专题02 数列通项的常见解题策略(7大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 内蒙古专用）

专题02 数列通项的常见解题策略 题型概览 题型01定义法求数列通项 题型02观察法求数列通项 题型03累加 题型04累乘 题型05 由Sn求数列通项 题型06 构造法求数列通项 题型07 递推数列 ( 题型01 ) 定义法求数列通项 1．（22-23高三上·内蒙古包头·期末）记为等差数列的前项和.已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知是数列的前项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 4．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式 ( 题型02 ) 观察法求数列通项 1．（多选）（23-24高二上·内蒙古·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·内蒙古·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． ( 题型03 ) 累加 1．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）在数列中，，，且. (1)证明：是等差数列. (2)求的通项公式. (3)求数列的前项和. ( 题型04 ) 累乘 1．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在数列中，，前项和. (1)求、； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，求. ( 题型0 5 ) 由Sn求数列通项 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设数列满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. ( 题型0 6 ) 构造法求通项 1．（多选）（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）设数列的前项和为，已知，（），则下列结论正确的是（   ） A． B．为等比数列 C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． ( 题型0 7 ) 递推数列 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，，则数列前8项的和为 . 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则 ． 3．（23-24高三上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，． (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的值． 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前n项和，则的值为（    ） A．15 B．16 C．19 D．20 2．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（    ） A．959 B．960 C．961 D．963 3．（22-23高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，则（    ） A．120 B．366 C．363 D．126 4．（多选）（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列的前n项和为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则为等差数列 B．若，则为等比数列 C．若为等差数列，则为等差数列 D．若为各项都为正数的等比数列，则为等比数列 5．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知数列的前项和为，且为定值． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求； (2)若，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求的最大值. 7．（22-23高三上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知数列的前n项和. (1)求； (2)令，若对于任意，数列的前n项和恒成立，求实数m的取值范围. 8．（23-24高一下·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列前项和为 (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列通项的常见解题策略 题型概览 题型01定义法求数列通项 题型02观察法求数列通项 题型03累加 题型04累乘 题型05 由Sn求数列通项 题型06 构造法求数列通项 题型07 递推数列 ( 题型01 ) 定义法求数列通项 1．（22-23高三上·内蒙古包头·期末）记为等差数列的前项和.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等差数列的通项公式和求和公式列方程求出，进而可得等差数列的通项公式及求和公式，对照选项可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， ，解得 ， ， 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知是数列的前项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出数列的公差，并求出的表达式，再建立方程求出公差即可得. （2）利用前项和与第项间的关系，求出通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 则，由，得，解得， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等比数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可求得，则，然后利用分组求和法与错位相减法可求出 【详解】（1）. 则 是以1为首项2为公比的等比数列. （2）由（1）可得， ， ，∴， 设的前项和 令①， ②， ①②得， ， ∵， . 4．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式 【答案】(1)，， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，逐一代入即可得解； （2）由题设条件转化得，从而得以判断； （3）结合（2）中结论，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】（1）由条件可得， 将代入，得，而，所以， 将代入，得，所以， 又，从而，，. （2）数列是首项为2，公比为3的等比数列，理由如下： 由条件可得，即， 又，所以是首项为2，公比为3的等比数列 （3）由（2）可得，所以. ( 题型02 ) 观察法求数列通项 1．（多选）（23-24高二上·内蒙古·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得. 【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确； 对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 故选：AC. 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而可得答案. 【详解】由，且，则，同理解得，，由题意可得下表： 数列的最小正周期，由， 则. 故答案为： ( 题型03 ) 累加 1．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】先将的表达式化简，再依次写出，，，的式子，将这些式子累加，消去中间项，从而得到与的关系，进而求出. 【详解】化简的表达式： 所以. 利用累加法求 当时，； 当时，； . 将以上个式子累加得： 已知，则： . 故答案为：. 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）在数列中，，，且. (1)证明：是等差数列. (2)求的通项公式. (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可得，再利用累加法可求得结果； （3）由（2）得，利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）因为在数列中，，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列. （2）由（1）得， 则， 得，即． 又符合， 所以（或）． （3）由（2）知， 所以. ( 题型04 ) 累乘 1．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得. 【详解】因，故有，即得， 所以． 故答案为：. 