专题07 立体几何小题考前冲刺训练-2025年上海高考数学考前重点专题分题型冲刺训练

· 07 立体几何小题专题 立体几何在上海高考数学的选择题和填空题中的考查主要围绕空间几何体的性质、空间想象能力以及计算能力展开，通常涉及以下几个方面：一是几何体的表面积与体积公式的考查，有时会考查组合几何体的表面积或体积，需要学生进行拆分或补形；二是空间点、线、面位置关系的考查及空间中角与距离的求解；三是空间向量在立体几何中的应用，需要通过建立空间直角坐标系，利用向量法解决几何问题（如证明垂直、计算夹角或距离）；四是动态几何问题的问题的考查，如几何体的旋转、展开（将几何体展开成平面图形，或平面图形折叠成立体图形）及最值问题：如几何体中某线段长度的最值、体积或表面积的最值等。 备考建议： 1.熟记公式：如柱、锥、球的表面积和体积公式，空间向量的夹角公式、距离公式等。 2. 强化空间想象能力：通过画图、模型辅助理解几何体的结构。 3．综合题练习：注重结合空间向量、动态问题的题目。 类型一：考查几何体的侧面积、表面积及体积公式 👉知识点梳理： 1. 柱体的体积和表面积: （1）柱体的体积: （2）直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的表面积： （3）圆柱的表面积: 其中，、与分别是柱体的底面积、高与底面周长，是圆柱的底面半径。 2. 锥体的体积和表面积: （1）锥体的体积: . （2）正棱锥(底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥)的表面积：. （3）圆锥的表面积: . 其中，、与分别是锥体的底面积、高与底面周长，是正三棱锥的斜高，与 是圆锥的底半径和母线长。 （4）扇形的弧长公式：，其中是圆锥母线长，也即圆锥侧面展开扇形的半径，是圆锥侧面展开扇形的圆心角，是圆锥侧面展开的扇形的弧长，也即圆锥底面的周长。 3. 球的体积和表面积: （1）球的体积: . （2）球面面积: . 其中, 是球的半径. 方法总结：（1）除了以上公式外，也常常考查割补法求体积； （2）还可以通过体积公式求点到面的距离； 1．已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为 ． 2．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为 . 3．将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为 ． 4．已知球的体积为，则球的表面积为 ． 5．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为 ． 6．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 7．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 ． 8．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ． 9．若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 10．已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为 . 11．如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 . 12．抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 13．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则 . 14．如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 类型二：考查立体几何中的最值问题 👉知识点梳理： 在上海高考数学的立体几何部分，最值问题通常结合几何体的动态变化、空间关系或函数思想进行考查，主要出现在选择题或填空题中。考查形式为几何体（如圆锥、圆柱、棱柱、球等）在旋转、展开或参数变化时，求某几何量（如体积、表面积、距离、角度等）的最大值或最小值。常常会将几何问题转化为函数或不等式问题，利用代数工具（导数、不等式、三角函数等）求解。 15．已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 16．圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为 ． 17．将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 18．现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是 ．（结果保留） 19．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 20．空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 类型三：考查空间向量在解决立体几何问题中的应用 👉知识点梳理： 空间向量在选择题和填空题中的考查主要围绕向量的运算、几何意义及其在立体几何中的应用展开，题目通常结合几何图形或坐标系进行设计。上海高考对空间向量的考查侧重基础运算与几何应用的结合，熟练掌握向量的代数与几何双重属性是解题关键。 21．在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 22．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．    23．设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 24．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为 ． 25．在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为 . 26．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 27．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 28．已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为 ． 29．已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为 . 30．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 类型四：考查立体几何与数学建模的综合 👉知识点梳理： 立体几何与数学建模的交汇考查主要体现在将实际问题抽象为几何模型，并利用空间几何知识求解现实问题。这类题目强调数学应用能力和空间想象能力的结合。 31．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 32．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 . 33．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    34．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 综合测试 1．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 ． 2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是 （结果保留π）． 3．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为 ． 4．将棱长为的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为 . 5．圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 6．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 7．已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 8．已知圆柱的底面半径为3，高为，圆锥的底面直径和母线长相等. 若圆柱 和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为 . 9．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）    10．如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 11．