专题06 统计（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

高一苏教版（24-25学年）数学必修2期末考点大串讲 串讲06 统计（5考点&10题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 九大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　简单随机抽样 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　分层抽样 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　扇形统计图 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　折线统计图 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　条形统计图 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　频率分布直方图 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　百分位数 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　标准差与方差的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型九　统计案例 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　互斥事件与对立事件关系模糊致错 03易错易混 易错点2　统计用表中概念不清、识图不准致误（频率分布直方图、总体取值规律） 03易错易混 易错点3　运用数字特征作评价时考虑不周（方差、标准差的求算） 针对训练 04押题预测 B D D A B 谢谢观看！ 例1、 某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本， 每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则 (　　) A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．a＝，b＝ D．a＝，b＝ 【解析】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是， 所以， 故选：D. 抽签法的应用条件及注意点： （1） 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显． 一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法． （2）应用抽签法时应注意以下几点： ①分段时，如果已有分段可不必重新分段； ②签要求大小、形状完全相同； ③号签要均匀搅拌； ④要逐一不放回的抽取． 随机数法解题步骤： 第一步，编号． 第二步，生成随机数． 第三步，记录样本编号． 第四步，抽取样本． 【变式】要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们 编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取， 到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（    ）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行） 84421  75331  57245  50688  77047  44767  21763 35025  83921  20676  63016  47859  16955  56719 A．572 B．455 C．169 D．206 【解析】由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取， 则牛奶抽到标号分别为：175,331,455，068,... 故第三袋牛奶的标号是：445， 故选：B 例2、 某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人，中部地区学生有1600人，西部地区学生有 1000人.为了调研学生的饮食习惯.保证调研结果相对准确，用分层抽样的方法抽取东部地区学生48人， 则中部地区学生、西部地区学生分别抽取（    ）人. A．32  5 B．32  20 C．8   5 D．8  20 【解析】设此次抽取的人数为人， 由抽取东部地区学生48人得：人， 则中部地区学生抽取的人数为：人， 西部地区学生抽取人数为：人， 故选：B. 分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法： （1） 已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中为总体容量， 为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数，其中为第 层的个体数，为第层应抽取的个体数． （2） 已知各层个体数之比为，样本容量为时，每层抽取的个体数 为． 【变式】某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中 抽取一个容量为的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则（    ） A．48 B．72 C．60 D．120 【解析】由题意可知：分层抽样按照的比例进行抽取， 则高中生抽取的人数为：； 初中生抽取的人数为：； 因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则， 解得：， 故选：. 例3、2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞、经济 效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高．某机构对本届冬奥会各项主要收入进行了统计，得到的数据如图 所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多24.8亿元，则2022年冬奥会这几项收入 总和为（    ） A．200亿元 B．220亿元 C．160亿元 D．118亿元 【解析】设收入总和为x亿元，则，解得：，即：收入总和为200亿元. 故选：A. 扇形统计图反映各组数据占总数的比例； 【变式】某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样 的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解析】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为； 区抽取的食品摊位数为. 故选：D. 例4、世界人口变化情况的三幅统计图如图所示． 下列结论中错误的是（    ） A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 D．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 【解析】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确： 由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确： 由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确： 三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C错误．故选：C． 折线统计图反映数据随时间的变化趋势． 【变式】新中国成立以来，我国共进行了七次人口普查，这七次人口普查的城乡人口数据如下: 根据该图数据，下列说法中不正确的是（　　） A．城镇人口总数逐次增加 B．乡村人口数达到最高峰是第四次 C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第七次 D．城镇人口数均少于乡村人口数 【解析】对于A：城镇人口总数逐次增加，故A正确； 对于B：由表中数据易知，乡村人口数达到最高峰是第四次，故B正确； 对于C：由表中数据易知，第七次与前一次相比，城镇人口比重增量为，其余城镇人口比重增量 都小于它，故C正确； 对于D：2020年城镇人口比重为，而乡村人口比重为，此时城镇人口数均多于乡村人口数，故D错误； 故选：D 例5、 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分，某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机 抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80% B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25% C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半 D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年 人还要多 【解析】解：设2022年到该地旅游的游客总人数为， 由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，，， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，， 所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为，所以A正确； 因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数为，所以B正确； 因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以C正确； 因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为，而到该地旅游的老年人的人数为， 所以D错误.故选：D. 条形统计图反映各组数据的频数或频率； 【变式】随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游 客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． 估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助 游的青年人人数的一半 B． 估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数 的 C． 估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和 比选择自助游的青年人多 D．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为30% 【解析】解：设2020年到该地旅游的游客总人数为， 由题意可知游客中老年人､中年人､青年人的人数分别为，，， 其中选择自助游的老年人､中年人､青年人的人数分别为，，. 因为，所以错误； 2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为，则正确； 因为，所以错误； 2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为，则错误.故选：B 例6、 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在 区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求： (1)直方图中的a的值； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数． 