专题01讲义 集合 - 江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块1的第1个专题：集合的概念和表示、集合之间的关系。本专题涵盖集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合的关系等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合的概念和表示、集合之间的关系 知识点1 集合的概念及集合中元素的特征 集合的概念：由某些确定的对象的组成的整体称为集合，组成这个集合的对象称为这个集合的元素. 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性. 知识点2 常见数集、元素与集合之间的关系 有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. 空集：不含任何元素的集合. 数集：由数组成的集合. 常见数集的表示方法： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N ∗或N+ Z Q R 集合的书写方法：集合常用大写字母A , B , C，···表示，元素常用小写字母a , b , c，···表示. 元素与集合的关系：如果a在集A中，就说a属于A，记作a ∈ A； 如果a不在集合A中，就说a不属于A，记作a ∉ A . 知识点3 集合的表示方法 (1). 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法，如小于5的自然数组成的集合可表示为{0，1，2，3，4} . (2). 描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法，如小于2的所有实数组成的集合表示为 { x ∈ R | x < 2}，如果集合的元素是实数，那么“∈ R”可省略，即{ x | x < 2 }，若集合的元素不代表实数，如小于2的整数集表示为{ x ∈ Z | x < 2}，则“∈ Z”不可省略. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. (2014年高考真题T01)实数0与集合A={0 , 1}的关系是0 ∈ A .········································（A B） 2. (2015年高考真题T01)集合{ x | x是直角三角形}是无限集. ············································（A B） 3．(2008年高考真题T01)如果P ={ x | x≤3}，那么-1 ⊆ P . ·················································（A B） 4．(2026年高考模拟题) ∉ Q···················································································（A B） 二、单项选择题. 5．(2016年高考真题T13)已知集合A={ y | y = sin x}，那么（    ） A．2 ∈ A B．1 ∈ A C．A = ∅ D．-1 ∉ A 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. 绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为 [-2，-1，0，1，2]. ···························（A B） 2. 设集合，则(0 , 2)∈A．······························································（A B） 3. 方程的解集中有两个元素. ···································································（A B） 二、单项选择题. 4. 大于4且小于5的所有实数组成的集合是有限集.（    ） 5．集合与集合表示同一个集合.（    ） 6. 下列说法正确的是（    ） A. 所有的平行四边形构成的集合是无限集 B. 周长是6的三角形构成的集合是有限集 C. “南昌”一个城市构成的集合是无限集 D . 一个集合里可以含有相同的数字和字母 7. 在直角坐标平面内，y轴负半轴上的点的集合可表示为（    ） A. { (x , y) | x=0且y<0} B.{ x | x=0且y>0} C.{ (x , y) | x=0或y<0} D.{(x , y)|xy =0} 8. 集合{x ∈ N+| x-3<2}用列举法表示为（    ） A. {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} B. {0 , 1 , 2 , 3 , 4} C. {1 , 2 , 3 , 4} D. {1 , 2 , 3 , 4 , 5} 9. 下列方程的解集不是∅的是（    ） A. 方程x2+1=0的解集 B. 方程x2-1=0的解集 C. 方程|x-1|<0的解集 D. 方程|x|=-2的解集 10．已知集合，则实数满足的条件是（    ） A．或 B． C． D．且 知识点4 集合之间的关系 子集：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”). 集合相等：如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A Ü B(或B Ý A) ，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 空集：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 子集个数：若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n -1个真子集，有2n -1个非空子集，有2n -2个非空真子集 . 