各位同学，我们今天来讲一些。这几方面的内容，第一部分内容我们讲的是函数，函数这部分内容考试这个大点，一般考试的分数这一块就接近30分，正常都考在27分左右，量比较大。所以说在这一块我们要把它很多问题要弄的比较细，弄得深，还要弄的比较全，对吧？我们首先看第一个问题，已知X是REX加上sine x大于A恒成立，则设出A的范围是？我们看一下，马上知道他就是这就观察，就知道了观察法。有同学说老师这个怎么能观察出来？手机是这样的，我们看到EX加上3X大于等于A恒成立，就说明EX加上3X的最小值W的也很成立。那么EX加上3X最小值是啥呢？我们知道3X最小值是A显然是-18，那么EX有最小值吗？没有，但是它无限可以无限接近一个最小值。我们知道我想接近谁，是吧？因为指数函数YX它的值域是零到正无穷零是开据点，对吧？所以EX它无限接近零是可以的，就是它的最小值无限逼近0。那这样的话无限接近零的时候，加上一个负一大于等于A所以A等于负一就显得顺理成章，根本就不需要做观察记者极限化思想。第二，已知N个大于2的时候，X1XXA对于XI存在YI大于满足YI小于XI且XI的YI次方等于YI的XI次方。这使得X1X2加到等等，一直加到XN减1，小于等于15。XA成立的最大正整数A是什么？那么这个怎么办呢？我们说首先我们观察一下，把它简单的等价转化，就是XA分之X1加X2加X3，一直加到XA减1，他应该小于15。现在要求A尽量的大最大整数，那我们就要求什么？就XA的XI要尽量小，就是他个数尽量多，所以要求他尽量小还要求他尽量小，那XI要尽那这样的话它整个比的尽量小，就是XI要尽量小，而XI要尽量大，对不对？我们首先分出来，有这样一个过程就好了。下面我们再来看如何解决跟指数有关的问题。来看指数的核心是对手，我们寻求它的对偶运算马上搞定是吧？我们看一下简用极端化思想，我们看是怎么极端化的。首先两名曲对送，以E为底的对送，整理一下就是这种结构这种结构。再看XI分之ln XIYI分之ln YI0FX构造一个函数，它的导函数，这样就把函数的走势就把它搞出来了是吧？走势我们知道这个函数的走势图，我们来画一下。侦探数字走势图来画一下。应该是这样来搞。看到了吧？这样一条线，这条直线，因为它每一个指标都大于二是题目给我的它每个都大于2，对不对？N的大于2，大家看是N大于2，这是限制条件。那么为此我们来找一找，这里面它大于二是什么状态？我们发现很神奇，因为你看到了XI肯定是大于一的。因为YI和XI既然它对函数的相同，它必然分布在这个点的两侧。因此YI根据题目的要求，N应该大于二的湿度，所以YI要大于等于2，对不对？这个小于A选A当然这地方应该大于可以无限接近地，这个地方不一定有等号。我们知道F2是二分之ln 2，二分之ln 2它是在E的左侧，结果发现E的右侧4分之214跟它是相同的。那么这条水平线是一个标准线，标准线对应的，我们有时候比如说像这条线就可以称为是标准线。就是对二的这个位置，这边是对，那这边对的就是4，对不对？就是四就这样的结论好了。那这样的话XI就小于等于4，XI就在1到4之间。刚才经过分析指导要求XI尽量小，那就让XI我先接近一，那XN要尽量大，那XN无限接近四就好了。所以说我们就马上找到是这样一个结构，对不对？马上找到这样一个结构。什么结构看一下。你看就是上面是N减一个一，下面是去4，那么这不出来了吗？我们通过这个是极端化思想对吧？让上面能够尽量的小，下面尽量的大，那么这个数就这就尽量的多。XN就是其中的M就会求得最大值。我们注意到E是2.71828对吧？那么7A8就大概是7.2，除一下，简单除一下，最后结果是23.06，所以说整数是23，这就搞定了好。第三不等式，其中X属于零到正无穷不等式22X减去LA减去a log x大于等于零恒成立。这说出来的最大的是什么？这道题目我们带领同学主要是压什么呢？一方面就是同构思想重构法，另一方面是引领联法。它大部分可以用是吧？我们小学的时候可用可不用。这地方我跟大家一起来分享一下他的思路是什么，同步方式是什么。我们看到由于后面减去A把A提出来，里面是让A加上1X马上它是负A和X。帧数就里面的帧数是X外面系数是A所以说我们观察下来，只要两边带天的X就好了。因为这样的话IX和ln x当中的X是一样的。再注意到前面我们听到2X就好了，就是X1乘对吧？就是X就相当于减去AX ln x它是大于等于零的，对不对？因为X是一个正数，很显然的是政府说两边都是一次，这个不等式是同减的那这样的话我们再来看，这就说明是2X2，就是E2X就大于等于x ln x你看这是一个同构结构是吧？比如说我们以令E2X等于T，DEX等于T那你马上就得出来2X就等于YT对不对？那这不就对应起来了，就相当于t log t的结构，那么跟X一样，所以说这个T跟X对应起来也就是相当于AX小于等于EX还有同学老师听听你还没没算，你怎么知道他这个是就小于等于零的，比较大于等于零的。不会。因为我们知道你构造一个函数什么，它形容XEX结构，对不对？这个孩子我们早就知道他长的头像应该是长这样，对不对？应该在负一的时候他取得结合值？所以说这种类型很显然从零光过去它都是真的。因此X小于零这样一个表达，那A就小于等于X分之E2X最后我们领他，比如说随便做一个叫HX然后求一下这个谁不会呢？所以就搞定了，对吧？非常容易。我们看方法2，我们之所以还要跟大家讲一下，之所以还要讲一下，是由于这个里面有隐藏的衔接，防止大家会出漏洞，会出错是吧？来看一下，方法二叫直接法，就是零点法。我们首先对这个函数进行求导。第一步函数写出来是这样的，进行求导。求导以后根据题意计算，它问题就等价于FX的最小值大于等于恒成立求A的范围。那么求导就会得到4E2X次方减X的A在零到正无穷上。那么我们根据它的图像知道它是有零点，就是可以是零什么样子呢？一方面画这样一个图像对吧？然后另一方面因为A是大于0，早就知道了是吧？所以这地方就有两个事情，对不对？这个可以是Y等于4比X这个就可以Y等于X分之A所以他两个图像是有零点好，有零点就好办。我们讲他假定出来了，但是他就是看破说不出。我看到他有榴莲，但是说不出来，说不出来。没事，我们让他隐隐的存在是吧？阴影的存在。好，存在X等于是的FKX等于4E2X减去。行，这个事就没问题。好，这个地方一定要注意，它是一举多得。为什么讲呢？因为这个时候还能得出什么？还能得出来就是loin 4加上2X0，它还能等于ln a减去ln x00，是不是这样说的对吧？那也就是说我们可以把从这个上面既把EX0表达出来了，又把log x0写成什么？就是ln a减log 4减去2X对不对？你的比例量，那么log x0就出来了，也就是说它变成了关于X0的整式表达，而现在E2X里面是关于X的分值表达，所以说这个表达的分数表达对不对？我们注意到了，我在刚才前面就讲了吧，是实现超越函数，实现超越函数看到吧？向政策或分式函数转化，这是惯例，这是惯例，大家要注意。这样的话，我们在处理的非常方便了，我们就按照这个方式来找，因为找这时候根据函数的特征知道X0就是对你的最小值。因为求导以后，根据它的单调，它就是最好的，就在X0处发生，这是我们判断X0怎么样，我们算出来，首先把E2X0等于4，X零分成A带进来，就转化成这个式子。转换成这个设置以后，然后你看这样的话就把那A分离出来。因为两边都有A，这个有A这个A这个AA大于等于6，所以就变成这个事实，然后就做到了ln a小于等于2X0分之1减ln x0，到时要当心。怎么当心呢？因为有的同学说，老师我现在干脆记一个发言，X等于2X0分之1减去ln x0，求个导是吧？找到它的最值不就行了吗？有的人这样不行，因为什么？因为这里面X0它受到制约，它不是随便的，它不是随便的，是由4E2X0等于X0的A有这种限制，有这种限制，所以说它不是随便可以用的，就求个导，然后X不求限制，不是，所以说不能这么做，那怎么办？我们利用刚才这个关系，就是我刚才写到这地方的关系，对不对？把E2X0和X0分成A这个式子转化成跟对数相关，那两边成对一次吗？我让你分列出来就这样一个思路是不是对不对？好，这样的话我们log a把它带进2X分0减去ln x0，最后就转化成这个样子了，这个样子那转换成这个样子开始提，对不对？提过去以后，就这一块提到这两边同时去，就得出这个设置。一看这一块大家太清楚了，对不对？知道他玄机了吧，基本不等于什么。那基本不等式，基本不等式在里面以后，它X0到2分之1取等号就OK了是吧？万事大吉对不对？所以说做起来就非常方便搞定。大家看这个方法跟刚才的想法比，是不是天壤之别。这个方法采取00年的手段，采取把ERX0和ln x零这种超额结构用整个或者分成替换的时候，它本身就不是一般的思路，就比较复杂。所以说我们刚才用变三分离的手段，把它直接用同步的方法实现变三分离是最简洁的。好，第四题FX等于2X加上AX若方程FFX等于X在T加二次上无解，则是这个A的范围。那么这是一个全套函数，这类全套函数处理方法我们可以利用干嘛呢？函数单调性。用加减法来处理，我这边采取叫货源法塑形结合法。好，现在因为题目里面我们首先来看FXO也有函数叫定值单结点。就是定义只有单调性、奇偶性、周期性这些我们研究函数的时候必须要思维里面想到这些内容。定义只有单调性、奇偶性、周期性。零点那么一看这个X大于零没得说了，用A大于零说明它那单调性没得说了，它没有结合对不对？没有，只有因为X取值受限，这是半边码，它是单调增函数。显然好增函数凡是全套函数，我们的处置手段什么都是把肚子里面这一块抠出来？叫黑虎掏心把它掏出来，我们来令他是T，总是混成T那这样的话就是FX等于T的话，就FT等于X那我们从式子当中看，这样的话X和T那你看从这上面这个设置当中对不对？FX等于T说明XT在曲线上是不是？然后在FT等于X这个说明TXTX也在曲线上都在Y的FX图像上。因此我们假设X大于T因为递增，所以有前面的关系，就是FX就大于FTT对不对？因为递增FX大于FT但是我们知道这里面FX本身就是什么，因为你知道这里面FX刚才设置的这地方是T而FT就是X呗。那你假设X大于有T代表X到底是谁呢？对不对？就不行的对吧？如果是X大于T根据它单调性，那就FX大于FT，根据T知道FX我假设就是T就是T这个就是T，这块就是T。FT刚才就是X题目里面给的这个条件，所以说T代表X那你前面X代表有T代表X怎么可能呢？这个是矛盾的，矛盾能反过来，那肯定还矛盾。所以说只有一种情形就是T0X从而FX在二次上有解。FX啥东西呢？就是化简，把一减A分离出来，就X分之ln x那么根据刚才的图像，我们已经一目了然，对不对？一目了然它的图像长这样子对不对？就是。对吧一定上面有减，就这样，这不就有减。那么这时候，我们刚才通过求导以后，在E的地方是吧E的地方带进去，那肯定是E分之一，对不对？肯定是1分之1，就是这样子。在这里面的99减，在题目里面他又告诉，在24上讲解，那你要想办法这个二和4。要注意了是吧？二是有减的话，在二和四这两是一样的，二分之N2和4分之2是一样的。所以说我们首先从R的时候把它切断这地方切断，这个地方切掉，然后在R上有点它图像就是中间的另一点这部分这一部分。对这部分好，那这部分再画一条线，这不就出来了吗？2的时候就是二分之log 2，这条线对应的不就是二分之log 2吗？乱对不对？搞定。所以说然后到1分之1到一分对吧？那下面我们就知道就是一减A落在2分之1，2到1减到1分之1厘米，99减，从而把A减单，这个太简单了，就检查这个结果是不是。所以说这个应该比较简单，就是这个前头还有嘉宾的思想互联网数据结合，我们在二次上有简单就能就能够把函数图像的部分图像把它描述出来。然后像这个其中我们所对应的函数跟它在有解的情况下，就是一减H一条是一减H一条水平线。这条水平线我们跟他交流就好了，对不对？好，下面我们看第五小题。已知FX等于AX加上E6X与GX等于X减E6X分之X平方的图像有三个不同的公共点。其中一维自然对数的底数则设出A的取值范围，设出A的取值范围。这是啥？有三个不同的焦点，大家看这个样子挺怕人的，我们怎么解决有三个怎么解决三个对吧？首先我们第一种思路叫整体法，参数分离法、数据结合法。那么总体大体解决思路我们来看一下。首先FX我们的整体方法一部分采用了这个结论，FX等于X加1，ln x与GX等于X减1的X的X平方，我们这样才相等。说了对吧？他说了有三个交点就相当于有三个根，这样待定以后，整理一下。两边同除以X过后，然后后面的右边的等的部分的分子母再次延迟，结果发现这一块是一个整体，这就整体了对不对？好，我们假定他就是这样。T应该是T那A就是指A就好了，TA等于T加1减7分之1。好，现在我们把A写出来，A就等于一减T分之一减T现在我们看A的变化，A的图是长什么样子，就是不受限制。A是什么样的图呢？是这样，我们假定零。斐T等于一减T分之一减T那发一篇求个道求导和前面求导应该是一减T的平方分之一减一对不对？为什么？因为前面是一减T的负1次方一减T负1次方求导以后，负一拿到前面去，然后A减T设为U然后点的导数就是-1-5，对不对？所以说负一减一就是负二那1.7平方对吧？最后整理一下，就是一减去一减T的平方除以。对不对？再写一下就是2减T乘上T除以一减T的平方。好，我们大体的知道它是这样一个状态。这是一对吧？然后再。看这个图像是2和0，我画个虚线这。地方是20，因为一是分界线，一这个地方是不能画。那么在负无穷到零上，它是下降的。如果降到T的0的时候，T的零的时候正好是一。再从图上来看，在0到1之间的导函数上升的，那么就是导函数是大于0。所以原来函数上升的这个对的最低点是一。二的地方，首先它是因为先是真的增了，然后降到2的时候，就是1到2的时候是先增后降。那么我们来看一看。看一下以后，他的头像长什么样？首先在取2的时候，他是这是求2的时候，一减2分之1，-1分之1减2-3加上。经过那个对-3，负三它是涨上来的，是先从一涨到2，然后从二的下降，是不是这样？所以说碘负三好，现在我们把A就是后面对应的一减T分之一减T的图像画成这两部分，划成两部分。那这时候T的范围是什么是吧？T是等于这个是什么？T的范围是一个这个那么现在要求我们根据刚才的图像要求几个人三个不同的点公共点。那三个不同的公共点是什么情况呢？我们来看一下这个就是T等于一X分之ln x我们一看这个图像特别容易，从刚才都说好几遍这种类就是他是这样。对不对？现在水平线T要想有三个焦点的话，T要么一个是在这。一个是在这就是这个方面肯定是对一这个一然后要么是一个负的，下面是一个、二个、三个，对不对？相当于X1、X2、X33个值，是不是？也就说T的取值T小于0或T要小于一大于0，在这里边它就能够成立。那很简单的那图像T小根和T在零一之间，那根本就没戏了。跟1到2之间这一块就没有一个问题了，这一块就可以走人了。我们这是小于零和，那这个是T对不对？我们这只是考虑到这点？你看T小于0和在0到1之间增进这块就没有已经往后就没有事了，那只有在一之前对不对？一支持性T前的一致性，那么换一个就是这就是这个一，但这不一目了然了，对不对？这时候定义就是T1是小于0，等于T2不就在00之间，对不对？所以说A大于一，因为这里面变成一，大家就出来了。那么这个我们通过整体的分离参数非常方便是吧？那么方法二就是把它转化成函数方程的思想。函数方程的思想也就是说我们首先就是到这一步，我刚才是画这个图的，对不对？刚才老师是画这个图，现在我不画了，我把它转化成方程，转成这样就让它的方程有两个根，一个根落在小于零里面，就是负到0里面，另一个根落在0到1厘米，对不对？这样的话，我们就根据方程这个关系要一个个落在这里，面对不对？一个根是落在另一里面，另一个根都在，或者另一根是T1的T2的1，T2的零或者是服务通道里。这里面根据这个特点，TR的1，TR得0，TR的10。我们刚才实际上说老师在上面你为什么没把这个分析出来，分析下来用不着。是因为我们刚才根据图像分析已经知道它只能够在什么地方会有99900那个固定的值。像固定的是一，那么跟我那个图像它只有一个焦点，它不可能有两个交点，比如说A的一A的一，根据刚才来大家来看看我刚才画的对不对？那2加1这个地方图是什么？看到这个地方，这是二的一对吧？我用另外一个颜色笔画，你看一下来这地方。这有用吗？这有没有用？因为它在下面在X就是T加一的时候，首先根本没有交点，那它也不符合三个焦点，对不对？