专题03 平行四边形（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形 题型02 矩形 题型03 菱形 题型04 正方形 平行四边形题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（     ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 4．（23-24八年级下·安徽·期末）如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，平行四边形中，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如上图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，已知四边形中，，是上的动点，、分别是、的中点，当点在上从向移动时，那么下列结论成立的是：（   ） A．线段的长先减小后增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长逐渐增大 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列选项中错误的是（   ） A． B． C．四边形是平行四边形 D． 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，的对角线、交于点O，平分，分别交、于点E、P，且，，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（   ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点E，平分交于点F，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 15．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 16．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，是的中点，则的长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线，，则的最小值为（    ） A． B．10 C．15 D． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，平行四边形中，，则∠C的度数为（    ）    A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，M为中点，则线段的取值不可能为（　　） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（   ）． A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，中，，和相交于点O，点E在边上，且，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示，点O是平行四边形的对称中心，，E，F是边的三等分点；G，H是边的四等分点．若，分别表示和的面积，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，中，相交于点，若，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 28．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 29．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，，，，对角线与交于点，过作交于点，过作交于，则的长为 ． 31．（23-24八年级下·安徽·期末）如图1，中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，如图2若点的落点记为，则的长为 ． 32．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，点P是平行四边形内一点，连接，，，． （1）若的面积为s，则的面积为a，的面积为b，则 (用含s的式子表示)； （2）若的面积为3，的面积为，则的面积为 ． 33．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）中，，，，则的长是 ． 34．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，对角线、相交于点，，，，则的长为 ． 35．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ． 36．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，，，． （1）的长为 ． （2）点为平行四边形边上的一个动点，设点到直线的距离为．当时，满足条件的点有 个． 37．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ； （2）周长的最小值是 ． 38．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，． （1）过点作于，则 ； （2）四边形的面积为 ． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为 ． 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知：中，，，点E为中点，，则的面积为 ．    41．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，是内一点，，，，，，，，分别是的中点，则四边形的周长为 ． 三、解答题 42．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 43．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线AC上的两点，连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 44．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在格点上，点D，E分别是线段的中点． (1)请判断图中的是不是直角三角形？并说明理由； (2)求线段的长． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）用剪刀将形状如图（1）所示的矩形纸片沿着直线剪成①②两部分，其中M为的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图（2）中的 就是拼成的一个图形．用这两部分纸片除了可以拼成图（2）中的 外，还可以拼成一些特殊的四边形．请你试一试，把拼好的特殊四边形分别画在图（3）、图（4）的网格内． 46．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，．求证：． 47．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点D在y轴上．已知，，，从C点出发的E点，以每秒2个单位长度的速度向D点移动．M是的中点，的延长线交于F点． (1)求点B，C的坐标． (2)当四边形是平行四边形时，求点E的移动时间t． (3)当为等腰三角形时，直接写出点E的坐标______． 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，连接，，点G，H分别是，，的中点，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积为20，，则四边形的面积是______． 49．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)求的长． 50．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）在四边形中，对角线与相交于点O． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形． (1)直接判断上述三个命题的真假； (2)任选一个真命题，写出已知求证，并证明． 已知： 求证： 51．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)请在图中作出； (2)请你使用无刻度直尺作出的中点，记为点M（保留作图痕迹）． 52．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．    (1)将向右平移个单位长度后得到，请画出； (2)在平移的过程中，求扫过的面积．   53．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 54．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)求证：①； ②． (3)若，求证：． 55．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，，点E，F，G分别是，，的中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 56．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，中，，点，是的中点．求证：四边形是平行四边形．    矩形题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，，，B，C，D 在同一条直线上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，依据所标数据，能判定为矩形的四边形的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图．在矩形中．对角线与相交于点，若是的垂直平分线，且，则的长为（    ） A． B． C．6 D．3 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）在矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如图所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（    ） A．3 B．5 C． D． 8．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8E 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，在矩形中，点E在边上，F是的中点，若，则（   ） A．5 B． C． D．10 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点．若，，则的长为（   ）．    A．8 B． C． D． 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中， 的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 12．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）阅读与思考：宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如图，已知矩形是黄金矩形，对角线相交于且．关于黄金矩形，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．矩形的周长为 14．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，点为的中点，则线段的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D． 15．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（    ） A．4 B．5 C． D． 19．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）在矩形中，对角线与交于点O，，，则的长为 ． 22．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，已知是矩形的对角线，，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在对角线上的点，处，连接．则： （1） ． （2） ． 23．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）在矩形中，，，点E为线段上一个动点，把沿折叠，使点D落在点F处， （1）当时，的长为 ； （2）当为直角三角形时，的长为 ．    24．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则 ． 25．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，为边上任意一点（点与点不重合），连接，以，为邻边作平行四边形，连接． （1）当平行四边形为矩形时，的长为 ； （2）长的最小值是 ． 26．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，，点为边上一动点，于点，于点，为中点，则的最小值为 ． 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一动点，连接，并以为直角边做等腰直角三角形，其中． （1）当点F正好在边上时， ； （2）点E在边上运动时，的最小值等于 ． 28．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，，三点在同一条直线上时，的长度为 ． （2）若点落在线段上时，的长度为 ． 三、解答题 29．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，点E是上一点，连接，将沿着折叠，点B恰好落在上的点F处，． (1)求的长； (2)求的长． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，正方形网福中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． (1)在图中画一个，使其三边长分别为，，； (2)在（1）的条件下，若边上的中点为，直接写出的值为 ． 31．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在中，点E在边上，点F在边上，，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是矩形． 32．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 33．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接，交于点E，连接交于点F． (1)求证：． (2)若点G是线段的中点，补全图形并求证：为等腰直角三角形． (3)求证：． 34．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的最小值． 35．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的同学的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果想让风筝沿方向下降11米，则应该往回收线多少米？ 36．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，是边的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 37．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，是边上的高，E、F分别是边的中点，若，，求的周长． 38．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知矩形纸片，，．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点．再将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结，如图2． (1)求证：． (2)若，，求折痕的长． (3)当时，求出，之间应满足的数量关系． 39．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 菱形题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在菱形中，，P是菱形内的一点，连接，且，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，的对角线相交于点O，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在菱形中，，．若E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，交于点E，连接，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．2．4 5．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）菱形的两条对角线分别是6和8，则该菱形的面积是（    ）． A．24 B．48 C．14 D．10 二、填空题 6．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接． 下列四个结论： ①四边形是菱形；②；③；若， 则． 其中正确的结论是 ．（填序号） 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）两个全等的矩形纸片和按图所示的位置重叠在一起，已知，． （1）用准确的语言描述重叠的四边形的形状： ． （2）按照既得结论，四边形的面积是 ． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2012米停下，则这个微型机器人停在 点． 9．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为 ． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1） ； （2）若，则的最小值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在菱形中，为对角线，是上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 13．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E，F分别为，的中点，若连接，，，求四边形的周长． