专题03 导数及其应用-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（新高考通用）

专题03 导数及其应用 题型概览 题型01 导数的几何意义 题型02 利用导数研究函数的单调性 题型03 利用导数研究函数的极值、最值 题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根 题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立 题型06 三次函数的图象与性质 ( 题型0 1 )导数的几何意义 1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 . 4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ． 5．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 . 6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的值： (2)求的极值． 7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． ( 题型0 2 )利用导数研究函数的单调性 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 7．（2025·山西吕梁·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 . 8．（2025·山西晋城·二模）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数． (1)讨论的单调性： (2)若恰有两个零点，且 （i）求的取值范围； （ii）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明． ( 题型0 3 )利用导数研究函数的极值、最值 1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 2．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 5．（2025·河南新乡·二模）已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若，证明：，； (3)若在上有两个极值点，求的取值范围. 6．（2025·河南焦作·二模）已知函数． (1)当时，证明；； (2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围． 7．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由； （ii）证明：（，且）. 9．（2025·江西新余·二模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性； (3)若存在两个极值点，，且，证明：. 10．（2025·重庆·二模）已知函数 . (1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点  处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; (2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值; (3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. ( 题型0 4 )导数研究函数的零点、方程的根 1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为 . 6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 . 7．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 . 8．（2025·浙江金华·二模）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 10．（2025·江西南昌·二模）已知. (1)当时，求函数的单调区间： (2)当时，求证：； (3)当，试讨论函数的零点个数. ( 题型0 5 )导数研究不等式证明及恒成立 1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数，，，则（    ） A．和的图象有且只有一条公切线 B．若恒成立，则整数的最大值为 C．若、均大于，则 D．关于的方程在区间内有解 7．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为． (1)写出与的递推关系式； (2)记的零点为r，且． （i）证明：当时，； （ii）证明：对于任意的，都有． 8．（2025·山东滨州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的值． 9．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. ( 题型0 6 )三次函数的图象及性质 1．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数，则（   ） A．有三个零点 B．，使得点为曲线的对称中心 C．既有极大值又有极小值 D．，， 4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数在处有极值，则（   ） A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D． 5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数，则（    ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间上的取值范围是 6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（   ） A． B．对于任意，有三个零点 C．对于任意，有两个极值点 D．存在，使得点为曲线对称中心 7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有两个极值点、，则 B．函数至少有一个极值，且极小值为 C．使得方程有三个不相等的实数根 D．若函数的极大值点为，且，则 8．（多选）（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的极大值点为1 B．函数的对称中心为 C．过点可作一条直线与曲线相切 D．当时， 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用 题型概览 题型01 导数的几何意义 题型02 利用导数研究函数的单调性 题型03 利用导数研究函数的极值、最值 题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根 题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立 题型06 三次函数的图象与性质 ( 题型0 1 )导数的几何意义 1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故，当时，，即的坐标为.