它只有这一个值一，那么如果H一的话，这时候T的取值就是你看是唯一的那有鬼我们是吧？T得零的时候，大家看看T的0，根据我们这个头像下面这个头像对不对？这个图像它不就是一个焦点，没有用。好，那么我们通过简单的判断发现，如果是按照这种判断，就是一个跟T1在领域里面，另一个在T2既可能是零也有可能是一的话，我们可以逐一的来进研究。首先T2的一我们知道它没有意义，为什么没有意义？因为我本身这个A值当中就有T减1，对不对？我们本身这个设置当中不就有T减一吗？来看一下，我就一讲题，你看这一块对吧，我来点一下，你看这一块本身就题不能取一，所以一是不能取的那去就pass掉了，pass掉的话我们再来看，当T2得零的时候，TR值就是零了，那么A这时候就一了一，T1得0。刚才我跟大家说画图已经看不到0，他也不满足T所以只能是这个点。T2是负无穷到0，一个是负无穷到0，一个是0到1。那么根据函数性质，这就是思维性结合做专业不同分组来剪一下就OK了是吧？这个我们就不再赘述了，下面。这道题目我们对同学来说也是不太容易。什么呢？你看它所有零点的和就是考零点问题，它主要是缺陷的端点变化趋势的判断方法，隐含条件使用方法是首先我们知道这个函数派分X和这个东西，它有解零点有减。后面是一个我们假设Y等于根号3，X减X平方加00和Y等于2 sin x结果我去看这个式子，它是等于根号里头是负的X减2分之3括号的平方加上4分之1Y展开以后就是Y平方加上X减2分之3平方等于4分之9，对不对？这不是半圆吗？一开始Y轴上方的就是X轴上方的一个半圆，对不对？他画的是一个半圆，那这个是一个三角函数图像。我们知道这个半圆X2分之3，这个一个非常特殊的位置，想干嘛呢？2分之3带到2 sine 2分之3派的负一，那不是对称轴吗？原来派分之二派对不对，它的周期是在二，同时派X如果等于正常函数，对称轴是K派加上二分之派是对称轴是X就等于K加上2分之1。但KC减速，所以一看2分之3是对称轴，这个2分之3说明它的图形是关于2分之3是对称，也就是说二三KX图像是关于23对称，根号23X减X平方的图像，它也关于X轴，关于这个2分之3对称，X减2分之3对称，那就结束了。为什么？大家看一下，画个草图，我这边把图画了一下，因为我们把r sine派X在0到3上的图像画出来，它是一个半周期，对不对？注意是一个半周期，这是一个周期0到2，然后后面有半个周期是2到3。画好了画个上面是0到3是个半圆，问题是这个地方有焦点这个地方有焦点这个地方有焦点，这个地方有焦点。好了，那么剩下来的还有没有焦点呢？对不对？从小就开始纳闷，说老师这个地方你能判断到底我两个画面来了，他是焦点的吗？是的，那你们知道的，说老师我这个我很好知道，这不是画的图，不就是过去吗？不是你要这样说，看一下子看一下。那我画出来以后，我这个原则的地方，你知道我跟他谁更逗，谁更火，我不知道。所以说我们知道它既然是半圆的话，它这地方2点和三这个位置，它的切线的斜率，我们通过切线的绝对值大小来判断就能知道它。我们发现他签的写作是无穷大，就是零和3的是写作是不存在的。三角函数它在0和3这2个位置上，它的清晰的一个在零的地方等于三就相当于一个切线。七十三这边定的是-3，对不对？就说他们不像圆在那点的很陡过来，他是缓一点过来的，一个谎一个抖，对不对？说明这个圆跟这个三角函数之间，这个地方两个蓝的这个焦点还是的，有可能就出现了三组，每一组都是三张，加起来是三张，这三张加的不是九吗？就搞定，对不对？很容易的，很容易。下面这是一个抽。第七题是一个典型的抽象函数问题。抽象函数问题我们知道GX等于F撇是它导函数F2X和GX均为奇函均为基。它是有个对比中心，肯定是一类他的技能对的东西是阿里，对不对？这个是我们早就熟悉的这类问题。下面的具体的数据，具体数据是F2等于4，在这个东西等于多少，那就是要算一算F1到F0一直到F2025。大家注意凡是向出很多求和，向着很多人来求和，一般来说我们有这样几种，一种是倒序求和法，第二是周期求和法，第三是立项求和法。一定要注意，我们有若干项求和，很多项求和就是倒叙。你想。是吧周期周期李想是树林里倒叙是函数的，周期是函数的，所以说流线性感我们是很少用的。我们首先看倒叙和倒叙，这里面是一个一个的F0F1没什么好倒的，因为没有函数检验是倒个鬼，倒不了，所以只能看周期，就是研究它的周期是吧？研究周期我们根据题知道刚才10对称，20对称。好，现在就有两个对称，我们就根据它的导函数来看一下，不是G吗？那GX加2加上G负X加得0，说明关于对称一般表达。因为比如说我们正常就是说HX加A加上HX减A，那先这样没有道理，谢谢。就是HA加X加上HA减X假如等于B我们就推出它的对称中心一定是什么？A分之BB对不对？就是A加X相当于X1，A加X相当于X2，HX1HX2分别相当于Y1Y2对吧？就相当于Y一就相当于Y2，然后加起来B除以2，所以它对称是零。那好了，那我就利用一下你关于计算机函数，那GX加2就等于负的GX加2，负X加。关于阿里云的对称了是吧？我们根据理论两个相加，X加2的负，X加加起来除以二就是2。相当于X加二相当于Y一减负负X加二相当于2，那么加点除以2得0。所以说哪里对称？现在两边求导，为什么求导？因为GXF撇，那GX加求导以后就是FX加，G负X加二求导以后就是F撇负X加。因为求导这里负数函把它变负X加。好，那负X加2，因为FX加2减去FX加是常数，为什么？因为它0两个导导数加起来的0，那么说明原来不是FX加减去FXF负X加，这就叫new叫利用。就是这个导数它的前身是什么？叫前世今生，我们说FX是金身，那么它的前世是什么？前世FX加2减去F负X加2，它等于长租，只有等于长度两边求导以后才会出现前面这个式子前面设置。所以在注意到这时候负具体值X去0，我们知道这个常数就是零，从而得到这个常数既然就是零，说明它具有一般性。一般因为常数是我们是通过一次随任一个值带出来，它就是具有普通性、普遍性从而得到。所以说这样的话就得出来了FX就是这一块FX加2，那我不写了，FX加二等于负X加2说明就2减X，2减X说明关于二对称。我们知道前面的对就是FX的对称中心是10，这个对对称轴是2，那么对称轴和相应的对称中心它距离的四倍总是周期可能是一个周期，可能两个月跟三个流不可能解决周期，反正是周期期。也就是说我至少知道这里面有一个周期，我知道的是2减1乘4 4是吧？二点就是得4。那题目里F1得0，我们就推出了F3是吧？为什么？因为FX加二等于F负X加2，当X取一的时候我们就解决，通过这个设备大家就看出来对吧？对，有关于这样的话，我们F1的0，因为X2对称，所以F3出来，那零知道顺利成了F3指导，对不对？再来看这样的话，我们得到得到什么？刚才周期知道以后，我们接着看啊，这个就是推周期的，我们就不推了。既然是40周期，40周期，那么F1是0，F2是4，F3是0，F4是F0，F-4，这都是双份对吧？前面很容易找是吧？我们再回过头给你瞄眼，***演F1刚才不说好了，F3就知道了。因为关于对称的话，大家从这个设置当中，从哪个的从这个设置当中FT加一加上F负一加T的0。那么这里面我就让T的0，那T的零这个是0两个0的话FEB就是0，对不对？F2的四是怎么给我的？0和负二它正好是根据提议就知道了，对不对？那就是前面有啊，对吧？前面有就是F0和F2。因为F0F2加起来正好是对中间的零加2是1除以二是一，加起来就是这里面出压，就是关于10对称F0和F负二相等的-4。就是说我们很容易把F2F4，现在F0都知道了，对不对？那好了，把它收拾，F也知道，F2知道F3的F4知道F0知道周期是几？周期是四，周期是2025除以周期。我们现在看一个周期，一就040-4 040负责加来的不就是什么？不就是零吗？一个周期和就是零，1234是吧？1234加起来和就是00，那现在看看出来什么呢？2025我们除以4以后，有时候是一，有时候就是F1。前面再来看他从哪开始的，F0开始最容易出错。F0这边出示F0对不对？我们知道是KFK从1到2023的领域，对不对？因为每个周期这个题目的起点是零，同学们它是零不是一。所以说我们把1到2024，这反正都是零就成一个开端。0和开的20252025，它因为测试周期就是F1，所以说算法抚州是搞定的。好，下面。DYFX和DX2的单调递减函数，且存在函数GX等于，就是使得FGX等于X所以这个表达这个表达式很神奇，这个表达的若XX2是方程。分别是方程的两个根，那两根带进去，在这里面一代它再被X一带到这里面，X带到这里，带到哪呢？就这个X带到这里。好，那么带到这里，因为FX就是FGX等于FGX就这个时候因为FGX等于X所以GX2就是X2就是什么呢？X2就是F。GX2对不对？题目就够了。X2的话它X2，大家看这个对不对，是不是FGX概念，所以说GX2减去FX2等于-3，这样的话两边都乘负一就到FGX2减去GX2等于3。FX是定在R上的单调递减函数，所以说FX递减减下来还是递减，这时候说明它是单调。好，那也就是说他们的根是唯一的，就是FX减X等于三的根是唯一的那一个是减出来的3，这个减出来也得3。所以只有一种解释，就是X1和GXR必然相等。那必然相等的话，那我们两边为了在利用到这个条件，利用哪个条件，利用GX2减X2-3，那两边都减X2了，减X2都减X2对不对？一减X，就XC减X2不就等于负三要算的是X2减XC是正常的，不要太简单，所利用单调信息方程，更多唯一信息搞定。下面我们来看一个解答题，这道题我选取的就是我来研究的时候发现很有啊有价值的，大家来注意听。听说FX等于ln x加A减去X加F01减2X在X等于0处取得积极零度取的机制。那零度取的机制就A就确定用这句话能推出A求他该知道的单调区间你就知道。所以说第一个FX肯定是全部确定了，没有任何问题。第2GX等于x ln x加2减X方减X求0GXY0GX存在两条斜率为负二且不重合的切片，不重合切片。这类题目，本题在命题的时候，他跳出了常规的考法。这个第二小问的设备它是非常具有新。首先是缺点在哪里呢？确定在哪里，然后能产生取证程序，我们应该从哪里找到，这个要引起重视是怎么找到的这是一。第二，同时注意这类事情，即他没有无缘无故的请问。也就是说要注意到第一问他的第二问是由请示的，也就是说前面的结论一定为后问求是。就下一步会用到定位，那你就把定位的单调区间、单调性、基值点什么东西都要分析的清清楚楚。然后看他跟第二个是什么联系。我们看同时记住前面的函数变化。对你会为后文找到突破口，就是我刚才讲就是前往往是后文的GPT的走上来就行。第三，同时构造孩子要弄清是什么和怎么办，就是同样是构造函数来解决，那么我们要向哪个方向去构造，应该怎么来构造？下面来解决这个问题，我们首先解决第一个，第一位首先在求导以后，然后他在零处，函数在零处有定义，而且在零处取得极值点，说明F偏0的0解出来A的一。这个因为题目里面已经给我，怎么样题我A的怎么样？大家看一下题目里面人家给的说的很清楚，是不是是X加Y找他的，你看A应该怎么样？X等于零度求的极值，那零度求的极值，X加A必须怎么样？一定是A大于0。为什么？因为X大于负，A在零处有定义函数FX在X0处有定义，零是接的点，不就零头有定义吗？零处有定义的话，那说明NX是加一的，A是大于零的。所以说这地方我们为什么要把负担为什么去？所以说临时起止点在处理它就有意义。好，下面我们送到A的一，A的一的时候FX就知道了。FX知道以后我们求导，对吧？就常规的函数对不对？FX知道了求个导的他对不对？那它的话那就上面来决定符号了。上面决定符号根据速度标志，然后一个是负的2分之3是吧？一个是零。我们函数是要等于负一，为什么？因为I求出来的一的时候等于负一从负一就切断了是吧？从负一就切断了，这边就不能有了。因此是先是上升升到0，实体图上先从零从负一升，然后从零降，对不对？所以说零的时候取得极大成功。好，这个问题就第一个问题解决了，所以说它是-1到0的时候，递增递减区间是零到正胸下面。第二点。第二小问GX是G求到以后，发现求到以后正好就是低位200次，也就是台阶来了。第一位。因为第一位的单点中我知道什么情况，刚才通过表格里面知道是在零的时候发生的，最大的实实在零的时候发生重大损失，对不对？对，好，那既然这样的话，我们就有GX它的导函数的最大值就是G撇X，XY就是F0，就是负一导函数这个函数导函数就是原来的函数图像，就相当于好的，现在检查复议吗？对不对？然后涨到零了，零的是对的什么？0的时候对应负一。然后又换下来了，这就是这样对不对？好，我们对原来孩子它的变化趋势就是-1到0的时候是这样。现在我们来看一下，这地方对应的是负一，它最大值对不对？那负二在哪里？负二在我们这里，负二在这。那为什么有负二呢？就是从零到X指标，从-1到0之间能够找到-2Y吗？有，因为它是无穷生长的，所以说我们就找一找能不能在-1到0之间找到一个这一撇X等于-2，那么只要在这里面找到一个值小于-2，然后再慢慢增增到负二价，还是从负二进入到负一就好。同样后面是先星期一下降，降到-2，从负二继续向下降，那好了，就说明要我们就是有负二这个值。负二我发一条视频，这条视频假定是-2，那么在它的前面肯定有一个值比负二小，在它后面比负二小。也就是说它这地方我们要在-1到0之间找一个X值，使它的值能够小于-2，然后在零往后能找到一个值一小于负。比如说这里面相对X1，这是X2，它对应的值都在画的下方，都在画的下方，对不对？容易吗？容易什么原因？是因为lan同学们ln x加1，我和最好办法就是E负二减朝里面X的。那么这样的话就得出负，那么就好了。一负检验，那么我得出来这个值是吧，然后就保证了老印这个东西搞明白，然后负的X加1分之1减去X这爱咋算咋算，这个我一算他写的负。就是我想到是首先解决超越函数内部X加1，如何把它通过适当的取值，巧妙的取值，能够让它得出来我们容易计算的数据。那X加一要想把ln干掉，首先要有E的什么次方？要想落在负一G落在这个负一之间比零小。首先我们用E负二是重力成长，因为这个再减1，正好E的负二就磨出来了，然后再到负一得出第一个是零就好吧，非常有意思。下面再到后面，后面的这个式子是超过0，超过0，那我就用一减去了，找一减A大家看到没一减A就超过一样，因为12.7828等等是吧？我现在不用管这个自然对数底缩，我们把带还解决先唠一的问题，结果这个是你选出，好好。就是说明我们根据刚才它到函数的极大值是在零处发生。那么在-1到0之间有一个函数的玄-2，而-1到0是上升的。上升的说明从比较小的升到从-2一直升到负一。然后在X取值超过0以后，从负一这个取值开始降到-2，从-2降到比负二更小的这个位置，就是一减一的位置，一减就是横坐标取1减1。那么前面的时候关系去一方简介，这太好了，大家都晓得。这样就找到了X一在这里，X2在这里面，使得它两列函数值都等于发，就是发现什么就在哪里发现的，我们把它找出来对吧？哪里发生总在接着找结果。这之后找出来以后，我们现在来开始来把这清晰表达一下。因为GX在X就是X1GX1、X2、GX3的产生氢氧方程，这是同行一起，然后好好整理下去。那后面就是GXC这一块，就是这个。因为他说这是直线，前面部分斜率都是负X那后面这一块一定要不一样才能表示两个方程。因为是两条的两条线，那你就GX1加2X1和GX加X肯定不一样的，表示两条。因为前面Y的YX是确定的，只有后面这个可变的才行，所以说下面就证明这两个不一样。怎么证明不一样？我们设GX等于大，GX等于GX加X结果求个导数是GPX加，那么这个XX大于等于是有什么情况，对不对？是什么情况？我们来看一下，根据前面当X数由X1到X2的时候，就刚才这两个值，因为FX在-2到-1厘米，发到V0是吧？因为我们是对应的GXGPX1，GPX2等于-20，对不对？所以它取决根据它的变化，先上升后下降是集中在-20，-2到-10里。大家看一下。那这样的话，我这撇了导出来以后是FX加2的，在X与X2之间的FX加，那说明它这个加号FX加始终是大于等于0，就这个大点数的单调增XX2有有不等，对不对？X是小于X方，刚才通过设计，这是落在什么？一-2减1到0之间，一个值就是X1，然后X2是落在零到这个一减一之间，所以说两个不等你单调，还有两个不等之间不能说明我们刚才话说这个东西就是不等，后面这个就是不等，对吧？就是这一块JXI加上IXI当中就是GXC加上ABC和GX加上RBC是不一样的，搞定了对不对？