专题01 数列(8大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 内蒙古专用）

专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项 题型03等差数列前n项和 题型04等比数列的通项 题型05 等比数列前n项和 题型06 通项的求法 题型07 前n项和的求法 题型08 数学归纳法 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用与的关系即可得解. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：C. 2．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列，且，则数列的前2023项之和为（ ） A．2 B．3 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得数列中，进而直接求得答案. 【详解】数列中，，且， 所以令，得，令，得， 同理可得， 所以， 所以数列的前2023项之和等于数列的第1项，等于2. 故选：A 3．（多选）（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列命题中正确的是（    ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 【答案】BD 【分析】结合数列的定义及性质，依次判断选项即可. 【详解】解：对于A项，数列，，，与数列，，，中顺序不同，不是同一数列，故A项错误； 对于B项，若通项公式是，则，故B项正确； 对于C项，数列，，，，…，它的一个通项公式为：，故C项错误； 对于D项，，得， 则此数列为递增数列，故D项正确， 故选：BD 4．（23-24高二下·内蒙古·期末）若数列的前项和为，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，从而可得答案. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以． 故答案为： 5．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足：，当n为奇数时，；当n为偶数时，．若，则m的取值为 ． 【答案】 【分析】根据数列递推公式进行“倒推”写出数列的项. 【详解】由已知当n为奇数时，为偶数，为偶数，； 若，为偶数，则，即； 同理，，又，则. 故答案为：. 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在数列与中，已知，则 ． 【答案】1 【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果. 【详解】由题意知，， 所以为常数列，即， 所以． 故答案为：1. ( 题型02 ) 等差数列的通项 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，，，则（   ） A．987 B．985 C．983 D．981 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知，则． 故选：B 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质计算即得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，已知，，则等于（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由，可得，所以， 故， 故选：A 4．（22-23高三上·内蒙古包头·期末）已知A，B，C三人都去同一场所锻炼，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（    ） A．3月22日 B．3月23日 C．3月24日 D．3月25日 【答案】B 【分析】三人各自去锻炼的日期实际上是等差数列，利用等差数列知识进行求解. 【详解】由题意，三人各自去锻炼的日期分别是等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数为12， 所以下一次三人都去锻炼的日期是3月23日. 故选：B. 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则 ． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 【答案】 【分析】根据等差数列的定义以及通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得第行的首项为，则第行的首项为， 由每一行都是等差数列，第行数列的公差为，则第行的公差为， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知是数列的前项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出数列的公差，并求出的表达式，再建立方程求出公差即可得. （2）利用前项和与第项间的关系，求出通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 则，由，得，解得， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式. ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 3．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列描述正确的是（   ） A．是唯一最大值 B．是最大值 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求出判断C，D；利用通项求出，然后利用二次函数的性质求出最值判断A，B 【详解】由，得，故D对； ，故C对； 又， 所以， 又，所以当或，取得最大值，故A错；B对； 故选：BCD 4．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知是各项都为正整数的递减数列，若，则的最大值为 ；当取最大值时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，再证明时，满足条件的存在，再由时，，并证明满足条件的数列不存在，时存在满足条件的数列，由此可得结论. 【详解】当时，，与条件矛盾， 所以， 数列满足要求， 所以的最大值为， 当时，由已知， 当，则数列只能为， 但，与条件矛盾， 当时，存在数列满足条件， 所以当取最大值时，的最小值为． 故答案为：；. 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前n项和公式求基本量，进而写出通项公式； （2）根据的符号，讨论、，结合等差数列前n项和公式求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知， 当时，，则； 当时，，则， 当时，， 当时，. 综上，. ( 题型04 ) 等比数列的通项 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知等比数列是递增数列，且的前3项和为39，，则（   ） A．27 B．81 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程组即可求得首项和公比，通过通项公式求得. 【详解】由的前3项和为39，，则 解得（舍去），，. 故选：B 2．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知三个数成等比数列，它们的和等于，积等于，则这个等比数列的公比为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设这三个数分别为，根据条件列方程组，求出，再得到这个等比数列的公比即可. 【详解】设这三个数分别为，则. 因为这三个数的和等于14，积等于64，所以. 联立方程组，可得或， 所以当时，这个等比数列的公比为； 当时，这个等比数列的公比为， 所以等比数列的公比是或. 故选：A. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式计算即可. 【详解】因为成等差数列，所以， 所以，则，解得或（舍去）． 故选：B. 4．（多选）（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数在适当排序后成等差数列，也在适当排序后成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意，根据韦达定理可得设，则成等差数列，成等比数列，利用等差中项和等比中项的应用求出a,b,p,q，即可判断选项. 【详解】由题意，根据韦达定理，得所以 不妨设，则成等差数列，成等比数列， 所以解得所以 故. 故选：BC 5．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为 ． 