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材的部分内容：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证，四边形是菱形； 分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．请结合图，补全证明过程； （2）【应用】如图，将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，，则折痕的长为_______． （3）【拓展】如图，将沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交的边于点，若，，，求四边形的面积． 16．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，其中A的对应点为C，请画出线段； (2)以线段为一边，作一个菱形，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可） 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，点为线段上任意一点，求的最小值； (3)如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长为20，，求四边形的对角线之和． 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D、E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．    (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求． 20．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．    (1)在图①中，以为边画一个平行四边形，使且其面积为6； (2)在图②中，以为边画一个，使且其面积为10； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使且其面积为6． 21．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，，． (1)如图（1），求证：四边形是菱形； (2)如图（2），若，连接求证：是等边三角形； (3)如图（3），若，M是的中点，连接求的值． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O， (1)当满足什么条件时，四边形为菱形？ (2)求证：当时，四边形为矩形； 24．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在平行四边形中，的平分线交边于点，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，连接，当时，求证：． 25．（23-24八年级下·安徽六安·期末）图①，图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点（又称为“格点”）上． (1)请在图①中画一个以，为顶点，面积为6的平行四边形，另外两顶点，在格点上． (2)请在图②中画一个以，为顶点的菱形，另外两顶点，在格点上，并求出此菱形的边长． 26．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知点，是的对边，上的点，且，连接，与相交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，若，连接，，求证：四边形是菱形． 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 28．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，点E是的中点，连接OE，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求的长． 正方形题型04 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）在矩形中，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点，下列说法错误的是（    ） A．存在无数个平行四边形 B．当，且四边形是矩形，的长为 C．当四边形是菱形时，的长度为 D．当四边形是正方形时，的长度为 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，E，F为正方形边，的中点，连接，交于点P．有如下结论：①，②，③，④，其中成立的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（    ） A．16 B．25 C．49 D．64 6．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，边长为的正方形中，为对角线上的一点，连接并延长交于点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中正确的有（    ） ；；； A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 9．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为2，3，4，四个正方形的面积从左到右依次是，，，，则的值为（   ） A．13 B．20 C．25 D．29 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，点P在延长线上，则为（    ） A．2 B． C． D． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（   ） A．若，则为矩形 B．若平分，则为菱形 C．若，则为菱形 D．若，则为正方形 12．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 二、填空题 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为 ． （2）的值是 ． 16．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接、． （1）若，则的度数为 ； （2）过点作交于点，若，则的度数为 ． 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为9的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为 ． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形的边长为6，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ． 19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点P在对角线上，，，则： （1）m的最小值为 ； （2）若m的最小值为10，则 ． 20．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知M是边长为1的正方形内一点，若，，则 ． 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 三、解答题 23．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 25．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 26．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）（1）在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系．请你按照小亮的思路写出推理过程． （2）如图2，已知正方形，是正方形的内接等边三角形，请你找出之间的数量关系，并说明理由． 27．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． (1)当四边形为正方形时，直接写出的长； (2)若的面积等于3，求的长； (3)试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 28．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践： 【问题背景】： 如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． 【探索发现】 （1）探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点E，F分别是与的中点，连接，计算的长． 29．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 30．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知正方形，点M为边的中点，点G为线段上的一点，延长，分别与边，交于点E，F，且． (1)①求证； ②判断的形状，并给出证明． (2)若，求的长． 31．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）在正方形中，对角线与相交于点，点在线段上． (1)如图1，若． ①求证：平分； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，延长交于点连接，，当，求的长． 32．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，已知四边形和都是正方形，在上截取，延长到点，使，求证：四边形是正方形， 33．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．探究：当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正方形纸片中，P为正方形边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)探究，与的数量关系，并说明理由． 35．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，点E是正方形的对角线上一点，的延长线交于点G，过点E作的垂线交线段于点F，交线段于点H． (1)证明：； (2)若，求的长． 36．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，若平分，求的度数； (3)如图3，连接，若，，请直接写出的长． 37．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图1，在菱形中，E是边上的点，是等腰三角形，， （）． (1)如图2，当时，连接交于点P． ①直接写出的度数； ②求证： ． (2)如图1，当时，若，求的值． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作交于点，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)当时，求的长． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，四边形和四边形均为正方形，点C、B、G在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，当平分时，求； (3)如图2，M、N分别是对角线的中点，点H是的中点，求证：． 40．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 41．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． (1)如图①，当点F在线段上时，求证：； (2)如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； (3)如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． (1)如图①，连接，求证：； (2)如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； (3)如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 43．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在边长为4的正方形中， (1)如图1，，垂足为点O，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形 题型02 矩形 题型03 菱形 题型04 正方形 平行四边形题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，在中，根据点为中点可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 2．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】取中点，连接，利用三角形中位线定理证明是等边三角形即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接， ∵G为中点，H为中点， ∴， ∵等边中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选C． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（     ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；①先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 中，， ，故②正确； ③由②知：， ，故③正确； ④由②知：是的中位线， ， ， ， 故④正确； 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽·期末）如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 设于相交于点，利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出的度数． 【详解】解：∵在平行四边形中，过点的直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，平行四边形中，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，角平分线的性质．先求出，再求，最后根据三角形中位线定理求即可． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 平分 ， 为中点，为中点 为的中位线 ． 故选：A． 6．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如上图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了． 根据平行四边形的判断求解即可； 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小， 故选：C． 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，已知四边形中，，是上的动点，、分别是、的中点，当点在上从向移动时，那么下列结论成立的是：（   ） A．线段的长先减小后增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长逐渐增大 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，能够判断出是的中位线是解题的关键．连接，，根据题意可得是的中位线，得到，再根据点在上从向移动过程中，，即可求解． 【详解】解：连接，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 点在上从向移动过程中，， 线段的长逐渐减小， 故选：B． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列选项中错误的是（   ） A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】D 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故A正确； ，都是等边三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， 同理可证：， ， 四边形是平行四边形，故B、C正确； 过作于，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】记、相交于点，过点做于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，当时最短，即与重合，然后根据等腰三角形和含角的直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：记、相交于点，过点做于点， 四边形是平行四边形， ，， 要最短就是最短，当时最短， 即与重合， ，， 是等腰三角形， ， ， 根据直角三角形中角对应的边等于斜边的一半， ， 最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含角的直角三角形． 10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质、折叠的性质，根据平行四边形的性质与判定可得，再根据平行线的性质可得，，从而求得，再由折叠的性质得，利用求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴平行四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故选：C． 11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，的对角线、交于点O，平分，分别交、于点E、P，且，，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（   ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，，证明为等边三角形，得出，根据，得出，判断①正确；根据，，得出，判定②正确；根据中位线定理得出，，求出，，根据当时，，得出，而平行四边形的对角线不一定相等，与不一定相等，判定③错误；根据，判定④正确；根据勾股定理得出，根据，，得出，判断⑤正确． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴与不一定相等， ∴不成立，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确． 综上分析可知：正确的有4个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线性质，等腰三角形的判定和性质， 三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 12．