热学-第02讲-分子动理论- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

热学第02讲 《分子动理论》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是热学与统计物理的核心模块，在高中分子动理论基础上拓展至速率分布律、能量均分定理及输运过程微观机制等大学内容，重点培养学生对宏观热现象与微观粒子运动的关联分析能力。核心内容涵盖： 分子动理论深化： 理想气体压强的微观推导（分子碰撞动量变化与统计平均）； 温度的能量解释（分子平均动能与自由度关系），能量均分定理的适用条件与量子修正； 统计分布进阶： 麦克斯韦速率分布律的积分形式（计算最概然速率、平均速率与方均根速率）； 玻尔兹曼分布初步（重力场中分子数密度分布与气压公式推导）； 输运现象微观机制： 气体扩散、热传导与粘滞性的定量分析（平均自由程、碰撞频率与输运系数计算）； 布朗运动的朗之万方程初步（随机力与涨落耗散定理）； 实际系统建模： 非理想气体的分子间作用力修正（范德瓦尔斯力的势能模型）； 相变动力学的微观解释（如凝结与蒸发的分子逃逸率对比）。 竞赛题型特点： 统计计算：通过速率分布积分求解分子动能分布或碰撞频率； 多尺度关联：结合宏观实验数据（如黏滞系数测量）反推微观参数（平均自由程）； 临界分析：设计能量均分定理的失效条件（如低温下振动自由度“冻结”）。 备考建议： 掌握统计规律与概率积分的数学工具（如伽马函数在速率分布中的应用）； 熟练运用量纲分析推导输运系数表达式（如热导率与分子参数的关系）； 强化实验-理论对应能力（如通过布朗运动估算阿伏伽德罗常数）。 本章是热学竞赛的理论基石，需突破宏观唯象描述，构建微观随机运动与统计规律的综合视角。 经典名题 1．若为气体分子速率分布函数，为分子总数，为分子质量，则的物理意义是（　　） A．速率为的各分子的总平动动能与速率为的各分子的总平动动能之差 B．速率为的各分子的总平动动能与速率为的各分子的总平动动能之和 C．速率处在速率间隔之内的分子的平均平动动能 D．速率处在速率间隔之内的分子平动动能之和 2．如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则（　　） A．这两种气体的平均平动动能相同 B．这两种气体的平均动能相同 C．这两种气体的内能相等 D．这两种气体的势能相等 3．在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数与温度T的关系为（　　） A．与T成正比 B．与T成反比 C．与成正比 D．与成反比 4．已知f(v)是速率的分布函数，则表示速率在v1到v2区间内的分子数的是（　　） A． B． C． D． 5．若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分面积相等，则图中正确的判断为（　　） A．最概然速率 B．平均速率 C．方均根速率 D．速率大于和小于的分子各占一半 6．设某理想气体分子的最可几速率为，气体的密度求： （1）该气体分子的平均速率和方均根速率； （2）该气体的压强。 7．有个粒子，其速率分布如图示。设、为已知，粒子的质量为。试求： （1）分布函数的表达式； （2）由、表示出； （3）速率在之间的粒子数； （4）粒子的平均速率。 8．容器内有2.66kg氧气，已知其分子的平动动能总和为（氧的摩尔质量） （1）气体分子的平均平动动能； （2）气体的温度。 9．当压强时，温度为T=300K的某理想气体的密度为。 （1）求这气体的摩尔质量，确定这是什么气体； （2）求这气体分子的方均根速率。 10．如图所示的两条曲线1和2分别表示同种理想气体分子在温度和时的麦克斯韦速率分布曲线。已知<，曲线2的峰值恰在两曲线的交点，对应于v=v1，阴影部分的面积为，则曲线1对应的最概然速率为 ；温度分别为和时，分子速率小于v1的“分子数占分子总数百分比”之差为 .    11．空气分子在标准状态下的平均自由程为，分子平均速率为，则空气分子的平均碰撞频率为 。 12．有一个电子管，管内气体压强为，则时管内单位体积的分子数n= 。 13．氮分子的有效直径，分子量为28，在标准状态下，氮分子的平均自由程 ，平均碰撞频率= 。 14．温度为T时，1mol单原子分子理想气体的内能E= ；定容摩尔热容CV= ；定压摩尔热容CP= 。 15．密封容器内的氧气，压强为1atm，温度为27℃，则气体分子的最可几速率vP= ；平均速率 ；方均根速率 。 16．一动能为的宇宙射线粒子，射入一氖管中，氖管内充有0.1mol的氖气（视为单原子理想气体），若宇宙射线粒子的动能全部被氖气分子所吸收，则达到平衡时氖气的温度升高了 K。（） 17．一定量理想气体，经等压过程体积从V0膨胀到2V0，则后一状态与前一状态的平均自由程之比= ，平均速率之比= 。 18．质量为M的一瓶氢气，温度为T，则氢气分子的平均平动动能为 ，氢气分子的平均动能为 ，该瓶氢气的内能为 。 19．已知一容器内的理想气体在温度为273K，压强为时，其密度为，则该气体的摩尔质量 ，该气体分子的平均平动动能为 ，平均转动动能为 。 20．