【答案】 【分析】根据等比中项的性质即可得出答案. 【详解】设与的等比中项为，则. 故答案为： 6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式 【答案】(1)，， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，逐一代入即可得解； （2）由题设条件转化得，从而得以判断； （3）结合（2）中结论，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】（1）由条件可得， 将代入，得，而，所以， 将代入，得，所以， 又，从而，，. （2）数列是首项为2，公比为3的等比数列，理由如下： 由条件可得，即， 又，所以是首项为2，公比为3的等比数列 （3）由（2）可得，所以. ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．48 B．84 C．90 D．112 【答案】C 【分析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，计算可求得. 【详解】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比， 所以，，，成等比数列， 又，，所以，， 所以. 故选：C. 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）已知等比数列的公比为，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为的等比数列 【答案】AB 【分析】对A，根据等比数列的定义求解即可；对B，由A可得，进而可得；对C，根据等比数列的求和公式求解即可；对D，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题知，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB． 3．（多选）（23-24高二上·内蒙古·期末）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（    ） A． B．当时， C． D．当，且取得最小值时，只能等于6 【答案】ABC 【分析】A，C项通过等比数列的性质即可得出结论；B，D项，根据等比数列的公比和前项和即可得出结论. 【详解】由题意，， 在正项等比数列中，， A项，，A正确； B项，当时，因为，所以，可得，B正确； C项，，C正确． D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误． 故选：ABC. 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列满足，则（    ） A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．数列的前项和 【答案】ABD 【分析】先由递推关系变形构造证明是等比数列，进而可得ABC；由分组求和法可得选项. 【详解】由，得. 首先证明：数列中，. 证明：假设， 代入上式得，， 这与已知矛盾，故，又， 故数列中，. 由以上证明知，. A选项，由题意， 两边同除以得 得， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； B选项，由等比数列通项公式可知， 所以，由通项可知，是单调递减数列，故B正确； C选项，，C错误； D选项，令，则， 所以，D正确． 故选：ABD. 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据二阶等差数列的定义即可证得结果. （2） 再分组求和，即可求得结果. （3）计算的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列，再用累加法计算得. 【详解】（1）数列的通项公式为，设数列的一阶差数列为， 则， 即， 所以数列的一阶差数列为， 所以的1阶差数列是一个以为首项，2为等差的等差数列， 则 的2阶差数列是一个以2为首项的常数列， 根据二阶等差数列定义可知数列是二阶等差数列. （2）证明： ． ∵， ∴， ∴．证毕． （3）计算的各阶等差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为， 得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…． ∵是一个三阶等差数列，∴是一个常数列， ． ∵，，2，…， ∴， ∴． 同理可解得， 故． 【点睛】关键点点睛：先计算出的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列的通项公式.. 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的放项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用，将已知条件变形成与的递推关系式，再写出，从而得到证明； （2）利用第（1）问求出通项公式，进而求出通项公式，从结构上发现可以借助分组求和与错位相减法求和即可． 【详解】（1）由， 得，令，可得． 当时，， 两式相减得， 则． 又，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）由（1）知，， 所以． 设， 则， 所以， 即， 所以， 所以． ( 题型0 6 ) 通项的求法 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列的前n项和，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．27 【答案】C 【分析】根据代入计算即可. 【详解】. 故选：C. 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等比数列 B． C．若，则为等差数列 D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推公式，构造等差数列求出通项公式，再逐项判断即可. 【详解】数列中，，显然，则， 于是数列是公差为3，首项为1的等差数列，， 对于A，，，为等比数列，A正确； 对于BD，，BD错误； 对于C，， 则，为等差数列，C正确. 故选：AC 3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知数列为等差数列，，数列中，点在直线上，其中是数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程组，可得的通项，利用，结合等比数列的通项，可得答案； （2）由题意写出数列的通项，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以； 由点在直线上，则， 当时，，解得； 当时，，整理可得. 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，则. （2），令，求导可得， 令，解得，可得下表： 极大值 由，则. ( 题型0 7 ) 前n项和的求法 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B．33 C． D．34 【答案】A 【解析】根据，并结合倒序相加法可求出，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】函数满足， ①， ②， 由①②可得，， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题. 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知，若数列的前项和，则 【答案】9 【分析】根据，求得，再根据，即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以, 又，即，所以，即. 故答案为：9. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等比数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可求得，则，然后利用分组求和法与错位相减法可求出 【详解】（1）. 则 是以1为首项2为公比的等比数列. （2）由（1）可得， ， ，∴， 设的前项和 令①， ②， ①②得， ， ∵， . 4．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系求出，再根据等差数列的定义证明即可； （2）由（1）已得，化简并裂项，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 则当时，， 因满足， 故数列的通项公式为. 又因， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）得，则， 故 . 5．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解，利用等差数列基本量运算求解； （2）结合等差数列求和公式、等比数列求和公式，根据分组求和法求和即可得解. 