这是方法一，直接把缺陷写出来。方法是什么呢？假的，这两个本来就相等，都是佛。那这时候就得出了这片X一是这个表的这个XC表面。好，他两个都知道了，现在我把这个切线方程写出来，切线方程写出来就是这个，对吧？这个刚才就GX1-2的斜率，然后都是在第一个方程，同理，另外一个式子就得出另外一个是方程，那这个东西等于负二等于负，我们对后面这一大块进行化解，这化简以后，就是利用这点就推出来。这个也就是说Y等于负X这一块先保留，后面这一块利用RX加上XC ln x1加1减去XC平方，再减去X再利用它求导数负二这个身份，然后朝里面带，怎么带？那你就把这个是把XC停下，XC停下，ln x1加1，那么就出来了。把XC停下来，就是知道ln x1加1。你看后来X1加1个0 1减2，X为-2，一旦一整理，就这个时候那LRE的方程，L2的方程，那就把X改成X20，那是完全相同。对，完全相同。那就把X换成X2，下面就要证明它是两个不一样，两个不一样，两个不一样就是这个东西是X一的时候和这个东西是X2的时候，它不同的。不等等怎么不等？不等就来找这个函数，当然这X还是大于负，一来证明这个函数来证明，结果发现这个函数是单调，你他缺少这个单调的XX它不一样，不就不等了。在这个领域知道什么精彩无比精彩无比。所以说我们就找出了存在两条斜率维护其不同的的直线，对吧？你看它的第一种方案，第一种方法把权限整出来，整体做的就是利用GX等于是吧GX这就构造GX等等于小GX加2X这就构造了研究单调。第二个就是把它的两条切线方程整出来，利用切线它等于负二化简整理，然后证明它的除去Y和YX部分整改的部分不一样，那么构造新的函数，然后再进行求解，对不对？这个也是非常奇妙的事情。好，我们今天这一块先讲这么多好，我们后面接着讲第二部分数量。我们知道在高考中等差和等比是两类必考的题型，考察的深度他可以一目通天一考察，可以考察基础，也可以考察中等。这个没有固定的模式，因此我们在讲解的时候，在苏联这个问题我们处理就轻松的处理一下。首先我们来看一下等比数列第一小题，且N项皆为TN且A5A6属于自然数。如果70等于6的5次方，则A5加A6的可能值，这是一道多选题。等比数列我们知道对于苏联来说它的基本项，我们说首相尾相相属和工艺？正常情况都会研究这些问题，向首项尾项像素公里前下河。这里面问的它不是上面的五个量，是为什么是TN？TN是什么？是A1A2一直乘了A是TA银行的钱。那么诏书说明我们就让他存起来，存在什么呢？T时他告诉我们T10是这个数字，56到6的5次方。那I5乘I6是什么？然后我们知道I5乘I6应该等于6，因为它乘了就I5乘I6是这样的，是1到12和9它都一样。所以2两1组，根据整体或者整体的考察，我们就知道这个就是I5I6的5次方，就是六的5次方用的是一次项，所以说开出来它没有两种情况，只有一种情况就是F乘以6等于6。那既然是六的话，那么就一种要么是2乘3，要么是1乘6，对不对？要么2乘3要么是1乘6。所以这样我们算开I5和I6的这个值，应该是加起来23，就是516就是七，A6就是7。因为这里面有一个什么限制，是I5I6或者IN它是一个正整数的要求。所以说这个的时候，我们就对六进行简单的分解，要么分解成2乘3，要么分解成1乘6，没有其他情况。好，第一小题。第二你的溯源来说，I一等于1IN平方减去三倍的IN乘上AN减一加上2IN减一平方得0N代表N是正整数，这个是的，前五项的和好又开始求和了，求和。那么第一小题刚才是等比数列，那么这个是什么呢？我们来看一下这个关系，它是IN平方减去三倍的ININ减一加上2AN减一平方一看，这是一个其次式是吧？二次其次是首先想到因式分解，分解一下，分解成IN减去IN减一乘上IN减去2IN减一对吧？那这样他就两种关系，第一种关系和这种关系这两个。当然是可以交替发生的。可以交替发生。首先AAA和AN减一可能相等，AAN最后一项也可能是前面的两位，这个要反复的同时考虑，反复同时考虑。因此我们来考察一下，大家看到这个地方IN跟AN减一之间的关系要么是相等，要么是两倍，要么是两倍对吧？那这里面也就是后一项跟前一项之间的关系，要么相等要么是两倍。那么我们就可以考虑到，这时候写一下AN等于看好了是AN减一对吧？到这一步就是两倍的AN减1。两位的IN检验又到下一步，下一步可以是IN减2是2倍的AN减。那这个一样，它的后面可以跟它相等，那就是AN减，一K是两倍的I键。是不是这样，是不是一直等等，然后再发展到AN减3，二倍的AN减3，然后再发展到2倍的AN减2，然后再发展到4倍的。一下，下面意思等等这个常态就行了。因为它是这种关系，我们不仅在考察它的后一项和前一项的关系，要么是相等，要么是二倍的关系。所以说这里面它是写偶像的，和我们要全部立起来把它列出来对吧？高考题来讲这方面就是动手操作，练一练就行了。这个题目就是这样，你看我们简单说一下，比如说L后一项前一项相等，或者前后项是前一项的2倍。你看后一项和前一项相等，或者后一项前项的2倍，对不对？或者后一项和前一项这相等，这个椅子等等。按照我们这个表，下面大家看这个表就很清楚了。对不对？那就是一它的第二项相等或者第二项二倍这一项它跟第一项它跟前一项相等，或者第二项的二倍，这个它跟前一项等或者第一项的二倍它跟前向相等，或者第二大V它跟前向相等或者相2V对吧？它下面不一样，它这个跟前项相等，或者它二倍椅子等等，对不对？列出来以后，我们就知道它里面哪些核的结构。那可以知道的，因为前武汉的河岸有点像你这样，这一条是吧？然后这一条对不对？依次找依次找前五项的和，就是五项的和有哪些状态，也可能是这样下来对不对？你可能是这样对不对？反正在这里面你看12345有哪些情况就好了，对吧？哪些情况就好？这个就是图表当中我们迅速就把它锁定出来，通过列个表，应该是比较容易的。列好表以后，我们发现当I1、I2、I3SI5等于一的时，该数列的前五项和为A正确。去找一个他问了哪些能对吧？当A的L等于134的225得40 10是可以的当A的一A的一A2得2，A三得四，A四得八。I5的16是30以下是可以，那么不存在数列相反和可能是29的情形，所以是错误的。所以说这个就是列出来加一加就行了，没有任何技术含量。下面我们看整体考察问题，刚才我们研究的是UOME的情况，我们再来看检查是在等差数列中前M项和为70，注意M是奇数，M是奇数说明这个数列它们的奇数项比偶数项要多一些，对吧？其中偶数项之和为30。因为如果一个数列的项数是偶数项，说明奇偶是一样多。如果你说的是奇数项的，奇数项比偶数项就多一点，对不对？所以这里面你再看A减M等于12的通项公式是什么？通项公式？我们知道A是什么什么是首项加上反应减一个D或者写成是IK加上减K的D对不对？就是哪一种方面用哪种，现在我们首先来看一下，奇数项和是有多少个奇数项？它前M项是奇数项，所以说它有M加1除以2的奇数项，那偶数项肯定是，前面的M减一下是偶数项，它的一半是像素，所以说它的偶数项是它的基数还是这么多，对不对？好，偶数项之和为30就是第二首项加尾项就是A二是首项AN减一是尾项乘上项数除以二是30%。同样基数项和是70减30等于40，基数项是40，那就是首项AA尾项AM乘上二分之M加1除以二四十。好，这一二两个我们比一下，一二两个比一下，然后减的M的7，减了M的7M的漆。因为题目当中它给了A一减M等于12，A减M等于12。那既然A减M等于12，那么就是A减A7就等于6D是负的，6D等于12D就出来了，就是我们要解决了这个公差地的问题。大家也看到是公差地解决掉了。公差地解决了以后，在等差数列当中，且M项和为70，那且M项和为70，注意M项首项A加上A7，首项价位项首项项数除以二等于75。那问题就变成了I1加上I线等于20，那A液加上矮线，我们知道A线就是A一加上6D对吧？这样的话就是I一加上I一加上6D就是2AA加6D等于20，然后得出IA那么A就知道了。现在A知道D知道了，所以说它的通项公式A就知道了。首先加上AN减A乘上B整理下18减2N这道题目小悄悄的对吧？它考察的性质非常的简洁。下一个看看解答题，设数列AN的前NOSARSA等于N平方加上A求AN的通项公式。第2BN等于N乘上2的N次方，求数列AN乘上BN分之SN大加4就加后面加4，不是NSN加4是SN加4的前一项和TA，这个呢前一项和TA把它求出来。写这个节奏就有点怕人。回头我们手持好汉手就能把它干掉，设C等于根号IN减2分之1，那么这种结构肯定跟IN它表达式有关，所以说要把它这个文件化写出来会非常漂亮。那我们回头看看根号里面，你讲它完整的样子是什么样子，然后来看看它加起来会不会大于二根号N加2分之3。这道题目，我们首先苏联求和的常见立项，常见立项我们有什么呢？首先有等差类类型，类立项。等差类立项就是形容，比如说N乘上N加K分之一，它一般来说就是K分之一，括号N分之一减去AN加K分之一，这个有点是等差列的项。第二类是指数类类项，指数类类项比如说N加2除以N乘上AN加一乘上2的N次方是吧这种类型。那么这种现象我们怎么觉的呢？我们首先让其次结构就是保证分子分母，比如说N加2，然后乘上2的N加1，为什么呢？因为分母它是N乘上二的N是一伙的，然后我们让IN加一再乘上2的IN加一是一伙的，是不是？然后我们可以根据这种结构来比较他们之间的关系就可以离开了，对不对？离开我们来调整一下，看我的系数题对不对？等一下整项以后就是2的N加一乘上AN加一减去N乘上2的N次方。2的N次方提出来里面就是2N加2减N，我这太巧了，还正好是AN加2对吧？N加2乘上一个二的N次方是这个，那么我们上面的式子就可以把它写成二的乘上2的N次方。N加2除以下头是二的IN次方就是乘N1个。然后2的IN加一乘上N加一个，对不对？那最后我们就对他立项，就是情愫化立项就搞定了。他立项搞定怎么呢？然后等于就是二括号里面就是R的ININ分之一减去是吧？IN加一乘上R的IN加1分之1，就这样就出来了，对不对？所以这样这种类型的我们都是用其实结构其次结构搞好以后，让分母的两个其实结构两个做差跟分母进行比对，然后就可以离开。这类题目的通法就是这样，下面我们再来看一下。我们首先第一问求通项工程对大家来说是小儿科，我们马上送开始印章。这里面如果要注意细节的话，就是在列出它的递推关系。因为我们知道凡是在一个结构当中出现SN与AN关系的。我们一般来说一方面可以用SN减去SN减一等于IN的形式？这个N是大于等于二的，或者是把AN写成SN减去SN减1，这两种方式到底用哪一个呢？要结合图形，要结合身体的实际情境来判断。所以说不能水电农也不是下面。所以说第一个我们求这个通项公式非常容易。第二个身份，第二个是就是金融结构我们怎么计算的问题是吧？首先你看第二问当中N的意识是吧？我们这里面，当然这个是由于刚才这道题目。前面的计算，我把这过程给大家演示一下。你看这个计算就N的意思，这是什么呢？就是要把一单独算一下，一单独算一下是什么？因为它是N大于2，所以要把一算一遍，然后大于等2的时候，它SN减1，然后这两个式子就可以做差了，这就是简单的严谨性，它非常严谨对吧？就是无一遗漏，无一遗漏，还要保证不重复就不重复漏。第二个，就是由于我们第一问当中SN，它给的条件是这个IN送出去，这个BN送出这个对不对？那AN的原因加BAN的原因乘上二的1次方，那这时候状态是这样一个式子。说到这个事情，我们茫然不知所从，说老师这个我从来没见过，我一点办法都没有。没招了，没招了，没问题。我们要想招招在哪里呢？要好好回顾一下我们之前老师讲了哪些知识，在这方面可以进行突破的。你看我们来处理一下，我首先来看同个问题，因为它的分母是AN加2乘上2的N加一乘上A对不对？那现在我能不能这样想呢？就上面是N平方加上Y加8，我都乘上2的N减1次方，就是让N加跟N加一是对应的，那么N跟2.0减一不就对应了，对不对？就补这样一个项，那后面是这样一个项，你看大家看一下左边这个项，补成这个项以后，我们来找找它怎么变化的？两个做差，因为总是同构，两个做差就是2N加一乘上N加2减去N乘上2的N次方，我们提取2.1减次方，我们提取2.1减1次方，里面还剩四倍的M加2减去N等于二倍的N减1乘上看好了，应该是3N728，这个有sine加8，那作为一个分母分子，它除去sine加八乘什么呢？我们大可以看到N平方加上5M加8，把它写成如果3N加八拿出来就是N平方加上2N加3N加八分成两块，分成两个N平方加N的分母不正好可以约掉吗？大家看它的分母正好就有N乘上N加N加2，那不正好有这一块，所以说我们要特别开心，特别开心。原来写这么多东西，它原来可以分解成这样，就是N平方加上5AN加8，它可以写成是N乘上N加2乘上2的N加1次方。写成什么样？我们把它写成N乘上N加2乘上一个3N再加上3N加8除以下面是N乘上N加2乘上2的N加1次方。前面分别列两项，就把前面这一两项连下面一算，原来的2的AN加1分之1，再加上后头这一块就是3N加8除以下面是N乘上N加2乘上2的AN加1次方。我们知道刚才这个式子，我们整理以后是分子分母同乘上2的N减1次方以后得到的那我们就分子分母同时乘上2的N减1次方，对不对？这地方乘上2的N减1次方，那下面不就是二的N减1次方吗？所以说这个式子一整理。一整理是什么东西呢？原来它等于R的N加1分之1，加上N乘上2的N减1分之1，减去N加2乘上2的N加1分之1，对不对？就分解成这样了。那分解成这样，前面就是等比数列求和，后面是理想，理想相交就是求和的常见形态，所以说我们要特别当心。但是这里面这一关立成这个样子以后，这仅仅是过了第一关。第一关大家注意我这个三星难度，注意下面在处理求和的时候，它不是连续的。同学们它不连续，它是一二的0次方一的H1的时候二的0次方，这取一的是三，它不是一二，它是一三，知道没？它是一三，再后面才24，再后面才是35。所以说前面有这一项是留下来的，对不对？所以说要格外小心。我们立项的时候，就是要按部就班，扎扎实实开始立项，对不对？对了以后，你看这个式子不写好了吗？前面这项求和就是公式法是吧？公式法求一下等比数列现象和公式，首项肯定是4分之1，公比是2分之1。项数的A后面取H一的时候，这是H2的时候，这是H3的时候，到这个时候这个才有效的。这两个没人消，他是留下来的留下来的。所以说前面如果是留两项，至少前面留两项，那后面就留两项。所以说而且是对称的留的。前面是一三项留，那么倒数的是一三项留下来，倒数这个就倒数第三项，倒数第三项留下来，留下来以后整理出来就这么多是吧？这么多，这个地方是生成的时候出点小问题是吧？这个不影响理解。我们来看一下，这个问题就了解了。所以说要注意第一关如何是分离2N加1分之1，把它分离出来，分离出一个类似于等比数列的结构，再分离出一个立项的结构。求和的时候又注意到它还不是连续的，中间还是隔开的。所以在注意到求和的时候，前项有几项是哪些项留下来？后项是对称的，倒数对称的留下来。这些都是我们解题方面需要注意的。好，下面我们看下一个，就是来证明这个东西是大于这样一个结果。大于什么呢？是大于二根号32根号N减2分之3。那么惯常行为，我们同学在做这个题目的时候经常会这样想说，老师因为刚才我们算出来AN是N加2，它是N加2的话，正好不就是这个吗，对吧？这个我知道，因为二倍的根号AN，它小于根号N加上根号N加1，它大于不是根号N加上根号N减一吗？然后如果倒数的话，就是二根号N分之一就小于根号N加上根号N减1分之1，就等于根号N减根号N减一大于这边是一样的，就是根号N加根号N加1分之1，它等于根号N加一减根号N结果我把这个带进去，两边都乘2都乘上二带进去计算，这个我算出来根本就不对。因为什么？你说的是大于等大于的话，最后这一项根号N加一不就出来留下来了吗？始终是留着的，他没法销，出问题了，问题在哪呢？为什么出现这个问题呢？是我们把问题想的太友好了。他不是这样意思，人家不是考察这个角度，不是考察你这个简单的，放松了，然后立项，不是这个意思。那么他考察是什么呢？我们来注意观察一下这种结构，要会之后你看我我来看一下，我们回过头来，大家看这个是样子，就是里面这个东西我们回到到这边看到了吧？这个什么这个时候我们在处置一定要抓住前后这一块和这一块之间的关系，对不对？实际上我们再写一步，比如说洗C1、C2、C3一直加到CN减一的话，它不就是二倍的根号A减去2分之3吗？如果前面两项相减，就是跟CN一直加到CNCA加到CN相减，那这边就对应CN而另一边对应的什么呢？