2g氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭容器内，温度也相同，则氢分子与氦分子的平均平动动能之比= ；氢气与氦气压强之比= ；氢气与氦气内能之比= 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热学第02讲 《分子动理论》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是热学与统计物理的核心模块，在高中分子动理论基础上拓展至速率分布律、能量均分定理及输运过程微观机制等大学内容，重点培养学生对宏观热现象与微观粒子运动的关联分析能力。核心内容涵盖： 分子动理论深化： 理想气体压强的微观推导（分子碰撞动量变化与统计平均）； 温度的能量解释（分子平均动能与自由度关系），能量均分定理的适用条件与量子修正； 统计分布进阶： 麦克斯韦速率分布律的积分形式（计算最概然速率、平均速率与方均根速率）； 玻尔兹曼分布初步（重力场中分子数密度分布与气压公式推导）； 输运现象微观机制： 气体扩散、热传导与粘滞性的定量分析（平均自由程、碰撞频率与输运系数计算）； 布朗运动的朗之万方程初步（随机力与涨落耗散定理）； 实际系统建模： 非理想气体的分子间作用力修正（范德瓦尔斯力的势能模型）； 相变动力学的微观解释（如凝结与蒸发的分子逃逸率对比）。 竞赛题型特点： 统计计算：通过速率分布积分求解分子动能分布或碰撞频率； 多尺度关联：结合宏观实验数据（如黏滞系数测量）反推微观参数（平均自由程）； 临界分析：设计能量均分定理的失效条件（如低温下振动自由度“冻结”）。 备考建议： 掌握统计规律与概率积分的数学工具（如伽马函数在速率分布中的应用）； 熟练运用量纲分析推导输运系数表达式（如热导率与分子参数的关系）； 强化实验-理论对应能力（如通过布朗运动估算阿伏伽德罗常数）。 本章是热学竞赛的理论基石，需突破宏观唯象描述，构建微观随机运动与统计规律的综合视角。 经典名题 1．若为气体分子速率分布函数，为分子总数，为分子质量，则的物理意义是（　　） A．速率为的各分子的总平动动能与速率为的各分子的总平动动能之差 B．速率为的各分子的总平动动能与速率为的各分子的总平动动能之和 C．速率处在速率间隔之内的分子的平均平动动能 D．速率处在速率间隔之内的分子平动动能之和 【答案】D 【知识点】分子动理论 【详解】物体中分子热运动的速率大小不一，各分子的动能有大有小，且不断改变，分子的平动动能是组成系统的大量分子整体表现出来的热学性质，是所有分子动能的平均值；若为气体分子速率分布函数，为分子总数，为分子质量，则的物理意义是：速率处在速率间隔之内的分子平动动能之和。 故选D。 2．如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则（　　） A．这两种气体的平均平动动能相同 B．这两种气体的平均动能相同 C．这两种气体的内能相等 D．这两种气体的势能相等 【答案】B 【知识点】分子动理论 【详解】气体的平均动能包含了平动动能，转动动能和振动动能，氢气和氦气的平动自由度相同，但是氢气是双原子分子，转动自由度为2，氦气是单原子分子转动自由度为零，而温度只与气体的平均平动动能有关，即两种气体的平均平动动能相同，而氢气的平均动能更大，体现为内能更大，因此势能无法比较。 故选B 3．在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数与温度T的关系为（　　） A．与T成正比 B．与T成反比 C．与成正比 D．与成反比 【答案】D 【知识点】分子动理论 【详解】气体分子的平均自由程反比于分子的数密度，对于一定量的理想气体，在压强恒定不变的情况下，气体体积与温度成正比，则分子数密度与温度成反比，则分子平均自由程与温度成正比，即 理想气体分子的平均动能与温度成正比，则其平均速率与温度的平方根成正比，即 理想气体分子的平均碰撞次数 即与成反比。 故选D。 4．已知f(v)是速率的分布函数，则表示速率在v1到v2区间内的分子数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分子动理论 【详解】速率在v1到v2区间的分子数占总分子数的百分比为 则速率在v1到v2区间内的分子数是 故选B。 5．若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分面积相等，则图中正确的判断为（　　） A．最概然速率 B．平均速率 C．方均根速率 D．速率大于和小于的分子各占一半 【答案】D 【知识点】分子动理论 【详解】气体分子的速率分布曲线与v轴所围的面积表示对应速率区间内分子数占分子总数的比例，则由题意可知速率大于和小于的分子各占一半，而最概然速率是曲线最大值所对应的速率值，平均速率是指气体分子速率的算术平均值，方均根速率是指气体分子速率平方的算术平均值的开方，上述三个描述分子速率的统计值与v0没有必然联系。 故选D。 6．设某理想气体分子的最可几速率为，气体的密度求： （1）该气体分子的平均速率和方均根速率； （2）该气体的压强。 【答案】（1）415m/s，450m/s；（2） 【知识点】分子动理论 【详解】（1）由公式 可得 故 （2）由于 故 7．有个粒子，其速率分布如图示。设、为已知，粒子的质量为。试求： （1）分布函数的表达式； （2）由、表示出； （3）速率在之间的粒子数； （4）粒子的平均速率。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】分子动理论 【详解】（1）由图可得分布函数表达式 整理可得 （2）满足归一化条件，但这里纵坐标是而不是，故曲线下的总面积为，由归一化条件可得 解得 （3）通过面积可计算出速率在~之间的粒子数 （4）个粒子的平均速率 积分得 8．