故选：B. 2．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以 .故选：A． 3．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出. 【详解】函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为，依题意，，所以. 4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ． 【答案】 【分析】根据“法线”的定义，结合导数的几何意义求出法线方程，由“公法线”的定义列出方程组求解即可． 【详解】由求得，，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由求导得，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由“公法线”得，，，解得，所以“公法线”方程为， 5．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 . 【答案】/ 【分析】切线平行得到，再结合切线方程得到点坐标，进而可求解. 【详解】，，因为， 所以，又，所以，所以切线方程： ， 切线方程： ，将，代入，可得：，又，所以，所以点坐标为，所以， 又，所以，故答案为： 6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的值： (2)求的极值． 【答案】(1)；(2)极大值为，无极小值. 【分析】（1） 利用导数的几何意义来求参数； （2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值. 【详解】（1）由题意得：，因为在处的切线与直线平行，所以，故. （2）由（1）得：，定义域为， 令，得，则，，的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 故的极大值为，无极小值. 7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 【答案】(1)；；(2)证明见解析 【分析】（1）求导得到表达式，把代入，能得到含的等式，算出.再代入到算出另一个未知量b. （2）根据第（1）问结果得到和. 令，对处理，根据结果判断在不同范围的增减情况. 依据正负，判断在不同范围的增减，得出最小是. 算出小于，再找两点使式子值大于，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为，发现也是，所以和为. 【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到.把代入得，因为，所以，即. ，算出. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减；当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减；当，，在递增，所以. ，又，，根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，，经计算，所以也是零点，零点和为. ( 题型0 2 )利用导数研究函数的单调性 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在上单调递增转化为导函数在上恒成立，利用二次函数的性质列不等式求解的取值范围，再逐项判断即可. 【详解】由题意，函数的定义域为.由在上单调递增，得在上恒成立.则，解得.A是充分不必要条件，B是充分必要条件，C是不充分不必要条件，D是必要不充分条件，故选：D. 2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解. 【详解】由题意，函数 的定义域为， 导函数为，因为函数在单调递增， 所以在恒成立，所以，即，故， 令，则，令，则，令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以的最小值为.故选：B. 3．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可. 【详解】由，得，即．因为，，所以，即，所以，且．因为函数在上单调递增，又，所以，即，故，所以A正确，B，C，D错误．故选：A． 4．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定. 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即， 当时，有，即，不成立， 当时，有，则成立，所以； 又在区间上都单调递增，所以在，时恒成立，所以在时恒成立，因为，所以， 所以或，又，所以，故选：D. 5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则，由题意知当时，，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减，又因为，所以，所以， 所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.则不等式的解集为.故选：D. 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式． 【详解】的定义域为，∵，∴函数是上的增函数，∵，∴函数是奇函数， ∴由得，∴， ∴不等式的解集为． 7．（2025·山西吕梁·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，结合题设可得函数在上单调递增，再利用单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】由，，则，由，且，满足，则函数在上单调递增，又，则恒成立，令函数，，则， 当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，则，解得，所以的最大值为. 8．（2025·山西晋城·二模）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)0；(2) 【分析】（1）先求出曲线在点处的切线方程，再把切线与曲线只有一个交点，转化成方程只有一个解，再分和两种情况讨论，即可求出的值； （2）把在区间上单调递增，转化成在上恒成立，再通过分离常数，构造函数，借助导数，求出在上的最大值，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 因为曲线在点处的切线与曲线只有一个交点， 所以方程只有一个解，即只有一个解， 当时，方程只有一个解，符合题意； 当时，，即， 因为方程的，所以方程无解，综上所述，实数的值为0． （2）由，可得．因为在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，则，，故实数的取值范围为． 