专题06 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式（5大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题06 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式 【题型归纳目录】 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质 题型三：乘法公式 题型四：全概率与贝叶斯公式 题型五：综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有， 6、在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：条件概率的计算 【典例1-1】（24-25高二下·天津南开·期中）一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件表示第一次抽取的是黑球，，， 事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以， 所以 . 故选：C. 【典例1-2】（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用事件表示“第1，2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”， 则，， 则， 故在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”， 则， 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃·期中）已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人， 记事件 “抽到的学生喜欢科幻小说”， “抽到的学生喜欢推理小说”， 则，， 故． 故选：D． 题型二：条件概率的性质 【典例2-1】（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A 【典例2-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 【变式2-1】（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 【变式2-2】（2024·湖北武汉·二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，故， 而，则，又， 所以. 故选：D 题型三：乘法公式 【典例3-1】（23-24高二下·广东云浮·期中）长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 . 【答案】 【解析】设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”， 则，，， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：． 【典例3-2】（23-24高二下·四川成都·期末）袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为 . 【答案】 【解析】设事件为第一次摸到白球，事件为第二次摸到黑球， 则， 故. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二下·浙江绍兴·期末）甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为 . 【答案】 【解析】记从乙盒中取出的是红球为事件，从甲盒中取出的球为红球为事件，取出白球为事件， 由已知可得，，，，， 根据全概率公式可得，. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高二上·山东淄博·期中）盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 . 【答案】 【解析】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球” 记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球， 则，， ∴没有取到黄球的概率为. 故答案为：. 题型四：全概率与贝叶斯公式 【典例4-1】（24-25高二下·福建漳州·期中）流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为. (1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率； (2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率. 【解析】（1）从该地区小学生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为， 从该地区初中生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为， 所以这2人中至多有一人感染甲型流感的概率为. （2）设“抽到小学生”，“抽到初中生”，“抽到高中生”，“该生感染甲型流感”， 则， ， 所以 . 所以该生感染甲型流感的概率为. 【典例4-2】（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球． (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率． 【解析】（1）由题意，随机变量，则，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 （2）记第一次从甲袋随机摸出1个球，摸出的是对应事件分别为， 第二次摸到的是3号球为事件，则，， 所以. 【变式4-1】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） (2)从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） (3)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 【解析】（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”， 事件为“两球颜色不同”，则， 则. （2）由（1）知：， 若从甲袋中取出的是红球，放入乙袋中，取得红球的概率为， 所以从甲袋中取出红球的条件下，则从乙袋中取出红球的概率为. （3）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则， 则. 【变式4-2】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 【解析】（1）令事件“这2个产品只有1个是次品”， ； （2）令事件“从乙箱取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，则两两互斥，且， 则，， 则 题型五：综合应用 【典例5-1】（24-25高二下·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【解析】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. （3）由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 【典例5-2】（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【解析】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故 ，； （2）； （3）由（2）有，即，（，） 所以，即， 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. 【变式5-1】（24-25高二下·北京·期中）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. (1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果正确，求该照片人脸的真实性别是男性的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%）. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性、女性照片的数量之比为1：1）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明） 【解析】（1）根据题中数据，共有张照片被正确识别，其中男性的照片有90张，所以该照片确为男性的概率为； （2）设事件输入男性照片且识别正确. 根据题中数据，可估计为. 由题意知的所有可能取值为. . 所以的分布列为 1 2 3 所以. （3）由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个， 程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为， 程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为， 由频率估计概率得 ， ， ， 所以 【变式5-2】（24-25高二下·四川资阳·期中）勇达楼两侧上楼的梯步半层14个台阶，同学们每天通往知识的殿堂就是从踏上这个楼梯开始．有的同学“脚踏实地”一步1个台阶，有的同学“争分夺秒”一步2个台阶，还有的同学“天赋异禀”一步3个或4个台阶． (1)同学甲上楼时一步走1个或者2个台阶，则甲走完这半层14个台阶有多少种不同的走法； (2)通往人生的高峰有无数的台阶，需要我们慢慢攀登．同学乙每一步都是走1个或者2个台阶，他第一步走1个台阶的概率，然后从第二步开始，若上一步走的1个台阶，则下一步走1个台阶的概率为，若上一步走的2个台阶，则下一步走1个台阶的概率为． （Ⅰ）记第步走1个台阶的概率为，求关于的表达式； （Ⅱ）记第个台阶被踩中的概率为，其中第个台阶被走1个台阶而踩中的概率为，被走2个台阶而踩中的概率为，求证，并计算． 