9.2.3 总体集中趋势的估计-2024-2025学年高一数学必修二人教A版2019 课件

人教A版高一数学必修二第二学期9.2.3 总体集中趋势的估计 第九章 统 计 9.2.3 总体集中趋势的估计 核心素养目标 1.数学抽象：：频率分布直方图中的众数、中位数、平均数. 2.直观想象：理解集中趋势参数的统计含义 3.逻辑推理：能将实际问题转化为数学模型，运用集中趋势估计解决实际问题 。 4.数学运算：求样本数据的众数、中位数、平均数； 教学目标 教学重点：理解平均数、中位数、众数等统计量的概念，掌握其计算方法；明确不同统计量在刻画总体集中趋势时的特点与作用；学会运用这些统计量对总体集中趋势进行估计。 教学难点：根据不同的数据特点和实际背景，恰当选择合适的统计量来准确描述总体集中趋势；深入理解各个统计量的局限性，以及在复杂数据分布情况下如何综合运用多个统计量进行全面、准确的分析 。 知识讲解 复习旧知 1.百分位数定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有_____的数据____________这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. p% 小于或等于 2.用原始数据求百分位数 第1步，按_________排列原始数据. 第2步，计算i＝________. 第3步，若___不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的_______. 从小到大 n×p% i 平均数 找面积的 分界线 3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数 5 知识讲解 你还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么特点？ 众 数：一组数据中出现次数最多的数 中位数：一组数据按大小顺序依次排序后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数。 平均数： 这些统计量刻画了数据的“中心位置”，即数据的集中趋势。 知识讲解 根据下表中100户居民的月均用水量，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 6.8 6.8 解：① 根据已知100户居民用户月均用水量的数据，可得样本平均数为 即100户居民的月均用水量的平均数为8. 79 t. 知识讲解 假设某个居民小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？ 根据上述思考可得：全市居民用户的月均用水量约为8.79t，则2000户居民的月用水总量为： 2000×8.79=17580t 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数。但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数。 通过计算发现，平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.8t。 8 知识讲解 与真实的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？ 平均数变化较大。 这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。 因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。 9 知识讲解 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关。在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？ 单峰 如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多 如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数； 如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数。 平均数总是在“长尾巴”那边。 知识讲解 某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格。根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示： 校服规格 155 160 165 170 175 合计 频数 39 64 167 90 26 386 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性。 解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据。 可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适。 PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 众数只利用了出现次数最多的那个值的信息，众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感． 一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数； 对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数． 知识讲解 知识讲解 从上述思考题和例题中，你能总结出平均数、中位数、众数各自的特点吗？ 平均数 中位数 众数 特点 与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变 只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据 只利用了出现次数最多的那个值的信息 根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？ 描述集中趋势统计量的选择 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数； 对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数。 13 知识讲解 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据。例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图。这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？ 知识讲解 根据下面的频率分布直方图，估计月均用水量样本数据的平均数、中位数和众数 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 15 知识讲解 根据下面的频率分布直方图，估计月均用水量样本数据的平均数、中位数和众数 根据中位数的意义可得，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 0.077×3=0.231，（0.077+0.107）×3=0.552 因此中位数落在区间[4.2，7.2）内。 设中位数为x，由0.077×3+0.107×（x-4.2）=0.5，得到x≈6.71因此，中位数约为6.71。 知识讲解 根据下面的频率分布直方图，估计月均用水量样本数据的平均数、中位数和众数 根据众数定义得，出现次数最多数据是众数。 如上图所示，月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值。 知识讲解 根据上述计算出的样本平均数、中位数和众数，你有什么结论？ 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 100户居民的月均用水量的平均数8.79t. 100户居民的月均用水量的中位数是6.8t。 100户居民的月均用水量的平均数8.96t. 100户居民的月均用水量的中位数是6.71t。 结果基本一致 平均数 中位数 众数 在频率分布直方图中的含义 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 最高矩形的中点的横坐标 知识讲解 知识讲解 众数、中位数和平均数的比较名称 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越"离群"，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 知识讲解 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积 的乘积之和近似代替． (2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3）众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 知识讲解 1、样本的数字特征：众数、中位数和平均数； 2、用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数。 （1）众数规定为频率分布直方图中最高矩形下端的中点； （2）中位数两边的直方图的面积相等； （3）频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数。 知识讲解 连续型数据集中趋势的数字特征 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据．例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图．这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？ 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设它们在组内均匀分布． 这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数． 知识讲解 估计样本的平均数 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．如图 9.2-10 所示，于是平均数的近似值为 这个结果与根据原始数据计算的 样本平均数8.79相差不大． 知识讲解 估计样本的中位数 第50百分位数 根据中位数的意义，在样本中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 由于0.077×3=0.231，(0.077+0.107)×3=0.552， 因此中位数落在区间[4.2，7.2)内． 设中位数为x，由0.077×3＋0.107×(x－4.2)=0.5， 得到x≈6.71．因此，中位数约为 6.71． 这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8很接近． 知识讲解 总体集中趋势的估计 估计样本的众数 在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值． 频率分布直方图的众数估计值为最高矩形底边的中点． 知识讲解 从高一年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图. 试利用频率分布直方图估计： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩. 知识讲解 (1)这50名学生成绩的众数与中位数； 频率分布直方图中，从左到右前3个和前4个矩形的面积和分别是(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3＜0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6＞0.5，设中位数是m，则70＜m＜80，则0.3＋(m－70)×0.03＝0.5，解得m≈76.7(分)，即这50名学生成绩的中位数约是76.7分. 知识讲解 (2)这50名学生的平均成绩. 知识讲解 假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”．你如何理解这句话？ 这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况．例如，可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多； 也可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多． 尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数． 所以，我们要强调“用数据说话”，但同时又要防止被误导． 知识讲解 已知将一组100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如下图） 120 122 124 126 128 130 a 0.025 0.125 0.175 频率/组距 知识讲解 小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17 乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57 (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？ 解：(1)甲群市民年龄的平均数为 中位数为15岁，众数为15岁． 平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． 知识讲解 小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17 乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57 (2) 乙群市民中年龄的平均数、中位数和众数是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？ 解：(2)乙群市民年龄的平均数为 中位数为5.5岁，众数为6岁． 由于乙群市民的大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差． 知识讲解 【变式训练1】　某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下： 选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩． 解：甲班成绩的平均数为79.6分，乙班成绩的平均数为80.2分，从平均数看成绩较好的是乙班； 甲班成绩的众数为90分，乙班成绩的众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班； 按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班成绩的第25个和第26个数据都是80， 所以中位数是80分，同理，乙班成绩的中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理，乙班有27人，占全班学生的54%， 所以从中位数看成绩较好的是甲班． 知识讲解 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩 (均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； 解：(1)由图知众数为 . 知识讲解 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩 (均为整数)的频率分布直方图如图所示． (2)求这次测试数学成绩的中位数； 解：(2)由图知，设中位数为x， 由于前三个矩形面积之和为0.4， 第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5， 因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)， 所以x≈73.3. 知识讲解 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩 (均为整数)的频率分布直方图如图所示． (3)求这次测试数学成绩的平均分． 解：(3)由图知这次数学成绩的平均分为 知识讲解 【变式训练2】　某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求图中a的值； 解：(1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，得10(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1， 解得a＝0.005. 知识讲解 【变式训练2】　某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数、众数和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数). 解：(2)这100名学生语文成绩的平均数为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)， 众数为 . 因为这100名学生语文成绩在[50，70)的频率为 (0.005＋0.04)×10＝0.45， 这100名学生语文成绩在[70，80)的频率为0.03×10＝0.3， 所以这100名学生语文成绩的中位数为 . 知识讲解 通过频率分布直方图估计平均数、中位数、众数： 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． 2.样本中位数：把每个矩形的面积从左加起，加到接近0.5时（没超过）用0.5减去之前加得的面积，再用减得的数值除以下一组的面积，再乘以组距，再加上在与上一组之间的数就得到了中位数. 3.样本众数：频率分布直方图的众数估计值为最高矩形底边的中点． $$