05八年级第五章 物态变化-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省菏泽市中考物理精讲本

1 第五章　物态变化 八年级 2 知识梳理·夯基础 教材素材·寻根源 精讲巧练·抓重点 科学探究·理实验 目 录 3 知识点1　温度与温度计 1.温度 (1)定义：物体的______________。  (2)单位：摄氏度，符号________。  (3)规定：在一个标准大气压下，冰水混合物的温度为0 ℃，沸水的温度 为100 ℃；0 ℃和100 ℃之间分成100等份，每个等份代表_________。  　冷热程度　 　℃　 　1 ℃　 4 2.温度计的使用 (1)原理：常用的液体温度计是利用____________________性质制成的。  (2)使用方法 ①估：在测量前要先估计被测物体的温度。 ②选：根据估计的温度选择合适的温度计，看清它的__________和 ____________。  　液体的热胀冷缩　 　量程　 　分度值　 5 ③放：温度计的感温泡全部浸入被测液体中，不要碰到__________________。 如图所示的四种测量液体温度的做法中正确的是_______。  容器底或容器壁　 　D　 6 (4)读：a.待温度计的示数稳定后再读数；b.读数时感温泡要继续留在被 测液体中；c.视线与温度计中液柱的液面__________。图中温度计的读数 方法正确的是_______。  　相平　 　B　 7 注意：读数时看刻度是在零刻度线的上方，还是下方。若温度计上未标明零刻度线，则刻度由下往上越来越大，为“零上”，反之，为“零下”。 (5)记：测量结果由数值和单位两部分组成。 8 知识点2　物态变化 1.六种物态变化及吸放热特点 物态 变化 定义 吸放热 示例 熔化 物质从________态变为 ________态的过程  _______ 冰雪消融、铁块变成 铁水 凝固 物质从________态变为 ________态的过程  _______ 滴水成冰、铁水铸钢 汽化 物质从________态变为 ________态的过程  _______ 洒水地面变干、额头 擦酒精降温 　固　 　液　 吸热  　液　 　固　 放热  　液　 　气　 吸热  9 物态 变化 定义 吸放热 示例 液化 物质从________态变为 ________态的过程  _______ 雾、露、“白气”、 可乐瓶“出汗” 升华 物质从________态直接变 为________态的过程  _______ 樟脑球变小、灯丝变 细、冰冻的衣服变干 凝华 物质从________态直接变 为________态的过程  _______ 雪、霜、雾凇、冰花、 灯泡变黑 　气　 　液　 放热  　固　 　气　 吸热  　气　 　固　 放热  10 【温馨提示】 　　“白气”不是水蒸气，水蒸气是气态的，用肉眼无法观察到。“白气”是水蒸气遇冷液化后得到的小水滴悬浮在空中形成的。 11 2.汽化的两种形式——蒸发和沸腾 类型 蒸发 沸腾 不 同 点 发生部位 只在液体表面发生 在液体内部和表面 同时发生 温度条件 __________温度  达到________温度 (沸点)  剧烈程度 缓慢 剧烈 影响因素 液体的_________、________、 液面上方的空气流动________ 供热快慢、液面 气压 　任何　 一定　 表面积　 温度　 速度　  12 类型 蒸发 沸腾 不同点 温度变化 吸热降温 吸热温度__________ 现象 无明显现象 有气泡 相同点 都是__________现象，发生时都__________热量  　不变　  　汽化　 　吸收　 13 3.气体液化的两种方式 (1)降低温度，如露珠的形成，从冰箱拿出来的物体会“出汗”等。 (2)压缩体积，如钢瓶里的液化石油气，打火机中的液态丁烷气。 14 知识点3　晶体与非晶体 种类 晶体 非晶体 举例 冰、海波、各种金属 石蜡、松香、玻璃、沥青 熔 化 熔点 有 无 条件 温度达到熔点，继续吸热 吸收热量 图像 15 种类 晶体 非晶体 熔 化 特点 AB段：熔化前，温度__________， 为________态。  