9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数． (1)讨论的单调性： (2)若恰有两个零点，且 （i）求的取值范围； （ii）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）（ii），证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的定义域，讨论的取值，即可求解函数的单调区间； （2）（ⅰ）根据（1）的结果可知，函数的极大值，解得，再根据零点存在性定理，即可求解；（ⅱ）根据题意可知，恒成立，讨论函数的类型，即可求解与的关系式，根据函数的单调性得，整理后可得，再根据（1）的结果，即可证明. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调减． （2）（i）由（1）知，需满足，在处取得极大值，且 ，令，显然在上单调递减， 所以又因为， 所以在和上各有一个零点，且 综上所述，． （ii） 所以恒成立， 当时，不能恒成立，所以， 由均值不等式知：，且时等号成立 所以，（*） 当因为，则，所以不等式（*）要成立，则得此时因为，所以整理得，即可得，所以，由（1）得，． ( 题型0 3 )利用导数研究函数的极值、最值 1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 【答案】BC 【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD. 【详解】由题意可得，因，则，故A不正确；由得或，由得，则在和上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，故B正确，C正确，，则函数在上的最小值为，故D不正确．故选：BC. 2．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，，则， 令，，则， 当时，恒成立，则，即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，，则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 设，，则， 当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，则时，，此时函数无极值，不符合题意；当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值.综上所述，的取值范围为.故选：A. 3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 【答案】BD 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解； C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明；D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； 【详解】易知，令，则.令，则.设，由对勾函数的图象可知：当时，与的图象有两个交点， 因为，故不成立，故A错误；设，则①， 设为①式的两根，则，即②，③. 由③式可知，所以，则，故B正确； 解法1：由②式可知，令， 则，则在上单调递减，所以，故，所以不存在实数使得，故C错误； 解法2：，，，可得为区间的极小值点，则必有，故C错误；由③式可知，所以， 要证， 仅需证明成立.令，则.则在上单调递增，所以，故，故D正确.故选：BD. 4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可； （2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得. 【详解】（1）时，，， 时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以. （2）， 时，，在上单调递增，无极值； 时，时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以的极大值为，令，则，所以在区间上单调递增，由已知，所以，解得，综上，. 5．（2025·河南新乡·二模）已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若，证明：，； (3)若在上有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数求解即可 （2）构造函数，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到，则在上单调递增，得到，即当时，，所以，不等式得证. （3）分情况讨论，当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点. 当时，令，求导，对极值点的大小进行分析，再结合零点存在性定理取点证明有两个极值点即可. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.设，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即的取值范围为. （2）证明：若，则.设，则，，则在上单调递减，在上单调递增， 则，则在上单调递增，所以，即当时，，所以，不等式得证. （3）.当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.当时，令，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，，，由（2）知，则，所以恰有两个零点，，令，得，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点.综上，的取值范围是. 6．（2025·河南焦作·二模）已知函数． (1)当时，证明；； (2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）先结合将放缩，再构造函数证明函数的最小值大于等于零. （2）将在区间内有且仅有一个极值点，转化成导函数在区间内有且仅有一个变号零点，再结合不同的值去看是否满足. 【详解】（1）要证，即证． 当时，，∴我们可以考虑证明，令，则，易知在上单调递增，且，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴是的极小值点，也是最小值点， 故当时，，即，因此，当时，． （2）由题可知，则． 若，当时，，∴，则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去． 若，设，则在区间上恒成立，∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又，∴在区间上有唯一的零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在区间内有唯一的极值点，符合题意．综上，实数的取值范围是． 7．