【详解】（1）因为，① 所以有.② ②-①得. 所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以. 又数列是等差数列，且. 所以. 所以. （2）因为 设数列的前项和为， 所以 . 故. 6．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）若正整数最大公约数为1，则称互质.对于正整数是不大于的正整数中与互质的数的个数，称为欧拉函数.例如.设数列是等比数列，且.数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)设，求的前2024项和（结果用表示，数字用分数）； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）根据等比数列定义求出首项和公比可得，再由之间的关系式即可得； （2）利用错位相减法可求得的前2024项和； （3）采用作差法可得，即可得出结论. 【详解】（1）由可得，； 又因为数列是等比数列，设的公比为， 可得， 因此； 所以，即； 可得； 即； 当时，满足上式， 即可得； 所以的通项公式分别为， （2）由（1）可知， 设； 则 两式相减可得 ， 即， 所以 （3）设， 即可得， 当时，，原不等式成立； 当时，， 即可得， 所以， 即 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（   ） A．13 B．21 C．34 D．55 【答案】C 【分析】根据斐波那契数列规律求解. 【详解】根据题意， ， ， . 故选：C 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．12 C．15 D．21 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可得. 【详解】设，则，， 因为为等差数列，所以，，也成等差数列， 则，解得． 故选：C 3．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的表达式，利用二次函数求最值即可. 【详解】由题意可知：数列是以45为首项，以为公差的等差数列， 所以， 关于的二次函数，开口向下，对称轴， 所以当时，最大，即数列的前项和最大， 故选：. 4．（23-24高三上·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列是首项为，公比的等比数列，且．若数列的前n项和为，则（　　） A．3•2n﹣3 B．3•2n+1﹣3 C．3•2n D．3•2n+1﹣6 【答案】D 【分析】先求解出的通项公式，然后判断出为等比数列，根据等比数列前项和公式可求. 【详解】解：是首项为，公比的等比数列， 可得， 又，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以 故选：D． 5．（多选）（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.我们将既是三角形数又是正方形数的数称为“和谐数”，下列不是“和谐数”的是（   ）    A．289 B．1024 C．1225 D．1378 【答案】ABD 【分析】根据题意可得，，即可根据和谐数的定义，结合选项逐一求解. 【详解】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项， 对于A.由于，则无满足条件的，故289不是三角形数，A不符合， 对于B，由于，则无满足条件的，故2048不是三角形数，B不符合, 对于C，，故1225是正方形数，，故1225是三角形数，故1225是和谐数，C符合， 对于D,故不是正方形数，故D不符合， 故选：ABD 6．（多选）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知等比数列是递增数列，是其公比，则 B．数列的前项和为为常数.对任意常数都是等差数列 C．设，则的最小值为 D．设，则的最小值为9 【答案】AD 【分析】对于A，根据递增数列的定义结合等比数列的通项公式分析判断，对于B，根据等差数列的定义分析判断，对于CD，利用基本不等式分析判断. 【详解】对于A，因为等比数列是递增数列，所以且，即，且， 所以，且，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以， 当时，，所以当时，不满足， 所以数列不一定是等差数列，所以B错误， 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，所以D正确. 故选：AD 7．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的前项和为，公差，则下列数列一定是递增数列的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式，利用数列单调性的概念逐个分析判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以， 所以数列为递增数列，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以， 因为，所以不一定为正实数， 所以数列不一定为递增数列，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以 ， 因为，所以不一定为正实数， 所以数列不一定为递增数列，所以C错误， 对于D，因为，所以， 所以， 所以数列为递增数列，所以D正确. 故选：AD 8．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．可能为等差数列 B．不可能为等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】AC 【分析】对于AB，举例判断，对于C，根据等差数列的定义结合题意分析判断，对于D，根据等比数列的定义结合题意分析判断， 【详解】对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确． 对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误． 对于C，设的公差为，则，得， 因为，所以数列是等差数列，所以C正确． 对于D，设的公比为，则， 当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误． 故选：AC 9．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，，则数列前8项的和为 . 【答案】/ 【分析】由递推关系及，求出数列的前项，即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以，， ，， ，， 所以数列前8项的和为. 故答案为：. 10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知等差数列满足，，则前7项之和为 ． 【答案】104 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出，利用等差数列求和公式求前5项与后2项的和，相加即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为d，，所以. 所以，所以前7项之和为. 故答案为：104. 11．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若数列的首项，且满足， (1)证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知等式变形可得，利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）根据（1）可得，从而，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，可得， ，则，对任意的，，则， 故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为； （2）根据（1）可得， 所以，则， 设数列的前项和为， 所以. 12．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式； （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. （3）由（1）得到对恒成立，构造数列，确定其最大项即可求解； 【详解】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. （3）由（1）， 可化成： 即对恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以中最大项为， 所以 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项 题型03等差数列前n项和 题型04等比数列的通项 题型05 等比数列前n项和 题型06 通项的求法 题型07 前n项和的求法 题型08 数学归纳法 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列，且，则数列的前2023项之和为（ ） A．