（期末复习）第五单元《三角形》(知识梳理+易错点拨+10个考点讲练+压轴题训练 共45题）2024-2025学年人教版数学四年级下学期金牌培优讲义

2024-2025学年人教版数学四年级下学期金牌培优讲义 第五单元《三角形》 期末真题汇编复习加油站（教师版） （知识梳理+易错点拨+10个考点讲练+压轴题专练 共45题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点梳理01：三角形的特性 1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。 重点：三角形高的画法：一落二移三画四标 3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。 4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。 判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 知识点梳理02：三角形的分类 1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。 3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念） 4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。 8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。 10、等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点梳理03：三角形的内角和 1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。 2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。 （2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。 并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。 （3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成 （平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。 （4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。 （5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。 （6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。 至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。 至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。 至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。 至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。 （7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形 模块二 高频易错考点点拨 易错知识点01：三角形的高与稳定性 1. 画高错误 错误表现： 钝角三角形只画内部1条高，忽略外侧2条高； 未用虚线表示高，或漏标直角符号。 示例：钝角三角形ABC中，若底边为BC，学生常仅画出从A到BC的高，未画出从B向AC延长线的高。 应对方法： 口诀：“一找底边二对顶点，三画垂线四标符号”； 钝角三角形外侧高需延长边再画垂线。 2. 稳定性理解偏差 错误表现：认为所有多边形都稳定，或误用稳定性解释现象（如“自行车三角形车架是为了美观”）。 应对方法：对比实验（如用木条搭三角形和四边形，按压观察形变）强化理解。 易错知识点02：三边关系判断错误 1. 忽略“任意”两字 错误表现：仅验证两短边之和大于第三边，未检查所有组合。 示例：判断3cm、4cm、7cm能否组成三角形，误认为3+4>7成立，忽略3+4=7不满足“大于”条件。 应对方法：牢记口诀“短+短>长，三边可成三角形”。 2. 混淆线段差与和的关系 错误表现：错误应用“两边差小于第三边”判断，如认为3cm、5cm、9cm可组成三角形（5-3<9，但3+5<9）。 应对方法：明确三边关系需同时满足“任意两边和>第三边”与“任意两边差<第三边”。 易错知识点03：三角形分类混淆 1. 等腰与等边三角形关系错误 错误表现：认为“等边三角形不是等腰三角形”，或“等腰三角形一定是锐角三角形”。 示例：等腰三角形顶角为120°，底角为30°，实为钝角三角形，但学生误判为锐角三角形。 应对方法：用韦恩图展示分类关系（等边三角形是特殊等腰三角形），强调按角、边分类的独立性。 2. 直角三角形高的误解 错误表现：认为直角三角形只有1条高（忽略两条直角边互为底和高）。 示例：直角三角形ABC（∠B=90°），误认为仅AC边上的高BD存在，未将AB、BC视为底和高。 应对方法：动手标注直角三角形的3条高（两条直角边互为底和高，斜边高需作垂线）。 易错知识点04：内角和与角度计算错误 1. 内角和公式误用 错误表现： 计算时遗漏角（如四边形内角和误用180°而非360°）； 未区分三角形内角和与单个角度（如求等边三角形内角和时写60°×3=180°，正确但表述不规范）。 应对方法：用撕角拼接法验证内角和，强化“所有三角形内角和均为180°”的普适性。 2. 多角度推算错误 示例：已知等腰三角形顶角50°，求底角时误算为(180°-50°)÷2=65°，但若题目未明确顶角或底角，可能引发错误。 应对方法：标注已知角位置（顶角或底角），用方程解题（如设底角为x，则x+x+50°=180°）。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题1（参考）： 判断：等腰三角形一定是锐角三角形。（ ） 错误解答：√（认为等腰三角形顶角必为锐角）。 正确解析： 等腰三角形顶角可为锐角、直角或钝角，如顶角120°时是钝角三角形，顶角90°时是直角三角形58。 答案：× 例题2（参考）： 一个三角形的两条边分别为4cm和9cm，第三边可能是多少？（选整数） 错误解答：5cm（仅验证4+5>9，未检查4+9>5）。 正确解析： 第三边需满足：9-4 <第三边<9+4 → 5cm<第三边<13cm，故可能为6cm、7cm、…、12cm。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（22-23四年级下·四川绵阳·期末）找规律：……第5个图共有( )个三角形。 【答案】15 【思路点拨】根据已知图形的规律可知，第5个图是由从一个端点出发6条射线组成的图形。对于由多条射线从一个公共端点出发组成的图形，每两条射线都可以组成一个角，所以要找出所有不同的两条射线的组合情况，就能确定角的个数，由此可以判断三角形的数量。通过依次累加的方式来计算三角形的个数。