专题01 二次根式（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式 题型02二次根式的乘除 题型03二次根式的加减 二次根式题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）代数式中的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，分式的分母不等于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，则， 解得：； 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．如果，那么 B．全等三角形的对应角相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，能确定逆命题、会判断命题真假是解此题的关键． 首先确定每个命题的逆命题，再根据“正确的命题是真命题”依次进行判断即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么，正确；为真命题，故该选项符合题意； B．逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，错误，全等三角形的判定中没有，故该选项不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，故该选项不符合题意； D．逆命题为：如果，则或，错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A．没有意义，故该选项不符合题意； B．是三次根式，故该选项不符合题意； C．是二次根式，故该选项符合题意； D．当时，是二次根式，当时，无意义，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键． 先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴ ， 故选：B． 7．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）已知有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若，则化简的结果是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简等知识点，根据题意得到，，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ ， 故选：B． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，那么化简的结果是（   ）． A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．由可得出，进而可得出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各式运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据二次根式的性质化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质：，是解题的关键． 根据二次根式的性质，化简各项中的二次根式，即可得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B． ，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 11．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵， 又∵是正整数，是整数， ∴符合条件的的最小值是， 故选：D． 12．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， ， ， ， 故选B． 13．（23-24八年级下·安徽池州·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、是三次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且. 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故答案为： 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若要使有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，解得， 故答案为：． 19．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的化简．熟练掌握数轴，二次根式的化简是解题的关键． 由数轴可得，然后进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索； （1）根据题目规律直接得出答案即可； （2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可； 准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键． 【详解】（1）解：由题意得第四个等式为： 故答案为： （2）第n个等式： 21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 【答案】(1)（n为正整数）；证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算， （1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据二次函数的性质进行证明； （2）利用（2）中的规律得到原式，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）（n为正整数） 证明：左边， ∵n为正整数， ∴左边右边， ∴猜想成立． （2）原式 ． 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列各式的规律：①；②；③…… (1)按照此规律写出第4个等式：______； (2)猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 【答案】(1) (2)，说明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据题干给定的等式，写出第四个等式即可； （2）根据给定的等式，猜想出第个等式，再证明即可 【详解】（1）解：， ， ， ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2）由（1）可知：，证明如下： ． 23．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知：．求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出，继而得出，，然后求解即可． 【详解】解：由题意可知： ，即． 且． ，即： 得：， ． 24．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … (1)按照此规律，第个等式是：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【详解】（1）根据规律可知，第个等式是： ， 故答案为：； （2）根据规律猜想第个等式为：， 证明： ， 故猜想成立，即． 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 二次根式的乘除题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列根式属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键.根据最简二次根式的定义判断即可. 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项正确； B、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项错误； C、被开方数中含有小数，不是最简二次根式，本选项错误； D、被开方数中含有8，而，不是最简二次根式，本选项错误； 故选A 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、是最简根式，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列根式中，是最简二次根式的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求； B中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，是最简二次根式，故符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：C． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的定义“如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式”是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：，故不是最简二次根式，A不符合题意； ，故不是最简二次根式，B不符合题意； ，故不是最简二次根式，C不符合题意； 是最简二次根式，D符合题意． 故选D． 6．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、中含有分母，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、含有小数，不符合题意； 故选C． 7．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的概念、二次根式的性质，理解最简二次根式的概念是解答的关键． 根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意； B、不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、不是最简二次根式，此选项不符合题意， 故选：A． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐项进行判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列式子中，为最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对最简二次根式的理解，根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 11．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、不含有能开尽方的数，是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，含有能开尽方的数，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选：A． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 13．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 三、解答题 14．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查了根式的混合运算，去绝对值符号，零指数幂， （1）利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）去括号，去绝对值符号，算零指数幂，然后再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 二次根式的加减题型03 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质和运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减法，根据二次根式的性质，以及二次根式的加减法则，进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式的运用，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：A选项：，故本选项运算错误； B选项：，故本选项运算错误； C选项：，故本选项运算错误； D选项：，故本选项运算正确． 故选：D 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的加法和乘法运算，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则． 各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A． 原式不能合并，不符合题意； B． ，不符合题意； C． ，不符合题意； D． ，符合题意， 故选D． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．将各选项的二次根式进行化简即可得． 【详解】解：A、不能与合并，此项不符合题意； B、能与合并，此项符合题意； C、不能与合并，此项不符合题意； D、，不能与合并，此项不符合题意． 故选：B． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并． 将各选项化为最简二次根式即可解答． 【详解】解：， A、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； B、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不可以合并，符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，掌握相关运算法则和公式是解题的关键，根据相关运算法则计算即可判断． 【详解】A、，故此选项错误，不符合题意； B、无意义，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 直接根据二次根式的加减乘除法运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可得到正确的选项． 【详解】A. ，运算正确； B. ，原计算错误； C. 不能合并，原计算错误； D. ，原计算错误； 故选A． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并；逐项判断相加或相减的两项是否是同类二次根式即可． 【详解】解：A、，，故该选项不正确，不符合题意 B、2和不是同类二次根式，，故该选项不正确，不符合题意 C、，故该选项正确，符合题意； D、和不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 10．（23-24八年级下·安徽·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的四则混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则即可求解． 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 11．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减、乘除和二次根式的性质计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 12．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则和二次根式的乘除法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得的值． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ． 解得：． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先进行乘法运算并化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解；掌握（，）和合并同类二次根式法是解题的关键. 【详解】解：原式； 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．先化简，再结合同类二次根式的定义（被开方数相同），即可作答． 【详解】解： ∴这个二次根式可以是； 故答案为：（答案不唯一） 16．