1.4 一元二次方程应用题 题型总结 2024--2025学年苏科版九年级数学上册

初中数学 一元二次方程 应用题题型总结 一元二次方程应用题题型总结 【目录】 【题型1 增长率问题】 1 【题型2 传播问题】 2 【题型3 握手、比赛问题】 3 【题型4 每每问题】 3 【题型5 数字问题】 5 【题型6 几何问题】 6 【题型7 销售利润问题】 8 【题型8 动点问题】 9 【参考答案】 15 【题型1 增长率问题】 1.为了美化环境，2024年某市的绿化投资额为20万元，2025年的绿化投资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（　　） A． B． C． D． 2.某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率为，下列所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（　　） A．300（1+2x）＝500 B．300（1+x2）＝500 C．300（1+x）2＝500 D．500（1﹣x）2＝300 4.某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？若设2、3月份平均每月的增长率是，应列方程为（　　） A． B． C． D． 5.某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1525（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝1525 C．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1525 D．400x2＝1525 6.随着经济的发展，李进所在的公司每年都在元月一次性提高员工当年的月工资，李进2023年的月工资为2000元，在2025年时他的月工资增加到2420元，他2026年的月工资按2023年到2025年的月工资的平均增长率继续增长，则李进2026年的月工资为 元. 7.图书店在2024年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元. (1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率； (2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值. 8.在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m²下降到5月份的4050元/m² (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m²？请说明理由． 9.从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少，第三年度比第二年度减少.第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内投入资金与旅游总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（参考数据：计算结果精确到百分位） 【题型2 传播问题】 10.新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 11.新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有121个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 12.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 13.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个支干长出x小分支，列方程为 　 　． 14.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【题型3 握手、比赛问题】 15.某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍支，共比赛了36场，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 16.为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 17.某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，设组员有名同学，则根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 18.黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　） A．8支 B．9支 C．10支 D．11支 19.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是　 　人． 20.一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有　 　人． 【题型4 每每问题】 21.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元.据测算，若每降价1元，则每天可多售出2箱.要使每天销售饮料获利14000元，则每箱应降价（　　） A. 30元或40元 B. 30元或50元 C. 20元或50元 D. 20元或40元 22.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售2件，为尽快减少库存，并使商场日盈利达到2100元，则每件商品应降价（　　） A.15元 B.20元 C.15元或20元 D.10元或15元 23.华夏旅行社推出了如图对话中的收费标准，某单位组织员工去风景区旅游，共支付给华夏旅行社旅游费用27000元，则该单位这次去风景区旅游的员工人数为（ ） A.30 B.45 C.30或45 D.40 24.某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/kg，每天可多售40kg.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低 元. 25.某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件，如果商店销售这批服装要获得利润12000元，那么这种服装的售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？ 26.某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为 　 　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 27.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 28.一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克． （1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？ （2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？ 【题型5 数字问题】 29.已知两个连续奇数的积是225，则下列各数中，是这两个数中的一个的是（ ） A.19 B. 5 C. 17 D. 51 30.放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔，现有190铅笔，则可以放 层. 31.直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足3²+4²=5²，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由． 32.一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数. 33.