先选第一条射线，它可和另外5条射线组成5个角；选第二条射线，它可和除第一条射线外的4条射线组成4个角，以此类推，共有6条线，但由于第六条线是最后一条线，无法再与其它线组成角，故角的总数为：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。综上，下面的图形中一共有15个三角形。 【规范解答】根据分析可知： 5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 找规律：……第5个图共有15个三角形。 【精练题01】（23-24四年级上·浙江宁波·期末）乐乐不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如图），他只拿其中一块玻璃去玻璃店切割出一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？（    ） A．3 B．2 C．1 D．都可以 【答案】A 【思路点拨】观察这块玻璃，如果只拿1号块去，延长断的两条边，不确定断的两条边和第3条边的长度。如果只拿2号块去，向两边延长断的两条边，可以确定出一个角，但不确定断的两条边和第3条边的的长度。如果只拿去3号块去，延长断的两条边相交，可以确定断的两条边的长度，即确定这个三角形。 【规范解答】根据分析可知：只拿去3号块去，可切割出一块与原来一样大的玻璃。 故答案为：A 【精练题02】（23-24四年级下·甘肃平凉·期末）按要求画一画。 （1）在上图中画两条互相平行的直线和两条互相垂直的直线。 （2）在上图中先画一个梯形，再在里面画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路点拨】（1）画平行线可以借助直尺或三角尺来完成：1、固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。3、平移后，沿直角边画出另一条直线；用三角尺画两条互相垂直的直线的步骤：1、固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。2、把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。据此作图。 （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。据此作图。 【规范解答】 重难点考点02：三角形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·浙江台州·期末）下图由两个边长分别为8cm、6cm的正方形组成，三角形ABC中，若以BC为底，则高是（    ）。 A．2cm B．6cm C．8cm D．14cm 【答案】B 【思路点拨】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；由此可知，在三角形ABC中，以BC为底的高等于小正方形的边长，依此选择。 【规范解答】 由此可知，三角形ABC中，若以BC为底，则高是6cm。 故答案为：B 【精练题01】（23-24四年级下·河北唐山·期末）画出三角形指定底上的高。 【答案】图见详解 【思路点拨】从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，首先找到顶点和对应的边在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点。 【规范解答】如图： 【精练题02】（22-23四年级下·四川乐山·期末）先画一条长4厘米的线段，标为线段AB，再以这条线段为底，任意画一个三角形，并作出AB边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】首先使用直尺和铅笔画一条长度为4厘米的线段，标为线段AB，找出与线段AB不在同一条直线上的一点C，与线段AB的两端点连接，即可得到一个三角形。根据三角形高的意义，在三角形中，在与AB边相对的顶点向它的底边AB画垂线，顶点到垂足之间的线段就是三角形的高，由此作图即可。 【规范解答】根据分析，作图如下： （画法不唯一） 重难点考点03：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·山东日照·期末）图中太阳能热水器支架的设计利用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【思路点拨】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；据此解答。 【规范解答】图中太阳能热水器支架的设计利用了三角形的稳定性。 【精练题01】（22-23四年级下·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是2分米和3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 【答案】 稳定 4 【思路点拨】三角形具有稳定性；三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【规范解答】由题意得，要想空调室外机的支架稳定，需要做成三角形形状，因为三角形具有稳定性。 两边之差＜第三条边＜两边之和 3－2＜第三条边＜3＋2 1＜第三条边＜5，第三条边的长度是整数，所以第三根铝合金最长是4分米。 空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的稳定性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是2分米和3分米，第三根铝合金最长是4分米。 【精练题02】（23-24四年级下·广东珠海·期末）张叔叔打算给一块菜地围上篱笆，（    ）种围法更牢固些。 A． B． C． 【答案】C 【思路点拨】三角形具有稳定性，而平行四边形和正方形具有不稳定性。据此解答。 【规范解答】A．篱笆围成的形状为平行四边形，平行四边形具有不稳定性，不满足题意。 B．篱笆围成的形状为正方形，正方形具有不稳定性，不满足题意。 C．篱笆围成的形状为三角形，三角形具有稳定性，满足题意。 故答案为：C 重难点考点04：两点间线段最短与两点间的距离 【精讲题】（23-24四年级下·河北承德·期末）丽丽从家去超市走( )号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中( )最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和( )第三边。 【答案】 ② 直线 大于 【思路点拨】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短，据此判断①号与②号哪条路更短；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边据此判断②号与③号哪条路更短，据此填空即可。 【规范解答】丽丽从家去超市走②号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中直线最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和大于第三边。 【精练题01】（23-24四年级下·四川南充·期末）从小明家到学校有三条路可走，走哪条路最近？下列说法错误的是（    ）。 A．