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值，进而求出的值. （2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理证得还有小于的零点即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数的最大值为，则，解得，所以的值为0. （2）由（1）知，，，则， 于是切线的方程为，即，令，，求导得，令，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 由，得，而，函数在上的图象不间断， 则存在，使得，且当或时，，当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减，又， 当时，，于是函数在上无零点， ，而，函数在上的图象不间断， 因此存在，使得， 所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由； （ii）证明：（，且）. 【答案】(1) (2)（i）函数不存在极值，理由见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）先利用导数分析函数的单调性，进而判断是否存在极值； （ii）利用函数单调性可得，进而求证即可. 【详解】（1）由，得，则，又， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）（i）函数不存在极值，理由如下：由，解得且， 所以函数的定义域为，由，则， 令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，所以在和上单调递减，则函数不存在极值. （ii）由（i）知，函数在上单调递减，则对任意，，即，所以当时，，则，即， 所以，，，…，， 以上式子相加得，， 即（，且且时，等号成立）， 9．（2025·江西新余·二模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性； (3)若存在两个极值点，，且，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）由（2）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，，且，是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，通过构造函数，证明，即得，得证. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以切线方程为；，即. （2）由，， 当时，，在上单调递增； 当时，令. 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知若存在两个极值点，则，且， 由过原点的切线方程为，则，则，即， 所以，，∴在和上各有一个零点，，且时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，单调递减.∴，是的两个极值点. ， 且， ∴，而，∴， 令，则， 所以在上单调递增，故，所以，令， 可得，即，即，，. 10．（2025·重庆·二模）已知函数 . (1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点  处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; (2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值; (3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【详解】（1）由得：，则，又由直线的斜率为，根据题意可知：； （2）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得，所以在上是增函数，而原不等式可化为，根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的,所以的最小值为； （3）因为存在两个不同的极值点所以由可得： ，，因为，而的对称轴是，所以可得，根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由可得， 而 令， 则， ，即，，则， 即在区间上单调递减， 所以有，即，所以实数取值范围. ( 题型0 4 )导数研究函数的零点、方程的根 1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案． 【详解】由题意知函数有且只有1个零点，而，故0即为的唯一零点，因为，且，故 ，所以 有唯一解，令，则， 对于任意 ，都有，故在R上单调递增， 则时，，时，， 故函数在时单调递减，在时单调递增，故 ； 若，当时，， ， 则 ，因此当 且 时，， 此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符； 故，则的最小值为，因为由题意知0为的唯一零点，故 ， 即，则，即值为1.故选：A 2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】易知当时，函数单调递增，且;当时，函数，易知,显然当时，恒成立，即在上单调递增； 当时，；当时，，此时函数的图象大致如下图所示：    若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点，由上图可知； 当时，根据对勾函数性质可知，当且仅当时，等号成立； 此时其图象大致如下图：    显然函数的图象与没有交点，不合题意；综上可知，实数的取值范围是.故选：B 3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案. 【详解】函数的定义域为R，且在R上单调递增， ，即， 方程，即，于是，即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点， 求导得，当时，， 当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，取极小值；当时，取极大值为， 而当或时，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为，故选：A 4．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意得，即，构造函数，则，求出单调区间和最值，再利用其单调性可求得结果. 【详解】由题意得，即，所以，所以， 令，则，， 由，得，由，得，所以在上递减，在上递增， 所以，所以当时，，当时，， 当时，，所以，所以，所以，因为在上递增，所以，所以.故选：D 5．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】将题设条件转化为函数与函数的函数图象有交点，再利用导数工具研究函数的图象性质即可得解. 【详解】若函数与的图象在第一象限内有公共点，则方程在上有解，即方程在上有解，显然不是方程的解，所以方程在上有解，则函数与函数的函数图象有交点，又，所以时，，时，，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又时，时；时，；时；所以或. 6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的零点可得，再结合指、对数性质分析可知方程有根，方程无根，结合图象即可得结果. 