是二倍的根号A减2分之3减去2根号N减1，这个减一下2杠N减1减2分之3，那就是减去，拿出来对不对？它是这个式子，就是二倍的根号N减去根号AN减1。前面这个时候就是等于根号AN分之1。现在根号N分之一与谁呢？与二倍的除以，下面如果除的话就是根号N其他上根号N减1分之1是这样的事情。大家看到没？它是这种结构这种结构这种结构我们很难办，对吧？非常难办。这地方你看一下这个式子，如果就是根号IN我们就这样写的话，就根号IN分之一是吧？它是2除以根号A加根号A是吧？它肯定是小于根号A加根号A减1分之2。你看我们好人弄出来以后，中间又小又好，没有问题是它必须要大于，它现在是小于。所以说我们的思路上面在初始上面应该说没找到突破口。那么我们再来看一下，实际上并不难理解，就是你的CAN，你为什么抓一个CAN呢？你难道就不CN检验就不能再考虑吗？对不对？所以说我们这样来考虑，你这边不是画出来不是根二根号里面根号IN加上根号AN减1。那我前面就这样来算，就是根号IN分之一和根号A减1分之1，跟你后面的定义出来，我来找这两个关系，我找的这两个关系怎么样，结果找这两个关系怎么样？一看我们假定根号因就是AA分之1，它就是B分之一，更好，应该是B后面R除以A加B，看到这个心里有点数了，我们通分一下，前面就是AB分之A加B后面是A加B分之，再整理一下出现是A加B的平方，RABRAB1看它是大于二乘上2AB对不对？是大于因为AB不等，我们中间之间就这样，这个是很显然的。我们知道A加B的平方泡品牌是大于等于4AB的。现在我们找到中间的通道，就首先看在样子上是怎么联想，连上以后中间在这个系数好了。那现在我们有A加B的平方大于4AB是因为AB不对。好了，那我穿上洗洗就是A加B的平方大于4AB那这样的话我们就把AB除下来，AB除到上面，这上面是A加B它就大于A加B分之4，对不对？A加B分之四是这个式子，那这个事情就好办了，对吧？我们在做的时候不就一目了然吗？那就意味着根号A分之一加上根号A减1分之1是吧？是大于根号A加根号N减1分之4，也就等于四倍的括号，根号N减一对不对？那这是两项，那这个两项最后怎么办呢？我们知道题目里面给的是C1C2，那么多C那么多C我怕你干啥，我把它错个位置算算就是了，对不对？我这样写就是C一加C2加C3加到CN减1加CN然后这样讲加C一加C2加到C好了，这个IN减2加上CAN减1加CIN是不是？那中间这一块它都是好办的。因为它是两两相加了，它是根号1分之1加根号2分之11组，然后是根号2分之1加根号3分之1组加等等，一直加到根号A减1分之1加上根号N分之一一组，然后再加上孤00的孤立的就是CA和CAA再加上一个CA加上CA因为前面这个我们根据刚才这个公式就把它搞掉了，就搞掉了对不对？现在我这样讲，大家是应该明白了，对不对，错个位置减两两合成，然后CA和CA各孤立一个放到最后去？这样的话我们再来回过头来，他的检查就显得异常的简单了，对不对？我们来看最后求和，求和这里面它加起来以后，就把这些一一对应的起来吧？你看就在这个地方加起来以后就这样。那么这个就是首相CA这个就是相当于CA那个位置，对不对？CN位置，然后你看整理一下CACR的对吧？就这样的，我刚才那是两个加起来的，两个加起来是二倍的CA一直加到CI应该对不对？然后你看到整理一下，那一目了然。然后一直到这个地方，他说这个东西我们就不要了，就把它拿掉，拿掉就比较大，因为它是一个大于零的数，是不是很容易对吧？也就是说我们前面看到的我们前面看到的，老师刚才写这个写这个前面就是这种变换它是怎么来的？它是从哪里来的？我们是怎么把它算出来的，对不对？你要看到原来我是把两个写出来，因为这边大家看到这边就是这一块就这一块。这一块是什么？它是两倍的括号，C1加C2一直加到C2N加2，对不对？我们把中间的从CRCC3CR错位加一下以后，然后分成这样一个IN检验组，A减A组把它加起来。另外再有这个和这个整理一下是不是就出来了，是不是出来了。所以这道题目非常的重要。大家在这种类型题，尤其是列项求和是怎么列项的，然后这种跟我们常规的想象放松是不同的。那么我们的放缩手段要联想前面的一些掌握的知识。那问题我们是利用掌握一些基本不等式的一些知识，然后把它裂开的对吧？好，就讲这么多这一段。第三部分立即有空间向量。立即有空间向量这一块主要是考察立体几何，主要是考察计算，就是说距离计算、角度计算、面积计算、体积计算、线段的长度计算等。但是这些计算它是建立在空间图形当中，你必须识别它的位置关系，尤其是识别好了以后，能够平面化，然后再去处理空间向量，它主要是考察距离问题和就尤其是面面成角和线面成角线线成角问题，这也是考察的重点。它的难点是间隙难点是间隙。有的时候坐标系很难见，或者说你想到了间隙以后，但是你写不出坐标是吧？因为间隙设点写坐标，间隙设点写坐标的性能建立建了一通，然后写出了坐标，等于是为违建，所以说间隙是关键。在这些过程中，它是有讲究的，我们叫一重合而对称。所以重合是尽量有墙角的地方，建立在墙角的位置。墙角一个大家就知道了，没有墙角自己要造创造直角，要造出墙角，要造出直角。那么这个时候就要结合图形当中它本有的几何关系，然后你经过深入的分析，发现这具有对称特征或者是特别容易？对其他的面上面对应的一些点容易表达坐标。这样我们就容易使计算的量下降，就是要求的计算就是间隙要合理性，我们才能保证这个计算才有简洁性。我们首先还是通过具体问题跟大家一起探讨。一三角形ABC中，AB等于二根号13，BC等于二根号5，AC等于二根号10。将三角形ABC各边中点连线并折成四面体，则该四面体外接球的直径，该四面体的体积。这样我们是如何来计算他这样一个折叠问题呢？折叠成一个四面体，我们通过图形简单来观察一下，比如说我随便画一个三角形。中文线画出来ABC，我们再把其中把它折起来，折假定就折成这样。这个点就是ABC折到一起了，我们讲的叫P对不对？这样的话我们看这个图形，把它专门的把它描一描。那么这个图形有什么特征？这样折起来有什么特征呢？我们简单的观察一下，发现这个时候假定较低。一。根据中位线特征，DF是IC的一半，DE是AB的一半，EF是BC的一半。所以我们知道这个DE和PF是相等的，FD和PE是相等的，PD和FE是相等。也就是说三条对等相等，三条对棱相等的。我们立即想出来，在长方体当中就可以把这个内容表达清楚，是吧？比如说我们就讲P就是DEF。是不是就是相当于这几个点，它对应的就可以PDF可以吧？那么下面这个问题就解决了，就想到把它补成图形的话，这就没有难度了。下面计算就是说它的三条边。比如说这边是A这边是B这边是C由于题目当中他给的产物二根号13，二根号22根号10，所以说AB就是根，就是一半的根号13，对吧？就根号13，BC就是一半，就是根号5，IC1半9根号10对吧？从我们的图形当中我们就可以看到这个折起来以后，像PD就是BC的一半，PD就是BC对吧？这个相当于是根号。这个PF就是AB的一半，那这地方PF差不多就相当根号13。是吧PEPE就相当于IC的一半，IC的一半就是根号10，这就是P1。很好吃。所以说我们通过这样的关系，根据各个定理立马做出三倍的产物对应的平方。这样A方B方做好以后，算出来以后正好是等于14，我们不需要减了。这道题不需要减，这就是三个加减性。3加起来除以2，对不对？3加起来除以二就等于14，然后算出它的直径就是根号14，半径就是二分之根号14，所以说外接圆的直径就是根号14。我们刚才就没有必要把ABC具体的直接出来，那么体积那就太简单了，体积就是三边相乘，对应的三条ABC相乘。ABC相乘乘出来以后，如果找四面体的话，那么这个四面体我们就要通过这个，因为它我们这个图形四面体它是放在一个长方体的，就要把四个角剁下来，把四个角读下来，每个角都是一样的，14个角完全相同。所以这要找一个角，那么一个角就是3分之1是吧？乘2乘3乘1，3分之1乘2乘3乘1，那么就太容易了，那乘上4对不对？3分之1然后乘上。2乘3乘1，然后2分之1是底面，就是相当于比如说二三是底面，2分之12乘3，2分之12乘以2分之13乘1，那么这个都一回事。所以说最终就是相当于2分之12乘3乘1，这就是整个的再乘上3分之1就做出来它的整个体积了。那整个每个拐的体积，每个拐角的体积，每个顶角每个顶点的话找出来的这个积体积了，四块把它拿掉，最后整个体积捡起来就行，这是很简单的问题。那么这个空间想象是需要同学去好好的思考的。我这地方就给我举个例子，你想说空间四条直线有四条直线、三条直线两两垂直。第四条直线和它们所成的角分别为阿尔法贝塔和伽马。为阿尔法贝塔伽马的余弦值有什么样的关系？大家知道我们知道空间四条直线，三条两两垂直，第四条直线和它们所成的角分阿法贝塔那就可以假想。长方体的三条，一个顶点出发的三条棱，就三条线连接垂直第四条线就可以理解为它的对角线体对角线对不对？把它这样的图形就放到了一个长方体当中。我再说一下，就是空间四条直线，三条连梁垂直第四条直线和它们所成的角分别是阿尔法、贝塔和伽马。则阿尔法贝塔伽马的余弦关系，那余弦关系就扩散平方阿尔法加扩散比法贝塔加扩散平方伽马等于一。那正常关系就39秒，好吧，39万给他39万干嘛，对不对，就这样一个事情。下面看第二题。正三棱锥三条棱PAPBPC看头都是三倍根号。而AB长是六三根号2乘上根号6。所以说我们知道PAPBPC原来垂直吧？这是一个正三连率的，测了个三根号，底面是6，所以说每个侧面是等腰直角三角形，地点在面ABC的运动，包括边界点D到PAPBPC的距离分别地为DAD，注意是到棱的距离，第一第二第三。那么第一平方加第二平方加第三平20的地点运动的路径，地点运动路径就是地点在3.0ABC内是一个什么样的轨迹？这个很好办。这道题目考察的主要是动态问题，就这些点在里面运动过程当中，那么它距离和距离的平方和是定值。首先动态问题，还有构造图形问题，还有涉及到一个截面问题，还有涉及到交现场问题。这些我们都要把它梳理清楚。所以这道题的综合程度比较高，是一道非常优质点是吧？试题首先根据题意指导我们从图中把地点给它找一下，就找地点。在这找到以后，地点下这个面分别是我把它把这个因为它是一个正三棱锥，而且是一个相当于正方体的一个拐角，我把它恢复出来放正方体看得更清楚。大家看这个图形，比如说DF是D点到这个侧面PIB里面距离这是D点到这个DJ是吧？DJ是D点到PAB，这个PAC的距离，D点到底面PAB的距离，就这样这三条出来，这三条棱出来以后，然后我们知道其中D点到PB的距离，D点到PA的距离和D点到PC的距离，我们分别用那个颜色画一下，给大家看一下是吧？你看这个距离分别，比如说D点到PI的距离就这个。D点到PB的距离就这种。D点到PC的距离就这样，这就太开心了。因为我们把DEDGDF假定分别是ABC的话，那就A方加B方，A方加C方，B方加C方，它分别对应的刚才就是第一第二第三的平方。因此第一第二第三的平方我们知道它应该是从这当中可以从D点出发的。就是我们假定是DE是ADG是BDF是C的话，那就是二倍的A方加B方加C方它是等于20D也就是PD的长度一看就等于根号，A方加B方加税法它等于10。对不对？这个题目跟上级的现在就变成了异曲同工了，就有异曲同工之妙，对不对？最后化简的结果就很容易了。这样的话，我们PD的长度就是等于根号10，是不是P点的更好使用？在长这个正方体当中，你辟为一个顶点的正方体当中，因为它的每个棱长是三根号2，所以它的体对角线是三根号6。因为体对角线的边长都是边长堎长的根号三倍，三根号6R体对角线其中的ABC接下来就是P点到ABC的距离，P点到BABC距离是体对角线的3分之1，整个长三根号，三根号6就是P点到这个面的距离，就是根号6。那么它的面的距离我们长的比较快，它的距离是很好的更好的。但是你这个场用的PD是更好使，就是这样的PD是更好使。那么这时候这个D点到这个从角落里面垂直是O点，这个OD的长度应该就是根号10的平方减去根号6的平方的开方应该等于2，也就是说这个OD的长是啊OD长度。O点在哪里呢？O点是等边3，以六为边长的等边三领域的中心。所以说这样的话，我们就马上就可以画出这个圆来。大家看它的图形应该是下面这个样子，你看这里面对吧？这个长度是二是吧？这样边长是6，所以说很容易算出C点到底下的距离。对不对？底下的距离应该是三倍根号3，对不对？应该是三倍根号3，然后到下面就是根号3，这个到就这一半。是不是？那么就这样的话，我们立即就知道，这个场这里面它对应的就是30度，整个有60度，支持60度，因此这是180度，剩下来的三个也是180，因此它是半圆长，就是落在这个三角形M3点是一个半圆，是一个半圆弧长。待会你整理一下就出来，对不对？所以说它的产物就是这样一个制度，很容易。下一个。N点M点不在M点不在建球场。就是M点不在GHM点就是M点既可以在GH点也可以在G点。因为题目里说name的数据点1，在下面进来正确就是看A点，A说MEF3点的平面或者MEF3点的平面截正方体所得截面的状况怎么样。因为这道题考察首先是截面问题，那很好，我们假定H点是这个棱的中点，E点F点都是终点的话，那好，那我找DAE的终点，DAC的中点一连，对不对？这个一连然后找BC的中点一连，然后找AB的中点一连，然后把这重点再连，然后这边曲线的对应一下，这个对应一下来就是政治背景，对不对？这第一个是对的，可以做到。第2IEMEF的体积是定值。那么定值问题说明一个面积，比如说一个底面是定值，另一个点到底面的距离是定值就好了。我们观察发现M点在GH的运动，无论运动到哪里，GH这条线和平面ADDEH是平行的。也就是说DH每一点到这边这个面的距离都是定制，EFI这个面就在落在IDDA内，也就是说M点到这个面EFA使用是定值，它的面的距离是定值。那么我们以M为顶点是吧，IEEF面积就是定值，所以说它的体积肯定是定底乘高乘3分之1，对不对？C选项当number等于2分之1的时候，IC平行平面MEF我们来看一下这时候是这样吗？我们连一下，比如说M年奖金是中年的时候。连上。连起来以后，这时候IC在底下，IZ跟这个面，我们从数学的直觉上讲肯定是不会平行。为什么我们从零上也可以依然看到，比如说从一点跟I就点，大家看一下EH就是HAP对不对？H点没有过M点，所以说EH这条线它是跟平面MEF是相交的。EH这条线跟F是平行，所以说S这点不可能平行EMF，所以这是错的D选项。但那么大的一时三棱锥AMEF外接球的表面积为六派，这个值大家注意。那么这时候什么情况呢？在一的时候说明M点和G点是重合的，所以说这个G点相当于这种体积就是G。这个很好办。因为什么？我们发现GF这条线跟底面FIEE是垂直，这地方都直角，跟这个面都是直角垂直的，而底面EAEF又是一个直角三边，所以说底面的中心底面AFE，它的外形应该是EF的中点，过EF的重点做这个面的垂线，也就是说过EF做哪个面，做AEF的垂线，然后垂过来这个水平实际上就是跟FG平行了。FG平那这时候，这条线我们就知道外接球的球心肯定落在什么假的，这叫OE，就是EF在OE这条，故OE跟EAF垂直的这条线上，我们讲的叫OK这个要做出一个交代，应该是OK那现在要想又过这点，就是这个球星球星在的地方，那就是意味着假定球星是O就是OF和OG一样，那说明它是这条O1K跟FG的中垂面，就是FG过中点，分割面跟FG垂直，中垂面跟这个OAK的交点是O点。因此我们就可以找FG的中点，然后FG的终点，FG的终点找到以后，做一个面。那现在做垂直过来，然后把OF连起来。这时候因为它是终点，将定的终点是S对吧？OS是垂直FG而且是S是终点，所以说这个OF和OG是一样的，而OF和OEOA又是相关的，所以说我们很容易找出来，对不对？很容易找出来以后，这时候这个二这个R平方应该等于2分之1EF平方加上2分之1FG平方，根据提示知道EF是根号2，因为AAE和AF都是E，所以EF是根号2，所以说我们得到这边就是平方，就是二根号2的平方加上FF这个FG是二乘上二分之，就是一一的平方，就一直等于2分之3，因此外接球它的表面是四派，R方就等于四派，乘上二分就是2分之3，最后就是六排搞定。这就把它搞定了，很容易。下面我们看看一个简答题，如图菱形ABCD和菱形IDEF的边长重量角FID来FID这个角。关系和角BAD这个角都是60度少儿表演。DF等于根号3。