走中间那条路最近，因为垂直线段最短 B．走中间那条路最近，因为三角形任意两边的和大于第三边 C．走中间那条路最近，因为两点间所有连线中，线段最短 【答案】A 【思路点拨】A．中间这条路可以看作是两点之间的线段，而不是垂线段，所以应是两点之间线段最短。 B．图中有2个三角形，根据三角形的任意两边之和大于第三边，可以知道从小明家到医院再到学校这条路，从小明家先到图书馆再到学校这条路，都没有从小明家直接到学校这条路近。 C．根据两点之间的所有连线中线段最短可知，走从小明家直接到学校的那条路最近，即图中最中间的路最近。 【规范解答】A．走中间那条路最近，因为两点之间线段最短，原说法不对。 B．走中间那条路最近，因为三角形任意两边的和大于第三边，这个说法正确。 C．走中间那条路最近，因为两点间所有连线中，线段最短，这个说法正确。 故答案为：A 【精练题02】（21-22四年级下·四川乐山·期末）三角形屋顶的高在哪，请你在图中画出来。菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。据此画出屋顶的高。 （2）两点之间线段最短，则过A点与家的一点，画一条线段即可。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，要使菲菲到公路边的路线最近，则从A点向公路边作垂线，这条垂线即为所求。 【规范解答】 重难点考点05：三角形三边关系 【精讲题】（23-24四年级下·宁夏固原·期末）下列各组小棒中，能摆成三角形的是（    ）。 A．6厘米、6厘米、6厘米 B．3厘米、3厘米、6厘米 C．5厘米、4厘米、10厘米 【答案】A 【思路点拨】根据三角形三边关系可知，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答。 【规范解答】A．6＋6＞6，6－6＜6，所以6厘米、6厘米和6厘米的3根小棒可以摆成三角形； B．3＋3＝6，不满足两边之和大于第三边，所以3厘米、3厘米和6厘米的3根小棒不可以摆成三角形； C．5＋4＜10，不满足两边之和大于第三边，所以5厘米、4厘米和10厘米的3根小棒不可以摆成三角形。 故答案为：A 【精练题01】（23-24四年级下·河南焦作·期末）张老师用三根小棒（边长都是整数）首尾相连组成一个三角形，其中两根小棒分别长4厘米、8厘米，第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。 【答案】 5 11 【思路点拨】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答即可。 【规范解答】8厘米－4厘米＜第三边＜8厘米＋4厘米 所以4厘米＜第三边＜12厘米 即第三边在4厘米至12厘米之间，不包括4厘米和12厘米， 即第三条边最短是4＋1＝5厘米，最长是12－1＝11厘米。 张老师用三根小棒（边长都是整数）首尾相连组成一个三角形，其中两根小棒分别长4厘米、8厘米，第三根小棒最短是5厘米，最长是11厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·河南信阳·期末）一根长11厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。如果在2厘米处剪了一刀，再在原线段的( )厘米处剪一刀就能围成一个三角形，围成的三角形三条边分别是( )厘米。（边长为整厘米数） 【答案】 6 2、4、5 【思路点拨】三角形的边长有以下关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。已知铁丝总长是11厘米，第一段长2厘米，那剩下的两边长度和是：11－2＝9（厘米），边长为整厘米数，那么相加等于9的数有1和8，2和7，3和6，4和5，根据三边关系计算一下：1＋2＜8排除1和8；2＋2＜7，排除2和7；2＋3＜6，排除3和6；2＋4＞5，成立，所以围成的三角形三条边分别是2厘米、4厘米、5厘米；2＋4＝6（厘米），再在原线段的6厘米处剪一刀就能围成一个三角形；以此答题即可。 【规范解答】11－2＝9（厘米） 2＋4＞5 2＋4＝6（厘米） 一根长11厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。如果在2厘米处剪了一刀，再在原线段的6厘米处剪一刀就能围成一个三角形，围成的三角形三条边分别是2、4、5厘米。（边长为整厘米数） 重难点考点06：三角形的分类 【精讲题】（23-24四年级下·陕西延安·期末）若一个三角形的三个内角都是60°，则按边分。这是一个( )三角形，按角分，这是一个( )三角形。 【答案】 等边 锐角 【思路点拨】等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°；三角形按角分类的标准：3个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；据此解答即可。 【规范解答】若一个三角形的三个内角都是60°，则按边分。这是一个等边三角形，按角分，这是一个锐角三角形。 【精练题01】（22-23四年级下·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么在以下对这个三角形的判断中，正确的是（    ）。 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 【答案】D 【思路点拨】 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。这个三角形被一张纸遮住了一个角，看不出另外的两个角。这个三角形可能是锐角三角形，如图：；也可能是直角三角形，如图：；还可能是钝角三角形，如图：。 【规范解答】因此，这个三角形既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 故答案为：D 【精练题02】（23-24四年级下·河北承德·期末）请你在格子图中按要求各画出一个三角形。 【答案】见详解 【思路点拨】画锐角三角形：在横向上画任意线段，以此线段为基础，画出三个都是锐角的锐角三角形；画直角三角形：在横向上画一定格数的线段，再过这条线段的一端在竖向上画出一条线段，再连接两条线段的另外两个端点；画钝角三角形：在横向上画任意线段，再取这个线段左端的左上方或左下方任意一点，连接这个点与线段的两端即可；据此可解此题。 【规范解答】 （画法不唯一） 重难点考点07：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·重庆璧山·期末）一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和13厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】32 【思路点拨】等腰三角形有两条边相等，根据三角形两边之和大于第三边，需判断两种情况：两条腰为6厘米，底边13厘米，此时两边之和为6＋6＝12厘米，小于第三边13厘米，不满足三角形三边关系，无法构成三角形；两条腰为13厘米，底边6厘米，两边之和为13＋6＝19厘米，大于第三边（13厘米），满足三角形三边关系。周长＝13＋13＋6＝32厘米。 【规范解答】若三边为6厘米，6厘米，13厘米，6＋6＝12（厘米），12＜13，无法构成三角形； 若三边为13厘米，13厘米，6厘米，13＋6＝19（厘米），19＞13，满足三角形三边关系。 