【详解】当时，可得；当时，可得，当且仅当时，等号成立，即函数有且仅有1个零点1，若函数有零点，则， 显然，可得，假设方程有根，可知方程有两个不相等根，设为，且，则，可得，即，假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为，结合题意可知：方程有根，方程无根，即与无交点，与有2个交点， 结合图象可知：或，解得或，所以实数的取值范围是. 7．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解法一：先通过等价变形将函数的三个零点转化为函数有三个零点；再根据奇函数的定义得出函数是上的奇函数，进一步将条件转化为在上有一个零点；最后求出，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即可求解. 解法二：先根据，为上偶函数，将题目条件转化为直线与函数的图象在上有一个交点；再利用导数判断出函数在上单调性，求出函数值域，即可求解. 解法三：先根据题意构造函数，，与都是上的奇函数，将题目条件问题转化为函数与在上恰有一个交点；再根据函数在上单调递增及导数的几何意义，数形结合即可解答. 【详解】解法一：. ， 的零点等价于函数的零点. 又函数定义域为，且 是上的奇函数， 只需要考虑在上有一个零点即可. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，的值域是.当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意；当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意；当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使. 当时，，此时在上单调递增，，； 当时，，此时在上单调递减；又，，，，在上存在唯一零点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 8．（2025·浙江金华·二模）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)或. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）求出函数，利用导数探讨其单调性及极值，再按分类处理函数的零点为1个的条件求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为，求导得， 令，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值， ①若，当时，，函数在有唯一零点； 当时，，函数在无零点， 因此当时，有唯一零点； ②若，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负数， 即当时，，函数在上无零点； 当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于正无穷大， 当趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大， 则当且仅当，有唯一零点，由，得，即， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，因此， 则方程有唯一解，于是时，有唯一零点， 所以实数的取值范围为或. 9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标得到直线的点斜式方程，再计算与坐标轴围成三角形的面积； （2）利用分离参数法，将零点个数转化成直线与函数图象交点个数，利用导函数分析函数单调性，得出函数的大致图象，数形结合即可得出结论； （3）根据（2）小问中的结论，分类讨论得到实数的取值范围，最后取交集即可. 【详解】（1）当时，，所以. 又，所以，则切线方程为. 令得，令得， 所以切线与坐标轴围成三角形的面积为. （2）由得，显然不是方程的解，所以. 设函数，则， 令得或；令得或. 所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增. 又当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以的大致图象如图： 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点， 由图象可知，或，即的取值范围为. （3）由得，显然当时，不等式恒成立. 当时，有恒成立，由（2）可得； 当时，有恒成立，由（2）可得. 综上，，即的取值范围为. 10．（2025·江西南昌·二模）已知. (1)当时，求函数的单调区间： (2)当时，求证：； (3)当，试讨论函数的零点个数. 【答案】(1)减区间为，增区间内为 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）当时，分析得出，令，可得，结合（1）中的结论可证得； （3）解法一：对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数； 解法二：求得，令，令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数； 解法三：将函数解析式变形为，设，则，则有，设，则，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，可得出的单调性，再结合零点存在定理可得出函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，， 当时，，则在为增函数； 当时，，则在为减函数； 故当时，函数的减区间为，增区间内为. （2）因为，当时，，所以， 当时，，所以，所以， 设，由（1）可知，所以不等式成立. （3）解法一：， 设，此时， 则， 因为，所以， 则在为减函数，， ①当时，，结合在为减函数， 当时，在为增函数； 当时，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数， 又因为，所以只有一个零点； ②当时，， 所以存在，使得， 当时，，所以在上增函数； 当时，，所以在上减函数. 因为，则，当， 使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 当，又因为，所以. 所以使得， 在为减函数，所以，所以存在两个零点. 综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点. 解法二：， 设，此时， 则， 设，所以， ①当时，此时，则，此时， 当时，在为增函数； 当时，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数. 又因为，所以只有一个零点； ②当，所以，设.因为， 因为时，所以存在，使得 当时，，即，所以在上增函数； 当时，，即，所以在上减函数. 因为，则，当，使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 当，又因为，所以.