MA在A和BD上的动点，并且得出这个关系，M比上A等于BM比上BD现在证明，因为这类题目基本上第一问要么证明垂直，要么证明平行，都是固定的，分数一般在六分左右，六分左右，5到6分。好，那么这道题目我们第一问就很容易，因为根据这个比例关系，我们延长。因为什么？为什么延长呢？因为它的比例关系，我们早就从平面几何知识知道，就是A延长以后就要讲清就这一点对吧？就是A比上AG就等于BA比上BD这时候就是BM比上BD这样的IM比上AGIM比上AG最终就等于IM比上A从而得到成比例外就是EG和意见和开麦是平行的对吧？这条线画虚线是平行的。这个D我就不要写了，就是延长IN交DC用这点根据它的比例关系得到是吧？对应线段对应成比例就是MN平行EG那么EG在平面，EDC的MA不在平面内，所以现在平行第一问题搞定。第二，当MA的长最小的时候，就有平面MAA与平面MAB的夹角余弦值。注意这是一个定的这是一个动的这是定的。这是洞，这是叮咚，MIN的长最小。那么MN什么时候最小？要找那就是要想办法，我们要假定M比上I一等于BA比上BD加上一个W对吧？我们引入一个M的最终关键是间隙，那么如何来践行呢？大家瞧瞧如何间隙呢？我们根据图形知道2个60度边长都是2，这边是啊这边是啊这边是所以都是等就是ADFADB是等边三角，你说这边是BB是啊，这个FD也是，那都是怎么来的呢？都是等边三角形。那这时候我们来看一下，现在要间隙，间隙怎么煎呢？对不对？知道这边是根号3，根号3，这个FB是根号3，你再来看它FB是根号3，好像有所指。我们发现这时候如果找个D点是终点的话，那么我们假定终点是O点，那FOE不是更好的。FO是根茅台对不对？FO是根号台，大家看到这个BO不也是根茅台吗？这FOBO我们用其他一点的笔画重一点。这三个边长不就根号三吗？这个太好了。根号三这是O点，就是ID的中点意思根据它就是终点，又是等边三角。所以说我们容易证明ID和BOF这个面垂直，IB和BOF面垂直。好，为此我们取BO的中点改缺点，必要的重点是缺点。H点。大家看这时候FH跟底面是什么关系呢？FH肯定是垂直OB的，肯定是垂直OB的，而IO跟平面FOB垂直，所以说ID肯定是垂直FH对吧？再做一遍，我们取BO的中点BH到FH中点，连FFH就跟OB垂直。刚才的ID是垂直平面FOB的，所以说我们得到了FH它跟底面垂直，因为这时候ID跟FID垂直是吧？因为BO以外再去捶直，排外缺失表现找到了它正好跟地面垂直。垂直的时候，我们间隙间隙有个要求叫一重合二对称是吧？有墙角用用墙角，没有墙角叫造纸角。这道题目没有它是没有的。所以说我们是需要来从中来找一找，对吧？重新找一找。就要找个戏。然后让他从我们以二点为主标为例。然后以这个方向OA方向，然后这个OB方向对不对？就这样建出来。大家知道这样建出来以后，它有什么好处呢？我们知道是这个时候，这个是Z方向，这是OA方向，是OB方向。现在我们只要把定的相关的点，比如说A点坐标、F点坐标、B点坐标、一点坐标、第一点坐标表出来就好了。为什么？因为最终他要找的是什么？是FA是吧？FA是一个公共的雷，就是你看到是MMA，MA是公共的，是MAAMND，那么就I是顶点，MH顶点，地势顶点，每一个顶点是这两个面，这两个面那就好了。我们刚根据刚才的梳理是很容易来找到它们的坐标，就是我们说DI的终点，我作为原点OA方向为X轴，OB方向为Y轴，过O点跟FH平行的直线为Z轴，建立如图的空间直角坐标系。那么这样则坐标以下，下面看一下这个线就比较简单了，对不对？坐标下面系列你看到了吧？建立这个坐标系。之所以这样建，刚才我分析原因就是因为我们知道这个是根号3。我们很容易知道FO就是根号3，BO也是根号3，对不对？是这么找出来的。好，这样的话OH的长度就是在Y轴方向是二分之根号3，HF的长度就是二分之根号3乘就是2分之31个F对，不简单。D点A点对称，关于坐标原点对称，B点0130号一点一点，因为这个长度这个EF长度EF跟ID是平行的，跟AD平行的。那么F的坐标在Y方向是0，那向后退是退两个单位，所以说它X它的坐标就是-2，这个坐标就是-2，要注意EF的长度跟ID的长度一样，因为F点对应的X方向是有那一点，对应的正的是-2。因为ID的常识，对不对？它做Y系过来，我们令它等于是经常采取的措施，那这样的话我们就能把M点和I零点的坐标都写出来，这个大家就很清楚，带你去洗牙，洗出来以后，然后把它卖一卖。表示成有那么大为变量的一个二次函数的结构开发。然后适当的配方求出最值，就是那样的offer nal最值。经常是这样的特殊位置，找到位置以后，MN该知道了，那么这时候MN的向量是知道的，MA知道，IM知道，ID也知道。这时候找向量知道MA就是公用的向量比较多，然后再再在那个IMA当中找一个向量，和DMM的分别是各找一个向量。这样我们通过两两合并，比如说这两个和这两个，他们都能各自的构成一个面，构成一个面的，然后在里面设置一个量，就是说第一个MNA的法向量，我们假设是M点，这是一个结构，是它法向量，然后得出垂直写出关系，这是不定方程。因为所有的面它的无数个向量跟它垂直就无数个的法向量，所以说它肯定是不定方程。那么我们想固定某一条线好了，这时候你就用其中的一个值，你好算的值把它带进去，好代表这M点，所以这是一个框，这框是得分的。刚才间隙设点写坐标，这个上面也是一个框，它是一个得分的框得分的框。那这个地方能写出这些坐标是吧？我们一般会给你三倍，对吧？那么这个就是一般来说1到2分，下面这1到2分，再到下面还是1到2，这就是一来一个，来一个什么呢？就是第二个，再找第二个面，海岛如何跑，这样还是1到2分钟是吧？这合起来可以3到3分左右到4分，三四分这样。好，那么再讲这些步骤，你可能最后没做对，但是这些关键步骤你写是没有问题。得出来M和N那么它两个它的夹角，我们知道它的夹角就这两个的夹角等于旋值，那么就是两个平面它到底是夹角是钝角还是锐角。你根据图形能够观察出来，观察出来以后发现这个图显然是一个锐角的形式，那么你就可以把它加个绝对值，就是我们所求得出这个关系非常好的数字，对不对？所以说本题它难点就是建信，难点就是建信是吧？信是怎么建的？实际上所有空间象征的简单都是间隙。因为你间隙肯定是把坐标都是设计好了，什么样情况好写坐标的情况下间隙。所以说践行是关键践行是关键。下面的运算就是找法向量，是必备的过程。最后判断这个角是锐角还是钝角，这个要有数学的这种？你要观察能力，最后做出判断，当然有的时候为了防备大家在这方面老是考虑符号问题，他问的时候问问正选值对吧？吻正选择可能是万法，你价格绝对值自然就没有毛病，对吧？第四点我们是概率统计。盖的手机是这样的，按照定理非常容易。首先这个展示大家看展出来以后，应该是A0A100 250对吧？到这样顺序结果做减的时候，他最后这样来？有点的冲击我们的视野，把我们思维稍稍打磨一下。实际没什么，你还按照刚才的排序一下，就是系统的它就是逆着性，是连续性。我们数据计算就是来提取一个三十2，提取32以后，然后就是A0，加上二分之A加上四分之A2，加上二分之A3对吧，加上16分之1，加上32分之1以L这不就解了吗？所以说立马得到，最后把这个结果就是一加X的偶次方，其中X取2分之1，再乘个三上就是结果，对吧？观察界的快速解决结果。下面已知随机变量X负统一是一个平方，PX小于等于0，X代表它之所以相等，说明零和A关于一对称。所以立马算出A的2，对不对？立马做出A的，把它零加A除以二等于一，所以说算出A的2。我们再来看下面是就是变成了一加2X的3次方乘上X平方加上X分之2的5次方，展示中X次方的系数X4种系数X4种系统，那就是把每个展示点通项工程写一下，通项工程写一下，这里面前面三它最那最大值IN就CN3，是不是？后面是CNO什么对不对？好，我们来找到1加2X3方通向工程。是我们早就知道通向工程就是C3就CA2，C32。然后一的前面一要注意从高到低，对吧？那么我们知道三就是二，那怎么写的呢？一定要注意好啊。是一，因为A加B的N次方，我们推出它的通项T2加一是CN2，所以N2是A的N减2是降幂排列B2则是不是？这个2X是2次方，所以说有这样一个表达，同样这个展示也是这样，就是COSCB也是X是吧？X平方是X2次方括号是5减X能这样吗？对不对？X分之二是X负负X次方对吧？然后二的X次方整理出来就这个事情。你看这两个，上面2肯定是123，不可能比下标三还大。上面是5S那S1个12345有培养量，就是说两个通项之积乘一下，乘一下就是-30加10和X2和2，再加上应该是几？应该是四梳理成章，就是把20123顺便在里面减一下，看艾斯顿S的，你觉得在不在？023在里面就是不在牛市，所以说说的是两种，一个是2S都是3，一个是二的0S2。所以说一定要注意好，两组就要做两组的解加起来是吧？这个是容易提醒，但是要提醒。第三题。甲乙丙三人分别从两个不同的数中随机选择若干个数，也可以不选，分别构成结合ABC即A交点交叉中元素的个数为MM大于等于一的概率是什么？就是个数超过一个，那么这里面最终还要最多个数是几个？最多个数就是两，因为总共就两个元素，对不对？那么大于等于一实际上它的对立面，对立面就是M等于零的时候，它的概率是什么？M等于0的时候概率一减去M等于0，那个概率就是M大于等于的概率。因此我们可以通过理解的方式把它处理掉。下面看我们的解析，大家看解答，我们这样来处理，甲乙丙三人分别从两个不同的数中随机选择直径。我们讲的就是AB，两个元素不同的元素，两个元素构成结合ABC要求计算A交B交点中至少有一个元素的概率。那么一时间计算倒过来计算M大于点一的概率等价于什么？一减去交集为空集，接PM得零的时候，这个大家好好理解对吧？空姐M等于一减去这个，那么单个元素不在交易基金的概率？就是单个元素不在交易中的概率。单个元素不在交易中的概率现在等于这因为单个元素不在交易中概率意味着我们比如说AABC当中，只要有一个它没有，那么胶里面就没有。因为ABC它要求三个教材在三个都有才能交叠，这三个有一个没有不就交表吗？单个元素不在交集中的概念，我们下面来看一下，对于任意一个元素A就是假定A这个元素不在交集中，那么A不在交际中，它在和不在都是二分，所以说它不再交集ABC的条件是至少有一个人的结合，不包该元素对吧？交集中不有没有这个元素吗？那么就是三个人当中至少一个就是一个人没有，两个没有，三个人都没有。包含这么多情况，那这么多情况起来很烦对不对？我们干脆干一个什么事呢？三个人都包含钙这个元素，那就是2分之2。因为都有的话，它总共两个都有的话，你加拿是2分之1，我家拿F0，他家哪有啥？因为两个元素每人取到这个数元素是不叫F0，这个是三个人都拿到的。所以说如果当中至少一个人的元素不包含该元素，那么就是一减去8分0，对不对？就这样吧，因为每个人不包含该元素的概率叉50，包含该元素的钙叉50，因此三个人就包含该做的概率，不就是刚才送的这个吗？对不对？好，那这样的话我们就算出来至少有一个人，至少一个人不包含这个元素，至少一个人不包含元素。它的意思是一个人不包含元素，两个人不含元素，三个人不包含这个元素，对不对？都不包含这个元素。所以说至少一个人不包含这个元素的概率，它是7%。大家知道吧？这是一个元素一个元素，那两个元素都不在这交集中的概率，那都不在这交集的概率，元素ID是独立，都不在的话，交集是空集的概率，都不在里面的概率是6 60分钟49，就是A不在B不在。因为A不在是8分之7，B不在也是8分之7，这两个成绩概念是64分之9，从而我们要求的就是一减PM等于0，那就是一减去64分之9，最后等于60 45。搞定，大家明白了吗？这是这道题，这道题还是有难度的。他们我们不停的找他的对立面，不停的叫正男子汉，不停找他的对立面。技术问题，这也是我们提醒大家的一个考察方向。第五，这是一个基本概念的考察。为什么要提要把这个再带一下？主要原因是我们同学在做题的时候，老师认为每道题目都常有重大玄机，这种理解会出差错。因为我们高考的首先是数学制的考察，对不对？第二个才具有需要完成的。你不能说一点数学知识没有，那考什么呢？对不对？我们高中三年学的大量数学知识，它不一定要先考察，全面的考察一下，对吧？就是把一个特别重要的考察出来。当然后面他要选哪里的话，那么题肯定灵活性加大，难度加大，计算复杂程度加大，对不对？那就另当别论。总之基本题目要有基本的做法，不要任何慌张的心理。因为大家都在一个平台，一个环境中操作的就是心情要平静淡定来操作。我们先看说X1234到12是一组数据，去掉其中最大数和最小数，剩下的十个数的中位数。我们知道中位数弄下来无非是从小到大或从大到小排。一般来说从小到大排一排，你排一排，你把开头的头的对最小的和纬度最大的把它去了。那剩下来中的时候，就中间那个数它也不变了，因为去掉是偶数像素对吧？那中间如果是奇数像素，中间最大的那两个去的没变，还远远是如果你去的是两个头，中间那个是相当于是偶数个数的，中间两个加点除以2，所以这个都没变，所以说这个是不变。我们知道选项A肯定是错，选项B若世界IB相互得利，大家知道世界IB相互得利，那相互隔离，而且AWABW因为这时候PAB怎么样，这时候PAB等于PA乘PB怎么样大于0。如果AB互拆，AB互拆，PABB到0，所以说这时候一定是一个互拆，它肯定不会拆，大家注意，后拆事件的多利式债券中间没有任何一毛钱关系，啥都没有任何关联是吧？你两个独立事件就像你打牌，我洗衣服，我们做这个事情，对不对？那你这两个叫相互独立，当然也可以做，你掷筛子我也掷筛子，但也叫相互独立。互相事件一定是全部事件和子事件之间的关系。就做一件事情，下面的子事件和原来的他应该有子集全集的关系，独立世界没有这种关系，所以说两个之间没有可比性。就好像我问到说一个是所有的集合里面元素都是圆，一个集合里面都是直接。比如说这两个有什么关系？对不对？你这种是圆和这些老师要和这些相交，交点不是两个，一个或者没有，往下扯了，对不对？因为一个元素都是原理的元素是直线，它不同的一个图形它们交集是空集，对不对？怎么可能他怎么交易的，你不也不是真相和权益，不是曲线相交，它是结合相交，对不对？所以说我们做题目注意他们没有任何关联。好，当然这不表明事件IB独立PIP就不能得0，你可能得了，因为IB有一个没发生的，它可以是零，但是这并不表明IB两个是互拆的，不是这个事情。我们这个互拆PAB的零并不是PH乘BB的0，一定是M是互拆，没有这个说法。C若随机变量大X不同的就是N02方YN03方，这个PX就在这前面，这个很显然，因为它X就是西格玛，就是相当于平均值6加减一个西格马之间的值。因为三和2就相当于一个C所以说这个肯定是一样，它们都等于零点，应该96818应该都是这样。正常情况下这个值，因为6818是在第一个加上一个CM2是954是吧？三个如果是三套的，三套原则就是9977，那就是已经是概率是非常大的，接近一了。DD选项主要是考察这个概念，就是DX等于EX方减去EX括号平方。就考察这个这个太简单了，在里面带着你的EX方出来，EX方就是EY，那就是把这个是十等于EX方减去4的平方。对的，这是基本概念，要熟大愚兄就考前要把基本概念理一理，不要学的似是而非。所以说刚才我们上面题目是大家看到是BCD。不对，BCD都是对。第六题来讲个简答题。简答题主要是我们讲的是一个条件概率，还有概率分布是讲这样一个事情。这就说这个非线性回归或者是线性相关？就是沉淀数据的统计分析，这些都是容易题。相对来说考察的这个力度，如果考察的话都得靠前，那是大家都是能够拿分的。不讲我讲的是是中档的位置，它也不是难题。中档但是你要注意是吧？毕竟这些数据的处理，我们要处理到位，我们看具体题目。2024年7月14 13日，国际车汽车博览会在长春举行。已知某汽车模型公司共有20个汽车模型，其外观和内饰点子分别如下标识，红色外观，红色外观你看是14个，蓝色外观是11个是吧，然后是棕色内参是20个，米色内参是五个是吧。如果是红色外观，红色外观，米色内饰，那么就是可以叫交叉的是吧？如果是啊蓝色外观还可以，米色内侧也是交叉的，是这样调查。下面我们来围绕这个数据来处理。第一个，若小明从这一模型中随机拿一个模型，即世界还为小明取得红色外国的模型，红色外国求到红色外观，大家一看是红色外观，总共14，总共模型25，那肯定是25点14，你立即知道对不对？然后B事件为小明取得米色内饰的模型，米色B事件，米色内饰，米色内饰你看就是二和3，那就25分之5就是B时间，对不对？