BC段：熔化时，温度__________， 为__________态。  CD段：熔化后，温度升高， 为________态  整个过程持续 __________热量， 温度持续________ 　升高　 　固　 　不变　 固液共存 　液　 　吸收　 上升　  16 种类 晶体 非晶体 凝 固 凝固点 有 无 条件 温度达到凝固点，持续放热 放出热量 图像 17 种类 晶体 非晶体 凝 固 特点 EF段：凝固前，温度__________， 为________态。  FG段：凝固时，温度__________， 为__________态。  GH段：凝固后，温度降低， 为________态  整个过程持续 __________热量， 温度不断________ 　降低　 　液　 　不变　 固液共存 　固　 　放出　 下降　  18 知识点4　地球上的水循环 1.填写下图(填物态变化名称及吸放热) 升华　 吸 凝华　 放 汽化　 吸 液化　 放 熔化　 吸 凝固　 放 19 2.常见自然现象的物态变化 雾的形成是__________，露的形成是__________，雨的形成是__________， 雪的形成是__________，霜的形成是__________。(均填物态变化名称)  　液化　 　液化　 　液化　 　凝华　 　凝华　 20 【夯基辨疑】 ①在使用温度计测量温度时，为方便读数，可以将温度计从被测液体 中取出读数( ) ②物体放热，物体的温度就会降低( ) ③晶体和非晶体在熔化过程中温度都不变( ) ④晶体熔化时吸热，非晶体熔化时不吸热( ) ⑤寒冷的北方，不用水银温度计是因为水银的凝固点较高( ) ⑥蒸发和沸腾都是在液体表面和内部同时发生的汽化现象，都要吸热( ) × × × × √ × 21 ⑦烧水时常看到“白气”，从水到“白气”的物态变化是先汽化后液化( ) ⑧水蒸气引起的烫伤往往比开水烫伤更严重，是因为水蒸气液化时 还要放出大量的热( ) ⑨出汗时吹风扇感觉凉快，是因为风降低了室温( ) ⑩高压锅煮食物熟得快，是因为锅内气压高，液体沸点低( ) √ √ × × 22 教材素材 命题角度 命题内容 八上P91图5-1-2 物态变化的辨识及吸放热判断 1.如图，在一只大烧杯里铺一层饱含水分的 湿沙，杯口盖一只盘子，在盘子里放一些冰 块。给烧杯加热，这时烧杯上方就出现一团 “白气”，这就是“云”。这团“云”碰到盘子， 一会儿盘子的下表面就会布满水滴，水滴越 积越多，越积越大，等到挂不住时就纷纷落 下，这就是“雨”。实验中发生的物态变化有 ______________；“云”是水蒸气遇到冷的盘子 发生的________现象，该过程________热量  汽化、液化　 液化　 放出　 23 教材素材 命题角度 命题内容 八上P94图5-1-12 物态变化的辨识 2.如图是某同学设计的太阳能净水 器，他将盛有污水的杯子放在透明 的温室罩内，经太阳照射后，温室 罩壁上凝结小水滴，并通过漏水托 盘流到收集杯。在污水净化过程中 发生的物态变化是先__________后 __________  　汽化　 　液化　 24 教材素材 命题角度 命题内容 八上P95图5-1-13相似 物态变化的 辨识 3.如图，屋檐下的冰锥 的形成过程是 _________________ ________________ 　雪先熔化为水， 水又凝固成冰　  25 教材素材 命题角度 命题内容 八上P104图5-3-6 物态变化的辨识 4.如图，冬天在浴室里洗热水澡， 浴室内的镜子会变得很“模糊”， 这是因为浴室内的水蒸气________ 变成小水珠。洗完澡后将浴室门 敞开一会儿，镜面又变清晰了， 原因是镜子上的小水珠_________ 变成了水蒸气  液化　 　汽化　 26 命题点1　温度的估测7地2考　 例1 【类题整合】 下列是对日常生活中一些物理量的估测， 正确的打“√”，错误的打“×”。 (1)人的正常体温约为37 ℃( ) (2)洗澡时淋浴水温约为80 ℃( ) (3)中考考场的室温约为50 ℃( ) (4)冰水混合物的温度一定为0 ℃( ) (5)人感觉舒适的环境温度约为25 ℃( ) (6)山东夏季的平均气温约为50 ℃( ) (7)绿色蔬菜保鲜的适宜温度约为4 ℃( ) √ × × × √ × √ 27 命题点2　温度计的使用及读数7地1考　 例2 【类题整合】 通过观察图中的两个温度计，________图是寒暑表， ________图是体温计，甲、乙两表的示数分别为_______℃和_______℃。 若用图中体温计(未经甩过)来测量正常人的体温，示数为_________℃。 体温计离开人体后，直管内的水银__________(选填“能”或“不能”)自动 退回玻璃泡，所以体温计能离开人体读数。  【解题关键】 体温计量程为35～42 ℃， 注意使用前需用力向下甩。 　乙　 　甲　 38.5　 　-5　 　38.5　 　不能　 28 练1 (2022·枣庄)下列对体温计的有关说法正确的是(　 　) A.体温计的量程是35～45 ℃ B.体温计的分度值是1 ℃ C.某同学的体温是36.6 ℃，该同学体温正常 D.利用体温计也可以测量液体的温度 C 29 练2 (2021·成都)用实验室常用温度计测量烧杯中热水的温度时， 下列说法正确的是(　 　) A.温度计的感温泡可以碰到容器壁 B.将感温泡浸入热水马上读出温度 C.读数时温度计可以离开被测热水 D.读数时如图所示，测量数据偏大 D 30 命题点3　影响蒸发快慢的因素7地1考　 例3 下列措施中，能使蒸发减慢的是(　 ) A.给湿头发吹热风 B.把盛有酒精的瓶口盖严 C.将玻璃板上的水滴向周围摊开 D.把湿衣服晾在通风向阳处 【解题关键】 影响蒸发快慢的因素：液体的温度、液体的表面积、液面上方空气流动的速度。 B 31 练3 【新考向·古代发明】(2024·北京)图甲为我国古代的“节能灯”——“省 油灯”，图乙为其部分剖面示意图。向灯盏夹层内注水，有助于减慢油的 蒸发，达到省油的目的。关于“省油灯”减慢油蒸发的方法，下列说法正 确的是(　　)　　　 　　　　　　　　　　 A.降低油的温度 B.减小油的表面积 C.减慢油表面上方的空气流动 D.减少油的体积 A 32 命题点4　物态变化的辨识及吸放热判断 7地7考 例4 【类题整合】 判断下列现象涉及的物态变化和吸放热情况， 将答案填在相应的括号内。 示例：用电吹风将湿头发吹干(汽化)(吸热) (1)初春，湖面上的冰逐渐变薄( )( ) (2)盛夏，地面上的水很快变干( )( ) (3)深秋，草叶上出现晶莹露珠( )( ) (4)寒冬，树枝上形成茸茸雾凇( )( ) 熔化 吸热 汽化 吸热 液化 放热 凝华 放热 33 (5)冬天窗户玻璃上的冰花( )( ) (6)衣柜里的樟脑丸逐渐变小( )( ) (7)北方寒冷的冬天洒水成冰( )( ) (8)用久了的白炽灯，灯丝变细( )( ) (9)擦在皮肤上的酒精很快变干( )( ) (10)北方的冬天，人们呼出的“白气” ( )( ) 【解题关键】 物态变化前后物质的始末状态。 凝华 放热 升华 吸热 凝固 放热 升华 吸热 汽化 吸热 液化 放热 34 【解题通法】 六种物态变化示意图 说明：物质由结构致密变疏松要吸热，由结构疏松变致密要放热。 35 练4 (2024·菏泽成武三模)地球表面70%以上是海洋，但可供人类直接利用 的淡水资源不足全部水资源的万分之一，提高节水意识是公民的义务和 责任。如图是水循环示意图，下列说法正确的是(　　) A.地表水吸热，升华成水蒸气 B.水蒸气与冷空气接触，液化成小水滴 C.小水滴遇到更冷的气流汽化成水蒸气 D.小冰晶降落过程中，液化成雨水 B 36 练5 (2022·淄博)水是人类环境的重要组成部分。水通过吸热、放热在固 态、液态、气态三种状态间转化，如图所示。已知甲是水，则(　 　) A.乙是冰 B.丙是水蒸气 C.由丙到甲的过程放热 D.由丙到甲是熔化过程 D 37 练6 (2024·枣庄峄城一模)夏季，吃冰棍时看见一股“白气”向下飘出，联想 到了烧开水时壶嘴里向上冒“白气”的情景，下列说法中正确的是(　　) A.两股“白气”都是空气中的水蒸气液化形成的小水珠 B.两股“白气”都是汽化成的水蒸气 C.前者是液化形成的，后者是汽化形成的 D.