13＋13＋6＝32（厘米） 即一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和13厘米，这个三角形的周长是32厘米。 【精练题01】（23-24四年级下·浙江宁波·期末）下图内有5根小棒，选择其中的3根搭成等腰三角形，一共有( )种不同的搭法。 【答案】2 【思路点拨】三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据等腰三角形的特点可知，三角形中的两条边相等；据此解答。 【规范解答】根据解析可知，先选择两条长度相等的2根小棒，4厘米和4厘米；根据三角形三边的关系可知，4＋4＞第三边，4－4＜第三边，即8＞第三边＞0，所以第三边可以选择3厘米和7厘米的小棒；综上所述，可以选择3厘米、4厘米和4厘米的3根小棒，也可以选择7厘米、4厘米和4厘米的3根小棒，一共有2种不同的搭法。 【精练题02】（23-24四年级下·安徽铜陵·期末）用36厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，如果这个三角形的底边长是14厘米，那么每条腰长是多少厘米？ 【答案】11厘米 【思路点拨】等腰三角形的两条腰相等，据此用周长减去底边长求出两条腰的和，再除以2即可求解。 【规范解答】（36－14）÷2 ＝22÷2 ＝11（厘米） 答：每条腰长时11厘米。 重难点考点08：画三角形 【精讲题】（23-24四年级下·广西河池·期末）在点子图上画一个钝角三角形，再画出这个三角形的一条高。 【答案】见详解 【思路点拨】有一个角是钝角的三角形就是钝角三角。先过几个点画一条线段，再过这条线段的一个端点作这条线段的大于90°角的线段，连接线段和大于90°角的线段的另一个端点，所形成的图形就是钝角的三角形。从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，据此画出这个三角形的一条高即可。 【规范解答】 （高的画法不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方格里画一个等腰三角形和一个直角三角形，并标出底，再画出底对应的高。 【答案】见详解 【思路点拨】等腰三角形：有两条边相等的三角形。直角三角形：有一个角是直角的三角形。根据等腰三角形和直角三角形的性质，利用方格图即可画出这个三角形，三角形的高是从三角形的一个顶点向对边画垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形的高，据此画出即可。 【规范解答】 【精练题02】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）画一个边长是3厘米的等边三角形。（保留画图痕迹，标出主要数据） 【答案】见详解 【思路点拨】等边三角形是三边相等的三角形，其三个内角相等，均为 60°，先画一条线段AB，使AB＝3厘米，再利用量角器画∠ABC＝60°、∠BAC＝60°，两个角的一条边交于点C，三角形ABC就是所要求画的三角形，据此解答即可。 【规范解答】 如图： 重难点考点09：三角形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·甘肃武威·期末）张叔叔用一根铁丝制作一个等腰三角形的风铃框架，已知这个风铃框架其中两条边分别长18厘米和37厘米，第三条边长( )厘米。若一个等腰三角形的顶角是40°，它的一个底角是( )°。 【答案】 37 70 【思路点拨】由题意可知：等腰三角形有两条边相等，第三条边长可能是18厘米，也可能是37厘米，根据三角形任意两边之和大于第三边确定第三条边的长度。等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和是180°，用180°－40°求出两个底角的和，再除以2即可求出一个底角是多少度。 【规范解答】第三条边是18厘米： 18＋18＜37，不能组成三角形 第三条边是37厘米： 37＋18＞37，能组成三角形。 所以第三条边长是37厘米。 （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 所以它的一个底角是70°。 【精练题01】（23-24四年级下·宁夏固原·期末）一个三角形，已知它的两个内角的度数分别是88°和25°，这个三角形一定是 三角形。 【答案】锐角 【思路点拨】三角形的内角和为180°。三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。由题意得，一个三角形的两个内角的度数分别是88°和25°，那么直接用180°减去两个内角的度数即可算出第三个内角的度数。然后根据三个内角的大小来判断三角形的类型即可。 【规范解答】180°－88°－25° ＝92°－25° ＝67° 三个内角的度数分别是88°，25°和67°，这三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江宁波·期末）下图三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADC也是一个等腰三角形，已知∠1＝30°，则∠C＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 30 120 【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，则∠C＝∠1，∠2＝180°－2个∠C的度数，依此计算。 【规范解答】∠C＝∠1＝30° 180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° ∠C＝30°，∠2＝120°。 重难点考点10：多边形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·湖北荆州·期末）下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【答案】360° 【思路点拨】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°，且五边形内角和为（52）×180°，也就是∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°，再用180°×5540°即可算出正确答案。 【规范解答】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（52）×180° ＝3×180° ＝540° 那么∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10 ＝（180°∠1）＋（180°∠2）＋（180°∠3）＋（180°∠4）＋（180°∠5） ＝180°×5（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5） ＝900°540° ＝360° 答：∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是360°。 【精练题01】（23-24四年级下·广西玉林·期末）乐乐用如图的方法求四边形的内角和，下列算式中正确的是（    ）。 A．180°×4－360° B．