他一看就等于5分之1。好，改变时间，改变时间大家看是多少？ID事件就是红色外观，米色内饰。两个就是亚洲文章，就是PAB应该是20分之2，对不对？所以说这个时候PB杠A那就是什么？就是PIB比上PA对不对？这看着就很显然是吧，25分之2除以20分之14，应该是7分之1。对，这第一小问的。这很很容易已经把它写完了，比较简单。当你写的时候，按照规则就一个个写，我这个是分析给你看，对吧？第二，该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿到两个汽车模型。一次拿到两个汽车模型，给出以下一定要注意是拿两个汽车模型。你是哪里？两个汽车模型给出以下假设，一拿到的两个模型会出现三种结果。我拿两个模型都是红色外观，棕色内饰，对吧？我拿到的两个模型都是红色外观，颜色内饰。我两到拿到两个模型中是蓝色外观，米色内饰。当然我看到拿到两个模型是什么呢？一个是拿到两个模型，一个是棕色内饰，一个是米色内饰。也可能一个是蓝色外观，一个是红色外观，这都可能发生，对不对？所以说这些情况我们都要考虑，我们看看为什么第一个拿到的两个模型会出现三种，就哪三种外观和内饰同色，外部和内侧统治就是中层内侧红色外部伤那两个拿两个出来，然后红色外观你分类成把两个都拿出来是吧？就统的蓝色外观那蓝色外观棕色内饰那八个里面拿两个来取样，然后或者说蓝色外观米色内饰那三个拿两个。对的，这就是外观和内饰统一，外观和内饰意思，外观和内饰意思外观那红色就说我哪一个，然后我再从蓝色外观里面，外观和内饰意思，外观和内饰意思对不对？那我就红色外观里面拿，就纱布里面拿一个，然后在蓝色外观的这个三里面，就是米色内饰拿，或者是蓝色外观对应的叭里面我拿取一个，然后再从红色外观的米色内饰拿一个交叉的是吧？以及还有一种情况。是外观仅外观和内饰同色，仅外观统合或者仅内设统合，仅仅是外观统合和内审统合。那么这个里面就是12和22里面哪一个二了八里面拿一个300，对不对？是像这种类型，那么这种我们首先一个一个来分析它。因为第二个假设是什么呢？就是说按照结果的可能性大小，概率越小概率越小，难度越大，难度越大的奖金高了，对不对？这是符合一般的奖励模型的。第三个假设抽奖活动的奖金是一等奖600，三等二等奖300，一等奖三等奖150，那就比较钢材质。第一个P1，第2个P2，第3个P3。P1P2P3的大学我们不转发大学大小关系找出来的。那么最小的等于600，最大的对应就是150，就概率最大对应150，中间就对应中间，对不对？下面把P1、P2、P3算出来。好，我们怎么说呢？简单看一下。首先我们第一个问题已经搞定了，对吧？第一个问题已经搞定，我们下面看第二条。第二个，刚才第一小问的独立不独立呢？我们就带一下说一句，带一下就是什么呢？就是PA乘PB它不等于PAB那就不独立，对不对？这个又是条件概率，又是独立不独立，考察综合性难度不大，但是面面比较广。下面我们看来看拼音，第一个就是外国内是东相同外国我从表里面看，外观内侧12厘米求量或者8厘米求量，3厘米求二里面取点，第一个它概率是100分之49，就是外观和内饰均为统一。外观投资内侧也投资。那外观和内设是意思？这个小车装出来外观内在意思，根据刚才就交叉的，就是从商里面取一个，从三里面取一个，从二里面取一个，从八里面取，这就是外观和内饰意思。另外一种情况，仅仅外观相同或者仅仅内饰相同，仅仅外观相同，内饰相同，也就是从刚才那个横的里面看啊，仅仅外观从外观看，竖着看就十二，是吧，83是吧，横着看下8，就是二三。那这样写起来比较多，那我们下面已经有两个都找出来了，为这三种情况肯定是一，所以说这个我们根本就不要做，不用刚才那种方式把它送掉，就这就一减，就这样的式子就是这个我一减出来是这个就相当于2分之1，大于这个大于三个值，是不是？P1是老2，P是吧？P2是老小，P3是老大，很显然这符合生活现实，就是不管随便抓随便弄，那这种概率很多，就是颈外部和颈内是相同的，肯定概率是大的，对不对？你想找一个外包和内审都意思都绝对不一样，这肯定概率是小概率事情。所以说定出来100个对话问题，300对150分，49对钙分布就小菜一碟。好了，这样我们就把这个问题处理完了。好，我们这个知识先就这么样。各位同学我们相信辩题的第二部分继续由我主讲。我们首先来看第一个小问题，不等式问题。我这边所讲的不等式问题不是大家讲的是吧？不能这个性质或者简单的是不是我们只是解决跟函数有关的不等式问题。因为这样出个小题，它非常有味道，能够深刻的考察我们同学对不等方面的认知。下面我们来看。关于X的方程，首先它的载体是方程A号X方减一加上2，BX减log，x方加一减一得零在区间注意在这个区间里面领到根号一减一上邮件，则A方加B方，你看多漂亮。A方加B方的最小值是什么？我们首先看在区间上的邮件是什么意思，我们首先可以来考察一下，说明这个方程。是一定有根的方程一定有根。我们可以这样来考虑，就是把其中A和B看成是我们一条直线上的XY的两个边。那么这种A方加B方，它这个形式实际上引导我们想它就是等于有一个点M到坐标原点距离的平方，就是相当于有一个点ID它到周围原点距离的平方，这个点AB在哪里呢？这个点AB在这样的线上，如果我们把这个点X看成S40，让大家正观的看一下S看成S40。比如说AS的平方减一加上2，BS0减去0，S0加1减1K对不对？那么这样就把它看成是一条线，这里面RS0S0平方减一就相当于IB的系数，就相当于把A看成是S。把A就看成是S对不对？把B看成什么？这样的话我们就利用点到之间的距离公式，要想找它的最小值，就是坐标原点到这条直线的最小距离。坐标原点到这条距离主要我们讲究这一点，就是00，那就是点到这里的距离公式。我们点到这里的距离公式就是后面这个就是距离公式。前面就是直线上的任意点到多为原点的距离是吧？我们最后要注意到结果是一定要把这个根号要去掉，根号要去掉。好，那这样的话，我们再说这个结果以后，然后他再平仓的对吧？带平方的就是这样一个平方。平方一平方以后，我们把它带进去整理一下，带进去整理一下就很容易把它做出来，对不对？大家看一下我们怎么来解决这个问题呢？怎么来解决这个问题呢？来看一下，这是从这里面画出来的对吧？平方减去这个2X的平方，然后再加1加1。因为本来是减去2，正方加正好就开掉了，更好开掉了。这样我们就把平方的完全平方就开出来。如果带平方的话，那这边也带平方。现在没有平方，大家都没有平方，对不对？就搞笑了。好，这是怎么来我们这种点到之间的距离公式的道理。点到之间的距离公式大家做出这样以后，这顶的它是直接写成是X0，比如说4次方减去2X的平方，加上一个一，加上4X的平方，对不对？就是合起来不就是X0的平方加一的平方，开出来就这样。现在很显然把它做个整体，我们整体会日常都是X都有X0平方加一换元以后，X0平方的范围是0到1减1加1以后就接到一多好，最后变成了这个时代他的最好这个问题小儿科了。注意到结果是1分之2，一定要注意，结果不是1分之2。这道题目如果里面要写1分之2的话，比如说我们把C选项改成1分之2，很多同学就上当了。他好容易做出来是吧？应该是A方加B方开根是一分钟，最后忘掉了平方，忘了不选D了，这个我们是第一小题，第二个是。我们来看一下，A属于0到1分之1，X分之2X减A加乘上X加X1减C等于等于0。X属于零到正无穷很强烈，在地方之S的最值最大值多少？找它最大值。那么这样的时候我们找最大值。首先这个时候我们等价的转化一下，因为X是大于零的，实际上它是lox减去X乘上X平方加减去CX加B他选不选B全联0，反正这种结构它都是共同的问题，就是零点怎样的一个NX减X和X方减3X加它零点相同，零点相同。现在我们假设这里有2个0点，就是前面的X减去X有2个0点，那这时候后面2个0点都是一样的，所以说X加1次方肯定等于CX乘X1。有有两个理念，learning x1X1，log x2X2对不对？X2那这样的话就变成了两个相加ln XX2等于A倍的X加X2，得到这个关系式，就是这个关系。那这样的话，因为XAX2就是B乘积是B是吧？X加X就是C大家可以看到这个时候就是ln BMAC那E的ACB等于E的AC次方，对不对？是这样的，现在我们不是要这个，我们要的是结果。什么是B方分之AC那就太简单了，要B等于A点AC我们无所适从对不对？原来我们可以从这个角度上观察，既然是IC就是乱逼，那么把癌症人家一伙的留一起的，对不对？这样两边同属于P方就是B方慎之等于B就等于B方分之AC这是一元化思路。我们解题的时候，我们是通过一个人换钱人，一个人最后把这个问题处理掉了，这下面就下课了。关键是变化，这个做起来以后，在更好的一个发展，它的最大值我们就做好了，对吧？最大值做好了。最好是二亿分之一。讲到咱们这个电影，所以我先跟大家一起学习一下。我们研究的第二个问题是向量。向量这里面我主要是就向量本身考题的主要类型，主要一方面是机理类和供电类。我们知道最向量用算一般来说有四个用户类型，一种是基本用法，一种是坐标用法，一种是三点共建用房，还有一种是计划恒振山。氢化分解质它比较特殊，我们这里面都把特殊的作业类型去探讨。我就把这另外三类简单的带一下，因为这个地方不难，所以说我带一下就行了。大家先看一下。基底的问题，首先是它的典型特征是线段长度和夹角都是知道的，有线段有夹角或者有角的关系，我们用机理的比较方便。首先看这是我们江苏省一个著名的老师孙子老师创的一道题目，我觉得很有价值，把它学过来的，说四边形ABCD中，AB平行DC，AB平行DCAB的4。AB的2DC的一角，BID的平分线角BCAT若AT等于那么的AB加上六个矮地，在那边的方加上B方得多少？小巧玲珑南方加缪方这种主要是考虑到数学的美是吧？南方加缪方你看多漂亮一个东西。就像我们的第一个问题，A方加B方主要是给大家感觉到非常对称。第一个问题，我们刚才说的问题，它是点到之间的距离问题。我们这道题目它不是点到线的距离问题，它是一个系数问题，所以说不可混为一谈。我们知道作为角平分线来说，我们假定有这样两个向量，假定这就叫A向量，这就叫B向量。那么他们有共同起点叫O那么这个OA和OB它的角平分线在哪里呢？角平分线上的任意点P？就是OP我们可以写成什么？OP可以写成两个括号，这里的A分之A向量，其他的绝对是B分之B向量，对吧？O向量可以写成这个向量，那么这道题目我们有这个思路，就是角平分线的写法大家要掌握。好了，现在我们一边是四，就是AB是4，AB是2。所以说我们就可以把它写成绝对值AB分之AB向量，绝对值A分之AB向量，对不对？那么就可以把IP写成是4分之1个AB加上2分之1个AB外面乘上个K是吧？外边乘上K好，我们把AB就按照刚才下面这种方式就把它表示出来了。那么这时候我们再来注意一下它的几何关系，延长ABBC11.1，ACBD我们这样延长。交于点一就是一点。那这时候因为是1比4，就是说DC比上AB是1比4，那么EDED比上EA应该是1比4是吧？我们这样很容易把它算出来，第一个长度应该是三分之，这个我就不再赘述了。非常容易就假定ED是XX比上一加X是X比，这是X比上X加二等于1比4。我们解出来ED的长度等于3分之2，那么ID就是4分之3个AE，ID就是4分之3的AE对不对？这样想干嘛呢？主要想利用1点E点、T点和B点3点贡献。因为三点贡献它就存在着向量系数和为零的问题，就是接管定理，蒂法定理这个转的定理是吧？然后这时候你看X向量是K分之AB加二分之AB照抄，把它带进去，把其中的ID是4分之3，ID是4分之3A把它带到这个式子里来，最后就变成四分之开始AB8分之3开始AE大家注意这说的T点。B点和1.3点贡献，三点贡献意味着新手合为一，所以说加起来一解除开来，解除开来以后返回以后我们就分别得到IT是吧？是5分之2AB加上5分之4AB现在它两个平方和就5分之2的平方就25分之45分之4平方是20分之16，那加起来就是25分之20，所以说是5分之4。这样我们利用三点贡献激励法把这道题解掉，非常便捷，非常简单。下一个问题坐标？假设ABC和ABE是平面向量，E是单位向量。若非零向量A与E的夹角为三分之派，向量B满足B平方向量减去4亿点B加000，这个时候则。A向量减B向量模长的最小量。注意注意同学们A向量减B向量母场A向量B向量是定什么东西呢？我们从这里面能够算出什么？就是条件，对不对？这个就是条件吗？大家看一下这个条件我们怎么弄？原来我们观察一下，这里面这边加3，那么B跟E之间是有关系的。BE是什么关系呢？B是什么关系？我们在知道一平方应该得一，所以说如果这地方是一平方还原，一平方减去4亿B要加上4亿平方，前面不正好是完全平方，这个对不对？后面再减个一得0，知道了，那说明是B向量减去E向量的平方减1的0，说明B减一的绝对值是什么？就是一变二一，并且二一的绝对值是一。那么21B减2E等于一好B减2EB是一个变量，一是一个定量。我们通过题目当中所给的重要条件，什么条件？非零向量A与E的夹角为三分之派B怎么样？既然这样的话，我们把A和E可以放到适当的系当中去坐标系当中去。把一点的X方向放A的沿着加九是三分之派，放在第一象限下面。我们看下面这样一个图形就一目了然。大家看这个角度对吧？C点坐标我们假设就赋予具体的坐标，是一致也是一点，就是这个坐标是20，对不对？从向量来看就是二一，因为单位向量，这时候A就对应的是三分之派，就是60度。这地方就是60度，对不对？60度现在是找一个，什么意思呢？大家看好了，题里面要求的是什么？要求的一定要搞清楚，是A和B的差值。那么这地方在这个方向上，A在这个方向上，B在这个方向上，对不对？B在这个位置，B在这个圆上运动，那么这时候我们要找一找什么时候是最短的。因为这个A大家知道它是在一条线上运动，因为A它也没说长短对不对，它只是说非零向A有它的夹角，现在A和B找的是最小值，我管你A怎么样了，对不对？那么我们只找你这个方向上把它画好就好了。这时候A减B说明A向量减B向量。我们随便画一个，比如说这上面A向量，这是A向量减去B向量。就在说这个长度对不对？这个模长不就这个长，那么这个母厂到底怎么样呢？对不对？B点就在于C为圆心上搞定，转来转去的。所以大家要想找它最小的那最小的就C点到它垂直，这个肯定是最短的。也就是说B点的轨迹在这个圆上，说白了最终就转化成圆上哪一点到OA这条A向量所对应的距离是最小值。那这种转转换成了圆与直线的位置关系问题了，所以这个向量它几何也非常明显。所以说这时候B你看在你圆上跑，A在OY这条线上跑，要想找A这条线上跟B这样对应的这个圆上对应的最短的那只有圆心导致条线的垂直距离减去半径是吧？一涉及到圆了，我们知道涉及到圆的一定是抓心运动抓圆心。因为所有跟圆有关的问题，只要从圆心出发总是对的。好，这是我们讲的这样一个问题。我们看第三类问题，三角函数问题。三角函数这里面我主要是讲一个三角函数的图像，三角恒等变换讲讲这个啊解三角形问题。在高考当中大家一般这种题目失分比较少是吧？我们不对它进行预估，我们就对小型的进行预估。首先看第一题函数。图上列的是吧？是这个它的周期是T因为欧米伽属于正整数，所以说这个周期T应该是欧米伽分之2派对不对，将FX图像向左平移八分之派的单位，左加右减向左，一般来说就是欧米伽括号X加上8分之88分之7，对不对？8分之7是这样，八分之T因为推出来八分之T对不对？那等于四倍的欧米伽分之，对不对？不能替，就这样。好，就是移动这个单位以后，关于原点对称，关于原点对称，说明它是奇函数，是奇函数。有这个研究以后是奇函数，那么是奇函数按照奇函数的特征我们来处置。首先第一步它的周期写好了，左右以后，那么就欧米伽括号X加上我们在这边写好了，对不对？是欧米伽分之派写好了带进来的这个函数关于坐标原点对称，说明四分之派减斐应该等于K派对不对，等于K派。因为这样的话sine 2 sine欧米伽X的欧米伽X不管是最后写-2 sine欧米伽X还是正二三欧米伽X我们说它都够坐标为例，这时候确保它是奇函数，所以说这时候方案就出来了。斐等于K派减去四分之派，那么右绝对值fine是小于二分之派。那因为你这时候发现做成这样匪，你看等于k pa减去四分之派对不对，那如果取开除一的话，4分之3不符合就开除0，所以说发现肯定是负的，所以这时候FX就搞定了。FX搞定这道题基本上结束了，对吧？为什么？因为接下来是FX在0到2分之派内的零点和极值点，零点和截止点。