解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄． 34.探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，，第行有个点，容易发现，前4行共有10个点． （1）若三角形点阵中前行共有45个点，求的值； （2）拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，， ①求这个三角形点阵中前行共有多少点？（用含的代数式表示）； ②这个三角形点阵中前行点数的和，能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由． 【题型6 几何问题】 35.如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为　　 A． B． C． D． 36.如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝540 37.“鹿鸣•博约”课程兴趣小组准备利用学校仓库旁的一块矩形空地，开僻一个面积为130平方米的花园，打算一面利用仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏．如图，设矩形的一边长为米，则下列方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 38.如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 39.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600 C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600 40.如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为多少米？ 41.如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 【题型7 销售利润问题】 42.网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/kg，销售价格不高于14元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数解析式． （2）当猕猴桃的销售价格定为多少元/kg时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？ 43.为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）与销售单价x（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． （1）求y与x的函数解析式，并写出定义域； （2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元． 44.某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【题型8 动点问题】 45.如图，已知△ABC的边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC运动，点P运动的速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，则当△PBQ的面积为为cm²时，运动时间为（ ） A. 2.4 s B. 3 s C. 3.5 s D. 4 s 46.如图，在等腰△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，动点P从点A出发沿AB向点B移动，作PQ∥AC，PR∥BC， 当□PQCR的面积为△ABC面积的一半时，点P移动的路程为（     ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 47.如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图像如图②所示，则AB边的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 48.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴上，边OC在x轴上，点B的坐标是(8,6)，D为AB边上一个动点，把△OAD沿OD折叠，若点A的对应点A′恰好落在矩形的对角线AC上，则点A′的坐标为（     ）    A． B． C． D． 49.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动． （1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？ 50.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t s，解答下列问题： (1)当t为何值时，△PBQ是以∠PQB为直角的直角三角形？ (2)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 51.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts． (1)BP＝ 　 　cm；BQ＝ 　 　cm；（用t的代数式表示） (2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？ 52.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)． (1)经过几秒钟后，S1＝S2? (2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值． 53.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒    （1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值； （2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值． 54.已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（E与A、C均不重合）. （1）若点F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE=，用含的代数式表示△AEF的面积； （2）若点F在折线ABC上移动，试问是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在，请说明理由. 55.如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8） (1)当t＝1时，试求PE的长； (2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； (3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值． 56.如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交A，B两点，已知B（0,4），∠BAO=30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）． (1)求线段AB的长，及点A的坐标； (2)t为何值时，△BPQ的面积为；(3)若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD．是否存在时间t，使x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1:3两部分，若存在，求出t的值． 【简略答案】 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C C C 2662 7 【答案】(1)20%；(2)． 