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 12．已知正三棱锥的侧面与底面所成二面角为 ，且，则侧棱和底面所成角的正切值为 . 13．点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是 ． 二、选择题 14．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 15．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 16．在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则： ①；②平面；③三棱锥的体积是定值； 上述命题中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 18．如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 19．设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（   ）． A． B． C． D． 20．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 21．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（   ）    A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 07 立体几何小题专题 立体几何在上海高考数学的选择题和填空题中的考查主要围绕空间几何体的性质、空间想象能力以及计算能力展开，通常涉及以下几个方面：一是几何体的表面积与体积公式的考查，有时会考查组合几何体的表面积或体积，需要学生进行拆分或补形；二是空间点、线、面位置关系的考查及空间中角与距离的求解；三是空间向量在立体几何中的应用，需要通过建立空间直角坐标系，利用向量法解决几何问题（如证明垂直、计算夹角或距离）；四是动态几何问题的问题的考查，如几何体的旋转、展开（将几何体展开成平面图形，或平面图形折叠成立体图形）及最值问题：如几何体中某线段长度的最值、体积或表面积的最值等。 备考建议： 1.熟记公式：如柱、锥、球的表面积和体积公式，空间向量的夹角公式、距离公式等。 2. 强化空间想象能力：通过画图、模型辅助理解几何体的结构。 3．综合题练习：注重结合空间向量、动态问题的题目。 类型一：考查几何体的侧面积、表面积及体积公式 👉知识点梳理： 1. 柱体的体积和表面积: （1）柱体的体积: （2）直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的表面积： （3）圆柱的表面积: 其中，、与分别是柱体的底面积、高与底面周长，是圆柱的底面半径。 2. 锥体的体积和表面积: （1）锥体的体积: . （2）正棱锥(底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥)的表面积：. （3）圆锥的表面积: . 其中，、与分别是锥体的底面积、高与底面周长，是正三棱锥的斜高，与 是圆锥的底半径和母线长。 （4）扇形的弧长公式：，其中是圆锥母线长，也即圆锥侧面展开扇形的半径，是圆锥侧面展开扇形的圆心角，是圆锥侧面展开的扇形的弧长，也即圆锥底面的周长。 3. 球的体积和表面积: （1）球的体积: . （2）球面面积: . 其中, 是球的半径. 方法总结：（1）除了以上公式外，也常常考查割补法求体积； （2）还可以通过体积公式求点到面的距离； 1．已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】由圆柱的体积公式计算即可. 【详解】由圆柱的体积公式可得. 故答案为：. 2．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】求出圆锥的底面半径和高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，，， 则， 则这个圆锥的体积为. 故答案为：. 3．将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为 ． 【答案】 【分析】分析可知，旋转体为圆柱，确定该圆柱的底面半径和高，结合柱体的体积公式即可得解. 【详解】如下图所示， 由图可知，旋转体是底面半径为，高为的圆柱， 故该旋转体的体积为. 故答案为：. 4．已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 5．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式及表面积求法计算可得. 【详解】因为圆锥的底面半径，母线， 所以该圆锥的表面积为. 故答案为： 6．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 7．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 ． 【答案】 【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式求解即可． 【详解】因为锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形， 所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的体积为：． 故答案为：． 8．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高. 【详解】圆锥的底面半径，设其母线长为，则，解得， 所以该圆锥的高. 故答案为：4 9．若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可, 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： 10．已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，求出正四棱锥的高，由锥体体积公式进行求解. 【详解】如图，正四棱锥，正方形的对角线相交于点，连接， 则⊥平面， 因为平面，所以⊥， 其中， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故答案为： 11．如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球体积的差即可得解. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球， 所以所求体积为. 故答案为： 12．抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解. 【详解】因为抛物线方程为，可知准线方程为， 又由圆与准线相切，可知：， 将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：， 故答案为： 13．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，设斜三棱柱的高为，，可得，得解. 【详解】设斜三棱柱的高为，， 则，， ，则. 故答案为：. 14．如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 【答案】1 【分析】根据给定的信息求出三棱锥的体积，进而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解. 【详解】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ，又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1 类型二：考查立体几何中的最值问题 👉知识点梳理： 在上海高考数学的立体几何部分，最值问题通常结合几何体的动态变化、空间关系或函数思想进行考查，主要出现在选择题或填空题中。考查形式为几何体（如圆锥、圆柱、棱柱、球等）在旋转、展开或参数变化时，求某几何量（如体积、表面积、距离、角度等）的最大值或最小值。常常会将几何问题转化为函数或不等式问题，利用代数工具（导数、不等式、三角函数等）求解。 15．已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 16．圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据圆锥全面积得出关系，利用体积公式及二次函数求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 当时， 故答案为： 17．