专题07 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 （4大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题7 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 【题型归纳目录】 题型一：两点分布 题型二：超几何分布 题型三：二项分布 题型四：正态分布 【知识点梳理】 【例1】两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【变式1-1】超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 【变式1-2】二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 【变式1-3】正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 【典型例题】 题型一：两点分布 【例2】（2025·广东佛山·一模）某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）. （Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限； （Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 【解析】（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为 保险公司期望收益为 根据规则 解得元， 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元， 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元. （Ⅱ）购买类产品的份数为份， 购买类产品的份数为份， 购买类产品的份数为份， 企业支付的总保费为 元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为元. 【变式2-1】（2025·黑龙江·模拟预测）为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立. (1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少； (2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？ 【解析】（1）设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件， 则， ，； （2）设每篇文章的评审费用为元，则的可能取值为，， 则，； . 令，，则. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 的最大值为，每篇论文平均评审费用的最大值是元. 【变式2-2】（2025·高二·福建三明·期中）医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验次； 方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验． 若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． (1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． (2)现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为． （i）若，试求关于的函数关系式； （ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，． 【解析】（1）设恰好经过次检验能把阳性样本全部检验出来为事件，则， 所以，恰好经过次检验就能把阳性样本全部检验出来概率为． （2）（i）由已知得，的所有可能取值为、， ，， ， 由，得，化简得； （ii）由题意知，则， ，即， ， 构造函数，则， 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减， ，，，， 所以的最大值为. 题型二：超几何分布 【例3】（2025·高二·辽宁大连·期中）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【解析】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 【变式3-1】（2025·高二·广东湛江·阶段练习）在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间，市足球协会发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如下表所示： 有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁） 100 150 300 (1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“有关系”态度的人群中抽取了45人，求的值； (2)在持“不知道”态度的人群中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体．从这10人中随机选取3人，若设其中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）由题意，得， ∴. （2）设所选取的人中有人在岁以下，则，解得. 依题意，的所有可能取值为，，，. ，，，. 的分布列为 ∴ . 【变式3-2】（2025·高三·辽宁大连·期末）某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，表示捕获的有标识的成年鸡的数目. (1)若，求的数学期望； (2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）. 【解析】（1）以服从超几何分布，且， 故. （2）当时，； 当时， 令，则 ， 当时，；当时， ， 所以当或20000时，最大，所以的值为19999或20000. 题型三：二项分布 【例4】（2025·高二·北京延庆·期中）某新能源汽车生产企业对一款新上市的汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)若该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选2人，对评分在分的车主送价值500元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1000元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1500元的售后服务项目.若为这2人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； (3)若公司打算用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取个人，对这个人中评分不低于分的车主，每人赠送价值1000元的售后服务项目.下面有三种方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 直接写出使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案（结论不要求证明）. 【解析】（1）依题意，， 所以 （2）由题意可知，的可能取值为 任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为. 任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为. 任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为. ； ； ； . 所以的分布列为 1000 1500 2000 2500 3000 所以元. （3）设评分为，则 而中奖人数服从二项分布 方案一：，，中奖人数期望， 方案二：，，中奖人数期望， 方案三：，，中奖人数期望， 所以使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案三. 【变式4-1】（2025·高二·辽宁·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 【解析】（1）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 则甲最终获胜概率是：． （2）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 甲最终获胜概率是：， 5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、， 则甲最终获胜概率是：， 由题知，即， 则， 又，则p的取值范围是． （3）由题，，故，． 是数列的唯一的最大项，则必有， 即，解得：， 此时，，则 则时，；时，； 即，故是数列的唯一的最大项． 综上，p的取值范围是． 【变式4-2】（2025·高二·湖南长沙·期中）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 【解析】（1）由题知，，解得. （2）设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为76.5. （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品， 所抽取的产品为优秀品的概率，由题知， 随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， ∴X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量X的数学期望. 题型四：正态分布 【例5】（2025·高二·河北沧州·期中）某林业科学院培育了金桔新品种，从该新品种金桔中抽取1000颗，测量它们的重量，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图． (1)求这1000颗金桔重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，该新品种金桔的质量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①利用该正态分布，求； ②甲购买了100颗该新品种金桔，记X表示这100颗金桔中重量位于区间内的颗数，利用①的结果，求． 附：.若，则，，． 【解析】（1）克； ． （2）①由（1）知， ； ②由①知，一颗金桔的重量位于区间内的概率为0.9545， 依题意知，所以． 