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵E、F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，中线平分三角形面积的性质等知识，证明两个三角形全等及中线的性质是解题的关键．连接，结合平行四边形的性质可证明，则有；由题意易得，由此可求得结果． 【详解】解：如图，连接： 四边形是平行四边形， ， ，， 又点O为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点E，平分交于点F，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 15．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形要求边、角、对角线成立的条件逐个判断，即可解决问题． 【详解】解：A．，， 根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B．，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C．，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D．，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：A． 16．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，得，，则，由求出即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，是的中点，则的长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据勾股定理求出，得到的长，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ， ，， 是的中位线， ， 故选：D． 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线，，则的最小值为（    ） A． B．10 C．15 D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作，二线交于点，连接，则四边形是平行四边形，得到，，再利用平行线性质可求得，利用勾股定理可求得，然后根据，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值，最小值为等于，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，二线交于点，连接， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 由勾股定理，得， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 取得最小值，最小值等于 ∴的最小值． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，两点之间线段最短，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，由三角形内角和定理可求，由，可得，由，可求，则，即为的中点，，由勾股定理得，，由为的中点，可得，可求，则，根据求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 又∵为的中点， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线是解题的关键． 21．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，平行四边形中，，则∠C的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 又， ∴， 故选：D． 22．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，M为中点，则线段的取值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．延长，使，连接，先根据平行四边形的性质可得，证明，得出，根据三角形三边关系得出，得出，即可得出结论． 【详解】解：延长，使，连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ∴，， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长度不可能是， 故选：D． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：D． 24．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，中，，和相交于点O，点E在边上，且，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明，得到，再根据周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故选B． 25．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 26．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示，点O是平行四边形的对称中心，，E，F是边的三等分点；G，H是边的四等分点．若，分别表示和的面积，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据三等分点可得，；再结合点是的对称中心可得 ，即可求解． 【详解】解：连接，则必过点，如图所示： ∵，是边的三等分点， ∴， ∵G，H是边的四等分点， ∴， ∵点O是的对称中心， ∴ ∴， ∴； 故选A． 27．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，中，相交于点，若，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考据平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长， 故选：D． 28．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】A. 由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C. 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D. 由，可知，，即，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 二、填空题 29．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解． 【详解】解：设； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，，，，对角线与交于点，过作交于点，过作交于，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可得，在中，由勾股定理求出，进而得到，根据平行四边形的性质可得是的中点，由，得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在平行四边形中，对角线与交于点， 是的中点， 又， 是的中位线， ， 故答案为：． 31．（23-24八年级下·安徽·期末）如图1，中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，如图2若点的落点记为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 则在中，， 故答案为：． 32．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，点P是平行四边形内一点，连接，，，． （1）若的面积为s，则的面积为a，的面积为b，则 (用含s的式子表示)； （2）若的面积为3，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点分别作于点，延长交于点，根据平行四边形的性质和三角形面积公式可得到，即可求解； （2）由（1）知：，再根据，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）过点分别作于点，延长交于点， ∵ ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知：， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴． 故答案为：． 33．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）中，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理， 连接，过点A作，根据含角直角三角形的性质得到，勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，过点A作 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 34．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，对角线、相交于点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点，于点，由平行四边形的性质得，，，则，可证明，在上取一点，连接，使，则，所以，求得，由勾股定理得，求得，则，，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作交的延长线于点，于点，则， 四边形是平行四边形，，， ，， ， ，， ， 在上取一点，连接，使， 则， ， ， ， ，且， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，， ， 故答案为： 35．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】延长交于点F，由角平分线的定义可得，证得，可得，，从而可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形的中位线定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定和三角形的中位线定理证得是解题的关键． 36．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，，，． （1）的长为 ． （2）点为平行四边形边上的一个动点，设点到直线的距离为．当时，满足条件的点有 个． 【答案】 3 【分析】（1）由平行四边形，可得，由平分，可得，则，，，由勾股定理得，，，计算求解即可； （2）如图，作于，于，则，即，可求；，即，可求；由，可知边上各有一点，使点到直线的距离为；由，可知点与点重合时，点到直线的距离为；然后作答即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，作于，于，作平分交于，作于，于， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，； ∴，即， 解得，； ，即， 解得，； ∵， ∴边上有一点，使点到直线的距离为； ∵， ∴边上有一点，使点到直线的距离为； ∵， ∴点与点重合时，点到直线的距离为； 综上所述，满足条件的点有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边，勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等角对等边，勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离是解题的关键． 37．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ； （2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，最短路径问题；掌握平行四边形的性质，用勾股定理求边，利用对称性求最短距离是解题的关键． （1）过点作的垂线，交延长线于点，在等腰直角三角形中求即可； （2）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；则长为周长的最小值；在等腰直角三角形中求，即可. 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴点到直线的距离是3； 故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值； 由（1）知，在中，，， ， ， 由对称性可知，，， 是等腰三角形， 又， ， ， ∴周长的最小值； 故答案为：. 38．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，． （1）过点作于，则 ； （2）四边形的面积为 ． 【答案】 4 24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求出，最后根据勾股定理，即可解答； （2）连接，先求出，则，通过证明，则，再证明四边形是平行四边形，则四边形的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：4； （2）连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点、分别为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线 ∴，则， ∵点、分别为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，则， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积， 故答案为：24． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形和平行四边形．熟练掌握平行四边形的判断和性质，三角形全等的判断和性质，三角形中位线性质，是解决问题的关键． 延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，根据中点性质证明四边形是平行四边形，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，得到，推出，得到，根据，，得到，． 【详解】延长交于点F，延长到点G，使，连接，，， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知：中，，，点E为中点，，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行四边形的性质，推出，等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据的面积等于，进行求解即可． 【详解】解析：连接交于O， 四边形是平行四边形， ，，，   E为边的中点，   ， ∴， ∵， ，   ，   ， 的面积． 41．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，是内一点，，，，，，，，分别是的中点，则四边形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，首先利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：，，，， ， 、、、分别是、、、的中点， ，， 四边形的周长， 又， 四边形的周长， 故答案为：． 三、解答题 42．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 43．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线AC上的两点，连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质等． （1）由平行四边形的性质得，，由得，由全等三角形的性质得，即可得证； （2）由勾股定理得，由全等三角形的性质得 ，由线段的和差得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 44．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在格点上，点D，E分别是线段的中点． (1)请判断图中的是不是直角三角形？并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据三角形中位线定理进行求解即可． 【详解】（1）解： 是直角三角形．理由如下： 由题意理，得，，， ， 是直角三角形，． （2）由（1），得，而， ． ，E分别是线段的中点， 是的中位线， ． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）用剪刀将形状如图（1）所示的矩形纸片沿着直线剪成①②两部分，其中M为的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图（2）中的 就是拼成的一个图形．用这两部分纸片除了可以拼成图（2）中的 外，还可以拼成一些特殊的四边形．请你试一试，把拼好的特殊四边形分别画在图（3）、图（4）的网格内． 【答案】见解析 【分析】此题考查了图形的剪拼，平行四边形的判定，根据相等的边为与，与让相等的边重合，即可拼成等腰梯形和平行四边形． 【详解】根据题意，可以拼成如下四边形： 46．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案． 【详解】证明：∵是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 47．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点D在y轴上．已知，，，从C点出发的E点，以每秒2个单位长度的速度向D点移动．M是的中点，的延长线交于F点． (1)求点B，C的坐标． (2)当四边形是平行四边形时，求点E的移动时间t． (3)当为等腰三角形时，直接写出点E的坐标______． 