180°×4＋360° C．180°×4－180° 【答案】A 【思路点拨】根据题意可知，图中四边形分成了4个三角形，三角形的内角和是180°，用180°×4然后再减去中间的360°的周角即可。也就是180°×4－360°。 【规范解答】乐乐用如图的方法求四边形的内角和，下列算式中正确的是180°×4－360°。 故答案为：A 【精练题02】（24-25四年级上·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【答案】 65 锐 【思路点拨】梯形的内角和为360°。由题意得，有一个直角梯形（直角梯形有两个直角），如果它的一个角是115°，求除了两个直角外的另一个角的度数，直接用360°减去两个直角的度数再减去115°即可解答。然后根据这个角的度数来判断这个角的类型即可。 【规范解答】360°－90°－90°－115° ＝270°－90°－115° ＝180°－115° ＝65° 65°＜90°，所以这个角是锐角。 除了两个直角外的另一个角是65°，属于锐角。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（23-24四年级下·福建厦门·期末）如图，龙一鸣想把一根长16cm的铁丝剪成三段，再首尾相接成一个三角形，他第一剪不能从（    ）点剪开。 A．M B．P C．N D．Q 【答案】D 【思路点拨】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此可知，要先把这根铁丝剪成三段，最长的那段应小于这根铁丝长度的一半，16÷2＝8（厘米）即最长的那段小于8厘米，最大是7厘米。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： A．若从M点剪开，一段长2cm，其余两段可以为7cm和7cm，能围成一个三角形。 B．若从P点剪开，一段长5cm，其余两段可以为5cm和6cm，能围成一个三角形。 C．若从N点剪开，一段长7cm，其余两段可以为5cm和4cm，能围成一个三角形。 D．若从Q点剪开，一段长8cm，则不能围成一个三角形。 故答案为：D 2．（23-24四年级下·江西赣州·期末）一个三角形中，其中最小的一个角是36°，这个三角形一定是（　　）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】D 【思路点拨】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。由题意得，一个三角形中，其中最小的一个角是36°，可以假设出另一个角的度数（大于或等于36°）。三角形的内角和为180°，直接用180°减去两个角的度数即可算出第三个角的度数。然后根据三个角的大小来判断三角形的类型即可。 【规范解答】由题意得，最小的一个角是36°，假设另一个角也是36°。 180°－36°－36° ＝144°－36° ＝108°，108°＞90°，即这个三角形可能是钝角三角形。 如果另一个角稍大一点，是54°。 180°－36°－54° ＝144°－54° ＝90°，90°＝90°，即这个三角形可能是直角三角形。 如果另一个角稍大于54°，那么第三个角应该小于90°，这个三角形可能是锐角三角形。 故这个三角形可能是钝角三角形，也有可能是直角三角形，还有可能是锐角三角形。 故答案为：D 3．（23-24四年级下·福建厦门·期末）如图，把一个大三角形分成两个小三角形①和②，这两个小三角形的内角和相比，（    ）。 A．①更大 B．②更大 C．同样大 D．无法比较 【答案】C 【思路点拨】根据题意，不论三角形大小或形状如何，任意三角形的三个内角和都等于180°。因此，无论是三角形①还是三角形②，它们的内角和都相同，都是180°。以此答题即可。 【规范解答】不论三角形大小或形状如何，任意三角形的三个内角和都等于180°。因此，把一个大三角形分成两个小三角形①和②，这两个小三角形的内角和相比，同样大。 故答案为：C 4．（23-24四年级下·湖北荆州·期末）如图，有三张顶角为40°的等腰三角形纸片，用不同的方法剪去顶角后都得到一个四边形，求∠1＋∠2的度数，下列叙述正确的是（    ）。 A．图1的结果大 B．图2的结果大 C．图3的结果大 D．三个图的结果相等 【答案】D 【思路点拨】三角形的内角和为180°，用180°减去40°，即可求出等腰三角形两个底角的总度数，即180°－40°＝140°，四边形的内角和为360°，观察三个图可以发现，∠1＋∠2的度数都等于四边形的内角和减去等腰三角形两个底角的总度数，据此解答即可。 【规范解答】180°－40°＝140° 360°－140°＝220° 所以∠1＋∠2的度数都为220°。 故答案为：D 5．（23-24四年级下·甘肃庆阳·期末）一个等腰三角形的一个底角是36°，顶角的度数是( )；一个等腰三角形的顶角是36°。一个底角的度数是( )。 【答案】 108°/108度 72°/72度 【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等；则用三角形的内角和连续减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数；用三角形的内角和减去顶角的度数，再除以2，即可求出一个底角的度数；据此代入数据，计算出结果即可解答。 【规范解答】180°－36°－36° ＝144°－36° ＝108° （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 即一个等腰三角形的一个底角是36°，顶角的度数是108°；一个等腰三角形的顶角是36°。一个底角的度数是72°。 6．（23-24四年级下·江西赣州·期末）斜拉桥的设计运用了三角形( )的特性，伸缩门的设计运用了平行四边形( )的特性。 【答案】 稳定 易变形 【思路点拨】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，斜拉桥的设计运用了三角形的这种特性。而平行四边形容易变形，伸缩门工作时，伸缩门中的平行四边形会变形，所以伸缩门的设计就是运用了它的这种特性。 【规范解答】斜拉桥的设计运用了三角形稳定的特性，伸缩门的设计运用了平行四边形易变形的特性。 7．（23-24四年级下·重庆璧山·期末）如图，试一试，由三角形的内角和度数推导出∠1＋∠2＋∠3＝( )°。 【答案】360 【思路点拨】在图中增加∠4、∠5、∠6。 观察图形可知，∠1＝180°－∠6，∠2＝180°－∠5，∠3＝180°－∠4，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°－∠6＋180°－∠5＋180°－∠4，又因为∠4、∠5、∠6是三角形的三个内角，相加等于180°，即∠4＋∠5＋∠6＝180°，进而解答即可。 【规范解答】在图中增加∠4、∠5、∠6。 ∠1＋∠2＋∠3 ＝180°－∠6＋180°－∠5＋180°－∠4 ＝180°×3－（∠6＋∠5＋∠4） ＝540°－（∠6＋∠5＋∠4） 因为∠4＋∠5＋∠6＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝540°－180°＝360°。 8．（23-24四年级下·宁夏固原·期末）一个三角形的边长都是整厘米数，其中两条边长分别为3厘米和7厘米，第三条边最长是 厘米，此时三角形的周长是 厘米。 