所以使得， 在为减函数，所以，所以存在两个零点. 综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点. 解法三：，设，则， 则有，，设. 因为，所以，则在为减函数，， ①当，即，结合在为减函数 当时，在为增函数；当时，在为减函数；所以，所以，即在上为减函数.又因为，所以只有一个零点； ②当时，，所以存在，使得， 当时，，所以在上增函数；当时，，所以在上减函数.因为，则，当， 使得，所以时，，即，即在为减函数；当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 当，又因为，所以.所以使得， 在为减函数，所以，所以存在两个零点. 综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点. ( 题型0 5 )导数研究不等式证明及恒成立 1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①，对两边求导得，②， 在③中，用代替得④，由①②④可得，⑤，联立③⑤得，，则化简为，，令，则，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，故，则实数的取值范围是.故选：A 2．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分、和三种情况讨论，当时，利用导数法求得，从而将题意转化为恒成立的问题，构造函数，利用导数法研究单调性，即可求解的取值范围. 【详解】当时，，符合题意；当时，存在，使得，即，显然不满足题意；当时，由得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，由得， 设，则，所以在上单调递减，又，所以，综上，，即的取值范围是.故选：B 3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件；故，关于的不等式可得，所以，即，方程的两根为，当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件；当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为：，要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，故实数的取值范围是：.故选：B. 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数在上单调递减，由在恒成立可得恒成立，据此可得答案. 【详解】因函数在上单调，又在上单调递减， 则函数在上单调递减，则.则时，，又，则恒成立， 则.故选：B 5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到，通过换元，，求的最大值即可. 【详解】令，原不等式可化为：，代入，化简可得：，令，得到， 再令，可得：，由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，所以当时，取得最小值，所以的最大值为，也即的最大值为，所以的最大值为，故选：A 6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数，，，则（    ） A．和的图象有且只有一条公切线 B．若恒成立，则整数的最大值为 C．若、均大于，则 D．关于的方程在区间内有解 【答案】BC 【分析】设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，利用导数的几何意义可得出关于、的方程，解方程组可判断A选项；利用导数求出函数最小值的取值范围，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用导数分析函数、在上的函数值符号，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，因为，则，所以，，切线方程为，即，因为，则，所以，， 切线方程为，即，所以，，消去可得，解得或，所以，和的图象有且只有两条公切线，A错；对于B选项，若，则，因为函数，其中，则，因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，因为，，所以，存在，使得，即，可得，且当时，，当时，， 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以，，由题意可得，故整数的最大值为，B对； 对于C选项， ， 因为、，则，，所以，， 所以，， 所以，，C对；对于D选项，当时，，则， 所以，函数在上单调递增，则，，则对任意的恒成立，所以，在单调递减，则， 当时，对任意的，，所以，关于的方程在区间内无解，D错.故选：BC. 7．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为． (1)写出与的递推关系式； (2)记的零点为r，且． （i）证明：当时，； （ii）证明：对于任意的，都有． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，令即可求解； （2）（i）易知当时，当时，利用导数和零点的存在性定理证明在上单调递增，进而，即可证明；（ii）由（i）知当时，令，只需证.令（），利用3阶导数研究的单调性可得，结合累乘法计算即可证明. 【详解】（1），，则函数在点处的切线方程为，令，得． （2）（i）当时，，当时，，单调递增， 又因为，所以有唯一的零点，其中． 令，则，当时，，故在上单调递增．因为，所以． 因为在上单调递增，所以当时，，又因为，所以，即证得：当时，． （ii）由（i）知：因为，从而，进而， 由此递推可知：当时，，令， 下面证明：对于任意的，都有成立， 即． 因为，所以只需证明， 即，令，其中，则，因为， 所以，故，从而在上单调递增，可知，故在上单调递增，因此，因为，故，即对于任意的，都有成立，由此可得：，所以对于任意的，都有． 8．（2025·山东滨州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）根据的单调性求得的最小值，则将恒成立问题转化为，构造函数，利用导数研究其值域得，进而得，即可得解. 【详解】（1）由题意的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最小值为，所以恒成立， 整理得，令，则， 由解得，由解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以. 9．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. 【详解】（1），可得，又，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令，因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增，所以， 若恒成立，则，整理得，解得或. （3）由得，即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令，所以函数在上单调递减，所以，即，令，则单调递减；单调递增，所以，所以，故， ②当时，不等式化为，令， ，函数在上单调递增，所以，由，得，所以不等式成立，综上，不等式的解集为. ( 题型0 6 )三次函数的图象及性质 1．