微专题11 对数单身狗、指数找基友（11大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题11 对数单身狗、指数找基友 【题型归纳目录】 题型一：对数单身狗 题型二：指数找基友 题型三：凹凸反转 【知识点梳理】 “对数单身狗，指数找朋友”是一句在数学学习中广为流传的趣味口诀，它巧妙地概括了对数和指数运算的特点。 在对数运算里，对数式常常显得“形单影只”。由于对数的运算法则限制，不同底数或不同形式的对数很难直接合并化简。 反观指数运算，情况就大不相同了。当遇到同底数指数相乘、相除或幂的乘方等情况时，指数能依据运算法则轻松化简，仿佛找到了“好朋友”。 【典型例题】 题型一：对数单身狗 【例1】（2025·高三·江苏镇江·期中）已知函数（其中）． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【变式1-1】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线与直线的公共点个数，并说明理由； (3)若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围． 【变式1-2】已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 题型二：指数找基友 【例2】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求的值. 【变式2-1】（2025·高三·海南·期中）已知函数，． 求在上的最小值； 若m为整数，当时，恒成立，求m的最大值． 【变式2-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：． 【变式2-3】（2025·高三·重庆·期中）已知函数． (1)若有三个极值点，求的取值范围； (2)若对任意都恒成立的的最大值为，证明：． 题型三：凹凸反转 【例3】已知函数，其中为参数． (1)求的极值； (2)设，证明当时，恒成立． 【变式3-1】设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为. (1)求                   (2)证明: 【变式3-2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【专题训练】 1．已知函数. (1)若是函数的极值点， ①求在处切线方程； ②求在区间上的最值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围. 2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的取值范围． 3． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)在上单调递增，求的取值范围． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，都有，求的取值范围． 5．已知函数. (1)当时，证明：在定义域上为减函数； (2)若，讨论函数的零点情况. 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 7．（2025·辽宁丹东·一模）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：当且时，只有一个零点. 8．（2025·高三·陕西渭南·期末）已知函数为常数的图象与y轴交于点A，曲线在点A处的切线斜率为． （1）求a的值及函数的单调区间； （2）设，证明：当时，恒成立． 9．已知函数， (1)时，求的单调区间和极值； (2)当时，设，，是的两个零点，证明：； (3)若在上只有一个零点，求的取值范围. 10．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当时，在有两个零点. 11．已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 12．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 13．（2025·天津河西·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明： (3)若对于任意的都成立，求的最大值. 14．（2025·高三·陕西西安·期中）已知函数，，为自然对数的底数． (1)设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值； (2)若时，证明：当时，． 15．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 16．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)证明：当 时， ； (2)若 ，求a. 17．已知函数. (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题11 对数单身狗、指数找基友 【题型归纳目录】 题型一：对数单身狗 题型二：指数找基友 题型三：凹凸反转 【知识点梳理】 “对数单身狗，指数找朋友”是一句在数学学习中广为流传的趣味口诀，它巧妙地概括了对数和指数运算的特点。 在对数运算里，对数式常常显得“形单影只”。由于对数的运算法则限制，不同底数或不同形式的对数很难直接合并化简。 反观指数运算，情况就大不相同了。当遇到同底数指数相乘、相除或幂的乘方等情况时，指数能依据运算法则轻松化简，仿佛找到了“好朋友”。 【典型例题】 题型一：对数单身狗 【例1】（2025·高三·江苏镇江·期中）已知函数（其中）． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【解析】（1）当时，，定义域为，则， 且，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）可化为， 因为，则有： 当时，则，符合题意，； 当时，则，可得恒成立， 令，，可知：， 可得， 令，， 则在上恒成立， 可知：在上单调递增，且，， 则，使得，即， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以， 所以只需，因为，即整数的最大值为； 综上所述：整数的最大值为. 【变式1-1】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线与直线的公共点个数，并说明理由； (3)若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域是，所以， 则，， 切线方程是：， 故切线方程为：； （2）曲线与直线的公共点只有一个，理由如下： 设，，则 令，则恒成立，所以在上单调递减， 又，所以，，函数单调递增，，，函数单调递减； 则，故，有且只有一个根，即有且只有一个根， 故曲线与直线的公共点只有一个. （3）若对于任意，不等式恒成立，则 又直线过定点， 则过点作曲线的切线，设切点为，则斜率， 则切线方程为，将代入得：， 设，，则，得， 所以当，，单调递增，当，，单调递减， 所以，所以关于的方程无解， 则说明过点的切线不存在，则直线不与曲线相切， 又函数的定义域是，所以，得， 所以当，，单调递增，当，，单调递减， 所以，又时，，且，则可得的大致图象如下： 根据上述结论结合函数图象可知当时，直线与曲线无交点，当时，直线与曲线总有交点， 从而要使对于任意，不等式恒成立，实数的取值范围是. 