符号的正确使用：元素与集合之间用“属于”，集合与集合之间用“包含”. 子集的性质：若A⊆B，则有以下三种情况：(1). A = ∅；(2). A Ü B；(3). A=B. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. (2020年高考真题T02)已知集合A={ x|x＞-1 }，则{0}∈B .············································（A B） 2. (2018年高考真题T01)已知集合A={ x|x-2≥2 }，B={3 , 4 , 5}，则B⊆A . ··························（A B） 3. (2017年高考真题T01)若集合A={ x|x=2k，k∈Z }，B={1 , 2 , 4}，则B⊆A . ····················（A B） 4. (2013年高考真题T01)集合{ 3}⊆{ 1 , 3} . ·································································（A B） 二、填空题. 5. (2012年高考真题T21)集合{a , b , c}的真子集的个数是__________. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. ∅∈{0}. ·············································································································（A B） 2．若a∈A，则{a}⊆A .···························································································（A B） 3．若A = B，则A⊆B. ····························································································（A B） 4．如果集合B⊆A，那么若元素a不属于集合A，则必不属于集合B. ·······························（A B） 二、单项选择题. 5．已知集合，，若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 6．下列关系式错误的是（    ） A． B． C． D．∅ ⊈ {x|x＜2} 7．集合{x|0≤x＜3且x∈Z }的非空真子集个数为（    ） A．2 B．6 C．7 D．14 8．集合，则集合A与B的关系表述不正确的是（    ） A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A⊈B 三、填空题. 9．已知集合，若，则实数 . 10．已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块1的第1个专题：集合的概念和表示、集合之间的关系。本专题涵盖集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合的关系等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合的概念和表示、集合之间的关系 知识点1 集合的概念及集合中元素的特征 集合的概念：由某些确定的对象的组成的整体称为集合，组成这个集合的对象称为这个集合的元素. 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性. 知识点2 常见数集、元素与集合之间的关系： 有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. 空集：不含任何元素的集合. 数集：由数组成的集合. 常见数集的表示方法： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N ∗或N+ Z Q R 集合的书写方法：集合常用大写字母A , B , C，···表示，元素常用小写字母a , b , c，···表示. 元素与集合的关系：如果a在集A中，就说a属于A，记作a ∈ A； 如果a不在集合A中，就说a不属于A，记作a ∉ A . 知识点3 集合的表示方法： (1). 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法，如小于5的自然数组成的集合可表示为{0，1，2，3，4} . (2). 描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法，如小于2的所有实数组成的集合表示为 { x ∈ R | x < 2}，如果集合的元素是实数，那么“∈ R”可省略，即{ x | x < 2 }，若集合的元素不代表实数，如小于2的整数集表示为{ x ∈ Z | x < 2}，则“∈ Z”不可省略. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. (2014年高考真题T01)实数0与集合A={0 , 1}的关系是0 ∈ A .········································（A B） 【答案】A 【分析】本题考察元素与集合之间的关系，0在集合A中. 【详解】因为0在集合A中，记为0 ∈ A，所以结论正确，故选A . 2. (2015年高考真题T01)集合{ x | x是直角三角形}是无限集. ···········································（A B） 【答案】A 【分析】根据集合的分类即可求解. 【详解】因为直角三角形的个数是无限的，所以由直角三角形构成的集合是无限集，结论正确，故选A. 3．