【答案】(1)， (2)4 (3)或或 【分析】（1）由题意得，，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，即可求点B的坐标，根据平行四边形的性质可得，利用勾股定理求得，即可求点D坐标； （2）根据平行四边形的性质可得点E是的中点，进而求解即可； （3）分类讨论：①，②，③，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵M是的中点，四边形是平行四边形， ∴时，点E是的中点， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得，，，，， 当为等腰三角形时，①当时， ∵， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∴， ②当时，过点M作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时，过点E作于点N， ∵，， ∴， 设，则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 综上所述，点E的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及解一元二次方程，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，连接，，点G，H分别是，，的中点，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积为20，，则四边形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，而，所以，则四边形是平行四边形，所以，因为，，所以，则四边形是平行四边形； （2）连接，设与之间的距离为，则，由，得，所以，因为，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：连接，如图，    设与之间的距离为，则， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 49．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理结合题意可得出，，即判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得出，再根据等边三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵为的中点，三角形为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握等边三角形“三线合一”的性质和特殊四边形的判定和性质是解题关键． 50．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）在四边形中，对角线与相交于点O． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形． (1)直接判断上述三个命题的真假； (2)任选一个真命题，写出已知求证，并证明． 已知： 求证： 【答案】(1)①真命题；②假命题；③假命题 (2)已知：如果，；求证：四边形是平行四边形；证明见解析 【分析】本题考查平行四边形判定，判断命题真假． （1）根据平行四边形判定即可得到本题答案； （2）根据题意选出条件和结论利用平行四边形判定即可． 【详解】（1）解：∵四边形中，对角线与相交于点O． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴①是真命题， ∵，， ∴条件不满足证明四边形是平行四边形， ∴②是假命题， ∵，， ∴条件不满足证明四边形是平行四边形， ∴③是假命题． （2）解：选命题① 已知：如果， 求证：四边形是平行四边形 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 51．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)请在图中作出； (2)请你使用无刻度直尺作出的中点，记为点M（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行四边形，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握作平行四边形，平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，点向右2个格点，向上3个格点为，连接，即为所作； （2）如图2， 点向下3个格点，向左2个格点为，连接，连接交于，点即为所作． 【详解】（1）解：如图1，点向右2个格点，向上3个格点为，连接，即为所作； （2）解：如图2， 点向下3个格点，向左2个格点为，连接，连接交于， ∴四边形是平行四边形， ∴为的中点，点即为所作． 52．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．    (1)将向右平移个单位长度后得到，请画出； (2)在平移的过程中，求扫过的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)平方单位 【分析】本题考查平移作图，三角形的面积和平行四边形的面积， （1）分别将点、、向右平移个单位长度，得到点、、，然后顺次连接得到； （2）根据扫过的面积等于平行四边形的面积三角形的面积解答即可； 解题的关键是掌握平移的性质，平行四边形的判定与性质． 【详解】（1）解：如图所示：即为所作；    （2）连接、， ∵将向右平移个单位长度后得到，点、的对应点分别为点、， ∴，， ∴四边形是平行四边形， （平方单位）， ∴扫过的面积为平方单位．    53．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可； （2）根据平行四边形的性质以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求． （2）连接交于点，作直线，直线即为所求． 54．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)求证：①； ②． (3)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析  ②证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据垂直得到，再根据正方形的性质得到，最后根据等边对等角证明即可； （2）①在上取一点，使，连接，，，先证明，进而证明，再根据平行四边形的判定和性质得到，，最后根据勾股定理即可证明； ②连接交于点，先根据四边形是正方形，证明四边形是矩形，再根据全等三角形的性质证明即可； （3）设，，则，分别表示出，进而得到，再根据得到，即可证明. 【详解】（1）证明：， 四边形是正方形， ， 为等腰直角三角形． （2）①如图1，在上取一点，使，连接，， 在和中， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴ ∴ ，即， ， 由勾股定理得， ． ②如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，， 由勾股定理得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． （3）设，，则， ，， ，， 由勾股定理得， ， 若， 则， ， 即． 【点睛】本题考查了垂直的定义，正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题的关键. 55．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，，点E，F，G分别是，，的中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握三线合一的性质， （1）根据平行四边形的性质可得，在证是等腰三角形，可得 ； （2）根据中位线定理得，根据平行四边形性质得，等量代换得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ． （2）证明：为中点， 分别是的中点， ，． 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形． 56．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，中，，点，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质得出四边形为平行四边形，进而证明四边形为平行四边形，即可． 【详解】证明：由平行四边形可知，， 又，， 四边形为平行四边形，得到  ， 又、分别是、的中点， ， 又， 四边形为平行四边形. 矩形题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，，，B，C，D 在同一条直线上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质， 过点A作，根据勾股定理求出，然后得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作 ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，依据所标数据，能判定为矩形的四边形的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：第一个图：∵两组对边相等， ∴四边形是平行四边形，不能判定为矩形， 第二个图，对边平行且相等，则四边形是平行四边形， 又由于有1个角是直角，则四边形是矩形； 第三个图，两组对边相等， 则四边形是平行四边形， 又∵ 则有1个角是直角，则四边形是矩形； 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，过点A作于点E，过点D作于点F，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，由勾股定理得到，作点B关于直线的对称点G，连接交于点P，则此时，此时取得最小值为，证明四边形是矩形，则，，求出周长取得最小值为，再由三角形中位线定理求出答案即可. 【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F， ∵， ∴,， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， 作点B关于直线的对称点G，连接交于点P，则此时， ∴， 此时取得最小值为，即长，此时周长取得最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴周长取得最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图．在矩形中．对角线与相交于点，若是的垂直平分线，且，则的长为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】四边形是矩形， ． 垂直平分， ， ， ． 在中，，，， ． 故选B． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）在矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如图所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠的问题，勾股定理的应用，由折叠的性质可得出，设，则，由矩形的性质可知，根据勾股可得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得出， 设， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 故的长为10． 故选：C． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，延长交的延长线于，可得，得到，又由，是边的中点，可得，得到，即得，进而得，得到，再由得到，由即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键． 过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，根据题意，设，则有勾股定理，分别求得，根据已知数据以及，进而即可求得的长． 【详解】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， ， ，，， ． 故选：D． 8．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，动点最小值问题．根据题意可得高为，继而得到动点E的运动轨迹，再做对称利用勾股定理即可求出最小距离． 【详解】解：∵矩形中，，，． ∴设高为， ∴，即：， ∴动点在与平行且与距离是3的直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴则的长就是所求的最短距离， 在中， ∵，， ∴， 即：的最小值为， 故选：B． 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，在矩形中，点E在边上，F是的中点，若，则（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理等．根据题意设，则，在中应用勾股定理求得的值，再在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：由题意设，则， ∵矩形中， ∴， ∵， ∴中：，解得：， ∵， ∴在中：， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点．若，，则的长为（   ）．    A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，证明，则，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，则∴，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：C． 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中， 的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可判断①；易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，利用“边角边”证明，得到，从而判断②；由于，所以，从而判断③；因为，所以可设，，由勾股定理表示出，求得，过作于，求得，从而判断④． 【详解】解：平分， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 故①正确； ，， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ， ， ， 故②错误； ， ， 故③正确； ， 设，， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ， ， ， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等．熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 12．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，先证明，再证明，得出，即可得出正确；连接并延长交的延长线于，先证明，再由直角三角形斜边上的中线性质得出正确；由得出，再证明，得出，即可得出正确；通过直角三角形的斜边大于直角边得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、连接并延长交的延长线于，如图所示： ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 故选：． 13．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）阅读与思考：宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如图，已知矩形是黄金矩形，对角线相交于且．关于黄金矩形，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．矩形的周长为 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 由矩形是黄金矩形，可得，，可判断A的正误；由，可求，进而可得矩形的周长，可判断D的正误；由，可判断B的正误；由，可判断C的正误． 【详解】解：∵矩形是黄金矩形， ∴，， A正确，故不符合要求； ∴，即， 解得，， ∴矩形的周长为， D正确，故不符合要求； ∴， B正确，故不符合要求； ， C错误，故符合要求； 故选：C． 14．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，点为的中点，则线段的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，矩形判定及性质等．根据题意先分析出，当点运动到时，有最小值，此时，再利用勾股定理及等积法即可求出本题答案． 【详解】解：∵中，，且，， ∴， ∵当点运动到时，有最小值，此时线段有最小值， ∵点作于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴，解得：， ∴， 故选：D． 15．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，延长交的延长线于点G，连接．求出,得到，证明，得到，则，求出，证明设，由勾股定理解得，即可得到答案. 【详解】延长交的延长线于点G，连接． ∵矩形中，， ∴， ∵E为边的中点， ∴, ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，由得方程 解得   即 故选：B 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：为的中位线， ， ，是的中点， ， ， 故选：A． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查斜边上的中线，三线合一，勾股定理．斜边上的中线得到，，得到，三线合一，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，E是中点，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 19．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是得到时，的值最小．勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，由直角三角形的斜边中线定理得到，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等面积法求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ， 为中点， ， ，， 四边形是矩形， 连接，则， ， 当最小时，最小， 垂线段最短， 当时，最小， 此时，即：， ， 的最小值为， 故选：D． 20．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形的外角等于两个不相邻的内角和是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质得出，即得出，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 21．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）在矩形中，对角线与交于点O，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形性质，含30°角的直角三角形性质的应用，求出是解题的关键．