【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）． 答：商城每次降价的百分率为20%；． （2）根据题意得，， 整理得，， 解得，，或（舍去）， 故的值为. 8 【答案】(1)10%；(2)不会，理由见解析. 【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x， ， 解得：，（舍） 答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%． （2）否，理由如下： ∵（元） 3280.5＞3000， ∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m²． 9 【答案】30%； 【详解】解设三年内旅游业收入每年平均增长率为x.根据题意得方程： ， 化简得：， 解：（舍）， ∴， 答：三年内旅游业平均每年增长率为30%. 题号 10 11 12 13 答案 A B A 14 【答案】729 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8＝729（人）． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 题号 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 C C A D 5 9 C B A 0.2或0.3 25 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设提价5x元，则销售量就将减少100x件，根据题意得： （60﹣50+5x）（800﹣100x）＝12000， 即x2﹣6x+8＝0， 解此求一元二次方程得x1＝2，x2＝4， 故当x1＝2时，这种服装的售价应定为70元，该商店应进这种服装600件 当x2＝4时，这种服装的售价应定为80元，该商店应进这种服装400件． 26 【答案】（1）（100+10x）；（2）每本画册应降价4元． 【解答】解：（1）由题意可知，每天的销售量为（100+10x）本． 故答案为：（100+10x）． （2）由题意可得， （60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240， 解得x1＝4，x2＝6， ∵要求每本售价不低于55元， ∴x＝4符合题意． 故每本画册应降价4元． 27 【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的八折出售． 【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200+）千克， 依题意，得：（400﹣240﹣x）（200+）＝41600， 整理，得：x2﹣110x+2400＝0， 解得：x1＝30，x2＝80． 答：每千克茶叶应降价30元或80元． （2）∵为尽可能让利于顾客， ∴x＝80， ∴×10＝8． 答：该店应按原售价的八折出售． 28 【答案】（1）每天的销售量是（100+200x）千克； （2）水果店需将每千克的售价降低1元． 【解答】解：（1）每天的销售量是（100+200x）千克； （2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300， 解得：x1＝0.5，x2＝1， 当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜230； 当x＝1时，销售量是100+200＝300（千克）． ∵每天至少售出230千克， ∴x＝1． 答：水果店需将每千克的售价降低1元． 题号 29 30 答案 C 19 31 【答案】存在五个连续正整数，它们分别为：10、11、12、13、14. 【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a，则连续的其他四个数为：（a+1）、（a+2）、（a+3）、（a+4）， ∴可得：, 解得：a=10或a=-2， ∵这五个数为正整数，∴a=10， ∴这五个正整数为：10、11、12、13、14. ∴存在五个连续正整数，它们分别为：10、11、12、13、14. 32 【答案】24或15 试题解析：设个位上的数为x，则十位数字为(6-x)，由题意得： x(6-1)=[10(6-x)+x]， 解得：x1=4，x2=5， 十位数字为：6-4=2，或6-5=1 这个两位数是：15或24. 33 【答案】周瑜去世时的年龄为36岁 【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，依题意得： ， 解得，， 当时，25＜30，（不合题意，舍去）， 当时，36＞30（符合题意）， 答：周瑜去世时的年龄为36岁. 34 【答案】（1）a=9；（2）①n(n+1)；②n=24. 【详解】解：（1）由题意可得：，即． 整理得：，，，， 为正整数， ； （2）①这个三角形点阵中前行点数和为； ②三角形点阵中前行的点数的和能是600，理由如下： 依题意得：，即，，解得：，． 为正整数， ， 故三角形点阵中前行的点数的和能是600，． 题号 35 36 37 38 39 答案 B C C A D 40 【答案】此时花圃的段长为． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：若花圃的面积刚好为，则此时花圃的段长为4m． 41 【答案】（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【详解】解：(1)∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm． 故答案为40-2x， 24-2x； （2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720， 解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）． 答：x的值为2． 故答案为（1）40-2x，24-2x；（2）x的值为2． 42 【答案】（1）y＝﹣50x+850；（2）8元/kg． 【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（7，500），（12，250）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为y＝﹣50x+850； （2）根据题意得：（x﹣5﹣1）（﹣50x+850）＝900， 整理得：x2﹣23x+120＝0， 解得：x1＝8，x2＝15， 又∵销售价格不高于14元/kg， ∴x＝8． 答：当销售单价定为8元/kg时，销售这种狱猴桃的日利润恰好为900元． 43 【答案】(1)y＝﹣4x+360（40≤x≤90）；(2)销售单价应定为每公斤60元或70元． 【解答】解：（1）由题意列方程组， 解得：． 则y与x的函数解析式是y＝﹣4x+360（40≤x≤90）． （2）由题意，得（x﹣40）y＝2400． 代入，得（x﹣40）（﹣4x+360）＝2400． 解得x1＝60，x2＝70． 答：销售单价应定为每公斤60元或70元． 44 【答案】（1）为y＝10x+100； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 题号 45 46 47 48 答案 B B D A 49 【答案】（1）2秒或4秒；（2）△PDQ的面积不能为8cm2，理由见解答． 【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm， 根据题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 答：经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下： 假设△PDQ的面积能为8cm2，则S△PDQ＝S长方形ABCD﹣S△APD﹣S△PBQ﹣S△CDQ， 即12×6﹣×12•t﹣（6﹣t）•2t﹣×6•（12﹣2t）＝8， 整理得：t2﹣6t+28＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0， ∴原方程无解， ∴假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2． 