【答案】 9 19 【思路点拨】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；即可得出第三边的取值范围。三角形的周长是三条边相加的和，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，3＋7＞第三边＞7－3，所以10＞第三边＞4，因为第三边是整厘米数，所以第三条边最长是9厘米； （厘米） 所以此时三角形的周长是19厘米。 9．（23-24四年级下·河南焦作·期末）只有两个锐角，没有直角的三角形是钝角三角形。( ) 【答案】√ 【思路点拨】锐角三角形有3个锐角，直角三角形有2个锐角，钝角三角形有2个锐角，所以只有2个锐角的三角形是直角三角形或钝角三角形，没有直角的三角形是钝角三角形，据此解答即可。 【规范解答】只有两个锐角，说明两角之和小于锐角。另一个角是钝角，所以，只有两个锐角，没有直角的三角形是钝角三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 10．（23-24四年级下·河南焦作·期末）底和高都分别相等的两个三角形，他们的形状相同。( ) 【答案】× 【思路点拨】三角形的底和高都相等，三角形的高的位置不同形状就不同，举例解答即可。 【规范解答】 底和高分别相等的两个三角形，他们的形状相同，如：； 底和高分别相等的两个三角形，他们的形状不相同。如：。 底和高都分别相等的两个三角形，他们的形状不一定相同。原题说法错误。 故答案为：× 11．（23-24四年级下·甘肃武威·期末）求下面未知角的度数。 【答案】79° 【思路点拨】如图：，我们可以把未知角标为∠2，与它相邻的角标为∠1，如下图；∠1与∠2构成了一个平角，所以∠2＝180°－∠1，而∠1根据三角形内角和是180°，用180°－50°－29°可求出，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 180°－50°－29° ＝130°－29° ＝101° 即∠1＝101° 180°－101°＝79° 即∠2＝79° 答：图中未知角为79°。 12．（23-24四年级下·河南开封·期末）算一算。 已知，，，求，，。 【答案】∠4＝105°；∠5＝75°；∠6＝95° 【思路点拨】平角为180°，三角形内角和为180°，观察图可以发现，∠1、∠3和∠4组成三角形的内角和，用180°依次减去∠1、∠3，即可求出∠4。∠4和∠5组成平角，用180°减去∠4，即可求出∠5。∠5、∠2和∠6组成三角形的内角和，用180°依次减去∠2、∠5，即可求出∠6。 【规范解答】∠4＝180°－30°－45° ＝150°－45° ＝105° ∠5＝180°－105°＝75° ∠6＝180°－10°－75° ＝170°－75° ＝95° 即∠4＝105°，∠5＝75°，∠6＝95°。 13．（23-24四年级下·贵州黔西·期末）公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，一条腰长是57米，这块草坪的底边长是多少米？ 【答案】72米 【思路点拨】等腰三角形特征：两条腰长相等，三角形周长是三条边长之和，用186米减去2个57米即可求出底边长。 【规范解答】186－57×2 ＝186－114 ＝72（米） 答：这块草坪的底边长是72米。 14．（23-24四年级下·河南信阳·期末）从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 【答案】5小时 从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短 图见详解 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短 【思路点拨】（1）根据题意，从A城到B城再到C城，路程为200＋160＝360（千米），用路程除以时间即可算得去时的速度，然后因为回来时每小时比去多行10千米，那么就用去时的速度加上10，即为回来的速度，再用回来的路程除以回来的速度，即可算得回来至少需要用多少时间； （2）根据题意A、B、C三城围城了一个三角形，B城为三角形的一个顶点，AC城之间的距离为B城所对的一条底边，从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，因为直线外一点到直线的距离，垂线最短，图见详解； 【规范解答】根据分析可得： （1）200＋160＝360（千米） 360÷6＝60（千米小时） 60＋10＝70（千米小时） 350÷70＝5（小时） 答：返回时至少需要5小时。 （2）从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，见下图 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短。 15．（22-23四年级下·四川广元·期末）植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带。已知它的顶角是，它的一个底角是多少度？ 【答案】36° 【思路点拨】等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等。根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。 【规范解答】（180°－108°）÷2 ＝72°÷2 ＝36° 答：它的一个底角是36°。 $$2024-2025学年人教版数学四年级下学期金牌培优讲义 第五单元《三角形》 期末真题汇编复习加油站（学生版） （知识梳理+易错点拨+10个考点讲练+压轴题专练 共45题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点梳理01：三角形的特性 1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。 重点：三角形高的画法：一落二移三画四标 3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。 4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。 判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 知识点梳理02：三角形的分类 1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。 3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念） 4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。 8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。 10、等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点梳理03：三角形的内角和 1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。 2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。 （2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。 并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。 （3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成 （平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。 （4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。 （5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。 （6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。 至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。 至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。 至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。 至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。 （7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形 模块二 高频易错考点点拨 易错知识点01：三角形的高与稳定性 1. 画高错误 错误表现： 钝角三角形只画内部1条高，忽略外侧2条高； 未用虚线表示高，或漏标直角符号。 示例：钝角三角形ABC中，若底边为BC，学生常仅画出从A到BC的高，未画出从B向AC延长线的高。 应对方法： 口诀：“一找底边二对顶点，三画垂线四标符号”； 钝角三角形外侧高需延长边再画垂线。 2. 稳定性理解偏差 错误表现：认为所有多边形都稳定，或误用稳定性解释现象（如“自行车三角形车架是为了美观”）。 应对方法：对比实验（如用木条搭三角形和四边形，按压观察形变）强化理解。 易错知识点02：三边关系判断错误 1. 忽略“任意”两字 错误表现：仅验证两短边之和大于第三边，未检查所有组合。 示例：判断3cm、4cm、7cm能否组成三角形，误认为3+4>7成立，忽略3+4=7不满足“大于”条件。 应对方法：牢记口诀“短+短>长，三边可成三角形”。 2. 混淆线段差与和的关系 错误表现：错误应用“两边差小于第三边”判断，如认为3cm、5cm、9cm可组成三角形（5-3<9，但3+5<9）。 应对方法：明确三边关系需同时满足“任意两边和>第三边”与“任意两边差<第三边”。 易错知识点03：三角形分类混淆 1. 等腰与等边三角形关系错误 错误表现：认为“等边三角形不是等腰三角形”，或“等腰三角形一定是锐角三角形”。 示例：等腰三角形顶角为120°，底角为30°，实为钝角三角形，但学生误判为锐角三角形。 应对方法：用韦恩图展示分类关系（等边三角形是特殊等腰三角形），强调按角、边分类的独立性。 2. 直角三角形高的误解 错误表现：认为直角三角形只有1条高（忽略两条直角边互为底和高）。 示例：直角三角形ABC（∠B=90°），误认为仅AC边上的高BD存在，未将AB、BC视为底和高。 应对方法：动手标注直角三角形的3条高（两条直角边互为底和高，斜边高需作垂线）。 易错知识点04：内角和与角度计算错误 1. 内角和公式误用 错误表现： 计算时遗漏角（如四边形内角和误用180°而非360°）； 未区分三角形内角和与单个角度（如求等边三角形内角和时写60°×3=180°，正确但表述不规范）。 应对方法：用撕角拼接法验证内角和，强化“所有三角形内角和均为180°”的普适性。 2. 多角度推算错误 示例：已知等腰三角形顶角50°，求底角时误算为(180°-50°)÷2=65°，但若题目未明确顶角或底角，可能引发错误。 应对方法：标注已知角位置（顶角或底角），用方程解题（如设底角为x，则x+x+50°=180°）。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题1（参考）： 判断：等腰三角形一定是锐角三角形。（ ） 错误解答：√（认为等腰三角形顶角必为锐角）。 正确解析： 等腰三角形顶角可为锐角、直角或钝角，如顶角120°时是钝角三角形，顶角90°时是直角三角形58。 答案：× 例题2（参考）： 一个三角形的两条边分别为4cm和9cm，第三边可能是多少？（选整数） 错误解答：5cm（仅验证4+5>9，未检查4+9>5）。 正确解析： 第三边需满足：9-4 <第三边<9+4 → 5cm<第三边<13cm，故可能为6cm、7cm、…、12cm。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（22-23四年级下·四川绵阳·期末）找规律：……第5个图共有( )个三角形。 【精练题01】（23-24四年级上·浙江宁波·期末）乐乐不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如图），他只拿其中一块玻璃去玻璃店切割出一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？（    ） A．3 B．2 C．1 D．都可以 【精练题02】（23-24四年级下·甘肃平凉·期末）按要求画一画。 （1）在上图中画两条互相平行的直线和两条互相垂直的直线。 （2）在上图中先画一个梯形，再在里面画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 重难点考点02：三角形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·浙江台州·期末）下图由两个边长分别为8cm、6cm的正方形组成，三角形ABC中，若以BC为底，则高是（    ）。 A．2cm B．6cm C．8cm D．14cm 【精练题01】（23-24四年级下·河北唐山·期末）画出三角形指定底上的高。 【精练题02】（22-23四年级下·四川乐山·期末）先画一条长4厘米的线段，标为线段AB，再以这条线段为底，任意画一个三角形，并作出AB边上的高。 重难点考点03：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·山东日照·期末）图中太阳能热水器支架的设计利用了三角形的( )性。 【精练题01】（22-23四年级下·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是2分米和3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 【精练题02】（23-24四年级下·广东珠海·期末）张叔叔打算给一块菜地围上篱笆，（    ）种围法更牢固些。 A． B． C． 重难点考点04：两点间线段最短与两点间的距离 【精讲题】（23-24四年级下·河北承德·期末）丽丽从家去超市走( )号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中( )最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和( )第三边。 【精练题01】（23-24四年级下·四川南充·期末）从小明家到学校有三条路可走，走哪条路最近？下列说法错误的是（    ）。 