2 B．3 C．2023 D．2024 3．（多选）（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列命题中正确的是（    ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 4．（23-24高二下·内蒙古·期末）若数列的前项和为，且，则 ． 5．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足：，当n为奇数时，；当n为偶数时，．若，则m的取值为 ． ( 题型02 ) 等差数列的通项 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，，，则（   ） A．987 B．985 C．983 D．981 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，已知，，则等于（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 4．（22-23高三上·内蒙古包头·期末）已知A，B，C三人都去同一场所锻炼，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（    ） A．3月22日 B．3月23日 C．3月24日 D．3月25日 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则 ． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 6．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知是数列的前项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 3．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列描述正确的是（   ） A．是唯一最大值 B．是最大值 C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知是各项都为正整数的递减数列，若，则的最大值为 ；当取最大值时，的最小值为 ． 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. ( 题型04 ) 等比数列的通项 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知等比数列是递增数列，且的前3项和为39，，则（   ） A．27 B．81 C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知三个数成等比数列，它们的和等于，积等于，则这个等比数列的公比为（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．（多选）（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数在适当排序后成等差数列，也在适当排序后成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为 ． 6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式 ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．48 B．84 C．90 D．112 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）已知等比数列的公比为，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为的等比数列 3．（多选）（23-24高二上·内蒙古·期末）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（    ） A． B．当时， C． D．当，且取得最小值时，只能等于6 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列满足，则（    ） A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．数列的前项和 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的放项和． ( 题型0 6 ) 通项的求法 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列的前n项和，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．27 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等比数列 B． C．若，则为等差数列 D． 3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知数列为等差数列，，数列中，点在直线上，其中是数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项． ( 题型0 7 ) 前n项和的求法 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B．33 C． D．34 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知，若数列的前项和，则 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 4．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 5．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 6．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）若正整数最大公约数为1，则称互质.对于正整数是不大于的正整数中与互质的数的个数，称为欧拉函数.例如.设数列是等比数列，且.数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)设，求的前2024项和（结果用表示，数字用分数）； (3)证明：. 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（   ） A．13 B．21 C．34 D．55 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．12 C．15 D．21 3．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 4．（23-24高三上·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列是首项为，公比的等比数列，且．若数列的前n项和为，则（　　） A．3•2n﹣3 B．3•2n+1﹣3 C．3•2n D．3•2n+1﹣6 5．（多选）（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.我们将既是三角形数又是正方形数的数称为“和谐数”，下列不是“和谐数”的是（   ）    A．289 B．1024 C．1225 D．1378 6．（多选）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知等比数列是递增数列，是其公比，则 B．数列的前项和为为常数.对任意常数都是等差数列 C．设，则的最小值为 D．设，则的最小值为9 7．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的前项和为，公差，则下列数列一定是递增数列的为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．可能为等差数列 B．不可能为等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 9．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，，则数列前8项的和为 . 10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知等差数列满足，，则前7项之和为 ． 11．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若数列的首项，且满足， (1)证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 12．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$