【变式1-2】已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 【解析】（1）由，则，， ，， 代入得， 所以在处的切线方程为． （2）由图象恒在轴上方，则恒成立， 即在上恒成立， 令，即， ，令，则， 所以在上为单调递增函数且． 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以为函数的最小值，即． 所以综上可知． 题型二：指数找基友 【例2】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求的值. 【解析】（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友 当时，等价于． 设函数，则． ，所以在单调递减． 而，故当时，，即． ［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值 当时，． 令，令，得．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而，所以函数在区间内单调递增，有． ［方法三］：【最优解】指对等价转化 当时，． 令，函数在区间上单调递增，故，有，故当时，． （2）［方法一］：指数找朋友 设函数， 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． （i）当时，，没有零点； （ii）当时，． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以． 故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． ［方法二］：等价转化为直线与曲线的交点个数 令，得． 令．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，则．当时，，当时，，故函数在区间内只有一个零点时，． ［方法三］：等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数 函数在区间内只有一个零点等价于函数的图象与函数的图象在区间内只有一个公共点．由与的图象可知它们在区间内必相切于y轴右侧同一点，设切点为，则，解方程组得，经验证符合题意． ［方法四］：等价转化为直线与曲线的交点个数 当时，，原问题转化为动直线与曲线在区间内只有一个公共点．由得函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．设与的切点为，则，于是函数在点P处的切线方程为．由切线过原点可得，故． ［方法五］：【通性通法】含参讨论 因为，， 当时，在区间内单调递增，又，故无零点； 当时，． ①当时，在区间内单调递增，有在区间内单调递增，又，故无零点； ②当时，令，得，故函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．，从而单调递增．又，所以无零点． ③当时，，又，所以存在，使得，则函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，则为函数的唯一零点，且满足．所以，解得，则． ［方法六］：【最优解】等价变形＋含参讨论 当时，，无零点； 当时，，记，则； 当时，，函数在区间内单调递增，则有，故无零点； 当时，当时，单调递诚，当时，单调递增，当时，，当时，， 故，得． 【整体点评】（1）方法一：根据指数找朋友，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解．； 方法二：常规的直接求导，研究函数的单调性求最值，是该题的通性通法； 方法三：利用指对互化，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解． （2）方法一：根据指数找朋友，原函数在只有一个零点等价于在只有一个零点，再分类讨论以及利用导数研究其单调性即可解出； 方法二：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为直线与曲线的交点个数，即可解出； 方法三：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数，即可解出； 方法四：同方法二； 方法五：直接含参讨论函数的单调性确定最值，再根据零点存在性定理判断即可解出，是该类型题的通性通法； 方法六：易知当时函数无零点，只需考虑时的情况，，再含参讨论函数的单调性，研究其最值即可解出，是本题的最优解． 【变式2-1】（2025·高三·海南·期中）已知函数，． 求在上的最小值； 若m为整数，当时，恒成立，求m的最大值． 【解析】函数的导数， 由得， 由得，此时函数为增函数， 由得，此时函数为减函数， 即当时，函数取得极小值，，． 若即时，函数在上是增函数，此时函数的最小值为， 若即时，函数在上是减函数，此时函数的最小值为， 若，即时，函数的最小值为； 当时，， 不等式，等价为，即 令，则， 函数在上单调递增，而，， 在上存在唯一的零点， 故在上存在唯一的零点． 设此零点为a，则． 当时，；当时，； 在上的最小值为由，可得， ， 由于式等价于， 故整数m的最大值为2． 【变式2-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：． 【解析】（1）当时，， 令，即，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极大值， 当时，取得极小值． （2）令， 则，且，， 设，则， 又令，则， ①若，即时， 由于在区间上为增函数，可知， 则即在区间上为增函数，故， 所以即在区间上为增函数， 则，则在区间上为增函数， 所以，即时，恒成立， 所以，当时，符合条件． ②若，即时， 由于为单调递增函数，且， 所以，， 则时，， 可知）即在区间上为减函数，则， 故即在区间上为减函数，则， 则在区间上为减函数，所以，不符合题意， 综上所述，当，时，a的取值范围为． （3）欲证， 只需证明， 由（2）可知，当时，，即有， 进而得，其中，当且仅当时“＝”成立， 则，，…，， 所以 ， 所以. 【变式2-3】（2025·高三·重庆·期中）已知函数． (1)若有三个极值点，求的取值范围； (2)若对任意都恒成立的的最大值为，证明：． 【解析】（1），定义域为， ，∵， 只需应有两个既不等于0也不等于的根，， ①当时，，∴单增，最多只有一个实根，不满足； ②当时， ， 当时，，单减；当时，，单增； ∴是的极小值， 而时，， 时，， 要有两根，只需，由 ，又由， 反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于. 在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点. 综上，的取值范围为. （2） 对恒成立， ①当或1时，均满足； ②当时，，所以 对恒成立对恒成立， 记，，，， 欲证， 而 ， 只需证明 ，显然成立. 