(2008年高考真题T01)如果P ={ x | x≤3}，那么-1 ⊆ P . ·················································（A B） 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间关系的符号即可判断. 【详解】因为元素与集合之间只有属于和不属于的关系，没有包含关系，题干中符号使用错误，故选B. 4．(2026年高考模拟题) ∉ Q···················································································（A B） 【答案】B 【分析】根据特殊数集的含义即可求解. 【详解】因为 是分数，分数是有理数，所以结论错误，故选B. 二、单项选择题. 5．(2016年高考真题T13)已知集合A={ y | y = sin x}，那么（    ） A．2 ∈ A B．1 ∈ A C．A = ∅ D．-1 ∉ A 【答案】B 【分析】利用元素与集合之间的关系及正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】集合A中的元素代表y的取值，因为 sin x∈[-1 , 1]，观察选项，B正确，故选B. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. 绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为 [-2，-1，0，1，2]. ··························（A B） 【答案】B 【分析】根据列举法的书写形式即可判断. 【详解】用列举法表示集合时，把元素列举出来，用“{ }”括起来，所以题干中括号使用错误，故选B. 2. 设集合，则(0 , 2)∈A．·····························································（A B） 【答案】A 【分析】将点代入集合，判断是不是集合的元素即可判断答案. 【详解】点代入集合A，满足，所以(0 , 2)∈A，故选A. 3. 方程的解集中有两个元素. ···································································（A B） 【答案】B 【分析】一元二次方程求解的个数. 【详解】方程的解为，所以解集中只有一个元素. 故选B. 二、单项选择题. 4. 大于4且小于5的所有实数组成的集合是有限集.（    ） 【答案】B 【分析】根据集合的分类判定. 【详解】大于4且小于5的所有实数组成的集合有无数个元素，是无限集，故说法错误. 故选B. 5．集合与集合表示同一个集合.（    ） 【答案】A 【分析】先求解集合A的方程，再进行判断即可. 【详解】因为，由，解得， 所以. 故选A . 6. 下列说法正确的是（    ） A. 所有的平行四边形构成的集合是无限集 B. 周长是6的三角形构成的集合是有限集 C. “南昌”一个城市构成的集合是无限集 D . 一个集合里可以含有相同的数字和字母 【答案】A 【分析】由有限集，无限集的定义及元素的互异性即可得解 【详解】 A选项，所有的平行四边形构成的集合是无限集，故正确. B选项，周长是6的三角形构成的集合是无限集，故错误. C选项，“南昌”一个城市构成的集合是有限集，故错误. D选项，由集合的互异性知，一个集合里不可以含有相同的数字和字母，故错误. 故选A. 7. 在直角坐标平面内，y轴负半轴上的点的集合可表示为（    ） A. { (x , y) | x=0且y<0} B.{ x | x=0且y>0} C.{ (x , y) | x=0或y<0} D.{(x , y)|xy =0} 【答案】A 【分析】根据描述法的概念分析即可. 【详解】因为y轴负半轴上的点横坐标为0，纵坐标都小于0 所以y轴负半轴点的集合可表示为{ (x , y) | x=0且y<0}，故选A . 8. 集合{x ∈ N+| x-3<2}用列举法表示为（    ） A. {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} B. {0 , 1 , 2 , 3 , 4} C. {1 , 2 , 3 , 4} D. {1 , 2 , 3 , 4 , 5} 【答案】C 【分析】找出符合条件的元素，用列举法表示 【详解】集合{x ∈ N+| x-3<2}}表示小于5的正整数，用列举法表示为{1 , 2 , 3 , 4}，故选C. 9. 下列方程的解集不是∅的是（    ） A. 方程x2+1=0的解集 B. 方程x2-1=0的解集 C. 方程|x-1|<0的解集 D. 方程|x|=-2的解集 【答案】B 【分析】根据空集的概念逐个选项判断即可, 【详解】方程x2-1=0的解集为{x|x=±1}，不是空集，符合题意；其余选项方程或不等式解集均为空集. 故选B. 10．已知集合，则实数满足的条件是（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性性质可求解. 【详解】根据集合元素“互异性”知：，所以且，故选D． 知识点4 集合之间的关系. 子集：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”). 集合相等：如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A Ü B(或B Ý A) ，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 空集：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 子集个数：若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n -1个真子集，有2n -1个非空子集，有2n -2个非空真子集 . 符号的正确使用：元素与集合之间用“属于”，集合与集合之间用“包含”. 