先证明，，再进一步解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：12． 22．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，已知是矩形的对角线，，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在对角线上的点，处，连接．则： （1） ． （2） ． 【答案】 2 【分析】本题考查矩形与折叠问题，掌握矩形的性质并用勾股定理列方程是解题的关键， （1）根据勾股定理求出，根据翻折求出和，继而用得解； （2）设，则，，利用勾股定理列出方程求解出HF，再用勾股定理 得，代入求值即可． 【详解】（1）是矩形的对角线，，， ，， 将沿翻折，将沿翻折，点，分别落在对角线上的点，处， ，， ． （2）设，由折叠可知， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 在中，，， 则， 故答案为：2；． 23．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）在矩形中，，，点E为线段上一个动点，把沿折叠，使点D落在点F处， （1）当时，的长为 ； （2）当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】 或 【分析】本题考查等积法，勾股定理，折叠性质，矩形性质等．根据题意利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长，当为直角三角形时分两种情况讨论，第一种考虑时，第二种考虑时，分别利用勾股定理即可求出． 【详解】解：（1）∵矩形中，，，， ∴， ∴， 连接交于点，则，    ∴， ∵，解得：， ∴， 故答案为：； （2）①如图，若点落在上时，为直角三角形，    ∵，，， ∴， ∵把沿折叠，使点D落在点F处， ∴， ∵， ∴，即：， ②如图，若点落在上时，为直角三角形，    ∵把沿折叠，使点D落在点F处， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， 故答案为：或． 24．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等．根据题意可得，利用三角形的中位线定理可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵D、E分别为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 25．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，为边上任意一点（点与点不重合），连接，以，为邻边作平行四边形，连接． （1）当平行四边形为矩形时，的长为 ； （2）长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、矩形的性质， （1）先用勾股定理求出，根据平行四边形为矩形，可得，再根据，问题即可求解； （2）以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知当时，最小，从而可求出的最小值． 【详解】（1），，， ， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是平行四边形， ∴， 如图，当时，最小， ∵， ， 解得：， 则的最小值为， 故答案：，． 26．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，，点为边上一动点，于点，于点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂线段最短等知识点．求出的最小值是解题的关键．如图，连接，证明四边形是矩形，得，推出，根据垂线段最短得出时，的值最小，继而确定的最小值，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分且， ∵为中点， ∴与的交点就是点， ∴，即， 即当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时取最小值， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一动点，连接，并以为直角边做等腰直角三角形，其中． （1）当点F正好在边上时， ； （2）点E在边上运动时，的最小值等于 ． 【答案】 3 / 【分析】（1）当点F正好在边上时，如图，根据四边形是矩形，得出，证明，得出，根据即可求解； （2）点E在边上运动时，如图，过点F作交于点H，证明，得出，设，得出，在中，根据勾股定理即可得出，当 时，最小，最小值为，故的最小值为； 【详解】解：（1）当点F正好在边上时，如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）点E在边上运动时，如图，过点F作交于点H， ， ， ， ， ， ， 设， ， 在中，， 当 时，最小，最小值为，故的最小值为； 故答案为：3，． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 28．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，，三点在同一条直线上时，的长度为 ． （2）若点落在线段上时，的长度为 ． 【答案】 或 【分析】（1）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，在中由勾股定理可求解； （2）过点作于，过点作于，由可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ，， 以为轴将进行翻折，得到， ∴，，， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作于， 以为轴将进行翻折，得到， ∴，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，， ∴， 四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， 四边形是平行四边形， ， ， 当与点重合时，，则 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 29．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，点E是上一点，连接，将沿着折叠，点B恰好落在上的点F处，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查矩形性质，矩形与折叠问题，勾股定理等． （1）根据矩形性质得，继而利用折叠性质得，再利用勾股定理即可得到本题答案； （2）先得到，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿着折叠，点B恰好落在上的点F处， ∴， ∴， ∴的长为3； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，正方形网福中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． (1)在图中画一个，使其三边长分别为，，； (2)在（1）的条件下，若边上的中点为，直接写出的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题属于几何变换综合题，勾股定理以及逆定理，直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用勾股定理，画出图形即可； （2）先根据勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，再直角三角形的斜边上的中线性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，，，，即为所求； （2），，， ，， ， 是直角三角形，且， 是边上的中点， ， 故答案为：． 31．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在中，点E在边上，点F在边上，，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，是解决问题的关键． （1）根据平行四边形性质得到，结合，推出，即得； （2）根据平行四边形性质得到，结合，得到，推出四边形是平行四边形，根据，即得是矩形． 【详解】（1）∵中，， 且， ∴， ∴； （2）∵中，， 且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． 32．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)线段的长度为3 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质即可得出答案； （2）由勾股定理得出，由折叠的性质得出，从而得出，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）设点，过点作，交y轴于点，交于点，证明，得出，求出，从而得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与线段上的点重合， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴线段的长度为3； （3）解：设点， 如图，过点作，交y轴于点，交于点， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 33．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接，交于点E，连接交于点F． (1)求证：． (2)若点G是线段的中点，补全图形并求证：为等腰直角三角形． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明，再利用等腰三角形的三线合一可得结论； （2）先证明，可得，再证明（）．可得，．再进一步可得结论； （3）证明，结合．可得，设，可得，再进一步可得答案； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点G是线段的中点， ∴， 在和中，， ∴（）． ∴，． ∴为等腰三角形． ∵， ∴，即． ∴为等腰直角三角形． （3）解：∵，，， ∴（等腰三角形的三线合一）， 由（2）可知，． ∴，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，二次根式的除法运算，掌握基础几何图形的性质是解本题的关键. 34．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质和判定，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键． （1）首先证明出四边形为平行四边形，然后由即可由证明出四边形是矩形； （2）首先根据矩形的性质得到，然后判断出当时，取得最小值，取得最小值，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，连接 ∵四边形是矩形 ∴ ∴当最小时，最小 ∴当时，取得最小值 ∵，， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∴的最小值为，即的最小值为． 35．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的同学的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果想让风筝沿方向下降11米，则应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为17.7米 (2)应该往回收线7米 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质，运用勾股定理计算第三边是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，再加上放风筝的同学的身高即可； （2）设风筝沿方向下降11米后达到M点，先求出，再用勾股定理求出，从而得解． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理，得， (负值舍去)， 依题意可知：四边形是矩形， 又∵牵线放风筝的同学的身高为1.7米，即米， (米)． 答：风筝的垂直高度为17.7米； （2）设风筝沿方向下降11米后达到M点， 由题意，得米， ， (米)， (米)， 应该往回收线7米． 36．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，是边的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据三线合一，得到，即可得证； （2）三线合一，结合勾股定理求出的长，矩形的性质求出周长即可． 【详解】（1）证明：由题意，得：， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵，是边的中线， ∴， ∴， ∴矩形的周长为． 37．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，是边上的高，E、F分别是边的中点，若，，求的周长． 【答案】12 【分析】本题考查了中位线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，先根据勾股定理列式计算，再结合是边上的高，则和都是直角三角形，因为E、F分别是边的中点．得出，，以及是的中位线，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴． 又∵是边上的高， ∴和都是直角三角形， ∵E、F分别是边的中点． ∴，， 则是的中位线 ∴， ∴的周长为． 38．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知矩形纸片，，．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点．再将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结，如图2． (1)求证：． (2)若，，求折痕的长． (3)当时，求出，之间应满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得四边形是矩形，可得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）过点E作于点D，由题意可得，则有，，设，则，然后根据勾股定理可求解； （3）当时，过点E作于点N，连接，进而得出是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 在矩形中，， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点D，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，过点E作于点N，连接，如图所示：    由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：； 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 39．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据已知条件得出，进而得到，再结合平行四边形的性质，得出，即可证明结论； （2）根据矩形的性质，易证是等边三角形，进而得到，，再证明四边形是平行四边形，从而推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 菱形题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在菱形中，，P是菱形内的一点，连接，且，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，根据题意可推出；当的面积最小时，点P到的距离最小，即点P到的距离最大；当是等腰直角三角形时，即点P到的距离最大.据此即可求解. 【详解】解：在菱形中， ∵ ∴. ∴， ∴， ∴． 当的面积最小时，点P到的距离最小，即点P到的距离最大； 当是等腰直角三角形时，即点P到的距离最大. 如图，过点C作于点F，于点E. 在菱形中，， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点P到的距离为， ∴的面积的最小值为. 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，的对角线相交于点O，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，熟知矩形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； 添加条件，可得，则四边形是菱形，不能证明四边形是矩形，故A不符合题意； 添加条件，可得，进而可得，则四边形是矩形，故B符合题意； 添加条件，可得，则四边形是菱形，不能证明四边形是矩形，故C不符合题意； 添加条件，可得，则四边形是菱形，不能证明四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在菱形中，，．若E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定性质、三角形中位线定理．连接、交于O，根据三角形中位线性质得到，，，，推出四边形是平行四边形，求得，得到四边形是矩形，根据等边三角形性质易得，，于是得到结论． 【详解】连接、交于O，    ∵四边形是菱形， ∴，，，，则， ∵点E、F、G、H分别是边，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∴图中阴影部分，即四边形的面积为， 故选：B． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，交于点E，连接，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．2．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）菱形的两条对角线分别是6和8，则该菱形的面积是（    ）． A．24 B．48 C．14 D．10 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线积的一半是解此题的关键．由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8， ∴这个菱形的面积是：． 故选A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接． 下列四个结论： ①四边形是菱形；②；③；若， 则． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】利用矩形的性质和线段垂直平分线证明，进而可得出四边形是菱形，无法证明或是平分线，即不可得出，由菱形的面积公式可得出，由菱形和矩形的性质即可证明，则过点E作交于点H，利用勾股定理即可求得，则为等边三角形，即可判定． 