A．走中间那条路最近，因为垂直线段最短 B．走中间那条路最近，因为三角形任意两边的和大于第三边 C．走中间那条路最近，因为两点间所有连线中，线段最短 【精练题02】（21-22四年级下·四川乐山·期末）三角形屋顶的高在哪，请你在图中画出来。菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 重难点考点05：三角形三边关系 【精讲题】（23-24四年级下·宁夏固原·期末）下列各组小棒中，能摆成三角形的是（    ）。 A．6厘米、6厘米、6厘米 B．3厘米、3厘米、6厘米 C．5厘米、4厘米、10厘米 【精练题01】（23-24四年级下·河南焦作·期末）张老师用三根小棒（边长都是整数）首尾相连组成一个三角形，其中两根小棒分别长4厘米、8厘米，第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·河南信阳·期末）一根长11厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。如果在2厘米处剪了一刀，再在原线段的( )厘米处剪一刀就能围成一个三角形，围成的三角形三条边分别是( )厘米。（边长为整厘米数） 重难点考点06：三角形的分类 【精讲题】（23-24四年级下·陕西延安·期末）若一个三角形的三个内角都是60°，则按边分。这是一个( )三角形，按角分，这是一个( )三角形。 【精练题01】（22-23四年级下·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么在以下对这个三角形的判断中，正确的是（    ）。 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·河北承德·期末）请你在格子图中按要求各画出一个三角形。 重难点考点07：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·重庆璧山·期末）一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和13厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【精练题01】（23-24四年级下·浙江宁波·期末）下图内有5根小棒，选择其中的3根搭成等腰三角形，一共有( )种不同的搭法。 【精练题02】（23-24四年级下·安徽铜陵·期末）用36厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，如果这个三角形的底边长是14厘米，那么每条腰长是多少厘米？ 重难点考点08：画三角形 【精讲题】（23-24四年级下·广西河池·期末）在点子图上画一个钝角三角形，再画出这个三角形的一条高。 【精练题01】（23-24四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方格里画一个等腰三角形和一个直角三角形，并标出底，再画出底对应的高。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）画一个边长是3厘米的等边三角形。（保留画图痕迹，标出主要数据） 重难点考点09：三角形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·甘肃武威·期末）张叔叔用一根铁丝制作一个等腰三角形的风铃框架，已知这个风铃框架其中两条边分别长18厘米和37厘米，第三条边长( )厘米。若一个等腰三角形的顶角是40°，它的一个底角是( )°。 【精练题01】（23-24四年级下·宁夏固原·期末）一个三角形，已知它的两个内角的度数分别是88°和25°，这个三角形一定是 三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江宁波·期末）下图三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADC也是一个等腰三角形，已知∠1＝30°，则∠C＝( )°，∠2＝( )°。 重难点考点10：多边形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·湖北荆州·期末）下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【精练题01】（23-24四年级下·广西玉林·期末）乐乐用如图的方法求四边形的内角和，下列算式中正确的是（    ）。 A．180°×4－360° B．180°×4＋360° C．180°×4－180° 【精练题02】（24-25四年级上·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（23-24四年级下·福建厦门·期末）如图，龙一鸣想把一根长16cm的铁丝剪成三段，再首尾相接成一个三角形，他第一剪不能从（    ）点剪开。 A．M B．P C．N D．Q 2．（23-24四年级下·江西赣州·期末）一个三角形中，其中最小的一个角是36°，这个三角形一定是（　　）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．（23-24四年级下·福建厦门·期末）如图，把一个大三角形分成两个小三角形①和②，这两个小三角形的内角和相比，（    ）。 A．①更大 B．②更大 C．同样大 D．无法比较 4．（23-24四年级下·湖北荆州·期末）如图，有三张顶角为40°的等腰三角形纸片，用不同的方法剪去顶角后都得到一个四边形，求∠1＋∠2的度数，下列叙述正确的是（    ）。 A．图1的结果大 B．图2的结果大 C．图3的结果大 D．三个图的结果相等 5．（23-24四年级下·甘肃庆阳·期末）一个等腰三角形的一个底角是36°，顶角的度数是( )；一个等腰三角形的顶角是36°。一个底角的度数是( )。 6．（23-24四年级下·江西赣州·期末）斜拉桥的设计运用了三角形( )的特性，伸缩门的设计运用了平行四边形( )的特性。 7．（23-24四年级下·重庆璧山·期末）如图，试一试，由三角形的内角和度数推导出∠1＋∠2＋∠3＝( )°。 8．（23-24四年级下·宁夏固原·期末）一个三角形的边长都是整厘米数，其中两条边长分别为3厘米和7厘米，第三条边最长是 厘米，此时三角形的周长是 厘米。 9．（23-24四年级下·河南焦作·期末）只有两个锐角，没有直角的三角形是钝角三角形。( )（判断对错） 10．（23-24四年级下·河南焦作·期末）底和高都分别相等的两个三角形，他们的形状相同。( )（判断对错） 11．（23-24四年级下·甘肃武威·期末）求下面未知角的度数。 12．（23-24四年级下·河南开封·期末）算一算。 已知，，，求，，。 13．（23-24四年级下·贵州黔西·期末）公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，一条腰长是57米，这块草坪的底边长是多少米？ 14．（23-24四年级下·河南信阳·期末）从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 15．（22-23四年级下·四川广元·期末）植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带。已知它的顶角是，它的一个底角是多少度？ $$