专题04 一元二次不等式（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第4个专题一元二次不等式。本专题涵盖区间、一元一次不等式（组）、一元二次不等式（不含参）、一元二次不等式（含参）、分式不等式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 一元二次不等式（讲义） 一、 区间及有关概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞)__ [a，＋∞)__ (a，＋∞)__ (－∞，a]__ (－∞，a)__ 二、 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 2. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 三、 一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_判别式__. (3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2 (x1<x2) 有_两相等__实根 x1＝x2＝－ _没有__ 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或x<x1__} {x|x∈R 且_x≠x1__} _R__ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__ 3．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【考点1】求定义域问题涉及解一元一次不等式、一元二次不等式 1．(2020年河北) 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可. 【详解】因为函数. 所以解得. 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．(2024河北）函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则有，即， 其中，解得或， 所以，解得或， 所以函数的定义域是， 故答案为：. 3．(2021河北）函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根号被开方数大于等于0，0和负数无对数列不等式，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即， 则，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【考点2】含参一元二次不等式问题 4．(2024河北）如果不等式的解集为，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次不等式的解集，结合韦达定理确定得的值，再利用对数的运算法则即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则，解得，则， 所以. 故答案为：. 5．(2023河北）若不等式的解集为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得方程的根，代入即可求解. 【详解】因为是不等式 的解集， 所以和是方程的两个根. 则， 解得. 所以. 故答案为：. 【考点3】求解分式不等式 6．(2022河北）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形，转换成解一元二次不等式，即可求解. 【详解】解不等式即为解， 或， 故答案为： 【考点4】解答题中涉及解一元一次不等式、一元二次不等式 7．(2023年河北）已知集合集合，若求a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由可知A、B有重合部分，然后利用集合端点值间的关系列不等式得答案. 【详解】， ， 因为，则， 所以或，且， 即或，且，所以. 故a的取值范围为：. 知识点1 一元二次不等式（不含参） 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式可得， 所以原不等式的解集为． 故选：D. 2．若，则x的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由不等式，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A. 3． “”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为，解得或， 则当时，成立，故充分性成立； 当，解得或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：. 4．不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式，即可. 【详解】由题意知不等式， 即，化简得， 解得：或. 故选：D. 5. 不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得，即， 解得或， 所以不等式的解集是或， 故选：B. 6．不等式的解集是（    ） A．空集 B．全体实数 C． D．或 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解，即可得出答案． 【详解】因为， 所以，所以， 所以不等式的解集为， 故选：C. 7．下列结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解. 【详解】当时，的解集是，故A错误； 由解得，则的解集是，故B错误； 由解得，则的解集是，故C错误； 因为恒成立，所以的解集是，故D正确， 故选：D. 8．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 解得，所以原不等式的解集是． 故答案为：． 9．已知函数的定义域是 . 【答案】 【解析】,故答案为. 10．设集合，，若，，求的值. 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再结合集合的交集和并集求出集合，根据一元二次不等式和一元二次方程的关系求出对应方程的两根，结合二次方程根与系数的关系求出，最后代入所求式子，利用对数的运算即可求解. 【详解】由或， 所以或， 又因为，，所以， 即和是方程的两根， 由二次方程根与系数的关系可知，即， 所以. 知识点2 一元二次不等式（含参） 1．二次不等式的解集是，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解与对应二次方程的根的关系即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两个实根， 则由韦达定理得，解得， 所以. 故选：D. 2．若关于的不等式的解集为，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据题意得出的根为，列出方程组求出的值即可得解. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以的根为， 则，解得， 则． 故选：B． 3．已知不等式的解集是 ，则 的值是（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，利用韦达定理，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是 ， 所以是方程的两个根， 所以，解得， 所以. 故选：D. 4．不等式解集为或，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】因为不等式解集为或， 所以是方程的两个根， 所以，解得. 故选：A. 5．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从“不等式的解集是”这一条件分别求出a、b，再解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以不等式可化为，即， 得到，. 因此为，可化为， 解得，所以该不等式的解集为. 故选：A. 6．设，则关于的不等式的解集是（    ）. A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法进行分析求解即可. 【详解】原不等式可化为， 方程的两根为m和， 因为，所以， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 7．若不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解含参数的一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式的解集不是空集， 则需方程有两个不同的实数根， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系求解. 