【解析】（1）走完这半层14个台阶可分为以下情况： 14步走完时0个2和14个1，有种走法； 13步走完时1个2和12个1，有种走法； 12步走完时2个2和10个1，有种走法； 11步走完时3个2和8个1，有种走法； 10步走完时4个2和6个1，有种走法； 9步走完时5个2和4个1，有种走法； 8步走完时6个2和2个1，有种走法； 7步走完时7个2和0个1，有种走法； 所以甲走完这半层14个台阶有种不同的走法． （2）（Ⅰ）由已知可得， 根据全概率公式可知， 整理可得， 可化为. 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以． （Ⅱ）由已知可得， 由可得，，且. 又， 所以有. 同理可求得. 所以有. 又， 所以有，得证． 又由已知可得，，则， ，，， ，，. 代入，，，得，． 【强化训练】 1．（24-25高二下·辽宁·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 又，则. 故选：C 2．（24-25高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据全概率公式可得: . 故选：C． 3．（24-25高二下·广东·期中）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（   ） A．0.955 B．0.954 C．0.94 D．0.945 【答案】B 【解析】用事件表示“任取一件，取得正品”，事件表示“取到甲车床加工的零件”， 事件表示“取到乙车床加工的零件”， 则， 所以取到正品的概率为 ． 故选：B 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 【答案】D 【解析】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”， 根据题意，可得，且， 由贝叶斯公式， 可得 . 故选：D. 5．（24-25高二下·北京·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项，根据对立事件概率公式，已知，则，所以选项正确. 对于选项 ，根据条件概率公式：.已知，，则，所以选项正确. 对于选项，因为，且，所以. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，根据概率的加法公式：. 已知，，，则，所以选项错误. 故选：D. 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【解析】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：. 7．（24-25高二下·辽宁·期中）已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（   ） A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25% 【答案】B 【解析】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”， 事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”， 则，，，，，， 由全概率公式， 即，解得. 故选：B. 8．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62 【答案】C 【解析】设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， ∴由全概率公式可得： ， ∴任选一名运动员能够晋级的概率为0.51. 故选：C. 9．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期中）设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A，B互相独立 C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，又，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以事件相互独立，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为事件相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（24-25高二下·云南玉溪·期中）一个铁罐中装有4块白巧，6块黑巧，除口味外包装完全一样，每次随机拿出一块后不放回.则下列说法正确的是（   ） A．两次都拿到白巧的概率为 B．第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为 C．第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为 D．第三次拿到黑巧的概率为 【答案】ABD 【解析】对于A，两次都拿到白巧的概率为，A正确； 对于B，第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为，B正确； 对于C，第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为，C错误； 对于D，袋子里共有十块巧克力，其中黑巧有6块，则每次拿到黑巧的概率都是，D正确. 故选：ABD 11．（多选题）（24-25高二下·河北·期中）已知随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若互斥，则 C．若相互独立，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】若互斥，则，A正确； 若互斥，则，即，B错误； 当相互独立时，，，C正确； 若，则，所以，因为无法判断是否独立， 所以无法得到，D错误. 故选：AC. 12．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则 ． 【答案】3 【解析】的可能取值为， 所以， ， ， ， 则， 所以． 故答案为：3 13．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知随机事件满足，，则 ． 【答案】 【解析】由可得，即事件相互独立， 因，则. 故 . 故答案为：. 14．（24-25高二下·天津滨海新·期中）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为 ；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 ； 【答案】 0.54 【解析】根据题意，设事件：小王同学第一天去甲游乐场， 事件：小王同学第二天去甲游乐场， 事件：小王同学第一天去乙游乐场， 事件：小王同学第二天去乙游乐场， ， 所以；， 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为． 故答案为：0.54；. 15．（24-25高二下·山东泰安·期中）甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为. (1)求； (2)求在的情况下，乙获胜的概率； (3)求甲在3轮比赛之内获胜的概率. 【解析】（1）由题意可知： ∴ （2）当时，甲，乙两人共投篮3次 由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进 设“时，比赛结束”，“乙获胜” ； （3）若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6 设“甲获胜”，“时比赛结束” 当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：甲进，乙不进，甲进， ∴ 当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：乙不进，甲进，乙不进，甲进， 则 当时，若甲胜，两人的投篮情况可能为： 甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； ∴ 当时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为： 乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； 乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； ∴ ∴甲在3轮比赛之内获胜的概率为 16．（24-25高二下·福建漳州·期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响. (1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 . （i）求测试结果为语音识别成功的概率； （ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； (2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案? 【解析】（1）记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”. 根据题意得 （i）由全概率公式得 （ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率， 即 （2）方案一的测试次数的数学期望为4. 用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5. 则 所以方案二测试次数的数学期望为. 又因为， 所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一. 17．（24-25高二下·浙江温州·期中）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件． 则， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 设为第次独立试验结束的概率，则 所以设题设概率为，则. 18．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【解析】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 19．