下证：，，，， 先证：，， ，. 令，，则， 记， 记，∴在上单增， ∴，∴在上单增，∴，∴在上单增， ∴，即证. 要证：，. 只需证， ， 而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立. 题型三：凹凸反转 【例3】已知函数，其中为参数． (1)求的极值； (2)设，证明当时，恒成立． 【解析】（1）求导数可得，则，因为函数单调递增， 所以函数在上，在上， 函数在时，取得极小值， 极小值为，无极大值.； （2）当时，恒成立， 即恒成立， 即在上恒成立①， 由（1）令，则，此时的最小值是， 故问题①可转化为在上恒成立，且不在时取等， 令，， 令，解得：， 令，解得：， 故在上递增，在上递减， ，所以，当且仅当时取等号， 故在上恒成立， 即时，恒成立． 【变式3-1】设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为. (1)求                   (2)证明: 【解析】（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的. 【变式3-2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【解析】（1）函数的定义域为，求导得，又， 则当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）因为，则不等式， 当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，则， 令，则，当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，， 于是得，即， 所以. 【专题训练】 1．已知函数. (1)若是函数的极值点， ①求在处切线方程； ②求在区间上的最值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由函数，可得， 因为已知是函数的极值点， 所以1是方程的根， 可得，解得，故， 经检验符合题意，故. ①因为， 所以，， 所以切线方程为； ②因为， 所以当时；当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又由，，， 且， 所以在区间上的最小值为，最大值为. （2）因为恒成立，即恒成立， 则恒成立， 所以恒成立， 记，则， 令，得， 令，得，令，得， 列表如下： ↗ ↘ 所以函数的极大值也是最大值为， 由恒成立得， 所以. 2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， ， 所以，又， 所以在处的切线方程为， 即. （2）令，则在上恒成立， 则，，， 当时，， 因为在上单调递增， 故存在，当时，，即在上单调递减， 所以时，，与题设矛盾，舍去. 当时，由可得， 故在上单调递增， 所以，满足题意. 综上，的取值范围为. 3． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)在上单调递增，求的取值范围． 【解析】（1）当时,, 所以， 则， 所以函数在处的切线方程为. （2）因为函数在上单调递增， 所以当时，恒成立， 所以，令， 则， 令， 则在上单调递增， 当，即时，当时，有， 所以在上单调递增， 则恒成立，所以满足条件； 当，即时， 则在上存在一个零点，不妨设为， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 则，不合题意. 综上：的取值范围为. 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，都有，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 因为， 所以，曲线在处的切线方程是，即． （2）因为，都有，所以． 设，则． 记，设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以在上单调递减． 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，． 5．已知函数. (1)当时，证明：在定义域上为减函数； (2)若，讨论函数的零点情况. 【解析】（1）证明：由题意，函数的定义域为， ，令，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以， 所以，即， 所以在定义域上为减函数. （2）函数的零点情况，即方程的根情况， 因为，所以方程可化为， 令，则，令，可得， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以， 又当时，；当时，且 ， 所以当时，方程没有根； 当或时，方程有一个根； 当时，方程有两个根. 所以当时，函数无零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 【解析】（1），，，切点为， ， 切线方程为：，化简得，， 切线与两坐标轴的交点为：和， 故可设切线与两坐标轴围成的三角形的面积为， （2）时，，， 易得在定义域上单调递增，且， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增. （3）等价于， 设函数， 则. ①若，即，则当时，. 所以，在单调递增，而，故当时，，不合题意. ②若，即，则当时，； 当时，. 所以，在和上单调递减，在单调递增，由于，所以，当且仅当，即， 所以当时，. ③若，即，则.由于， 故由②可得，故当时，. 综上，的取值范围是 7．（2025·辽宁丹东·一模）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：当且时，只有一个零点. 【解析】（1）． 当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增． 当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增． （2）当时，由（1）知，在上最大值为，在没有零点．因为，，在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点. 当时，根据函数导数可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增．在上最大值为，在没有零点．因为，． 令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点. 综上，当且时，只有一个零点． 8．（2025·高三·陕西渭南·期末）已知函数为常数的图象与y轴交于点A，曲线在点A处的切线斜率为． （1）求a的值及函数的单调区间； （2）设，证明：当时，恒成立． 【解析】(1)令得，则 ，，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明：当时，， 令， 则， ， 当时，，递减； 当时，，递增， 在上单调递增， ， ， 当时，． 9．