将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，得到圆柱形工件的侧面积为，再结合基本不等式求解侧面积的最大值. 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 18．现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】设正四面体定点在底面的投影为，连接，可得以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分，先求解底面面积，为高，即可求解切割好后，木料体积的最大值. 【详解】 设正四面体定点在底面的投影为，则为正三角形的中心， 连接，所以，， 若底面上任意一点到顶点的距离不大于， 设，则， 所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分， 如图以为圆心，半径为的圆与底面相交的交点为， 延长交于，连接，， 所以，， 所以，所以， 所以，所以为等边三角形， 所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分的面积为 ， 所以切割好后，木料体积的最大值是. 故答案为：. 19．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值. 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 20．空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 【答案】 【分析】先确定点、的轨迹及相关线段长度表达式，再利用余弦定理得的表达式，最后通过换元求最值. 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 类型三：考查空间向量在解决立体几何问题中的应用 👉知识点梳理： 空间向量在选择题和填空题中的考查主要围绕向量的运算、几何意义及其在立体几何中的应用展开，题目通常结合几何图形或坐标系进行设计。上海高考对空间向量的考查侧重基础运算与几何应用的结合，熟练掌握向量的代数与几何双重属性是解题关键。 21．在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 22．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．    【答案】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形ABC中，，， 在正方形BCDE中，，，， 所以为二面角的平面角，即， . 故答案为：.    23．设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得 ， ，解得. 故答案为：. 24．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为 ． 【答案】 【分析】先作出截面图形，然后根据相似和勾股定理求出各边，即可求得结果. 【详解】取正方体轴线与交点为， 连接并延长，交延长线与， 连接，交于， 连接， 作出图形如图， 由图可知，过点，，的平面截该正方体所得截面为五边形， 则，所以，同理，， 正方体的棱长为，， ， ， 四边形的周长为. 故答案为： 25．在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，得出的坐标，设，根据已知列出方程，化简得出点的轨迹为球.进而结合图象即可得出点到平面的最大距离，结合体积公式即可得出答案. 【详解】    如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以. 设，则. 因为， 代入可得， 整理可得， 即在以点为球心，为半径的球上. 又的面积为， 平面到平面的距离为4， 所以到平面的最大距离为. 体积最大值为. 故答案为：. 26．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】结合图1，可得，结合图2，由面面垂直的性质定理可得，，进而可知为三棱锥的外接球的直径，再求得，进而可求外接球的表面积. 【详解】在图1中，因为，所以， 因为为平行四边形，所以，， 在图2中，因为为直二面角，所以面面， 又因为面面，面，，所以面， 因为面，所以，同理：， 即为与的公共斜边， 故为三棱锥的外接球的直径， 因为， 所以，则三棱锥的外接球的半径为，故其表面积为. 故答案为；. 27．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 28．已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为 ． 【答案】8 【分析】以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，表示各向量坐标，利用数量积的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，，且. 以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，. 设，则， ∴，，， ∴，，， ∴点坐标可能为，，，，，，，， 故点个数的最大值为8. 故答案为：8. 29．已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量模的意义及数量积的运算律求得，进而求出范围. 【详解】由空间向量两两垂直，得 又，， 则 ，而， 因此，， 所以的取值范围为. 故答案为： 30．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意在球中讨论，结合空间向量数量积的应用可求出最值. 【详解】因为空间向量，，，是单位向量， 所以把向量，，，平移到以为起点，终点在半径为的球面上，如图： 由，得，所以，同理， 令，则，， 根据，两边同时平方解得，， 所以绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面， 因为， 所以，则， 观察图形得当旋转到平面内时，向量与的夹角最小， 令此最小角为，则， 则， ， 所以的最大值是， 故答案为：. 类型四：考查立体几何与数学建模的综合 👉知识点梳理： 立体几何与数学建模的交汇考查主要体现在将实际问题抽象为几何模型，并利用空间几何知识求解现实问题。这类题目强调数学应用能力和空间想象能力的结合。 31．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 【答案】 【分析】由圆锥的体积公式即可求解． 【详解】根据题意，风铃的体积约为， 故答案为： 32．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 . 【答案】 【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式结合条件即得. 【详解】设上面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为高为， 根据圆台的母线长公式，带入数值计算得到； 设下面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为 由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到，带入数值计算得到； 所以该花盆上､下两部分母线长的总和为. 故答案为： 33．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案. 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：.    34．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 【答案】 【分析】由题设可得球的半径为，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长. 【详解】若球的半径为，则，可得，又， 对于正四棱锥，设底面边长为，高为， 则，所以，即， 又，则，故，即， 纪念碑体积，令， 对于，则在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，故，此时米. 故答案为： 综合测试 1．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意，圆柱的侧面积为：. 故答案为： 2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】做轴截面，根据母线与底面半径求出圆锥的高，计算体积即可. 