（24-25高二下·云南玉溪·期中）甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. (1)若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； (2)若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率； (3)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 【解析】（1）甲同学的投篮命中率为，  乙同学的投篮命中率为， 从甲、乙中随机选择人投篮次，投中的概率为. （2）由题意：至少投中3次的概率为 ； （3）由题意得：甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况， 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次， 即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为， 第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次， 即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中. 其概率为， 甲投了第三次后停止比赛的概率为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式 【题型归纳目录】 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质 题型三：乘法公式 题型四：全概率与贝叶斯公式 题型五：综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有， 6、在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：条件概率的计算 【典例1-1】（24-25高二下·天津南开·期中）一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃·期中）已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二：条件概率的性质 【典例2-1】（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·湖北武汉·二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三：乘法公式 【典例3-1】（23-24高二下·广东云浮·期中）长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 . 【典例3-2】（23-24高二下·四川成都·期末）袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为 . 【变式3-1】（24-25高二下·浙江绍兴·期末）甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为 . 【变式3-2】（24-25高二上·山东淄博·期中）盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 . 题型四：全概率与贝叶斯公式 【典例4-1】（24-25高二下·福建漳州·期中）流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为. (1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率； (2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率. 【典例4-2】（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球． (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率． 【变式4-1】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） (2)从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） (3)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 【变式4-2】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 题型五：综合应用 【典例5-1】（24-25高二下·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【典例5-2】（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【变式5-1】（24-25高二下·北京·期中）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. (1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果正确，求该照片人脸的真实性别是男性的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%）. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性、女性照片的数量之比为1：1）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明） 【变式5-2】（24-25高二下·四川资阳·期中）勇达楼两侧上楼的梯步半层14个台阶，同学们每天通往知识的殿堂就是从踏上这个楼梯开始．有的同学“脚踏实地”一步1个台阶，有的同学“争分夺秒”一步2个台阶，还有的同学“天赋异禀”一步3个或4个台阶． (1)同学甲上楼时一步走1个或者2个台阶，则甲走完这半层14个台阶有多少种不同的走法； (2)通往人生的高峰有无数的台阶，需要我们慢慢攀登．同学乙每一步都是走1个或者2个台阶，他第一步走1个台阶的概率，然后从第二步开始，若上一步走的1个台阶，则下一步走1个台阶的概率为，若上一步走的2个台阶，则下一步走1个台阶的概率为． （Ⅰ）记第步走1个台阶的概率为，求关于的表达式； （Ⅱ）记第个台阶被踩中的概率为，其中第个台阶被走1个台阶而踩中的概率为，被走2个台阶而踩中的概率为，求证，并计算． 【强化训练】 1．（24-25高二下·辽宁·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·期中）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（   ） A．0.955 B．0.954 C．0.94 D．0.945 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 5．（24-25高二下·北京·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 7．（24-25高二下·辽宁·期中）已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（   ） A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25% 8．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62 9．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期中）设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A，B互相独立 C． D． 10．（多选题）（24-25高二下·云南玉溪·期中）一个铁罐中装有4块白巧，6块黑巧，除口味外包装完全一样，每次随机拿出一块后不放回.则下列说法正确的是（   ） A．两次都拿到白巧的概率为 B．第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为 C．第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为 D．第三次拿到黑巧的概率为 11．（多选题）（24-25高二下·河北·期中）已知随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若互斥，则 C．若相互独立，则 D．若，则 12．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则 ． 13．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知随机事件满足，，则 ． 14．（24-25高二下·天津滨海新·期中）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为 ；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 ； 15．（24-25高二下·山东泰安·期中）甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为. (1)求； (2)求在的情况下，乙获胜的概率； (3)求甲在3轮比赛之内获胜的概率. 16．（24-25高二下·福建漳州·期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响. (1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 . （i）求测试结果为语音识别成功的概率； （ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； (2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案? 17．（24-25高二下·浙江温州·期中）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 18．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 19．（24-25高二下·云南玉溪·期中）甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. (1)若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； (2)若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率； (3)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$