已知函数， (1)时，求的单调区间和极值； (2)当时，设，，是的两个零点，证明：； (3)若在上只有一个零点，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， ， 令，解得或，，解得， 函数的单调递增区间是，，单调递减区间是， 时，函数取得极大值，即，时，函数取得极小值，即； （2）因为，所以， 时，令，解得，令，解得， 函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 因为、为的两个零点，则、必定一个大于，一个小于， 不妨设、， 要证， 只需证明， 因为，所以， 则， 因为在上单调递减， 所以只需证明， 又，即证， 令，， 则 因为，所以， 即在上单调递增， 所以，即对，得证； （3）因为，所以， 若时，令，解得，令，解得， 函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 时，函数取得极小值，又，当时，所以函数有两个零点； 若时，，令，解得，令，解得， 函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 时，函数取得极小值，又，所以在上只有一个零点， 若，，可得或， ， ， 所以f(x)在R上只有一个零点， 综上所述． 10．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当时，在有两个零点. 【解析】（1）当时，函数，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由函数，可得定义域为， 又由，即， 设满足，即，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 即函数在上为增函数，在上为减函数， 又由， ，， 所以在上有两个零点. 11．已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可． （2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围． 详（1）当时，，. 设函数，则. 当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，. 所以在单调递增. 又，故当时，；当时，. （2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾. （ii）若，设函数. 由于当时，，故与符号相同. 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点. . 如果，则当，且时，，故不是的极大值点. 如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点. 如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点 综上，. 12．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【解析】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）当时，，即证明不等式， 设，，， 设，，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 13．（2025·天津河西·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明： (3)若对于任意的都成立，求的最大值. 【解析】（1）当时，，得，则，， 所以在处的切线方程为，即. （2）令. ， 令，，可得：函数在上单调递增， 又，， 因此存在唯一，使得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增； ∴函数在处取得极小值即最小值， ，因此. （3）当且时， 由于， 构造函数得， 所以在上单调递增， ， 由于对任意的都成立，又，，再结合的单调性知道： 对于任意的都成立，即对于任意的都成立. 令，得，，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 故，所以的最大值为. 14．（2025·高三·陕西西安·期中）已知函数，，为自然对数的底数． (1)设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值； (2)若时，证明：当时，． 【解析】（1）， ， 当时，， 当时，， 单调递增. ． 当时， 在单调递减，在单调递增， ． 当时，， 单调递减. ． 综上所述：时，； 时，； 时，． （2）由（1）知，当时，， 且时，， 即， 要证不等式，只需证明， 只需证明，只需证， 设， 则， 所以当时，恒成立， 故在上单调递增，又． 恒成立， 原不等式成立． 15．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【解析】（1），， 故， 若时，，又，所以， 所以在上单调递减， 所以最大值为， 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， 若时，时，， 所以在上单调递增，故最大值为， 综上，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为； （2）当时，，定义域为， ， 即证，即， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 其中，， 由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， ，故， 所以，所以， 故. 16．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)证明：当 时， ； (2)若 ，求a. 【解析】（1）证明：， ， 令， 则， 考虑到，， 所以①当，时，，此时， ②当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递减，， ③当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递增，， 当，时，， 综上所述，当时，． （2）构造函数， 考虑到，，0是函数的最小值点，也是极小值点， 故，， 下面证明当 时，即， 令， 则， 由（1）可知：在时恒成立， 所以在，上单调递增， ①若，则在，为负，为正， 在，单调递减，递增， 所以， 而当时，， 故满足题意． ②若，， 因为， 所以， 由零点存在定理，必存在，，使得， 此时满足时，，单调递减， 所以，矛盾，舍去， ③若，， 因为当时，， 所以当时，， 此时必存在，使得， 此时满足，时，，单调递增， 所以，矛盾，舍去， 而当时，当， 所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去． 综上所述，． 17．已知函数. (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：. 【解析】（1）当时，，则可化为， 设，则， 因此在上单调递减，在上单调递减，则， 所以； （2）证明：令，则， 所以①当时，，此时； ②当时，由（1）可知：当时，，即 ③当时，， 综上所述：当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$