那么零点和截止点它是几个呢？我们来看一下，题目里讲了零点和截止点恰好是四个，零点和极值点恰好是四个。那么我们就来讲零点和极值点恰好是四个。因为它是有限的值，而且很小的量，所以说特别容易涨。下面我们来开始找零点，第一步找零点，找零点怎么找的？我们立这一块得零，得零就意味着欧米伽X减四分之派，它就是相当于N派对。不对，N派X是整数，这时候X就减弱了，则欧米伽分之N派加四分之派。注意这个X的取值在哪里呢？题目里面告诉在0到2分之派内，所以我们写出第一步，然后两边整理一下，把派约掉以后是零小于A5分之1，小于二分之欧米伽。好，这个欧米伽等着我们取，那就再由极值点来确定。其实这点问题我们对2 sine欧米伽X减四分之派的求导，所以说欧米伽X减四分之派的复合函数对吧？相当于欧米伽X减四分之派，我们假定以假定可以立它就是欧米伽T的形式，对不对？那么这个求导以后，欧米伽肯定要拿出来的，就是二欧米伽，然后正弦变余弦，然后整理一下是二欧米伽cosine欧米伽X减四分之派，前面不可能是零，后面是0。Cosine欧米伽X减四分之派就是这个是零的话，那么我们知道相当于M派加上二分之派，这早就知道了是吧？那M是整数解的，X在这这个X的取值也在0到2分之派之间，那么画出来是M加上4分之3减二分之欧米伽。好，现在就是从上面这个一式当中找出N和2式当中找出M的个数，两个个数两个个数和为四，来看看欧米伽取什么。首先欧米伽我们简单的验证一下，简单验证一下，欧米伽取个四最好，因为取4以后A有零和一两个值，等于零和一两个值是吧？因为二分之欧米伽，欧米伽求嗣的话它就是R了，对不对？所以零和一两个值等于X16分之派和16分之5。接触点方面，接触点方面我们让它如果是取4的时候，它也是01等于16分之3和17分之2个47个。所以说这个比较简单对吧？我们只需要把极值点和零点找出来，然后对欧米伽的范围进行预估就行，进行预估就行。就是这个问题。恒定边形咱们点播一下，恒定边形大家up锐角，这是背角，这里面出现半角。那么这个半角跟背角之间是什么关系呢？对不对？这很容易。我们首先来看一下它能够解决tangent方法是什么，能推出它的方法。因为tangent阿法我们也很容易找出它成了2分之2了，对不对？比如说这个从这里面找到，但是我们在做的时候可以从真题考察，可以考察它，看怎么弄呢？它画出来是什么呢？画出来是这样一个式子，就是化简。首先把切向简化倾向嫌换换好以后看吧，好不好做，结果发现tangent四分之派减2分之2法等于大家看一讲tangent的二分之阿尔法也加上探险的二分之阿尔法，它等于后面这个式子。你看分子分母这个式子以后，我们可以同时两边平方，平方有什么妙用？因为平方以后就tangent四分之派加2分之2派的平方以后，它分我们后面的分子分母的平方。大家知道上面是一减去sine阿尔法，下面是A加上sine法，太好了。因为三氧化法我们最后有碳cosine阿尔法的取值，即阿法是锐角，把cosine把三氧化搞定，所以说这时候得出来是9分之1。9分之1注意到，那么探究的四分之派减2分之8分是正的还是负的呢？因为阿尔法是锐角，所以二分之阿尔法是0到4分之派之间，所以说四分之派减二分之阿法一定是大于0，小于4分之1，对不对？因为它是锐角，大家看这个地方是锐角是吧？锐角的话说明它只能二分之阿尔法在0到4分之派里面，对不对？从而得出来它是四分之派到0。在这里面正极函数开放以后，3分之1要注意以退为进。以退为进是以退为进，立即得到？就希望我们灵活使用两脚喝酒差的挣钱的书写，以及阿布角公式，以及平方关系？以及平方关系，这样的关系就把这个问题搞定了。下面我们捎带讲一个结论，就是面积比是吧？捎带给个结论就是三角形为正三角形，内部1.7满足OA加M的OB加A加M的OC得0，说它的面积OAB和OBC的面积比值为三，在M的值为多少？那么这类题目我就告诉大家一个结果就是这样。比如说XOA加YOB加ZOC向量的零向量的话，那么这时候就是S3角形OAB比上S3角形OAC比上S3角形OBC它就等于OAB对应的是XY分之一，OIZ对应的是XZ分之一，然后OBC对应的是YZ分之一，它的面积比就在这个。所以说就我们这道题目，OAB的面积，大家看到就是nmda乘上1分之1，比上OBC就是nmda乘上一加兰姆达分之1，它等于3比1 3比1，那就是三倍的除以named 1加named对吧？等于南姆达分之一。那么我们发现观察一下C选C因为那么肯定是大于零的，对不对？在内部一定肯定是正的这就是给大家带一个结论，下面接着看。这个第四题是综合变形类的。综合变形类我们首先看一下题目，这道题目出的很有品味，我们说他对我们学习非常有很大的引领作用。来看一下说F西塔是cosine 4西塔加cosine 3西塔。其中西塔当然是它的000点，解决不同的零点。在A000点当中有没有七分之派？B000点加起来合适派吗？这000点对应的余弦值乘积是-2分之1吗？它们的和价格是正的2分之1吗？对不对？为此我们来开始来进行计算，一个一个来首先零点在哪里是什么？零点在哪里是什么？让它得0，那就是cosine 4西塔等于负的cosine 3西塔，负的cosine 3西塔根据诱导公式就是派减去三铁塔。那么根据诱导公式，4C塔等于派减30派加上2K派。因为这负上2K派，它说明它一样的，这是得到了四赛团队2派是吧，减去派减三西塔，然后这是什么意思？说明它两个既可能两个之间相等，也可能是二派，讲究后面这一块对不对？因为它相等的时候，不仅仅是中间是啊你看4C塔和派减3C塔它什么情况？一方面这就是负场，另外就是他们这两个值加起来就是派减3贝塔和4贝塔之间，它的值有个二派减去派减3的，就是这一块加这一块这两个值，然后正好等于2派加上2K派也是可以的。也就是说它既可以是2K派，也可以是2K派加二派。后面这一块中间注意到中间的差值，说明他两人之间差个二派，就两个和是二派的整数倍，或两个差是二派的整数倍，这是两个。后面这个意思是两个差是二派的整数倍，两个和是二派的整数。前面是两个差，就是4C塔和派减3C塔。中间是加个卡，就说明两个角叉好开排，后面两个和叉开排，对不对？那么这代出来西塔等于七分之派加7分之2K派，或者西塔等于派加上2K派。那西塔在哪呢？西塔是在零到派之间，所以说在这里面找西塔一就是catch 0的时候，西塔2就catch一的时候，西塔3就catch 2的时候。所以说这个时候我们就把这个西塔的几个值就找出来，就根据它的范围我们就确定出来它是一个什么样的值。至于三个相乘，大家看一下，三个相乘这里面cosine 7分之派，不要动7分之3派，它就是跟7分之3派一样，7分之5派跟7分之2派一样是吧？所以说这个时候它两个同时变号，同时变号，这个时候同时变号，我们就需要直接把它对应起来。乘负号就不要写了。然后这边是一倍的、二倍的、四倍的亚四正好符合我们。然后两个等价变形就是分子分母同乘上37分之派。利用二倍角公式把它一下卷起来，然后把三个量最后卷起来？因为两个两个变成一个两个变成一个对吧？我们通过两次运算就得到这个结果，所以说C是对的。那么这有三个相加，三个相加这不好算，我们从最低的开始，因为最低的开始，我们可以考虑到用二倍角公式，就是2 sine 7分之派，它的一乘你看沙库形式在哪里呢？那三国形式我们就可以把它进行适当的转化吧？你看sine cosine，它二比角公式是这个啊，这里面2 sine七分之派和cosine 7分之3派，那么这个式子它可以写成什么样子呢？那么它可以写成是看好了，这个可以写成这个sine两个相加加上sine两个相差，后面的同样是三两个相加两个相差。你看前面这个这个两个相加两个相差，后面这个两个相加两个相差，对不对？它是这个和差化积的运算，就是极化和差极向和差化。就像和插画这好吧，所以说把它带进去以后，整理一下我们就得到了，整理一下就得了，这个比较特别好玩，所以送出来以后，最后再去整理展开整理机就很容易了，对不对？我们又送出来，这个结果正好是2分之1，它也是对的它也是对的。我们再来看解析几何问题，解析几何这方面考试考察的内容一般都在27分左右，分值还是比较高的是吧？这方面大家还是要特别小心，要注意看我这是怎么一般来说处理这些问题的。第一个小题目。我们选择中规中矩选了一个。大家经常看到一个问题就是P点负M0P点负M0。Q点M0就是在X轴上两个对称点，若圆X减5平方加YX减3平方等于4。存在点2使得它怎么样？就是两个圆就是以P实际上就是以PQ为直径的圆，跟X减5平方加Y减12平方等于四有交点。因为那个成90度，对吧？乘90度，以它为决定的，不是两个人有交点吗？两个圆有交点就是两个有公共点，说明两个圆的圆心距在半径的和与差之间，在半径的长度差之间都能做到。那你就要解决PQ它里面的半径是什么，是吧？PQ当然PQ半径就是绝对值M，绝对值M也可以注意MA也不影响对吧？因为它问的是正负M所以我们不需要考虑到绝对值。那它的半径就是M后面这个半径就是R半径就是R它两个圆心距。因为PQ的中点是00，所以它的圆心距应该是0.5平方加上0点10 2平方。那么一看是五平方加上那个十三，它的原因就是13就这个在两个核查之间，这就小儿科了，很容易搞定。在11到15之间下面我们来看一个稍微综合一点的问题。这个综合问题，他是这样说的，我们主要是跟大家一些叫圆内接三角形与角有关的定制问题，它有较好的综合性。这样主要是考察学生综合应对相对来说比较复杂的技术问题。你怎么来迅速锁定解题方案说已知椭圆上的1点PID是它的左右顶点P点，非顶点P点不是顶点。角PAB是阿尔法，角PBA是贝塔，角APB是家马。其中阿尔法、贝塔、伽马都不是二分之派，说明是2。它是一般性的三角形，就是斜的三角形。三角形PAB的面积是S在下列不可能是定点的。是，那么这道题既可能是多选题，可能是单选题是吧？因为它就有一个是不是地址，下面我们来看一下，它可以一体多用。首先看我们画一个椭圆，我画个椭圆对吧？好了，这是PAB阿法，这是贝塔，这是伽马，对不对？PITB的斜率我们知道它跟椭圆的一些特定的性质，我们早就知道了KPA乘上KPB，大家也都知道负的F分之B方，对不对？那这个地方我们看一下阿尔法探险塔贝塔乘出来以后，正从图上看出A方分之B方倍定值不要算，它就是定值。注意两个相乘就是tangent，阿尔法乘tangent贝塔一定是定值。首先从这个我们早就熟知的结论当中知道为定值。这就是突破口。这个一旦是定值以后，就下面S谈一谈伽马是什么？S是什么？首先得来找一找S是什么呢？大家看P点，我们假定如果P点假定是X0Y0的话？这一点底下这就是2A那就是Y0乘上2乘2分之1这个面积就是这个塔尼的伽马，它分两部分，一部分大家看我用这个笔画一下。一般就这个图形。一边是这边图形就分两部分，可以把它分解成跟阿尔法贝塔的关系。阿尔法贝塔关系好吧，因为阿法贝塔什么关系呢？因为塔姆达伽马伽马和阿法贝塔加起来是180，所以说三点内角和tangent伽马负的太阳达伽马加贝塔把它展开，把它展开以后我们发现这个是定值，那地下分母就是定制。那tangent阿尔法加贝塔是什么呢？他应的阿尔法加贝塔我们看到是这个东西，这边是Y0数的，比如说P点讲一个PD，PD比上DB，PD比上DB那么这点X0就是A减X0就是BD的长，就这一块后面就是X0加A后面有这个场，对不对？它一旦因为这个一通风以后，它有个什么关系呢？就是我们得到A平方分之X0平方加上B平方的Y0平方的一对不对？两边都成A方的话，就是B方分之A方Y0平方就等于A方减X的平方。因此大家知道A方减X的平方是吧？分支花园这里面一看，这个巢这里面一带我们就知道了，正好在这个省，对吧？这个很容易利用这个椭圆的本本身的关系，那么一代以后发现它又是定值又是定值。大家知道这时候原来tangent阿尔法加上tangent贝塔乘上面积，这道题本来就是tangent阿尔法加tangent贝塔乘上它的面积就是定值，所以说就搞定了，但还是定制。第三个cosine伽马和阿尔法，阿阿贝塔加伽马，伽马是什么？伽马是贝塔加伽马减贝塔2贝塔加伽马说老师你为什么想到把上面这样写呢？是因为分母提醒了我分母是二贝塔加伽马，我们就把它贝塔加伽马再加贝塔。那这样的话，那上面分子就是贝塔加伽马减贝塔吗？所以这是被人家逼着想出来立即采取什么措施，向什么方向研究的。注意到贝塔加伽马就是派加法，贝塔加伽马就是派加法。那么这上下面都有派，根据允许根据诱导公式把大家都提一个负号出来。上面就是cosine阿法加贝塔，下面就是cosine f加贝塔是吧？提符号出来。最后整理一下，上面是蔻蔻莎莎叉，下面是扣扣莎莎加。那么分子分母同除以Q扣3，扣扣cos阿法-300同除以括号等于这个是定值这个是定值，所以整体的定值，所以这也是正确的对吧？那么我们发现ABC3个都是定值，所以这个D一定不是定值，D并不是，所以说这道题可以作为多选题，当然中选题一本来一次题都得走无效了，对吧？这至少是学生瞎猜都得分，那就没有意义了。所以说我们来看看像这个最后一个选项，用的这个设备叫万能公式，就是换法。实际上就是把sine阿尔法写成是2，sine阿法除以cosine，阿法除以一的一把，它写成cosine平方阿法加sine带出来的就是这样意思，就sine阿尔法等于r sine阿尔法，cosine阿尔法除以sine平方阿尔法加上cosine平方阿尔法。这个时候，分子分母同除以cosine平方阿尔法就在这个时候，那后面是一样的，所以代表里面两个议程定值这两个不是定值，这两个显然不是定值，对吧？因为tangent如果要是定值的，探索达8加tangent贝塔也是定值，那tanga 8乘tangent贝塔是定值，那这个大家都不是解出来了吗？碳性哪怕碳酸钠变量是变量，所以说这两个绝对不是定值，也就是说它不能是定值。如果它是定值，两个向量的定值，两个相乘，定值相当于一个方程的两个根，那么带进去探险塔和它变量都可以解出来，就不是变量错下面。我们看这是曲线中线段的位置关系、比例关系和曲线的基本几何性质的小型综合问题。那么这个问题主要是大家做题的本这个突破口是什么呢？一定要牢牢的抓住。首先它是几个问题，是一个小瓶级的问题。解决问题要把体系当中的条件挖掘的非常充分。我们来看一下，也就双曲线X方减去24，X方减一的左右焦点分别为FF2P为双曲线第一项的点，它的平分线为L过O点做PF的平行线，分别交PF1IR于MN2点。如果MN等于3分之2的PF2，它的面积是多少？这个位置完全就是确定是吧？我们来大家来一起看，画个图，来看这个图给你们提议，知道这里面是角平分线，角平分线就意味着这两个角怎么样是一样的。那这个角一样的，因为它平行跟它平行，所以说这个角跟这个角一样。因此这是一个PM我们理解得到PM是等于MA的这就得到了。我们再来看这个里面，大家知道这个MN这条线，它跟PF2F1这个点，你看F点O点F2点是中点，所以说M点应该是它的终点。这两个是一样的还是一样的，对不对？我们说O点是ADF法终点，M点是F1P的中点，那么PF1就是两倍的PM。因为F1PF2的角平分线是AR，两个又平行，所以说我们得到了角MPA，MPA等于角MAT，也就是这两个角度我刚才画了一个相等。MN题目里告诉是3分之2的PFR，就是三分之2个PFR。这时候相等，再写出来RPF1应该是3分之4是吧？因为什么MA跟MP1样，所以说这个PF1一定是3分之4PFR。那这样的3分之4PFR再减去PF2？他最后我们就把PF1和PF算出来，因为什么？因为两个差值是2A，两个差值2A，最后把这个里面有这个关系和他们差别上，因为这道题的A是一对吧？所以说PF1PF2都算了，PF1和PF2都算好了，我们得到PF2等于6，PF1等于8，PF1是8，PF2是6。又题目F1F2是十，F1F2是十。那知道这个角度就是一个直角，看我们的图画的不准，这是一个直角。这PF1平方加PF2平方等于FFR平方，对不对？PFPFR就垂直。那么垂直它的链接就是二分之1P1PF2，对不对？因为垂直我们这就做了它的面积公式搞定。这里面它利用的东西很简单，就是利用角度。温彦有什么特征角平分线得出来两个角相等，然后再加上平行，得出一个等腰三个零。然后利用它的定义到两个定点距离之差等定点点的结合，最后算出PF1PF2。有PFCPF2和FFR的关系，我们最后决定再算出F1PF2是一个直角，从而解出链接。下一个问题。这里面仍然围绕双曲线，因为双曲线是我估计他们在这里可能会出的效果，可能会吹倒。