本语文书；第二层书架中有8本数学书，12本语文书．随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为 ． 【答案】/0.5 【解析】若选到第一层，则选到数学书的概率为， 若选到第二层，则选到数学书的概率为， 故随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为. 故答案为： 【典例4-2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为 ． 【答案】0.81/ 【解析】设事件“小明与第一代传播者接触”， 事件“小明与第二代传播者接触”， 事件“小明与第三代传播者接触”， 事件“小明被感染”， 则，，， ，，， 所以， 所以所求概率为0.81． 故答案为：0.81. 【变式4-1】（24-25高三上·天津河东·期中）袋中有个红球，个白球共个球，现有一个游戏：从袋中任取个球，两个球颜色恰好相同则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是 ；有个人参与这个游戏，则至少有人获奖的概率是 ． 【答案】 【解析】从袋中任取个球共有种取法；两个球颜色相同共有种取法； 获奖的概率； 若恰有人获奖，则对应概率；若恰有人获奖，则对应概率， 至少有人获奖的概率为. 故答案为：；. 【变式4-2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ． 【答案】 【解析】设从出发最终从1号口出的概率为，所以， 解得. 故答案为：. 题型五：条件概率综合应用 【典例5-1】（24-25高二下·福建三明·期中）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． (1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 （2）①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 【典例5-2】（24-25高二下·山东青岛·期中）春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【解析】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 【变式5-1】（24-25高二下·河北石家庄·期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为． (1)求甲班第二场比赛获胜的概率； (2)用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列； (3)已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率． 【解析】（1）设为“第场甲队获胜“，为“球员第场上场比赛“，，2，3， 根据全概率公式可得； （2）由题意可得，3， 又，由（1）知， ，， ， ， 所以X的分布列为： X P （3），此时， 所求概率为：． 【变式5-2】（24-25高二下·山东·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率． (2)求在一轮中乙摸出红球的概率． (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【解析】（1）设C=“乙摸出的是红球”，D=“甲从A袋中摸球”，E=“乙从B袋中摸球”. 由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率为 ， 所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为 . （2）设A袋中白球的个数为， 由已知可得，可得， 因为且，因此， 所以A袋中白球的个数为6，红球的个数为3. 所以，从A袋中摸出红球的概率是. 在一轮中，乙摸出红球的概率为 . （3）3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为 ， 设，则， 令，解得. 则当时，，单调递增，当时，，单调递减. 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点. 【强化训练】 1．（24-25高二下·福建泉州·期中）一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 2．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，，故与相互独立， 命题正确，即A不符合条件； 对于B，若与相互独立，则与也相互独立， 则，命题正确，即B不符合条件； 对于C，若与互斥，则， ，命题错误，故C符合题意； 对于D，因为， 由全概率公式可得， 即，所以， 所以，命题正确，即D不符合条件. 故选：C. 3．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知一个家庭有两个孩子，其中有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二，那么另外一个也是男孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设“有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二”，“另外一个也是男孩”， ． 故选：A. 5．（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 6．（24-25高二下·江苏淮安·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意高一、高二、高三年级参加活动的学生中女生人数均是人， 记选到的是女生为事件，该生不是高二同学为事件， 则. 故选：D 7．（24-25高二下·湖南·期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 8．（多选题）（24-25高二下·重庆渝中·期中）若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】BCD 【解析】对于A，由与相互独立，得， 则，A错误； 对于B，由与互斥，得，则， ，因此，B正确； 对于C，，由与互斥，得发生则一定不发生， 则，，因此，C正确； 对于D，，即，由， 得，则，与互斥，D正确. 故选：BCD 9．（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据，可得； 又，可得， 则事件与事件B相互独立，，故AB正确，D错误； 由，则，故C正确. 故选：ABC. 10．（多选题）（24-25高二下·浙江·期中）食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A, ,故A错误， 对于B, ,故B正确， 对于C, ，故C错误， 对于D,由于,故，D正确， 故选：BD 11．（24-25高二下·河南郑州·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 【答案】 【解析】由题意第次按下按钮后出现红球的概率为，则出现绿球的概率为； 因此可得，化简可得， 即，又， 因此可得是以为首项，为公比的等比数列， 可得，可得； 所以. 故答案为： 12．（24-25高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为 【答案】 / 【解析】设甲盒子中球总数为，则乙盒子中球总数为，丙盒子中球总数为 则从三个盒子中各随机取一个球， 该球为甲盒子中的概率为， 该球为乙盒子中的概率为， 该球为丙盒子中的概率为. 甲盒子取到黑球的概率， 乙盒子取到黑球的概率， 丙盒子取到黑球的概率， 显然相互独立， 所以从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为. 由全概率公式可知，将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为. 故答案为：；. 13．（24-25高二下·山东济宁·期中）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 . 