【变式5-1】（2025·高二·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. （2）由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. （3）由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 【变式5-2】（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【解析】（1）由题意， 得. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 【强化训练】 1．（2025·高三·云南·阶段练习）为了提高检测某种病毒的效率，某医院将采取混合血样检测的方法.血液化验结果呈阳性则说明有人感染，否则，无人感染.现有5人待测血样（其中1人感染），将每人的待测血样平均分为甲、乙两组. 甲组：先将2人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再从这2人中任选1人检验；若结果呈阴性.则另外3人再逐个检验，直至确定出该感染者. 乙组：先将3人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再逐个化验，直至确定出该感染者；若结果呈阴性，则再从另外2人中任选1人检验，直至确定出该感染者.（以上检测次数均指最少次数） (1)求甲组化验次数多于乙组化验次数的概率； (2)X表示甲组所需化验的次数，求X的期望. 【解析】（1）设事件，分别表示依方案甲需要化验2次，3次， 事件，分别表示依方案乙需化验2次，3次， 事件A表示甲组化验次数多于乙组化验次数. 依题意，显然与独立，则， ，， . 故甲组化验次数多于乙组化验次数的概率为； （2）X的可能取值为2，3， ，. 的分布列为 2 3 . 2．（2025·高三·云南·阶段练习）某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（） (1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； (2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？ 【解析】（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为． 所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为， 所以，一组混合血样呈阳性的概率为． （2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则． 由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05， 则X的分布列为 1 6 所以，， 总的化验次数为； 设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则． 10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1， 则Y的分布列为 1 11 所以，总的化验次数为， 所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少． 3．（2025·高二·天津·期中）大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. (1)若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差. (2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率. 【解析】（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，则有： ， 所以的分布列为 1 2 3 的期望为， 的方差为. （2）有放回的抽取1次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为， 记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B， 则，， 可得， 所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为. 4．（2025·高二·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【解析】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 5．（2025·高二·浙江·期中）D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 【解析】（1）由题可知随机变量服从二项分布：， ，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 均值为，； （2）由题可知“”的情况可分为四类： ①时，， ②时，， ③时，， ④时，， 所以. 6．（2025·高二·浙江·期中）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是. (1)若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望； (2)若张三到该店购买8个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量； (3)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办? 【解析】（1）可取0，1，2，3，由题可知.则，， 分布列： 0 1 2 3 P 期望：； （2）设其开出的哪吒手办的数量为，则. 所以. 由，得，其中且. 即，解得. 所以开出的哪吒手办的最有可能的数量为5个 （3）方法一：设通过活动购买第X个盲盒时，恰好连续开出2个哪吒手办，设其期望为E， 则. 解得. 平均需花费元. 方法二：设总共购买手办的个数的期望为E；表示没有开出哪吒手办，需要连开两个哪吒手办才能获赠；表示刚好开出一个哪吒手办，则需再开一个哪吒手办就能获赠. 由 解得 平均需花费元. 7．（2025·高二·江苏宿迁·期中）2025年3月23日，2025南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，中国选手杨俊婷以1小时19分01秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以2小时25分53秒获得马拉松男子组亚军.为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜爱跑步，男性市民中有90%的人喜爱跑步. (1)在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率； (2)用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取3人，设抽取的3人中喜爱跑步的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【解析】（1）设事件表示抽被调查的市民中任选一人为女性，事件表示抽中的此人此人喜爱跑步. 可知， 所以被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率为. （2）因， 可取 则，， ，， 故其分布列如下表所示： 0 1 2 3 故期望. 8．（2025·高二·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【解析】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 9．（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【解析】（1）. 因为， 所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7. （2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：， 由题意，，所以. 10．（2025·湖南永州·三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 (1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； (2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 【解析】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”， 则， 故所选的2位学生分数不同的概率为； （2）设“学生分数不小于3”，则， （ⅰ）若，的可能取值为，由题意可得, 又，， ，， 所以的分布列为： 由于，则； （ⅱ）若，则， 所以， 由于最大， 所以， 即， 因为，，所以时，最大. 11．（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【解析】（1）由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人， 所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人， 则成绩优秀的学生人数可取，所以 ；；. 所以分布列为 0 1 2 则期望. （2）记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以. （3）记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为， 由题意可知，， 所以，令， 则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 12．（2025·高二·河南焦作·期末）为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 【解析】（1）由频率分布直方图得，解得． 所以区间对应的频率为， 所以所求概率为． （2）由题可知，该地区高一学生中日平均阅读时长在三组内的学生人数比为， 则需从日平均阅读时长在内的学生中分别抽取人，人，人． 现从这6人中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． （3）由（1）可知从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率为， 则， 由组合数的性质可得，当时，递增，且， 故当或时，最大． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 【题型归纳目录】 题型一：两点分布 题型二：超几何分布 题型三：二项分布 题型四：正态分布 【知识点梳理】 【例1】两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【变式1-1】超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 【变式1-2】二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 【变式1-3】正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 【典型例题】 题型一：两点分布 【例2】（2025·广东佛山·一模）某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）. （Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限； （Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 【变式2-1】（2025·黑龙江·模拟预测）为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立. (1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少； (2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？ 【变式2-2】（2025·高二·福建三明·期中）医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验次； 方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验． 若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． (1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． (2)现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为． （i）若，试求关于的函数关系式； （ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，． 题型二：超几何分布 【例3】（2025·高二·辽宁大连·期中）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【变式3-1】（2025·高二·广东湛江·阶段练习）在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间，市足球协会发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如下表所示： 有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁） 100 150 300 (1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“有关系”态度的人群中抽取了45人，求的值； (2)在持“不知道”态度的人群中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体．从这10人中随机选取3人，若设其中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望． 【变式3-2】（2025·高三·辽宁大连·期末）某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，表示捕获的有标识的成年鸡的数目. (1)若，求的数学期望； (2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）. 题型三：二项分布 【例4】（2025·高二·北京延庆·期中）某新能源汽车生产企业对一款新上市的汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)若该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选2人，对评分在分的车主送价值500元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1000元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1500元的售后服务项目.若为这2人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； (3)若公司打算用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取个人，对这个人中评分不低于分的车主，每人赠送价值1000元的售后服务项目.下面有三种方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 直接写出使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案（结论不要求证明）. 【变式4-1】（2025·高二·辽宁·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 【变式4-2】（2025·高二·湖南长沙·期中）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 题型四：正态分布 【例5】（2025·高二·河北沧州·期中）某林业科学院培育了金桔新品种，从该新品种金桔中抽取1000颗，测量它们的重量，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图． (1)求这1000颗金桔重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，该新品种金桔的质量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①利用该正态分布，求； ②甲购买了100颗该新品种金桔，记X表示这100颗金桔中重量位于区间内的颗数，利用①的结果，求． 附：.若，则，，． 【变式5-1】（2025·高二·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【变式5-2】（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【强化训练】 1．（2025·高三·云南·阶段练习）为了提高检测某种病毒的效率，某医院将采取混合血样检测的方法.血液化验结果呈阳性则说明有人感染，否则，无人感染.现有5人待测血样（其中1人感染），将每人的待测血样平均分为甲、乙两组. 甲组：先将2人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再从这2人中任选1人检验；若结果呈阴性.则另外3人再逐个检验，直至确定出该感染者. 乙组：先将3人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再逐个化验，直至确定出该感染者；若结果呈阴性，则再从另外2人中任选1人检验，直至确定出该感染者.（以上检测次数均指最少次数） (1)求甲组化验次数多于乙组化验次数的概率； (2)X表示甲组所需化验的次数，求X的期望. 2．（2025·高三·云南·阶段练习）某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（） (1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； (2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？ 3．（2025·高二·天津·期中）大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. (1)若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差. (2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率. 4．（2025·高二·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 5．（2025·高二·浙江·期中）D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 6．（2025·高二·浙江·期中）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是. (1)若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望； (2)若张三到该店购买8个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量； (3)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办? 7．（2025·高二·江苏宿迁·期中）2025年3月23日，2025南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，中国选手杨俊婷以1小时19分01秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以2小时25分53秒获得马拉松男子组亚军.为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜爱跑步，男性市民中有90%的人喜爱跑步. (1)在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率； (2)用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取3人，设抽取的3人中喜爱跑步的人数为X，求X的分布列及数学期望. 8．（2025·高二·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 9．（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 10．（2025·湖南永州·三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 (1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； (2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 11．（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 12．（2025·高二·河南焦作·期末）为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$