【详解】如下图做出轴截面： 代入圆锥体积公式：. 故答案为： 3．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的高为8，底面半径为， 所以圆锥的母线长为， 则圆锥的侧面积. 故答案为：. 4．将棱长为的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为 . 【答案】 【分析】先求出四面体其中一个面的高，确定正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】    如图为棱长为的正四面体，作，于点， 在中，，，， 根据题意，正四面体旋转后得到两个同底的圆锥， 底面半径等于，高等于， 所以旋转后几何体的体积为：. 故答案为： 5．圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 【答案】 【分析】由题意可得圆锥底面圆的半径，从而可得圆锥的高，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆锥的母线，设底面圆的半径为， 则，解得，所以圆锥的高， 则圆锥的体积为. 故答案为： 6．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 7．已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 8．已知圆柱的底面半径为3，高为，圆锥的底面直径和母线长相等. 若圆柱 和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为 . 【答案】3 【分析】求出圆柱的体积，设圆锥的底面半径为，求出圆锥的高为，从而得到圆锥的体积，得到方程，求出答案. 【详解】圆柱的体积为， 设圆锥的底面半径为，则母线长为，故圆锥的高为， 则，故，解得， 故圆锥的底面半径为3. 故答案为：3 9．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）    【答案】3.7 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为.    设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）. 故答案为：3.7. 10．如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 【答案】 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 11．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 【答案】 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 12．已知正三棱锥的侧面与底面所成二面角为 ，且，则侧棱和底面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】设的中心为，连接、并延长交于点，连接，即可得到为侧面与底面所成二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，再由及锐角三角函数计算可得. 【详解】如图，设的中心为，连接、并延长交于点，连接， 因为为正三棱锥，所以平面，为的中点，， 又，所以，又，所以为侧面与底面所成二面角的平面角， 即，又平面，所以为侧棱与底面所成的角， 所以，即侧棱和底面所成角的正切值为. 故答案为： 13．点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系可得的坐标表达式，配方后可得最值. 【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系， 设，其中. 则. 则 ， 当P、M、N在正方体同一面上时，则当时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，P为对角线中点时，取得最小值； 当P、M、N不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设不同时为0， 此时 ； 综上，的最小值是. 故答案为： 二、选择题 14．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 15．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 16．在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则： ①；②平面；③三棱锥的体积是定值； 上述命题中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】利用正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定和性质，锥体体积计算对3个命题逐个判断即可得出结论. 【详解】对于①，因为平面，平面，则， 又因为，且平面， 得平面，又平面，所以； 因为平面，平面，则， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以，又平面，所以平面， 又平面，所以，故①正确； 对于②，在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又平面， 所以平面平面，又平面，所以平面，故②正确； 对于③，由②知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，为定值，故③正确； 故选：D. 17．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 18．如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【答案】B 【分析】取特例判断ACD，利用反证法判断B后可得正确的选项. 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 19．设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 20．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分类讨论，确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求解. 【详解】当平面与四面体的一条棱的中点相交时， 不妨设平面过棱的中点，此时点到平面的距离相等， 且平面平面，如图（1）所示 此时到平面的距离可能与到平面的距离相同，此时有1不同的值； 不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时， 如图（2）所示，此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值； 不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时， 如图（3）所示，此时点到平面的距离相等， 其中到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值； 不妨设平面过棱的中点，过的靠近的三等分点，过靠近点的三等分点，此时到平面的距离不同，到平面的距离不同， 且到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值； 又因为四个点均不在平面上，也不在平面的同侧， 所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧）， 所以的所有不同值的个数组成的集合为. 故选：B. 21．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（   ）    A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】根据题意，结合棱柱和棱锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知图1水的高度，几何体正四棱柱的高为，设底面正方形的边长为， 图1中水的体积为，图2中水的体积为， 所以，解得，故①正确， 对于②，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上， 又因为容器容积为，所以水的体积是容器容积的一半， 即水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过点，故②正确， 故选：A 试卷第18页，共41页 试卷第17页，共41页 学科网（北京）股份有限公司 $$