【详解】解： 根据作图可得是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确． ∵无法证明或是平分线， ∴无法确定，故②错误． 由菱形的面积可得，故③错误． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 过点E作交于点H，如图， 则， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 则．故正确． 综上：①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）两个全等的矩形纸片和按图所示的位置重叠在一起，已知，． （1）用准确的语言描述重叠的四边形的形状： ． （2）按照既得结论，四边形的面积是 ． 【答案】 菱形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质及菱形的判定，勾股定理； （1）证四边形是平行四边形，再证明，得，得到四边形是菱形； （2）根据菱形的四条边相等，设，则，，然后在中，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）两个完全相同的矩形纸片、，根据矩形的对边平行， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ． ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形． （2）由（1）知：， 设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：， 即， 四边形的面积是． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2012米停下，则这个微型机器人停在 点． 【答案】E 【分析】根据菱形的四条边都相等可知，微型机器人行走一周的路程为8米，用2012除以8，再根据余数确定停靠的点即可．本题考查了菱形的性质．注意根据菱形的四条边都相等确定飞行一周的路程为8米是解题的关键． 【详解】解：两个全等菱形的边长为1米， 一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边行走一周走过的路程为（米）， ， 行走2012米与行走4米后停下的点相同， 由图可知，行走4米后停在点， 这个微型机器人停在点． 故答案为：E． 9．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为 ． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-对短路径的计算，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）连接交于点，根据菱形的性质可得是含角的直角三角形，由此可得的值，根据菱形的面积计算方法即可求解； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，可证四边形为平行四边形，可得，于是当三点共线时，最小，根据菱形的性质，可证为等边三角形，，由此三点共线，当三点共线时，点，重合，可知，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得， ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ，当三点共线时，最小， 四边形是菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线，当三点共线时，点，重合， ， ∴，即的最小值为4． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1） ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，三线合一，即可得出结果； （2）取的中点，的中点，连接，，根据三角形的中位线定理，推出点在上运动，当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵E是中点， ∴平分， ∴； 故答案为：； （2）取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴三点共线， ∴点在线段上运动， ∴当时，最小， ∵菱形， ∴，，， 由（1）知：为等边三角形， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同法可得：，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在菱形中，为对角线，是上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形的性质中每一条对角线平分一组对角且四条边都相等证得即可求解； （2）连接交于点，利用菱形的性质推得是等边三角形，通过勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，为对角线， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的性质等知识是解题关键． 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积为 【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，，推出平行四边形是矩形，得到，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，利用勾股定理求出，再结合菱形的性质求出、，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， 平行四边形是矩形， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为：． 13．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键； （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （2）解：由（1），得四边形是菱形． ，平分， ， ， ，． ，， 四边形是平行四边形， ，， ． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E，F分别为，的中点，若连接，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理； （1）由对角形互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证； （2）由三角形中位线定理得，由勾股定理得求出，由菱形的性质即可求解； 掌握菱形的判定方法，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：平行四边形中， 四边形是菱形， ； （2）解：点E，F分别为，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为： ． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材的部分内容：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证，四边形是菱形； 分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．请结合图，补全证明过程； （2）【应用】如图，将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，，则折痕的长为_______． （3）【拓展】如图，将沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交的边于点，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（）由四边形是矩形，得，则，根据垂直平分线的性质得，，从而证明，由性质证明四边形是平行四边形即可； （）过点作于，由勾股定理，求出，则，证明四边形是矩形，则，，，最后由勾股定理即可求解； （）过点作，交的延长线于，过点作于，由四边形是平行四边形，，得，求出，最后由勾股定理和面积公式即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形， （）如图，过点作于， ∵将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作，交的延长线于，过点作于， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点的对称点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积是． 16．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，其中A的对应点为C，请画出线段； (2)以线段为一边，作一个菱形，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-平移变换和菱形的性质以及勾股定理． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据菱形的性质结合网格作出图形即可． 【详解】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，菱形即为所求，（答案不唯一）． ， ∴四边形是菱形． 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，点为线段上任意一点，求的最小值； (3)如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)5 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的定义，易证，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质，证明四边形是菱形，得出，进而得到，即当点、、三点共线时，有最小值，利用勾股定理，求出的长即可； （3）过点作交延长线于点，根据平行四边形的性质和折叠的性质，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得出，进而得到，设，则，，由勾股定理，求得，即可求出的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图1，连接交于点，连接， 由（1）可知，， ， 垂直平分， ，， ， 四边形是菱形， 、两点关于对称， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ， 即的最小值为5； （3）解：如图2，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，， 由折叠的性质可知，，，，， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作辅助线，掌握特殊四边形的性质是解题关键． 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长为20，，求四边形的对角线之和． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）设交于点O，根据线段垂直平分线的性质，可得，，，由“”可证，则可得，继而证得结论； （2）由四边形是菱形，可得，根据菱形的周长为20，，得到，进而得到，由勾股定理结合完全平方公式可求的值，即可求出四边形的对角线之和． 【详解】（1）证明：设交于点O， 是的垂直平分线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如（1）图， 四边形是菱形， ， 菱形的周长为20，， ， ， ， 在中，， ， （负值舍去）， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，完全平方公式的应用，证明三角形全等时解题的关键． 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D、E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．    (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线即可得，结合得出，证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，进而可得结论； （2）根据角形的性质和等边三角形的性质可得，所以得，再根据含30度角的直角三角形即可得结果． 【详解】（1）证明：∵、分别为、的中点， ∴， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形为菱形． （2）解：∵平行四边形为菱形， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理、勾股定理，含30度角的直角三角形等知识，得出是解题关键． 20．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．    (1)在图①中，以为边画一个平行四边形，使且其面积为6； (2)在图②中，以为边画一个，使且其面积为10； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使且其面积为6． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，菱形的性质，勾股定理以及勾股逆定理的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题， （1）根据平行四边形的性质，则,的高为，得出其面积为6，画图即可； （2）根据网格特征以及勾股定理得出、再结合勾股逆定理列式，画图即可； （3）根据菱形的性质，则，进行画图即可． 【详解】（1）解：平行四边形如图所示：    （2）解：如图所示：    （3）解：菱形如图所示：    21．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到，先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定可证的结论； （2）根据平行四边形的性质和菱形的性质证明是等边三角形，进而得到可求解． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是平行四边形，， ∴，，，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，，． (1)如图（1），求证：四边形是菱形； (2)如图（2），若，连接求证：是等边三角形； (3)如图（3），若，M是的中点，连接求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再证明四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）证明：如图2，连接 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （3）如图3中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形． 设， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O， (1)当满足什么条件时，四边形为菱形？ (2)求证：当时，四边形为矩形； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，根据，结合平行线的性质，推出，即可得出四边形为菱形； （2）先根据平行线的性质，得到，进而得到，三角形的外角，推出，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）当时，四边形为菱形，理由如下： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平行四边形的边延长至点E，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 24．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在平行四边形中，的平分线交边于点，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，连接，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形得，，所以，，由是的平分线得，所以，得； （2）延长、交于点，连接，可证得四边形是平行四边形，四边形是菱形，推出和都是等边三角形，再证明，得出，进而证得结论． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是平行四边形， ，， ，， 平分， ， ， ； （2）证明：如图2，延长、交于点，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 和都是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 25．（23-24八年级下·安徽六安·期末）图①，图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点（又称为“格点”）上． (1)请在图①中画一个以，为顶点，面积为6的平行四边形，另外两顶点，在格点上． (2)请在图②中画一个以，为顶点的菱形，另外两顶点，在格点上，并求出此菱形的边长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析，菱形的边长为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）作一个底为3，高为2的平行四边形即可； （2）作出的垂直平分线，即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点． 【详解】（1）解：四边形面积为， 平行四边形的底可为3，高可为2， 如图所示 （2）解：四边形为菱形， 四边形对角线垂直平分， 作出的垂直平分线， 即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点， 如图所示， 在直角中， ， 菱形的边长为． 26．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知点，是的对边，上的点，且，连接，与相交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，若，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，进而由即可证明； （）由得是菱形，即得，，可证，得到，同理可得，，再证明，得到，即得，即可求证； 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键 ． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， 由（）得，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 28．