【解析】（1）由频率分布直方图及频率和等于1可得： ，解得． （2）消费金额在区间内频率为， 所以消费金额在区间内的购物者的人数为． 计算规律： 1、 因为小长方形的面积=组距×=频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布 直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． 2、在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1． 3、=样本量． 4、在频率分布直方图中，各长方形的面积之比等于频率之比，各长方形的高度之比也等于频率之比． 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数： （1）众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标． （2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与 x轴交点的横坐标称为中位数． （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和． 【变式】某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户.根据这100名用户的评分，绘制出了如图 所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），...，[90，100]. (1)求频率分布直方图中的值； (2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100） 的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？ (3)用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分. 【解析】（1）由，解得 （2）由频率分布直方图可知， 评分在内的顾客人数之比为：， 所以评分在内的顾客应抽取（人） （3用户对该APP评分的平均分为：. 例7、 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下： 158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x=（    ） A．169 B．170 C．171 D．172 【解析】因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序如下： 158，165，165，167，168，169，x，172，173，175， 又， 所以第60百分位数为，由已知， 所以， 故选：C. 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数， 则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数． 频率直方图计算百分位数的规律： 求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上， 然后计算出，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值． 【变式】某班60名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，， ，，，则该成绩的第70百分位数约为（    ） A．73.6 B．75.5 C．76.2 D．78.3 【解析】由题意可求得， 则对应的频率为， 对应的频率为，,所以第70百分位数在之间； 即第70百分位数为．故选：D. 例8、为调查家庭人口数，从某小区抽取了263户家庭，人口数表示如下： 家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 家庭数 20 29 48 50 46 36 19 8 4 3 求该样本的平均数，中位数，方差和标准差．（精确到0.01） 【解析】根据题意，该样本的平均数为 因为，，所以该样本的中位数为4； 该样本的方差为 因为所以该样本的标准差为. 实际应用中标准差、方差的意义： 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度， 在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越 集中，稳定性越高． 【变式】某工厂生产三种纪念品，每种产品都分精品型和普通型两种，某一天的产量如下表（单位：个） 纪念品A 纪念品B 纪念品C 精品型 100 150 n 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中有A种纪念品40个． (1)求n的值； (2)从B中精品型纪念品中抽取5个，某种指标的数值如下：x，y，10，11，9，把这5个数据看做一个总体， 其均值为10、方差为2，求的值． 【解析】（1）设这一天生产的纪念品为个， 由题意得，，（个），所以（个）. （2）由题得，则， 由于得，从而，， 即. 例9、 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车 公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事 故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定 红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由. 【解析】设城市的出租车有1000辆，那么依题意可得如下信息： 从表中可以看出，当证人说出租车是红色的，它确定是红色的概率为， 而它是蓝色的概率为，在实际数据面前， 作为警察以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车来说显然是不公平的． （用样本的标准差、方差估计总体的方法） （1） 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中， 当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差（方差）分析稳定情况． （2）标准差、方差的取值范围是． （3）因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准 差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 【变式】甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计 哪一种水稻品种的产量比较稳定. 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 ． 【解析】计算甲、乙数据的平均值及甲、乙的方差，方差小的比较稳定，平均值大的产量高. 试题解析：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 [(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02. 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2)＋(9.8－10)2]÷5＝0.24. 因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为(　 ) A．相互独立事件 B．对立事件 C．不是互斥事件 D．互斥事件但不是对立事件 ． 【错解】选B，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是对立事件． 【错因】混淆互斥事件与对立事件概念 【正解】选D，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发 生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件． 2．如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人. 【错解】员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为 ，从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有 （人） 【错因】考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的是各矩形的面积. 【正解】由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为 ，所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有 （人）.故72. 若甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中随机抽取6件进行测量， 测得数据如下：(单位：mm)：甲：99，100，98，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.通过计算，请 你说明哪一台机床加工的零件更符合要求. 【错解】 ＝＝100， ＝＝100， 因为两个机床所加工零件的平均数相等，平均数描绘了数据的平均水平，所以两台机床加工的零件都符合要求． 【错因】平均数 对数据有“取齐”作用，它描述了一组数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势，因此平均数是与样本数据最接近、最理想的近似值，但由于样本选取的随机性，有时用平均数衡量总体的特征会失之偏颇，因此应进一步计算方差或标准差来比较它们的波动大小． 【正解】 ＝＝100， ＝＝100， s＝×[(99－100)2＋3×(100－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2]＝， s＝×[2×(99－100)2＋3×(100－100)2＋(102－100)2]＝1. s>s，说明甲机床加工的零件波动比较大．故乙机床加工的零件更符合要求． 1．某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，C=“至多订一种报”，D=“不订甲报”，E=“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断是不是对立事件。 ①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C 【错解】选①或③或④或⑤ 【错因】两类事件的概念不清。 【正解】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，本题中“至少订一种报”与“一种报也不订”不可能同时发生，但必有一个发生，所以选②。 1．（2023·高一课时练习）已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·高一课时练习）某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则（   ） A．平均分变大，方差变大 B．平均分变小，方差变小 C．平均分变小，方差变大 D．平均分不变，方差变小 3．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知一组数据的方差为1，则数据的方差为（    ） A．3 B．1 C． D． 4．（2023·广西北海·高一统考期末）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 5．（2023·全国·高一专题练习）设有n个样本，，…，，其标准差是，另有n个样本，，…，，且，其标准差为，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． $$