第二章二次函数-利用二次函数的定义求参数的值讲义2024-2025学年北师大版（2012） 数学九年级下册

第二章二次函数-利用二次函数的定义求参数的值讲义北师大版（2012）初中数学九年级下册 一、知识点回顾 1.1 二次函数的定义（教材原文）： 1. 标准形式：形如（、、为常数，且 ）的函数是二次函数。 2. 核心条件： - 最高次数为2； - 二次项系数。 教材示例： 若函数是二次函数，则需满足 。 二、重难点讲解 2.1 根据定义求参数的值 - 核心方法： 1. 次数条件：确保未知数的最高次数为2； 2. 系数条件：二次项系数。 示例1： 若是二次函数，求的值。 解析： 1. 次数条件：→ 解得或； 2. 系数条件：验证： -时，（符合）； -时，（舍去）。 答案：。 示例2： 若函数是二次函数，求的值。 解析： 1. 次数条件：→或； 2. 系数条件： -时，（舍去）； -时，（符合）。 答案：。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 忽略二次项系数为零的情况： - 错误：求出参数后未验证是否导致。 - 示例：若是二次函数，误认为可为。 2. 混淆次数与项数： - 错误：将误判为三次函数（实际化简后为二次函数）。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步检验法： - 步骤1：根据题目条件列方程，求参数的可能值； - 步骤2：代入验证是否满足。 2. 分类讨论法： - 当参数存在多解时，需逐一验证是否满足所有条件。 四、巩固练习 1. 若函数是二次函数，求的取值范围。 1. 已知函数是二次函数，求的值。 1. 若是二次函数，求的值。 答案与解析： 1. - 解析：→且。 2. - 解析：次数条件→； 系数条件→。 3. - 解析：次数条件； 系数条件→或； 验证：当时，（舍去）； 当时，（舍去）。 注：本题无解，需修正题目条件（如允许时系数为零）。 一、 选择 1 .(单选)如图，抛物线（常数为正数）．下列关于的四个命题： ①G的最低点坐标为； ②b是任意实数，时的函数值大于时的函数值； ③当时，经过点； ④当经过原点时， 与轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为． 其中正确的是（   ）． A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 2 .(单选)已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（   ）． A. B. C. D. 3 .(单选)已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点．若时，，则的取值范围是（   ）． A.或 B. C.或 D. 4 .(单选)若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)抛物线经过点，则代数式的值为（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)已知点在二次函数的图象上，则下列式子正确的是（   ）． A. B. C. D. 二、 填空 1 .在直角坐标系中，设二次函数，若点，点都在函数的图象上，则之间满足的等量关系是           ． 2 .已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点． ( 1 )若，，则的值为           ； ( 2 )在（1）的条件下的值为                     ． 3 .二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为           ．当           时，；当          时，． 4 .若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是           ． 5 .在二次函数中，为大于的常数． ( 1 )若此二次函数的图象过点，则等于           ． ( 2 )如果，，都在此二次函数的图象上，且，则的取值范围是           ． 6 .如图，已知四个点，，，，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． ( 1 )对应的函数表达式有           个． ( 2 )所有函数表达式中的最大值是           ． 7 .已知一条抛物线具有以下特征：经过原点；在轴左侧的部分，图像上升，在轴右侧的部分，图像下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：           . 8 .二次函数的图象经过点，，，，其中、为常数，那么的值为           ． 三、 解答 1 .已知二次函数（，是常数，），它的图象过点． ( 1 )用含的代数式表示； ( 2 )若，此二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值； ( 3 )若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围． 2 .已知函数（，为常数）的图象经过点，． ( 1 )求，的值． ( 2 )当时，求的最大值与最小值之差． ( 3 )当时，若的最大值与最小值之差为，求的值． 3 .如图，抛物线与轴交于，两点，与直线交于点． ( 1 )直接写出，，的值． ( 2 )如图，取点，在抛物线上取点，使，求点的坐标． ( 3 )点是抛物线上的动点，直线，分别与抛物线的对称轴相交于，两点，是抛物线的顶点，求的值． 4 .如图，抛物线：经过点，对称轴为直线且与轴交于点． ( 1 )求抛物线的表达式． ( 2 )点在抛物线上，若内心恰好在轴上，求点的坐标． ( 3 )如图，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点．为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点恰有个，求的值． 5 .已知二次函数的图象经过点． ( 1 )求的值． ( 2 )求此抛物线的对称轴． ( 3 )直接写出函数随自变量的增大而减小的的取值范围． 6 .二次函数，其中为实数． ( 1 )判断点是否在该拋物线上． ( 2 )求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）． ( 3 )若将该二次函数图像向下平移个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为           ．（直接写出答案） 7 .已知抛物线与轴两个交点之间的距离为，对称轴为直线，与都在抛物线上，且，． ( 1 )求抛物线的解析式． ( 2 )求证：． 8 .如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． ( 1 )求抛物线的函数表达式． ( 2 )已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标； ( 3 )在（）的条件下，以为对角线画平行四边形，将抛物线的顶点沿直线平移得到的抛物线恰好经过点，求平移后的抛物线的函数表达式． 9 .如图是二次函数的图象的一部分，根据图象回答下列问题： ( 1 )抛物线与轴的一个交点的坐标是           ，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是           ． ( 2 )确定的值． ( 3 )设抛物线的顶点是，试求的面积． 10 .已知四个不同的点，，，都在关于的函数是常数，的图象上． ( 1 )当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值． ( 2 )当，两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由． ( 3 )当时，该函数图象与轴交于，两点，且，，，四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的倍的线段）． 11 . 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表： ( 1 )求二次函数的表达式． ( 2 )若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值． ( 3 )若将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围． 12 .在平面直角坐标系中，已知抛物线． ( 1 )求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）． ( 2 )已知点． ① 当抛物线过点时，求的值． ② 点的坐标为．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$