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，点E是的中点，连接OE，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟记矩形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ． ， ， 于点，于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． 正方形题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查特殊的平行四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的各种判定方法是解题的关键．根据特殊的平行四边形的判定方法判断即可． 【详解】解：A、有一组邻角相等，则平行四边形为矩形是正确的，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由选项A得：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故本选项不符合题意； B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形这一判定定理得该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，理由如下： 如图，∵矩形， ∴， 由题意得平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故本选项不符合题意； D、菱形本身对角线就互相垂直，故该选项错误，符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）在矩形中，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点，下列说法错误的是（    ） A．存在无数个平行四边形 B．当，且四边形是矩形，的长为 C．当四边形是菱形时，的长度为 D．当四边形是正方形时，的长度为 【答案】B 【分析】由矩形的性质证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要满足 ，那么四边形就是平行四边形，据此可判断A；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得、，由线段的和差即可判断B；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得，设，，由等积法得，再由菱形的性质结合勾股定理解一元二次方程求出，最后由线段的差即可判断C；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得，设，，由等积法得，再由正方形的性质结合勾股定理解一元二次方程求出，即可得到即可判断D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴只要满足 ，那么四边形就是平行四边形， ∵点，是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故A说法正确，但不符合题意； 如图所示，连接，过作于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 综上：的长为或，故B说法错误，符合题意； ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵ ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴，故C说法正确，但不符合题意； ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴，故D说法正确，但不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解一元二次方程，掌握以上知识点、正确添加辅助线、利用数形结合的方法是解题关键． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，E，F为正方形边，的中点，连接，交于点P．有如下结论：①，②，③，④，其中成立的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质；①由可判定，由全等三角形的性质即可判断；③由全等三角形的性质得，即可判断；②由，且、不是正方形的对角线得，可得，即可判断；④由全等三角形的性质得，由即可判断；掌握相关判定方法及性质及正方形中“十字架”的典型解法是解题的关键． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， E，F为边，的中点， ， 在和中 ， （）， ， 故此项正确； ③由①得： ， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ②， 且、不是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， 故此项不正确； ④由①得：， ， ， ， 故此项正确； 故选：C． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解本题的关键． 证明，得，则，根据勾股定理得出，再根据等面积法可得的长，进而可得结论． 【详解】解：四边形为正方形，， ，． 又， ， ， ． ， ， ． 在中，，， ． 由等面积法可得， ． 故选：D． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（    ） A．16 B．25 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理．掌握数形结合思想是解题的关键．根据题意，再根据大正方形的面积是289，即得出大正方形的边长为，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是289， ∴． ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积是． 故选C． 6．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，边长为的正方形中，为对角线上的一点，连接并延长交于点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．熟练掌握正方形的性质是解题关键． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故选：． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中正确的有（    ） ；；； A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，过作于点，过作于点，然后根据正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可，正确的作出辅助线及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】过作于点，过作于点，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， 在和中， ∴， ， ∴， ∴矩形为正方形， ∴，，，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误， 综上可知：正确， 故选：． 8．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质得出． 取中点P，连接、、，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】如图，取中点P，连接、，    ∵正方形的边长为4， ∴， ∴ 由折叠的性质可知，，Q为中点， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 9．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为2，3，4，四个正方形的面积从左到右依次是，，，，则的值为（   ） A．13 B．20 C．25 D．29 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，发现两个小正方形的面积和是之间的等腰直角三角形的面积的两倍是解题的关键． 将已知的等腰直角三角形翻折得正方形，运用勾股定理可知，每两个相邻得正方形面积和等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答． 【详解】解：如图，观察发现，等腰直角三角形翻折得正方形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 同理． 则． 故选：B． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，点P在延长线上，则为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，交于点，交于点，易得四边形，四边形均为矩形，，均为等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（   ） A．若，则为矩形 B．若平分，则为菱形 C．若，则为菱形 D．若，则为正方形 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ， A、时，，则平行四边形为矩形，故本选项不符合题意； B、平分时，，，所以平行四边形为菱形，故本选项不符合题意； C、选项中，不能得出为菱形，故本选项符合题意； D、时，，且，所以平行四边形为正方形，故本选项不符合题意； 故选：C． 12．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，根据，即可得出，进而得到当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出的最小值为，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， ∵点是边的中点， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 14．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 二、填空题 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为 ． （2）的值是 ． 【答案】 【分析】（）作于点，于点，由正方形的性质得是角平分线，从而得到，再证明得，最后由正方形的判定得四边形是正方形即可求解； （）由正方形的性质得，，，从而可证，由全等三角形的性质得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，作于点，于点， ∴， ∵为对角线上一点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴正方形的面积； （2）由题意，得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接、． （1）若，则的度数为 ； （2）过点作交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 /度 /60度 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据正方形的性质，得到，再根据等边对等角的性质，得到．求解即可； （2）根据正方形的性质，证明，得到，由多边形内角和，得出，再根据等边对等角的性质，得到，进而证明是等边三角形求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为9的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为 ． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）取的中点，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，中位线定理求出的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）作于H点， ∵正方形的边长为9， ， ∵， ， ， ． 故答案为：； （2）取的中点，连接， ∵ ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴三点共线， ，， ， ，， ∵F为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和三角形的中位线是解题关键． 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形的边长为6，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，交于O，勾股定理求出，然后求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，交于O， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点P在对角线上，，，则： （1）m的最小值为 ； （2）若m的最小值为10，则 ． 【答案】 8 1或7/7或1 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． （1）在上取点E关于的对称点G，，利用轴对称的性质和正方形的性质得，即，点E，P，在一条直线上且时，垂直于时，取得最小值． （2）根据，,利用勾股定理表示出，，根据，得， ，把，代入解二元一次方程即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的对称性，在上取点E关于的对称点G，连接交于点P，如图， ， 则， ，为m的最小值． 四边形为正方形， ， 当时，距离最短，即四边形为矩形， ， ， m的最小值为8， （2），, ∵， ，， ， ，． ， ， ， 当m的最小值值为10，即， ， ， 解得：或7． 20．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形性质，勾股定理，当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大，当到的距离时，此时到的距离最大，即，根据折叠的性质得到，，推出四边形是正方形，利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大， ∴当到的距离时，此时到的距离最大， 即， 将沿翻折，点B的对应点为， ，， 四边形是正方形， 利用勾股定理得到， 点E为的中点，， ， ， ∴当面积最小时折痕的长为， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知M是边长为1的正方形内一点，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正方形性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，过点M作边的平行线交于Q，交于P，证明四边形、是矩形，则，，证明，又由，即可求出答案． 【详解】解：过点M作边的平行线交于Q，交于P， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴四边形、是矩形， ∴，， 由勾股定理得， 即， 同理可得   由， ∴   故答案为： 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 23．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 【答案】探究一：当时,四边形为菱形，理由见解析；探究二：的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，理由见解析，长为 【分析】探究一：当时,四边形为菱形，利用正方形和轴对称的性质得出，再由勾股定理和直角三角形的性质得出，然后利用菱形的判定即可得解； 探究一：①延长交边于点，由得出，由翻折得出，然后即可得出，进而即可得解；②由得出，设，然后由勾股定理得出，进而即可得解． 【详解】探究一： 当时,四边形为菱形，            理由如下： ， ， ∵翻折， ， ，                        ， ， ∴， ∴ ， ， ∴四边形为菱形；         探究二： ①的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，         理由如下： 延长交边于点， ， ∴在和中， ， ， ∵翻折， ∴， ∴， 的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变.          ②正方形纸片的边长为， ， ， ， 设 ， ， ， ， ，               解得，                   ∴长为． 【点晴】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理及动点问题的探究与解答等知识与方法，解题的关键是把折叠问题抽象为轴对称问题，以便于用轴对称的性质解决问题． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 【答案】(1)①证明见解析；②的值为 (2) 【分析】（1）①证明，即可得； ②过点分别作于，于，先证明，再证明，由此可得，，即可得到； （2）连接，延长至，使得，连接，由垂直平分线性质得，再证明，得，从而的最小值为的长，由勾股定理求得即可． 【详解】（1）①解：四边形为正方形， ，， 又，， ， ， 又为的中点， ； ②证明：过点分别作于，于， ，， 为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ； （2）解：如图，连接，延长至，使得，连接， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． 25．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的值为． 【分析】（1）作平行四边形，通过证得，即可证得结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：作平行四边形，则，，，如图， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作，交延长线于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 即的值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 26．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）（1）在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系．