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先运算乘法，再运算减法，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 17．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简二次根式得到，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式得到，则． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得， 故答案为：． 19．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义得出，求出即可，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：7． 三、解答题 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和除法，利用运算法则计算即可． 【详解】解： ． 21．（23-24八年级下·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，根据二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： 22．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，去绝对值运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 24．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）计算． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘法，化简二次根式，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算二次根式的乘法，化简二次根式，然后计算加减； （2）首先利用平方差公式和完全平方公式化简，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 25．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法和乘法，化最简二次根式，再进行加减即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘法和性质求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 27．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， （1）先将各项化为最简二次根式，再进行合并，即可求解； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行合并，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） 28．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【分析】首先计算二次根式的除法，化简二次根式，然后计算加减即可求解． 此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减和除法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】5 【分析】主要考查了二次根式的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行二次根式的运算时要先化简再计算可使计算简便． 先根据二次根式的性质把每个二次根式化为最简二次根式，再计算除法，最后合并同类二次根式即可解答． 【详解】解： ． 30．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先根据完全平方公式去括号，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可． 【详解】解： ． 31．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算．先算二次根式的乘法，括号里的完全平方，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 32．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算乘方再算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】 33．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知 ，，计算：的值． 【答案】14 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分式的求值， 首先利用分母有理化求出，，然后得到，，然后将分式通分代数求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，负整数指数幂，去绝对值，正确的计算是解题的关键； 先计算负整数指数幂，去绝对值，然后把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 35．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先去绝对值，运用完全平方公式去括号，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： =． 36．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 38．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘除法，化简二次根式，再计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 39．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）； (2)应用：利用这一规律计算：； (3)拓展：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；数字的变化类，分母有理化， （1）从数字找规律，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）先利用分母有理化化简各式，然后再进行即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ， （3）解： ， …… ∴ 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，再计算二次根式的乘法与加减法即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 41．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的加减、乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简为最简二次根式再合并同类二次根式． 【详解】解： 42．（23-24八年级下·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ． 43．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解： ． 44．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先进行乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法分配律展开，再计算乘除法，然后根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 46．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简、乘除法与减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先计算二次根式的除法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法与减法即可得． 【详解】解：原式 ． 47．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 【答案】(1)①；② (2)44 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出，结合规律代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， …， ， ∴ ． 48．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式 题型02二次根式的乘除 题型03二次根式的加减 二次根式题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）代数式中的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．如果，那么 B．全等三角形的对应角相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 7．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）已知有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若，则化简的结果是（    ） A． B．7 C． D． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，那么化简的结果是（   ）． A． B．1 C． D． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各式运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·安徽池州·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 15．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 16．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是 ． 18．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若要使有意义，则x的取值范围为 ． 19．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 三、解答题 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列各式的规律：①；②；③…… (1)按照此规律写出第4个等式：______； (2)猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 23．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知：．求的值． 24．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … (1)按照此规律，第个等式是：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 二次根式的乘除题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列根式属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列根式中，是最简二次根式的是：（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列式子中，为最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 11．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ）． A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 三、解答题 14．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 二次根式的加减题型03 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·安徽·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）计算的结果是 ． 15．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 16．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）计算： ． 17．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 18．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 19．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 三、解答题 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 21．（23-24八年级下·安徽六安·期末）计算：． 22．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算 (1)； (2)． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 24．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）计算． (1)． (2)． 25．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算： (1)； (2)． 26．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： (1)； (2)． 27．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1) (2) 28．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 30．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）计算：． 31．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 32．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）计算： 33．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知 ，，计算：的值． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）计算： 35．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 36．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）计算 (1)； (2)． 37．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 38．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算：． 39．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）； (2)应用：利用这一规律计算：； (3)拓展：． 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 41．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 42．（23-24八年级下·安徽六安·期末）计算：． 43．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 44．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）计算：． 46．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： 47．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 48．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$