但是我们在这方面就把这性格跟大家一起探讨，主要是解决问题的思路。焦点30内心的横坐标在双醛当中，这个是注意它这个定值。比如说我们看这个图形，这个定值有个特征的一个特征就是它这个焦点30在如果这个点B在釉质上，那么它这个3.0BFAFR的类型的横坐标对应的就是有零点。如果是A点都在左边的话，在左边组织上，那么这时候AF1F2它的3.0内心它的很多概念就落在左焦点上，就左左右右这两个是对应的。这样的话我们从这个推理当中看，他问到2月底啥，二月底是啥？那R1比上R的这个R1，这是R我们看这个就是相当于F1PF2T比上FA这就简单了对不对？因为这个比值就是C减去一个A除以一个C加A大家注意这个结果就行了，C加AC加A就行了。那问题是你怎么知道是这样的？你怎么知道它对应的横坐标是对应的对应的是顶点的横坐标呢？是吧？这个很容易截断，我一说一下大家就清楚了。我们看一下怎么说呢，首先有千年的性格，首先你看这个图当中这个按摩床和按摩床一样吗，对不对？然后这两个长度一样吗？然后这两个长度一样吗？因此我们这时候两边就是AF1和AFR的差值，它减一下最终就变成了什么？就变成了EFR减去一个FEE，在这变成这个EFR减去FEE，这个长能剪出来，对不对？那么这时候我们把一点的坐标假设下，因为F2知道F1指导把E点坐标假设一下。E点坐标比如说是X零带进去，那就是R减X等于减去R加X等于的R大于正的负。一看出来了，大家注意了吧，就是利用它双全自有的性质到两个定点距离之差的定值就是A看好了，AF2减去AF1，它最终就是IF2减去MF1。RIF2图形当中就是EF2，RMF1就是FEE。因为圆外点像圆柱的两条切线一样，利用这个腿，所以最终它两个半径它比值就是我P的C减A除以C加A搞定。全立。我们来跟大家分享一个解答题。双曲线这个顶点在这上面。然后第一个是根号，求双圆的标准方程，那双全在上面。有同学问他说老师这个顶点到底是哪个顶点？因为这时候有零一的定位，就是X区零Y地区，还有-10这个定位，对吧？到底这条直线过哪个呢？我们如果是01的话，带到上面就是A方分之零方减去B方分之一等于一，这不瞎说吗？因为前面是0，这B负的B方等于0.1，所以肯定不是，因此它肯定是过-10。过-10就是A方分之X平方就等于一了，所以A方就是一，A方之一离心就是根号5。所以说马上知道C平方应该就是5。所以说我们就椭圆的标准方程，C平方是5，A方是一，B方是4。所以写出来椭圆的标准方程，第一个2到3天搞定，一般两三分钟，这个都是送给你的。下面有这样搞出来以后，我们要解决的问题是，若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双线接近，线不平行，则定义该直线为双线切线，定义该公共点为切线的切点定义该公共点为切线的切点。已知T点在直线上在哪？就是在Y等于X加一上，并且过点T恰好可以做双节的两条切线。也就是说把这条这个点向它做两条的话，我们就可以用判别式来处理。设置两条切线的切点分别为P和M第一个设电梯的横坐标为T求T的取值范围。这个是这道题目的？非常重要的一个考点，求很多个的范，我们很多东西怎么去算呢？第二，设直线TP和直线TM分别与直线X等于-1加1点Q和点A正比，直线PA和直线MK的交点在定线上，负双曲线的切线，过点为切点的线方向。是他给这个主要是好用，到时候就不会设点，这个设点带进去就是了。那么这个我们是怎么整理的呢？大家首先想一下，我们现在过这条直线，这个点可以假设，因为直线上的点的话可以说，比如说它XY等于X加1，就是TT加一就是两是吧？TTT加1，那Y等于Y减去T加一对不对？Y减去T加1，我们大概什么情况？就是Y减去T加一等于K括号，然后X减T其中K不等于正-2，对不对？为什么？因为他说他这两个焦点你不可能跟渐渐并不最多一个焦点？所以首先我们知道这个是K括号，X减T底下是这样。那这样的话这条直线方程代入双曲线方程，代入双曲线方程，然后来研究它的判别式，判别是大于0。注意到其中二次元元的系数要不等于零是吧？注意到二次元系数要不等于0，我们再请你们注意一些的问题，都可以处理掉。第二个就是设置这个固定的问题，我们就该咋咋地，什么就怎么做怎么办？你说交我就找交呗，对不对？我们来把这个来推动一下，大家往下看。首先。就是第一种情况，如果一条切线不存在，就是解题的时候先考察它的严谨性。一条切线斜率不存在时，它不符合题意，就是画一条竖线，那另外一条又画不出来，不存在，不就是过这一点，正好是做一个跟双曲线是吧，相当于端点相切，相当于顶点相切。那不行。那么我们假设这个曲线上就Y的X加1，上面是TT加1，设切点斜率为K切线方程式，刚才我写的为切线方程，就是Y减去括号，T加一等于K括号减J这个K不等于正-2。但这个真话的原因就是他不能够进行平行，有双重犯罪能力。所以说判别是一，他们就不要烦。这个主要得分点也不能注意，也不能丢了，大胆的化解。快点整理以后看好了。因为这里面这个是这个对的整体，大家看哪些东西是没有的，这个肯定是没有的，你放心好了，这个东西在所有双全当中，就是第一项比较复杂是吧？等于一，所以X的系数的平方这一块肯定是不存在的，就跟后面整理以后肯定是消掉了，肯定消掉了。所以说化简和大胆的画不要被这个巨大的数字所影响。你想这么S平方乘上KT减T减一的平方这么大都没了，那后面的就KT减T减1平方和外边4K平方又没了，那接下来还剩啥呢？所以有什么好担心的，再加上正面都有司法解决掉就行了，对不对？开不得正，往解开提不得负的三点，且T不等于一，就是由于K不等于正二是吧？那你就开不等于正二，就是把K等于正二和K等于挂。这个里面的意思就是把K等于二在里面减一下，可K等于负二在里面减一下，就这两个值是不能求的。因为这个时候他也取不到证据，所以说我们首先把这特殊情况也搞出来，特殊情况搞出来，那上面的设备再重新整理整理K为主。因为开始变量，它这条线可以转来转去的，对不对？他这样可以转来转去的，那么我们就以K为主人是吧椅电源上T为参数的，然后再整理成以T为K为主元的T为参数的运2次方程。这个方程一定有两点，一定有两个相异根是吧？首先K方的系数T方减它不能是0，这个肯定二次项系数里面你怎么了，这都是一个点，对不对？不可能。所以说判别性我们再带进去，所以说这个T又不等于正负一，T不等于-30和不等于一。它第二它大于零在进行化简的整理，还要注意这一块还是不存在的。就是注意就是4平方乘上T加1平方，凡是一次加系数的平方，在判别这当中1.4度都消掉了，所以画出非常简单的结构，最终算出来根据题目的范围，我们检出来T是-1到3分之五。负的三分之当中含有什么？它既含有一又含有-3分之1是吧？切割掉要把它切割掉，切割掉以后再进去，带进去以后整理出来就搞定了，所以这个办法我们做准备，好吧。下面根据我们假设两个节点，一个是M一个是A这是常见的两个缺点吗？M和P吗？那么MT和PT这两条切线方程，根据题目当中提供的这点条件，就是只要切点知道了切线方程知道，只要切点知道切线方程知道这两条线连了，连了以后它的焦点就是T就是切出一个方程组，焦点就是T在点0T的这个T在哪里？T在Y等于X加一上，代入这个式子对吧？带入这个式子整理一下化简，觉得这个就X2Y减去XYY等于四倍的X减Y减去完就完了。然后得出这个方程，然后再在MD方程当中，就是上面这个方程当中，因为我们要找它跟XA-1相交的找交点。在MT等于这个方程当中，这个方程当我看好了，令X等于负一的A点坐标N点坐标，N点坐标得到以后，那P因为P点我们刚才已经算好的了，P点就是X3Y2？然后别人的写的就知道，那骗人的方式就是这个偏移方程。就这个偏移方程它与直线L的交点是A焦点是A连连两焦点是A是吧？连连两个方程就是与这些啥的焦点连立方程以后带进去去，也就是上面的方程跟谁连接的呢？跟Y的X加一引力的，加一引力以后再做连立方程，就把2.0坐标解出来，了解出XA点坐标，然后同样那B点坐标不是一回事吗？对不对？大家看B点坐标，同样我们用同样的方法，它在结构上完全把X1X2YY互换，对不对？这时候我们从XB你看X2Y2Y1就改成X1Y1，后面是Y2，X1加1减X2加1，后面X2就是后面就X一对不对？这点你比对一下。完全是什么？是相当于结构类似的同构形式是吧？要注意交际变化。有一些一个是什么呢？就是刚才做这个事情，这个是带下来带到这里观察，就是把其中的X2Y1和X2Y2还X2Y1和XY用四倍的X减X2减去Y减Y2进行置换。发现比较这两个身份，它的分子和分母完全相同。分子分母完全相同，说明AB2点是同一个点，都在哪里？都在Y点X加一上。那都在Y点X加一上，说明它焦点就跟Y1点X加一重合，说明它就在这条经线上，对不对？这个以前跟我们以前做一条定线，跟X轴垂直会跟Y轴垂直是不一样。但是这条线难找我们是怎么定的？人家已经给我了。那么我们就在做题当中要敏锐的感觉到Y点的支架可能就是那么怎么处理呢？首先通过这条直线PA它跟已知直线的交点PM那就是下一个另一个MQ跟这条线的焦点。大家的焦点就是交A点和B点分别是什么状态？把这两个焦点跟这条线的两个交点找一找，结果我发现两个焦点竟然相同。两个焦点相同的话，说明两条线的交点AB是同一个地点，这个点是在直线L上，所以说L就是这两条线所在的焦点，所在的直线。他是这样的道理？这个难度比较大用的比较烦是吧？我们来让大家欣赏一下第六题，坐标关系与面积关系。它是我们认为考察重点讲的一个剖析问题。我们来看一下说已知这些L与PY的艾滋品XY的X交于A点和B点与抛线C2Y平方等于4X居然有2点CD那么这里面它是这样一个东西。ABCD因为A点它说X等于YB点是X2Y2，C点是X3Y3，D点是X4Y4。我们从图上看，从上到下把它定下来，把它定下来的好处就是什么呢？就是每一个坐标的符号我们大致可以确定的那确定的话那就好了。第一小问肯定第一小就是送分的这一题。我前面问的大家不要任何顾虑，一定是送给你。比如说这个求直线条的方程，M点是什么？M点是第一类型，M点是10，太简单了。10的直线方程考试，因为它我觉得这样对不对？把这条直线方程代入抛线，那这时候BM和M就是宣传公式，对吧？20年距离宣传公式就是根号那一加M平方。比如说用Y用Y是四个地方，这个符号因为都是零点，然后Y就是正好然后带着你整理了对吧？这个就送人了，然后说明YA分之一加Y2分之1等于负的二分之根号乘上A加M的平方，对不对？就整理一下就得出这个事。因为一加M拿过来的，就是把这个一加M平方拿到了这边二分之根号2。这Y加Y和Y乘Y样，我们前面先填的对不对？这里面Y加Y，Y乘Y，不是，Y加Y大家看到是正的IY乘Y-2，那大概率给他们，所以说这就是送分的，这个时候就更有了，为什么呢？大家知道它通分以后，它就是Y1Y2分之Y1加Y2，后面是Y3，Y4分之Y3加Y4。同学们这个是个Y加YY是哪里的呢？是第一条线AB这两点交出来的，第二是CD2个人交出来的那就连列两个方程呗，所以说这个也是送分题，对不对？我们讲的难度并不大，但是那样子画对不对，我们一定不要担心。比如说带着这个带着第一条曲线，那往往是这个关系都是得知正带入第二条曲线，然后得知正是吧？都一样的。说明这两个式子跟这两个式子最后推出的结果都是负的基本点，所以相同没有问题。这解决了下面题目里面给了IC等于2个BDDIC是什么呢？IC是用全场大师，BD是什么呢？用全场大师对不对？S是BDD对吧？SA和BD我们因为它在一条线上，注意，它在一条线上，大家一定要注意SA和BD这边不要担心说老师它不是一个缺陷的，没有问题，我们要的是在一条线上，前面谁都是一样的。那么就相当于两边的距离，然后整理一下就是这个关系，做出来是这样非常重要的关系，对不对？他这个点是两条曲线之间两个重点的线，就是相当于我们看一下刚才画的图当中，就是这个IC和这个BDD它有两个关系很正常吗？对不对？这很正常。注意到这个X3Y3，Y1和Y2和Y这种关系性，我们是怎么怎么找出来，好就再回来。那么找到这以后，我们就做出来前面这个这个是前面的条件，就是没有问我们的前面，他前面不是这个是什么呢？这个式子化简，就这是什么对不对？这个是什么？我们为什么画成这个样子？是因为题目里面有这个样子，对不对？题目里面他给的性状关系是Y3Y和Y2Y那么我们要把前面Y分之2Y2分之1、Y3分之1加Y分之Y4分之1，然后把它对应起来，来对应这个结构中间好化解了。这个一句话讲，把一三合起来，二次合起来，发现是1 3乘7等于两倍的二次乘以。这太开心了，你们太开心了，这都是个动态关系，对不对？再说这个动态关系在利用这个和这个？我们就来找一找这里面什么关系能写出来，就是Y1Y2等于负的2T。然后Y3Y4等于负的4T那你这样整出来以后就得出什么？这个就是Y3Y4就等于两倍的Y1Y2。然后再结合刚才这个就是Y1Y3，它等于二倍的Y2Y4交叉相乘，这个跟那个乘，这个跟那个乘，你发现就是二倍的Y2Y3Y4的平方就等于二倍的Y1平方Y3Y2，那二倍的Y3Y2都消掉，二倍的Y3Y消掉就Y4平方Y1平方。Y一在上，Y是在下面，所以说这个Y4等于负的Y一对不对？就得到这个关系，Y是等于负的Y大家注意Y就这个Y这个也Y那么这个是什么？Y3是吧？你看带进去Y3。当时Y3减去Y一等于二倍的Y2减去Y4。我们把刚才算出来的这个比例关系，Y3跟Y一的关系，你看这一个、二个、三个都是跟娃娃的关系，性都是跟娃娃的关系性。当然这里比例关系的这就在这里整理一下，算出来这都是这个有123，那么你看我们就得到了这个关系。因为什么？利用前面的刚才，就是我刚才哄的就在这个地方，这个关系带过来以后整理出来就Y分之8T等于3Y那现在Y平就知道了，对不对？Y平方不就是3分之8000米，好两个面积，面积比他们在同个线上带进去以后就Y减Y和Y3减Y4是吧？这个把它面积在这就比比对出来，变化成把面积比转化成坐标的就好，把面积就转化成坐标系。我们来看一下这两个面积，因为题目这个目的是LDD和CODD。所以说这个时候，他们O点到这个垂直距离是固定的，这个不需要大家去同高高。所以说只需要考虑到他们两个弦长，就是AB和CD的弦长。AB和CD的弦长我们代的就是刚才这对不对？AB和CD的弦长。画出来就是这个事带进去。因为YI知道了等于多少Y1、Y3、多少YYYY4、多少Y1，我们最后把它带进去是10分之7，这是第一种思路。那么这种思路解题这个是上面，这就带进去以后？第一种思路结合针，这下面是写错了，在上面那么上面这个我们就知道就是比值，就把面积比转化成坐标的差距。因为它是同高高不需要考虑，就是考虑的现在的比值。如果用第二种方案，大家看到这个关系带进去以后，我们这个观点跟刚才上面的观点一模一样。这个是第一个观点一样，又利用这个关系，这个关系还按照刚才的思路朝里面带有整理。整理后大家看这个式子和这个式子，因为说充分通分，就这个通分通分得出这个关系。这个关系在加强利用Y加2Y2倍就是这个为什么？因为这两个关系负调函数或者4T之间二倍关系，所以说后面有两倍关系。你看这个一有这个关系，这是2，把它合起来。一合银行合起来以后，有一是吧？推出来就有一的就对，我们都是32和3，做出来就对，实际上就是一和2，我们仲裁就能找到这个关系，对不对？找到关系一行找到的关系YE和YS关系我们刚才知道了，对不对？是Y等于Y的加上M对不对？两个相乘，这两个相比的比到21，前面这个Y3Y4负的40，Y乘Y2的-2，T1比上这个Y3等于-2Y2。大家知道我们把这个4升Y30负的Y带入第一个40，大家第一个事实，那么我们知道Y是等于多少Y了，因为Y现在是200的，那么我们把这个是的Y3相对重一点，等于负的2Y又带进去对不对？然后它们的面积比就中华城坐标差值，然后把我们所在的Y1、Y2、Y3、Y4所对应的所有值带进去，生命期对吧？那么这个题目出来了以后，我们认为在数据处理上他有一定的技巧。就是大家在做题时候不要被庞大的数据搞得手忙脚乱，如何冷静的把这些数据把它列出来至关重要。因此我们在建议在大家休息的时候，尽量写成大括号的形式，就是把你研究的所有对象都写成这样形式。写的不要横写竖写，写成这种结构，这种结构特别容易剪，特别容易剪。我建议大家在梳理的时候，按照老师最后写的这种打勾这种方式。八里面比如说123、4，1234，主要你把它能够想到的都整理出来，然后里面的观点会一目了然，从而使得问题会变得非常容易非常容易，就是这样一个问题。