21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标： 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系； 2. 能通过求根公式推导出一元二次方程根与系数的关系； 3.会利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和与积； 任务1——通过求根公式推导一元二次方程根与系数的关系【要求：完成下面的探究内容，猜想并验证一元二次方程根与系数的关系】 探究： 方程 根x₁ 根x₂ x₁ + x₂ x₁ · x₂ x² - 5x + 6 = 0 x² + 4x - 5 = 0 2x² - 3x - 2 = 0 1.观察：解下列方程并填写表格 2.猜想： 两根之和与系数a、b、c的关系： ； 两根之积与系数a、b、c的关系： 。 3. 验证：若ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为x₁、x₂， 根据求根公式得：x₁ = x₂ = 计算x₁ + x₂，化简后得：________________； 计算x₁ · x₂，化简后得：________________。 4. 结论——一元二次方程跟与系数的关系： 符号语言： 若ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为x₁、x₂， 则x₁ + x₂= ，x₁ · x₂= 文字语言： 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的 的 ,两个根的积等于 。 使用条件：1.方程是 ,即二次项系数 2.方程有 ,即Δ 任务2——利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和与积【要求：独立完成下面的例题，并小组讨论，交流你的答案，并总结利用一元二次方程跟与系数的关系求两根之和与积的步骤】 例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x₁、x₂的和与积。 (1) 解：∵a= ，b= ，c= ∴x₁ + x₂= ， x₁ · x₂= 。 （2） （3） 提示：要找到一元二次方程各项的系数，需要先将一元二次方程化为一般形式。 归纳——利用一元二次方程跟与系数的关系求两根之和与积的步骤： 1. 先将一元二次方程化为 2. 确定一元二次方程各项的 3. 利用根与系数的关系代值计算。 追踪练习： 求下列方程两个根的和与积： （1） （2） 巩固提升： 1.若方程2x² - kx + 3 = 0的一个根是1，则另一根为______，k = ______。 2. 构造一个一元二次方程，使其两根分别为2和-5。 3. 设x₁、x₂是方程x² - 4x + 1 = 0的两根，求(x₁+1)(x₂+1)的值。 课堂检测： 求下列方程两个根的和与积： （1） （2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$