50 【答案】(1)1；(2)不存在，理由见解析. 【详解】（1）由题意得：AP=2t cm，BQ=2t cm． ∴BP=AB-AP=（6-2t）cm， ∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°， 当点P到达点B时，， 则0＜t≤3， ∵∠PQB=90°， ∴∠BPQ=90°-∠B=30°， ∴BP=2BQ，即6-2t=2×2t， 解得t=1，符合题意； （2）不存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的，理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的， 由（1）得：S△ABC=cm²，∴S△PBQ=S△ABC=cm²， 如图，过点Q作QH⊥AB于点H， ∴∠HQB=90°-∠B=30°， ∴BH=BQ=t cm，HQ=cm， ∴S△PBQ=BP·HQ=， 整理得：， 此方程根的判别式为△=9-4×1×3=-3＜0，方程无解， 所以假设不成立， 即不存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的． 51 【答案】(1)（12﹣2t）；4t；(2)t＝2或4. 【详解】（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm， 所以BP＝（12﹣2t）cm． 故答案是：（12﹣2t）；4t． （2）如图，过点D作DH⊥BC于H， ∵∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴AB∥DH， 又∵D是AC的中点， ∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位线， ∴DH=AB＝6cm， 根据题意，得， 整理，得t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2． 52 【答案】(1) t＝4； (2) t＝6. 【详解】解：S1＝＝8t，S2＝＝－2t2＋16t， (1)由8t＝－2t2＋16t，解得t1＝4，t2＝0(舍去)， ∴当t＝4秒时，S1＝S2　 (2)∵S1＋S2＝8t＋(－2t2＋16t)＝－2(t－6)2＋72， ∴当t＝6时，S1＋S2最大，最大为72. 53 【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或时，重叠面积为8． 【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6， ∴S△ABC＝×6×6＝18， ∵AP＝t，CP＝6﹣t， ∴△PBC与△PAD的面积和＝t2+×6×（6﹣t）， ∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的， ∴t2+×6×（6﹣t）＝18×， 解之，得t1＝2，t2＝4； （2）∵AP＝t，PQ＝2AP， ∴PQ＝2t， ①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8， 解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）， ②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8， 解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t≤6时，S＝× 6×6﹣t2＝8， 解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）， 综上，t的值为或时，重叠面积为8．    54 【答案】（1）；（2）AE=． 【详解】（1）过点F作FM⊥AC于M，EF平分△ABC的周长，设AE=x，可得： AE+AF=CE+BC+BF，即x+AF=3-x+4+5-AF，解得AF=6-x， 由平行线分线段成比例定理可知： AF：AB=FM：BC，即（6-x）：5=FM：4， 解得FM=，∴； （2）若EF存在， ①当F在AB上时，如图1，则由（1）可知：， 化简的：，由△=12²-4×12×15=24＞0， 解x1=，x2=（不合题意舍去）， ②当F在BC上时，如图2， CF+CE=AE+AB+BF，即CF+3-x=x+5+4-CF，CF=3+x， 根据面积平分得出， 即， 解得： 综上，当直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分时，AE的长是. 55 【答案】(1)PE=5；(2)BF=2；(3)或 【详解】（1）作EM⊥AB于交AB于点M，如图1所示：EM⊥AB ∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点， ∴AB=BC=CD=AD=8，AM=BM=AB=4， ∴EM是△ABC的中位线，∴EM=BC=4， 当t=1时，AP=1，∴PM=AM-AP=3，∴PE=， （2）∵四边形PEQF是平行四边形， ∴PF=EQ，PF∥EQ， 当点F恰好落在线段AB上时，PF⊥BC，∴EQ⊥BC，∴Q为BC的中点， ∴EQ是△ABC的中位线，BQ=BC=4，∴EQ=BC=4，∴PF=4， ∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C， ∴t=4÷2=2，∴AP=2，∴BF=AB-AP=PF=2. （3）当□PEQF为菱形时，PE=PQ，分四种情况： ①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如图2所示： ∵PE²=PM²+EM²，EQ²=QN²+EN²， ∴（4-t）²+4²=（4-2t）²+4²， 解得：t=0（舍去），或t=（舍去）； ②当2＜t≤4时， 同①得：（4-t）²+4²=（2t-4）²+4²， 解得：t=0（舍去），或t=.∴t= ③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如图3所示： ∵PE²=PM²+EM²，EQ²=QN²+EN²， ∴（t-4）²+4²=（12-2t）²+4²， 解得：t=或t=（舍去），∴t= ④当6＜t≤8时， 同③得：（t-4）²+4²=（2t-12）²+4²， 解得：t=（舍去）或t=（舍去）； 综上所述：在整个运动过程中，当□PEQF为菱形时，t的值为或． 56 【答案】(1)AB=8，A（，0）；(2)t为1秒或秒；(3)存在，t为秒 【详解】（1）解：∵B（0,4），∴OB=4， 在Rt△AOB中，∠BAO=30°， ∴AB=2OB=8，∴AO=，∴A（，0）． ∴线段AB的长为8，点A的坐标为（，0）． （2）如图，过点Q作QH⊥OB于点H， ∴HQ∥x轴，△BHQ是直角三角形，∴∠BQH=∠BAO=30°， ∵P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒， ∴OP=3t，BQ=8t，∴BP=OB-OP=4-3t，， 在RT△BHQ中，∠BQH=30°，∴BH=BQ=×8t=4t， ∴， ∵△BPQ的面积为，∴， ∴.∴秒时，△BPQ的面积为. （3）如图，连接PC、DQ，过点Q作QH⊥OB于点H， ∵四边形CDPQ是平行四边形， ∴，点F是PC和DQ的中点， ∵x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1:3两部分， ∴， ∴点E是PD的中点，∴点E的纵坐标为O， ∵OP=3t，∴P（0,3t），∴点D的纵坐标为-3t， ∵C为OA的中点，A（，0），∴C（，0）， ∵点F是PC和DQ的中点，∴F（，） ∴点Q的纵坐标为6t， 由（2）可知：BH=4t， ∴OH=OB-BH=4-4t， ∴点Q的纵坐标为4-4t， ∴6t=4-4t，∴． ∴当t为秒时，x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1:3两部分． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$