容器内有2.66kg氧气，已知其分子的平动动能总和为（氧的摩尔质量） （1）气体分子的平均平动动能； （2）气体的温度。 【答案】（1）；（2） 【知识点】分子动理论 【详解】（1）2.66kg氧气中所含的分子总数为 则气体分子的平均动能为 （2）气体分子的平均动能与温度的关系为 代入数据解得气体的温度为 9．当压强时，温度为T=300K的某理想气体的密度为。 （1）求这气体的摩尔质量，确定这是什么气体； （2）求这气体分子的方均根速率。 【答案】（1），氧气；（2） 【知识点】气体的性质、分子动理论 【详解】（1）由理想气体状态方程 解得 故可知该气体为氧气。 （2）根据公式可得气体分子的方均根速率 10．如图所示的两条曲线1和2分别表示同种理想气体分子在温度和时的麦克斯韦速率分布曲线。已知<，曲线2的峰值恰在两曲线的交点，对应于v=v1，阴影部分的面积为，则曲线1对应的最概然速率为 ；温度分别为和时，分子速率小于v1的“分子数占分子总数百分比”之差为 .    【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】[1]曲线2对应的最概然速率为 曲线1对应的最概然速率为 [2] 温度分别为和时，分子速率小于v1的分子百分数之差等于v1左边曲线1和2所夹面积，由的归一化条件，可知该无阴影面积为，分子数占分子总数百分比之差为 11．空气分子在标准状态下的平均自由程为，分子平均速率为，则空气分子的平均碰撞频率为 。 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】分子连续两次碰撞之间所需要的平均时间为 则空气分子的平均碰撞频率为 12．有一个电子管，管内气体压强为，则时管内单位体积的分子数n= 。 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】对应的热力学温度 由 得单位体积的物质的量 而单位体积内分子数 13．氮分子的有效直径，分子量为28，在标准状态下，氮分子的平均自由程 ，平均碰撞频率= 。 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】[1]标准状态下 氮分子的平均自由程 其中 代入数据解得 [2]根据题意，由公式可得，平均碰撞频率为 其中 联立代入数据解得 14．温度为T时，1mol单原子分子理想气体的内能E= ；定容摩尔热容CV= ；定压摩尔热容CP= 。 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】[1]单原子分子的自由度 则1mol单原子分子理想气体的内能 [2]温度为T时，1mol单原子分子的定容摩尔热容 [3]温度为T时，1mol单原子分子的定压摩尔热容 15．密封容器内的氧气，压强为1atm，温度为27℃，则气体分子的最可几速率vP= ；平均速率 ；方均根速率 。 【答案】 394.7m/s 445.4m/s 483.4m/s 【知识点】分子动理论 【详解】[1]气体分子的最可几速率为 [2]平均速率为 [3]方均根速率为 16．一动能为的宇宙射线粒子，射入一氖管中，氖管内充有0.1mol的氖气（视为单原子理想气体），若宇宙射线粒子的动能全部被氖气分子所吸收，则达到平衡时氖气的温度升高了 K。（） 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】[1]宇宙射线的能量即为氖气内能的增量，则 17．一定量理想气体，经等压过程体积从V0膨胀到2V0，则后一状态与前一状态的平均自由程之比= ，平均速率之比= 。 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】[1]根据 由于压强不变，气体分子的直径近似不变，可知，平均自由程与热力学温度成正比，又由于 解得 [2]根据 可知，同一种理想气体的平均速率的平方之比等于热力学温度之比，即 18．质量为M的一瓶氢气，温度为T，则氢气分子的平均平动动能为 ，氢气分子的平均动能为 ，该瓶氢气的内能为 。 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】[1]氢气分子的平均平动动能为 [2]氢气分子的平均动能为 [3]该瓶氢气的内能为 19．已知一容器内的理想气体在温度为273K，压强为时，其密度为，则该气体的摩尔质量 ，该气体分子的平均平动动能为 ，平均转动动能为 。 【答案】 【知识点】分子动理论 【详解】[1]由克拉珀龙方程 则气体摩尔质量为 [2]查表可知理想气体为，由于其为双原子气体，自由度为 该气体分子的平均平动动能为 [3]平均转动动能为 20．2g氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭容器内，温度也相同，则氢分子与氦分子的平均平动动能之比= ；氢气与氦气压强之比= ；氢气与氦气内能之比= 。 【答案】 1:1/1 2:1/2 【知识点】分子动理论 【详解】[1]温度是分子平均动能的标志，温度相同，分子的平均动能相同，因此两部分气体分子的平均动能之比为1:1； [2]根据克拉伯龙方程 PV=nRT 可知压强之比等于物质的量之比，因此 [3]内能 其中i是自由度,氢气i为5，氦气i为3，因此可得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$