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在数列中，，前项和. (1)求、； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据的关系即可逐一求解， （2）利用的关系，作差可得，进而利用累乘法即可求解， （3）由裂项求和即可求解. 【详解】（1）由及得， 由及、得； （2）当时，，整理得， ∴， 验证，当时符合，∴当时，； （3）由（2）可知， ∴， ( 题型0 5 ) 由Sn求数列通项 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过赋值即可求解. 【详解】由题意令，可得：， 故选：B 2．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设数列满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，，两式相减可求得，再检验当时是否符合上式. （2）由（1）知，再由裂项相消法求解，即可证明. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减得，所以. 当时，，即，符合上式， 故的通项公式为. （2）证明：由（1）知， 所以， 故. ( 题型0 6 ) 构造法求通项 1．（多选）（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】通过构造法求数列的通项公式可得选项C正确；根据通项公式可得选项A正确；求出数列的前3项可得选项B错误；通过定义法证明等比数列可得选项D正确. 【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，从而，C正确. 由得，A正确. 由得， 故数列不是等比数列，B错误. 由得， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确. 故选：ACD. 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）设数列的前项和为，已知，（），则下列结论正确的是（   ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题设得，是首项为3，公比为3的等比数列，即可判断A、B、C选项；应用错位相减法、等比数列前项和，可判断D选项. 【详解】由（），得，又，则， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，故B选项正确； 所以，则，可得，故A选项正确，C选项错误； 由，则 两式相减，得， 所以，，故D选项正确. 故选：ABD. 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. ( 题型0 7 ) 递推数列 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，，则数列前8项的和为 . 【答案】/ 【分析】由递推关系及，求出数列的前项，即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以，， ，， ，， 所以数列前8项的和为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，得到为等差数列，求得其通项公式，结合累加法，得到，求得，再利用裂项求和，求得，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，，可得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 当时， ， 且当时，也成立，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高三上·内蒙古包头·期末）已知数列满足，． (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据，可求得；分别令和，可推导得到，由此证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可得； （2）由（1）知递推关系可推导得到，可知数列为等比数列，利用等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1），又，，； 当时，…①；当时，…②； 由②得：当时，，即…③， 将③代入①得：，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，. （2）由（1）知：将①代入②得：，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， . 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前n项和，则的值为（    ） A．15 B．16 C．19 D．20 【答案】C 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】由可得， 故选：C 2．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（    ） A．959 B．960 C．961 D．963 【答案】A 【分析】根据离心率求出数列的通项公式，然后找到小于的最大平方数即可求出的最大值. 【详解】双曲线的离心率． 因为， 所以当时，为有理数，且， 所以满足条件的的最大值为959． 故选：A. 3．（22-23高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，则（    ） A．120 B．366 C．363 D．126 【答案】C 【分析】根据数列的前n项积为，得到其通项，进而利用等比数列前n项和公式可得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，显然成立，所以， 故数列为等比数列， ∴. 故选：C 4．（多选）（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列的前n项和为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则为等差数列 B．若，则为等比数列 C．若为等差数列，则为等差数列 D．若为各项都为正数的等比数列，则为等比数列 【答案】BCD 【分析】由已知求可判定AB的真假，根据等差数列的通项公式和前项和公式可判断C的真假，根据等比数列的通项公式判断D的真假. 【详解】对A：可以得出：，，，所以，，.因为，，所以数列不是等差数列，故A错误. 对B：当时，； 当时，（），所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对C：因为是等差数列，设首项为，公差为，则，所以是以为首项，以为公差的等差数列，故C正确； 对D：因为为等比数列，设首项为，公比为，当时，，所以为等比数列，故D正确. 故选：BCD 5．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知数列的前项和为，且为定值． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为定值可得，再利用与之间的关系求得的通项公式； （2）先求数列的通项公式，再利用数列求和的错位相减法求得. 【详解】（1）因为，且为定值，所以． 当时，，又， 所以，即，即， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 故． （2）由（1）知，， 则， 所以， 所以， 即， 故． 6．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求； (2)若，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求的最大值. 【答案】(1)或或 (2)当时，最大，的最大值为 【分析】（1）赋值法代入条件式分类讨论解方程即可； （2）根据第一问结论结合的关系确定通项公式，再求得，利用等差数列的定义及临界点法计算即可. 【详解】（1）令，得，即.① 令，得，即.② 将①代入②，可得. 若，则； 若，则，所以或. 综上，或或. （2）若，由（1）知，所以. 当时，， 所以，即 所以. 令，则， 所以是首项为2，公差为的等差数列. 因为， 所以当时，最大， 的最大值为. 7．（22-23高三上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知数列的前n项和. (1)求； (2)令，若对于任意，数列的前n项和恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）考虑和两种情况，根据得到通项公式. （2）计算，时，，解得答案. 【详解】（1）当时，； 当时，. 不满足上式，故. （2）当时，，即，； 当时，， ， 恒成立，， 综上所述：实数m的取值范围为. 8．（23-24高一下·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列前项和为 (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用与前n项和的关系即得； （2）分类讨论和的情况,进而即得. 【详解】（1）∵， ∴当时，， 当时，， 时，适合上式， ∴； （2）因为， 所以当时，，当时，， ∴当时，， 当时， ， 所以    . 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$