【答案】/ 【解析】设“整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建”这 5 个项目对应的编号分别为 ，则从五个项目中选三个的情况有： ，共 10 种情况， 其中甲选的项目中含 的有 ：6种情况 ， 其中再选择项目 的有 ：3种情况 ， 故甲参加的 3 个项目中有“整地做畦“，则他还参加“田间灌溉“项目的概率为 ． 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【答案】 【解析】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 所以 . 故答案为：. 15．（24-25高二下·福建三明·期中）甲､乙两个袋中各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋随机取出一个球放入乙袋.第二次再从乙袋中取出一个球.记“第一次从甲袋中取出红球”，“第一次从甲袋中取出白球”，“第二次从乙袋中取出红球”，“第二次从乙袋中取出白球”. (1)求第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率； (2)求在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的概率. 【解析】（1）依题意知，且， 则， 所以第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率为. （2）依题意得， 所以在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的. 16．（24-25高二下·福建泉州·期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 【解析】（1）从从甲箱中任取2个小球的试验有个基本事件， 其中2个小球同色的事件有个基本事件， 所以这2个小球同色的概率. （2）①设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以， 所以取出的这个小球是白球的概率为． ②由①得， 所以从乙箱中取出的球是白球的情况下，从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率为. 17．（24-25高二下·山东临沂·期中）现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. (1)求甲在比赛中获胜的概率； (2)求比赛需打两局的概率； (3)已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率. 【解析】（1）若甲在比赛中获胜，则甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局， 故甲在比赛中获胜的概率为. （2）比赛需打两局，则这两局甲全赢或乙全赢，故比赛需打两局的概率为. （3）记事件甲在第一局中获胜，事件甲赢得比赛， 则，故. 18．（24-25高二下·辽宁·期中）假设你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【解析】（1）设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则 又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故, 根据全概率公式可得, 则根据贝叶斯公式：, （2）设事件C为“第二次能约出来”,设事件D为“crush连着两次都能约出来”， 因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故, 根据全概率事件, 而事件,则,, 根据全概率公式：, 根据贝叶斯公式：. 19．（24-25高二下·安徽合肥·期中）（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 【解析】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得， 解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）（ⅰ）因为，， 所以，得证. （ⅱ）记事件“第次摸到白球”为. 由题意可知，，. 由结论， 可得. 故三次都摸到白球的概率为. 20．（24-25高二下·浙江·期中）在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. (1)第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. (2)小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 【解析】（1）（i）已知，则. 在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率. 根据全概率公式，将上述概率值代入可得： . （ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率 根据贝叶斯公式. 由前面计算可知，，，代入可得： . （2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）. 已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为. 则； ； . 因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况： 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、、题，其概率为. 因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为： . 21．（24-25高二下·福建龙岩·期中）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． (1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率； (2)求甲在每轮比赛中获胜的概率； (3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 【解析】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件， 甲在一轮比赛中得（）分为事件， 则， ， ∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为. （2）由题意及（1）得 设甲在一轮比赛中获胜为事件， ∵， ， ， ， ∴ ， ∴甲在每轮比赛中获胜的概率为. （3）由题意，（1）及（2）得， ，， ，， 设甲前三轮累计得分恰为6分为事件， ∴ ∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为. 22．（24-25高二下·河南·阶段练习）某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 【解析】（1）记小方第一次选择南方景点库为事件，选择北方景点库为事件， 第一次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 所以． （2）在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下， 小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率 ． （3）记小方第二次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 由（2）得，则在小方第一次抽取的景点是曾经去过的景点的条件下， 第一次抽取的景点是北方景点库的景点的概率， 在事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案一下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率； ②若选择方案二，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案二下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率． 而，所以方案一使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$