两股“白气”形成的过程都要放热 D 38 练7 (2024·聊城)二氧化碳气体若被加压、降温到一定程度，就会直接形 成白色的、像雪一样的固体，这种固体在常温下不经熔化就会直接变成 气体，所以叫干冰。干冰具有很好的制冷作用，可用于人工降雨。下列 说法正确的是(　　) A.干冰的形成是凝固现象 B.干冰变成气体是汽化现象 C.高空中的水蒸气遇冷凝结成水滴或小冰晶是熔化或凝华现象 D.干冰有制冷作用是因为干冰变成气体时需吸收热量 D 39 练8 (2024·济宁)电冰箱通电后，制冷剂被压缩机从蒸发器内吸出、压 缩后进入冷凝器，随后进入蒸发器……，通过这样的循环，实现制冷 效果，如图所示。下列说法正确的是(　　) A.制冷剂需选用不容易汽化的物质 B.制冷剂需选用汽化吸热能力弱的物质 C.制冷剂在冷凝器内液化放出热量 D.打开工作中的冰箱门，最终能使整个房间内降温 C 40 命题点5　温度—时间图像的理解及应用 7地3考 例5 【类题整合】 在探究“冰的熔化”和“水的沸腾”实验时，小明一次性完成了两个实验，并根据实验数据画出温度-时间图像，如图所示。请回答下列问题： 41 (1)图中BC段表示__________(填物态变化名称)过程，此过程中_________ (选填“吸收”或“放出”)热量，温度__________(选填“升高”“降低”或“不 变”)，第20 min时该物质处于________(选填“固”“液”或“固液共存”)态。 根据图像可知冰的熔点是_______℃，熔化过程持续了_______min。  (2)图中________段表示水的沸腾过程，此过程中__________(选填“吸收”或 “放出”)热量，温度__________(选填“升高”“降低”或“不变”)。根据图像可 知水的沸点是________℃，这说明当时水面上方的气压__________(选填 “高于”“低于”或“等于”)1个标准大气压。  　熔化　 　吸收　 　不变　 　液　 　0　 　7　 　DE　 　吸收　 　不变　 　98　 　低于　 42 (3)在加热相同时间的情况下，AB段温度变化比CD段温度变化大， 说明冰的比热容比水的比热容________(选填“大”或“小”)。  【解题关键】 晶体熔化和液体沸腾时都吸热，且温度保持不变。 　小　 43 练9 (2020·济宁)将一杯温水放入正常工作的冰箱的冷冻室中，经过一 段较长时间后，杯中的水发生了物态变化。如图所示的四个图像中， 能正确反映这杯水的物态变化过程的是(　 　) D 44 练10 (2022·枣庄)小刚同学在探究某种物质熔化特点的实验中，根据实验 数据画出了该物质熔化过程中温度随时间变化的图像。由图像可知， 该物质是________(选填“晶体”或“非晶体”)，其熔点是______℃，在熔化 过程中温度__________；在加热6 min时，该物质处于_______________ (选填“固态”“液态”或“固液共存态”)。  晶体　 80　 　不变　 　固液共存态　 45 实验5 探究固体熔化时温度的变化规律 1.实验器材：铁架台、酒精灯、石棉网、烧杯、水、试管、温度计、停表、海波、石蜡。 (1)石棉网的作用：　使烧杯底部受热均匀　。  (2)实验器材的组装顺序：　自下而上　。  (3)实验选取小颗粒固体物质的原因：　确保固体受热均匀　。  (4)温度计的使用及读数。 46 2.实验装置 47 3.实验步骤 (1)按照实验装置图安装好实验器材。 (2)点燃酒精灯加热，观察海波(石蜡)的变化情况，并仔细观察温度计示 数的变化。 (3)待海波(石蜡)的温度升至40 ℃时，每隔 1 min 记录一次温度，在海波 (石蜡)完全熔化后再记录4～5次。 时间/min 1 2 3 4 … 海波的温度/℃           石蜡的温度/℃           48 (4)根据海波(石蜡)的熔化实验数据，在坐标纸上绘出海波(石蜡)熔化前后的温度—时间图像。 49 4.实验分析 (1)采用“水浴法”加热的优点：　使被加热物质受热均匀　。  (2)试管放入烧杯中的要求：　试管中所装物质要浸没在水中，且试管不能接触烧杯底或侧壁　。  (3)晶体与非晶体的判断：在数据或图像中发现某段时间内物质温度不变，则该物质为晶体，该温度为晶体的熔点；否则为非晶体。 (4)判断晶体熔化时某时间段的状态。 (5)烧杯口出现“白气”的原因：　水蒸气遇冷液化形成小水滴　。  (6)晶体熔化前后曲线的倾斜程度不同的原因：同种物质在不同状态下的　比热容　不同。  (7)热量的相关计算：　Q=cmΔt　。  50 5.实验结论 (1)晶体熔化时需要吸收热量，但温度　保持不变　。  (2)非晶体熔化时需要吸收热量，物质先变软再变稠后变稀，温度一直在　升高　。  51 【实验分层训练】 1.在“探究固体熔化时温度的变化规律”的实验中： 52 【基础设问】 (1)图甲实验装置采用“水浴”加热的好处是____________________。  (2)为完成该实验，除图甲器材外，还需要用到的测量工具是__________。  (3)按图甲实验装置组装器材时，合理的顺序是______________(填序号)。  ①温度计　　②石棉网　　③装水的烧杯 ④酒精灯　　⑤装有固体的试管 　使物质均匀受热　 　停表　 ④②③⑤①　 53 (4)为了使试管中的固体受热均匀，应选择____________(选填“大颗粒” 或“小颗粒”)的固体进行实验。  (5)图乙是根据实验数据绘制的物质熔化时温度随加热时间变化的图 像，分析图像可知：①该物质是__________(选填“晶体”或“非晶体”)， 熔化过程持续了_______min，熔点是________℃。  ②C点物质的状态是________________(选填“固态”“液态”或“固液共 存态”)。  　小颗粒　 　晶体　 　3　 　80　 　固液共存态　 54 【能力设问】 (6)烧杯中装有适量的水，其中“适量”指的是_________________________ __________________________。  (7)在物质熔化过程中撤去酒精灯，物质还会继续熔化，原因是 ______________________________________________。  (8)将试管中的物质换成冰，当冰全部熔化成水后，继续用酒精灯不断 加热，试管中的水__________(选填“会”或“不会”)沸腾。  既可以浸没试管中的固体， 又能在放入试管后水不溢出 水的温度高于物质的熔点，物质可以继续吸收热量 　不会　 55 (9)另一小组在利用相同的器材进行这一实验时，观察到该物质熔化时温 度计的示数缓慢上升。产生这一现象的原因可能是________(填序号)。  ①烧杯中的水过多 ②对试管内物质不断搅拌 ③温度计的玻璃泡碰到了试管壁 　③　 56 (10)进一步分析图乙可知： ①B点物质的内能__________(选填“大于”“小于”或“等于”)D点物质的 内能。  ②若不计热量损失，物质在AB和DE两段吸收的热量分别为Q1和Q2， 则Q1∶Q2=__________。  ③AB和DE两段图像的倾斜程度不同，原因是该物质在固态时的比热 容__________(选填“大于”“小于”或“等于”)液态时的比热容。  　小于　 　1∶1　 　小于　 57 实验6 探究水沸腾时温度变化的特点 7地5考 1.实验器材：铁架台、烧杯、温度计、酒精灯、水、石棉网、带孔的硬纸板、停表。 (1)石棉网的作用：　使烧杯底部受热均匀　。  (2)实验器材的组装顺序：　自下而上　。  (3)烧杯上面盖上硬纸板的作用：　减少热量散失，缩短加热时间　。  (4)硬纸板上留有一个小孔的作用：　使烧杯内外气压相同　。  (5)温度计的使用及读数。 58 2.实验装置 59 3.实验步骤 (1)按照实验装置图安装好实验器材。 (2)点燃酒精灯加热，注意观察水温的变化情况。 (3)当水温接近90 ℃时，每隔0.5 min记录一次温度，直至水沸腾后2 min停止读数。 时间/min 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … 温度/℃               (4)根据记录的实验数据，在坐标纸上绘出水沸腾前后的温度—时间图像。 60 4.实验分析 (1)缩短加热时间的方法：　①用初温较高的水；②减少水的质量　。  (2)撤去酒精灯后，水未立即停止沸腾的原因：　石棉网的温度高于水的沸点，水可以继续吸收热量　。  (3)水的沸点的判断：水沸腾后保持　不变　的温度。  (4)水沸腾前后气泡的特点：沸腾前“上小下大量少”，沸腾时“上大下小量多”。 61 (5)水的沸点低于100 ℃的原因：　当地气压低于1个标准大气压　。  (6)烧杯口出现“白气”的原因：　水蒸气遇冷液化形成小水滴　。  (7)热量的相关计算：　Q=cmΔt　。  5.实验结论：水沸腾过程中　不断吸热　，温度　不变　。  62 【实验分层训练】 2.图甲是探究“水沸腾时温度变化的特点”的实验装置。 63 【基础设问】 (1)水银和酒精是液体温度计常用的测温物质，由表中的数据可知， 本实验应选用　　　　制作的温度计。   测温物质 凝固点/℃ 沸点/℃ 水银 -39 357 酒精 -117 78 注：在1个标准大气压下 水银　 64 (2)组装实验装置时，应当先调整图甲中_______(选填“A”或“B”)的高度。  (3)为了顺利完成实验，除图甲所示的器材之外，还需要的测量工具 是__________。  (4)实验前，向烧杯中倒入热水而不是冷水，这样做是为了 ______________________。  (5)水沸腾时，杯口附近出现大量的“白气”，“白气”是水蒸气_________ (填物态变化名称)的结果。  (6)撤去酒精灯后，水很快停止沸腾，说明水在沸腾过程中需要持续 __________。  　B　 　停表　 缩短加热至沸腾的时间 　液化　 　吸热　 65 【能力设问】 (7)某小组用相同的装置先后做了两次实验，绘制出如图乙所示的a、b 两条图线。由图可知： ①水的沸点是________℃，沸腾过程中水的温度保持__________。  ②若两次实验所用水的质量分别为ma、mb，则ma_______(选填“>”“=” 或“<”)mb。  (8)各实验小组发现，水沸腾时的温度均低于100 ℃，可能的原因是当地 的大气压______(选填“高于”“等于”或“低于”)1个标准大气压。  　98　 　不变　 　<　 低于 66 (9)图A、B是该小组同学在实验中观察到的两种不同的实验现象，其中 图_____(选填“A”或“B”)是水沸腾时的情况，气泡内的气体是__________ (选填“空气”“氢气”“氧气”或“水蒸气”)，气泡上升过程中，所受浮力 __________(选填“变大”“不变”或“变小”)。  A　 水蒸气　 　变大　 67 (10)该小组同学想提高水的沸点，换用了火力更大的酒精灯加热，这种做 法____________(选填“可行”或“不可行”)。  (11)如果用硬纸片将烧杯盖得十分紧密，且纸片上无排气孔，则水的沸点 会__________(选填“升高”“降低”或“不变”)。生活中的__________就是应用 这一原理工作的。  (12)由实验可知，用炉火煲汤过程中，可在汤汁沸腾后______________(选 填“改为小火”或“继续大火”)加热。  　不可行　 　升高　 高压锅　 　改为小火　 68 【创新设问】 (13)实验室提供了一块比烧杯口稍大的圆形硬纸板，甲、乙两名同学 分别在硬纸板上剪出小孔，以便将温度计通过小孔插入烧杯内的水中。 如图所示，剪裁合适的是________，理由是__________________________ __________________。  　甲　 乙同学剪裁的孔会让温度计 玻璃泡碰到烧杯壁 69 (14)李老师在课堂上给学生进行了图丙的实验演示：水沸腾后把烧瓶从火 焰上拿开，水会停止沸腾。迅速塞紧瓶塞，把烧瓶倒置并向瓶底浇冷水， 如图。烧瓶内的水又重新沸腾，此过程中烧瓶内水蒸气遇冷__________ (填物态变化名称)，气压减小，水的沸点__________。  　液化　 　降低　 70 (15)按照图丁做成一个小纸锅，纸锅中装些水，放在酒精灯火焰上加热， 过一会儿水就会沸腾，而纸锅不会燃烧，小组内同学分析后，认为纸锅 不会燃烧的原因是______________________________________________。  水沸腾时，温度不变，且纸的着火点高于水的沸点 71 $$