【详解】因为不等式的二次项系为， 对应的一元二次方程的两根为和，且， 所以不等式的解集为. 故选：A 9．已知不等式和不等式的解集相同，求a，b的值. 【答案】 【分析】解绝对值不等式，再将绝对值不等式的解代入一元二次不等式对应方程中即可解得. 【详解】∵不等式，∴，解得， 又∵不等式和不等式的解集相同， ∴为方程的两根， ∴联立，解得. 10．已知，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，求解不等式的解集即可. 【详解】不等式可化为， 令可得或， 由于， 所以不等式的解集为. 故选：A 知识点3 分式不等式 1．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的意义，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由题意得，不等式 等价于，解得或. 即不等式 的解集为. 故选：B. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式不等式小于0说明分子分母异号，即可求解. 【详解】因为不等式， 所以， 因为，所以，解得. 故选：D. 3．与不等式同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解题干的不等式的解集，再依次求解选项的不等式的解集判断即可. 【详解】不等式可化为， 所以有，即解集为， 对A：不等式，解得，解集为，故A错误； 对B：不等式，解得，解集为，故B正确； 对C：不等式可化为， 所以有，即解集为，故C错误； 对D：不等式，解得，解集为，故D错误. 故选：B. 4．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式，结合分式不等式求解函数定义域即可. 【详解】因为函数，所以， 即且，解得， 所以函数的定义域为， 故选：B. 5．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先由一元二次不等式的解法和分式不等式的解法求出，再由充分条件与必要条件的概念运算即可. 【详解】已知，得， 解得，即 由得，即， 等价于，解得，即 所以不能推出，例， 反之，能推出，所以是的必要不充分条件， 故选：B. 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法，结合题意即可求解. 【详解】因为，即， 所以，即， 则，即，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 7. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式不等式的解法及交集的概念求解. 【详解】可化为，解得或， ∴集合或，又， ∴. 故选：D. 8．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先将原式化简，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为， 所以不等式可化为， 则原不等式的解集为， 故答案为： 9．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数的真数为非负数，列分式不等式可求解. 【详解】要使函数有意义，则需满足， 不等式可化为，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 10．已知集合，，，求，． 【答案】；或或 【分析】先解不等式化简集合AB，再根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由题意得，. . . 或. 或 或或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第4个专题一元二次不等式。本专题涵盖区间、一元一次不等式（组）、一元二次不等式（不含参）、一元二次不等式（含参）、分式不等式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 一元二次不等式（讲义） 一、 区间及有关概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __ __ {x|a＜x＜b} 开区间 __ __ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __ __ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __ __ 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 二、 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 2. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 三、 一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_ _. (3)当_ __时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_ __确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_ __实根x1，x2 (x1<x2) 有_ _实根 x1＝x2＝－ _ __ 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 _ __ _ __ _ __ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 _ __ _ __ _ __ 3．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【考点1】求定义域问题涉及解一元一次不等式、一元二次不等式 1．(2020年河北) 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．(2024河北）函数的定义域是______. 3．(2021河北）函数的定义域为___________. 【考点2】含参一元二次不等式问题 4．(2024河北）如果不等式的解集为，那么______. 5．(2023河北）若不等式的解集为，则_______. 【考点3】求解分式不等式 6．(2022河北）不等式的解集为 . 【考点4】解答题中涉及解一元一次不等式、一元二次不等式 7．(2023年河北）已知集合集合，若求a的取值范围. 知识点1 一元二次不等式（不含参） 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若，则x的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 3． “”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 4．不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 5. 不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．不等式的解集是（    ） A．空集 B．全体实数 C． D．或 7．下列结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 8．不等式的解集为 ． 9．已知函数的定义域是 . 10．设集合，，若，，求的值. 知识点2 一元二次不等式（含参） 1．二次不等式的解集是，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 2．若关于的不等式的解集为，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知不等式的解集是 ，则 的值是（   ） A． B． C． D．7 4．不等式解集为或，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．设，则关于的不等式的解集是（    ）. A．或 B． C．或 D． 7．若不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知不等式和不等式的解集相同，求a，b的值. 10．已知，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 知识点3 分式不等式 1．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．与不等式同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 4．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是 . 9．函数的定义域是 . 10．已知集合，，，求，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$