请你按照小亮的思路写出推理过程． （2）如图2，已知正方形，是正方形的内接等边三角形，请你找出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析 【分析】（1）根据小亮的思路进行作答即可； （2）延长至点使，连接交与点，过点作于点，先证明，得到，，推出，再证明，推出垂直平分，进而得到为等腰直角三角形，推出，即可得证． 【详解】解：（1）延长到点G，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 延长至点使，连接交与点，过点作于点， ∵正方形， ∴，， 同法（1）可得：， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握截长补短法，证明三角形全等，是解题的关键． 27．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． (1)当四边形为正方形时，直接写出的长； (2)若的面积等于3，求的长； (3)试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 【答案】(1)2 (2)2 (3)当时，的面积取得最小值 【分析】本题主要考查矩形、正方形及菱形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）当四边形为正方形时，则，可证明，由此求出的长； （2）作交的延长线于点M，可得，得，再由的面积等于3求出的长，进而求出的长； （3）当的面积取得最小值时，可推出的值最大，此时的值也最大，则点E与点B重合，求出这时的值即可． 【详解】（1）如图1，当四边形为正方形时，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，作，交的延长线于点M，连结， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）如图2，设， 由（2）得， ∴， ∴随x的增大而减小， 要使的面积最小，须使x的值最大， 在中，， ∴当取得最大值时，x的值最大， 而，此时的值最大， ∴点E与点B重合， 如图3， 此时，， ∴， ∴当时，的面积取得最小值． 28．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践： 【问题背景】： 如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． 【探索发现】 （1）探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点E，F分别是与的中点，连接，计算的长． 【答案】（1），且，理由见解析；（2）EF的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理和三角形中位线定理： （1）根据正方形的性质及可得，进而可得，，再证得，即可求解； （2）连接并延长交于点G，连接，证明，得到，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理得到，则． 【详解】（1），且， 理由：四边形是正方形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 线段和的关系为：，且； （2）连接并延长交于点G，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 点E为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 又点F为的中点， ， ， 正方形的边长为4，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 29．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断； （3）过作于点，过作于点，勾股定理求得，根据已知条件得出，进而求得，勾股定理求得，进而根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， 又点是正方形对角线上的一点，平分， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 矩形为正方形， ，． 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ． 在中， ． （3）解：如图所示，过作于点，过作于点， ∵正方形的面积为， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等． 30．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知正方形，点M为边的中点，点G为线段上的一点，延长，分别与边，交于点E，F，且． (1)①求证； ②判断的形状，并给出证明． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②是等腰三角形，证明见解析； (2)4 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，进而得到，然后证明出； ②根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而得到，然后由得到，然后利用等角对等边求解即可； （2）设，则，根据勾股定理得到，求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②∵ ∴ ∵点M为边的中点 ∴ ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）∵四边形为正方形， ∴， ∵点M为边的中点， ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 31．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）在正方形中，对角线与相交于点，点在线段上． (1)如图1，若． ①求证：平分； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，延长交于点连接，，当，求的长． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得出，根据等边对等角得出，进而求得，即可得证； ②过点作于点，勾股定理可得，进而根据角平分线的性质可得，即可得出； （2）取的中点M，连接，得出为的中位线，在中，，进而可得，证明四边形为平行四边形，得出，最后勾股定理，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 平分； ②， 理由如下： 过点作于点， ， ， ， ， 平分， ， ；    （2）取的中点M，连接， ∵四边形是正方形， ， 为的中点， 为的中位线， ， 在中，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ∵四边形是正方形， ，在中，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题． 32．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，已知四边形和都是正方形，在上截取，延长到点，使，求证：四边形是正方形， 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．根据正方形的性质，易证，得到，，推出四边形是菱形，再得出，即可证明结论． 【详解】解：四边形和都是正方形， ，，， ， ， ， ，， 在、、、中， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形 33．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．探究：当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析（2）（3）不变，的周长为12 【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出； （3）连接，，过点A作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由第一步折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）连接，    由折叠得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设则， 由勾股定理得， ∴ 解得，（负值舍去） ∴ 由折叠得，， ∴； （3）的周长不变，为定值12．理由如下： 如图，连接，，过点A作于点M，    由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长， ∴的周长为12． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正方形纸片中，P为正方形边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)探究，与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由题意，得，则．根据正方形性质得出，得出．结合，得出，即可证明，即平分． （2）如图1，过点F作于点K，设交于点O．证明四边形是矩形，得出．根据点B与点P关于对称，得出，证明，即可证明． （3）如图，过点B作，垂足为Q．由（1）知，．证明，得出．证出．再证明，得出，即可证明，即． 【详解】（1）证明：由题意，得， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即． 又∵， ∴， ∴，即平分． （2）证明：如图1，过点F作于点K，设交于点O． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点B与点P关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：． 理由：如图，过点B作，垂足为Q． 由（1）知，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 35．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，点E是正方形的对角线上一点，的延长线交于点G，过点E作的垂线交线段于点F，交线段于点H． (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定； （1）连接，证明，可得，，然后根据同角的补角相等求出，等量代换可得，则，然后可得结论； （2）求出，证明，求出，然后即可计算的长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 36．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，若平分，求的度数； (3)如图3，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形，可得，，由，可得，则，即，证明，进而可得； （2）由正方形，可得，由平分，可得，则，由平分，，可得，则，，根据，计算求解即可； （3）如图2，在上取点，使，连接，证明，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）解：如图2，在上取点，使，连接， 由（1）可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理是解题的关键． 37．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图1，在菱形中，E是边上的点，是等腰三角形，， （）． (1)如图2，当时，连接交于点P． ①直接写出的度数； ②求证： ． (2)如图1，当时，若，求的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①在上截取，连接，证明，再结合菱形性质得出结论；②作交于点N，证明四边形是平行四边形，根据性质得出，再根据勾股定理得出结论； （2）延长使，连接，过F作交延长线于点N，先证，求出，设，则，利用勾股定理求出，计算得出结论； 【详解】（1）解：①在上截取，连接， ， ， ， 又， ， ∴ 四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ； ②作交于点N， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）解：延长使，连接，过F作交延长线于点N， ∵， ∴ ∵， ， ， 设，则， ， ， 由勾股定理，得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质及添加辅助线解决问题是解题关键． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作交于点，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，进而可得； （2）由题意可得，，，则，由勾股定理得，，可求，则，设正方形的边长为，则，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可； （3）如图，作于，设，，则，，，由，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；同理可得，，，则，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形的边长为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形的边长为； （3）解：如图，作于，设，，    ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即，整理得，； 同理可得，，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，四边形和四边形均为正方形，点C、B、G在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，当平分时，求； (3)如图2，M、N分别是对角线的中点，点H是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）证明即可证明； （2）根据四边形和四边形均为正方形，得出，即可得，设，则，过点D作交于点H，当平分时，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得，在中，根据勾股定理即可求解； （3）连接，根据四边形和四边形均为正方形，M是的中点，得出的交点是点M，，即可得，，再根据点N是对角线的中点，得出，即可得，根据点N分别是对角线的中点，点H是的中点，利用三角形中位线定理得出，由（1）知，得出，在中，根据，即可证明； 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， 设，则， 过点D作交于点H， 当平分时， ， ， ， ∴， 在中，， 解得：， 故． （3）证明：连接， ∵四边形和四边形均为正方形，M是的中点， ∴的交点是点M，， ∴，， ∵点N是对角线的中点， ∴， ∴， ∵点N分别是对角线的中点，点H是的中点， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴， 即． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 40．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2；② 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）①根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；②由（1）知，四边形是正方形，得出．由（2）（ⅰ）知，，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：（ⅰ）平分， ． 在和中， ， ， ， ． （ⅱ）由（1）知，四边形是正方形， ． 由（2）（ⅰ）知，， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 41．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． (1)如图①，当点F在线段上时，求证：； (2)如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； (3)如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）过点作，先证明，得到，再证明，即可得出结论； （2）过点作，证明，得到，，再证明，得到，根据结合等量代换即可得出结论； （3）过点作，同法（2）即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作，则：， ∵正方形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）过点作，则：， 同（1）法可证：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作， 同法可证：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． (1)如图①，连接，求证：； (2)如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； (3)如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定； （2）过点作于，于，证四边形是正方形，得到，再用判定，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题； （3）过点作于，的延长线交于，于，根据（2）中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ； （2）解：如图②，过点作于，于，   ， 四边形是矩形， 平分，于，于， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图③，过点作于，的延长线交于，于，    由（2）可知四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 43．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在边长为4的正方形中， (1)如图1，，垂足为点O，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握上述性质，并灵活运用是解题的关键． （1）利用证明即可． （2）连接，利用正方形性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴． （2）连接，    ∵正方形， ∴， ∵垂直平分，且， ∴， 设， 则，， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， 故． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$