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，确定零点及极值点情况，再结合函数式、导函数式分析判断作答. 【详解】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为， 于是，当时，，而此时，因此，又，函数有两个极值点，且，即有两个不等实根，，因此，所以.故选：B. 2．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：确定函数单调性，进而可求解，法2：分参，得到，确定的单调性，进而可求解. 【详解】法1：因为，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，要满足函数在区间内仅有一个零点，则，，解得.故选：C. 法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解，而，， 令，解得或；即在上单调递增，原问题等价于.故选：C 3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数，则（   ） A．有三个零点 B．，使得点为曲线的对称中心 C．既有极大值又有极小值 D．，， 【答案】BCD 【分析】结合零点的定义分析可得当时，函数只有2个零点，即可判断A；利用检验判断B；求导，分析函数的单调性即可判断C；举特例判断D. 【详解】对于B，对于A，令，解得或，当时，函数只有2个零点，故A错误；对于B，， 则， 又，要使点为曲线的对称中心， 则对，，此时，所以当时，点为曲线的对称中心，故B正确；对于C，由，则，由于，则方程有两个不相等的实数根，设，则或时，；时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减，则函数在取得极大值，在取得极小值，故C正确；对于D，当时，，此时，，故D正确.故选：BCD. 4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数在处有极值，则（   ） A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D． 【答案】ACD 【分析】利用极值点可求得，由此可求导得到单调性和极大值，知AB正误；利用导数几何意义可确定C正确；根据解析式可求得D正确. 【详解】，在处有极值，，解得：； 当时，，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，当时，，则在上单调递增，A正确； 对于B，的极大值为，B错误；对于C，令，解得：或，又，在处的切线为，C正确； 对于D，，D正确.故选：ACD. 5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数，则（    ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间上的取值范围是 【答案】BC 【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根判断图象交点横坐标之和即可. 【详解】， 0 0 单调增 单调减 单调增 ，所以有2个零点，A不正确； 对于选项B：设切点为，则切线方程为， 代入原点，得， 故切线有且仅有一条，正确；对于选项C：或， 若，根据对称性知，根之和为0，若，方程只有一个根为0，故正确； 对于选项D：，又，故在区间上的取值范围是，错误.故选：BC. 6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（   ） A． B．对于任意，有三个零点 C．对于任意，有两个极值点 D．存在，使得点为曲线对称中心 【答案】AB 【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；要使点为曲线对称中心，则为定值，由此即可判断D. 【详解】对于A，由，，可得，即，故A正确；对于B，由A选项可得，则，则， 当时，令，则，令，则或， 令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，由，可得，而，所以，又当时，，当时，， 所以函数在和都存在一个零点，所以对于任意，有三个零点，故B正确；对于C，当时，，则， 由，得恒成立，所以函数在上单调递增，所以函数无极值点，故C错误；对于D，要使点为曲线对称中心，则为定值，而， 因为为定值，所以，解得，所以不存在，使得点为曲线对称中心，故D错误. 7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有两个极值点、，则 B．函数至少有一个极值，且极小值为 C．使得方程有三个不相等的实数根 D．若函数的极大值点为，且，则 【答案】ABD 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，逐项判断即可. 【详解】因为，则该函数的定义域为，且， 对于A选项，若函数函数有两个极值点、，则方程有两个不等的实根、，所以，，由韦达定理可得，A对；对于B选项，当时，，则， 由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为，此时，函数的极小值为；当时，由可得或，由可得，此时，函数的增区间为、，减区间为， 此时，函数的极小值为；当时，由可得，由可得或，此时，函数的减区间为、，增区间为，此时，函数的极小值为.综上所述，函数至少有一个极值，且极小值为，B对； 对于C选项，由B选项可知，当时，，此时函数没有零点；当时，因为函数的增区间为、，减区间为，则当时，，此时，函数在无零点，故函数至多一个零点；当时，函数的减区间为、，增区间为，则当时，，此时，函数在上无零点，故函数至多一个零点.综上所述，不存在实数，使得函数有三个零点，C错；对于D选项，由B选项可知，若函数的极大值点为，则，且，因为，即，整理可得， 所以，，整理可得，即，所以，，即，D对.故选：ABD. 8．（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的极大值点为1 B．函数的对称中心为 C．过点可作一条直线与曲线相切 D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得，结合导数和极值点的概念即可判断A；根据函数的对称性验证即可判断B；根据导数的几何意义即可判断C；利用作差法计算即可判断D. 【详解】A：因为不等式的解集为且，即不等式的解集为且，所以方程的根为和（二重根），得，即，所以，则，得，令，或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，故A错误； B：由选项A知，则，所以，即的一个对称中心为，故B正确； C：由选项A知，设过点的切线方程为，设切点为，则，，得，整理得，即，解得，此时切点为，不符题意，所以过点只能作一条直线与曲线相切，故C正确； D：令，当时，则，只需.而，由，得，即，所以，故D正确.故选：BCD 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$