子集的性质：若A⊆B，则有以下三种情况：(1). A = ∅；(2). A Ü B；(3). A=B； 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. (2020年高考真题T02)已知集合A={ x|x＞-1 }，则{0}∈B .···········································（A B） 【答案】B 【分析】本题考察集合之间的关系及符号的正确使用. 【详解】因为{0}与B都是集合，集合之间的关系有包含或相等，没有属于，题干符号使用错误，故选B. 2. (2018年高考真题T01)已知集合A={ x|x-2≥2 }，B={3 , 4 , 5}，则B⊆A . ·························（A B） 【答案】B 【分析】本题考察集合之间的关系. 【详解】A={x|x-2≥2}={x|x≥4}，集合B中的元素“3”不在集合A中，不符合子集的定义，所以结论错误，故选B. 3. (2017年高考真题T01)若集合A={ x|x=2k，k∈Z }，B={1 , 2 , 4}，则B⊆A . ····················（A B） 【答案】B 【分析】本题考察集合之间的关系. 【详解】集合A={ x|x=2k，k∈Z }为偶数集，集合B中元素“1”不在集合A中，所以结论错误，故选B. 4. (2013年高考真题T01)集合{ 3}⊆{ 1 , 3} . ·································································（A B） 【答案】A 【分析】本题考察集合之间的关系. 【详解】因为集合{ 3}中的元素“3”在集合{ 1 , 3}中，所以{ 3}⊆{ 1 , 3}，所以结论正确，故选A. 二、填空题. 5. (2012年高考真题T21)集合{a , b , c}的真子集的个数是__________. 【答案】7 【分析】本题考察一个集合的子集个数，根据规律即可求解. 【详解】因为集合{a , b , c}中有3个元素，所以集合{a , b , c}的真子集个数为23 -1=7个，故答案为：7. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. ∅∈{0}. ··············································································································（A B） 【答案】B 【分析】利用集合之间关系即可判断. 【详解】∅和{0}都是集合，应为 ∅⊆{0}，故选B. 2．若a∈A，则{a}⊆A .···························································································（A B） 【答案】A 【分析】利用子集定义进行判断. 【详解】因为集合{a}中的元素a∈A，所以集合{a}是A的子集，故选A . 3．若A = B，则A⊆B. ····························································································（A B） 【答案】A 【分析】根据集合相等的定义求解即可. 【详解】根据子集的定义，如果A = B，则集合A中的元素都在集合B中，符合A⊆B，故选A . 4．如果集合B⊆A，那么若元素a不属于集合A，则必不属于集合B. ·······························（A B） 【答案】A 【分析】根据集合与集合关系判断. 【详解】如果B⊆A，集合B中的元素一定在A中，如果元素a ∉ A，那么一定有a ∉ B. 故选A. 二、单项选择题. 5．已知集合，，若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由集合A，B相等求出x，y，即可求得x+y的值. 【详解】因为集合A=B，所以{x , 3}={1 , y}，即x=1，y=3，所以x+y=4，故选D. 6．下列关系式错误的是（    ） A． B． C． D．∅ ⊈ {x|x＜2} 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断. 【详解】由元素与集合的关系可知，A正确；由集合与集合的关系可知，B正确； 由任何一个集合是它本身的子集可知，C正确；空集是任意集合的子集，D错误，故选D. 7．集合{x|0≤x＜3且x∈Z }的非空真子集个数为（    ） A．2 B．6 C．7 D．14 【答案】B 【分析】先用列举法列举集合，再分析非空子集合数. 【详解】{x|0≤x＜3且x∈Z }={0 , 1 , 2 }，有3个元素，所以该集合的非空真子集个数为23-2=6，故选B． 8．集合，则集合A与B的关系表述不正确的是（    ） A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A⊈B 【答案】D 【分析】由空集的定义及性质，集合的描述法，集合之间的关系即可求解. 【详解】集合A={x|x2＜0}=∅，B={ x| |x|＜0}=∅，，所以A=B成立，A⊆B，B⊆A也成立，集合A与B存在包含关系，所以D不正确，故选D . 三、填空题. 9．已知集合，若，则实数 . 【答案】-2或3 / 3或-2 【分析】利用子集关系B⊆A可知，4=m2或5m-6=m2，求出m再验证即得结果. 【详解】因为B⊆A，所以4=m2或5m-6=m2，解得m=2或m=-2或m=3，将m的值代入集合A，B验证，知m=2不符合集合的互异性，故m=-2或3，故答案为：-2或3. 10．已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】{a|a＜} 【分析】因为A=∅，所以x2+x-2a=0无实根，即△<0，即可求出实数a的取值范围. 【详解】因为A=∅，所以x2+x-2a=0无实根，即△=1+8a<0，解得：a＜ ，故答案为：{a|a＜}. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$