2.3　用公式法求解一元二次方程 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

预习导航 归类探究 当堂测评 分层训练 3　用公式法求解一元二次方程 第1课时　用公式法求解一元二次方程 1. 一元二次方程的求根公式 公　　式：一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的求根公式为 ⁠. 注　　意： b2－4 ac ≥0. 2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤 步　　骤：（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值； （2）求出 b2－4 ac 的值； （3）若 b2－4 ac ≥0，则把 a ， b ， c 的值代入求根公式中，求出 x1， x2；若 b2－4 ac ＜0，则方程没有实数根. x ＝ 　 预习导航 课件导航 目录页 尾页 2 3. 一元二次方程的根的情况与判别式的关系 关　　系：（1）当Δ＝ b2－4 ac ＞0时，方程有两个 的实数根； （2）当Δ＝ b2－4 ac ＝0时，方程有两个 的实数根； （3）当Δ＝ b2－4 ac ＜0时，方程 实数根. 不相等　 相等　 没有　 预习导航 课件导航 目录页 尾页 类型之一　用公式法解一元二次方程 　用公式法解下列方程： （1） x2－2 x －2＝0； 解：∵ a ＝1， b ＝－2， c ＝－2， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12＞0，∴ x ＝ ， 即 x1＝1＋ ， x2＝1－ . 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （2）2 x2－4 x －5＝0. 解：∵ a ＝2， b ＝－4， c ＝－5， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4×2×（－5）＝56， ∴ x ＝ ， 即 x1＝ ， x2＝ . 【点悟】 公式法是解一元二次方程的重要方法，一个一元二次方程，只要 b2－4 ac ≥0，都可以用公式法求得其解. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之二　利用 b2－4 ac 判定一元二次方程根的情况 　当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程 mx2－2（2 m ＋1） x ＋4 m －1＝0： （1）有两个相等实数根？ 当Δ＝20 m ＋4＝0，即 m ＝－ 时，方程有两个相等实数根. （2）有两个不相等的实数根？ 解：当Δ＝20 m ＋4＞0时， m ＞－ . ∵ m ≠0，∴当 m ＞－ 且 m ≠0时，方程有两个不相等的实数根. 解：∵方程为一元二次方程， ∴ m ≠0，Δ＝ b2－4 ac ＝[－2(2 m ＋1)]2－4 m (4 m －1)＝20 m ＋4. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （3）无实根？ 解：当Δ＝20 m ＋4＜0，即 m ＜－ 时，方程无实数根. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之三　一元二次方程的应用 　我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为 步. 36　 归类探究 课件导航 目录页 尾页 1. [2023·滨州]一元二次方程 x2＋3 x －2＝0根的情况为（　A　） A . 有两个不相等的实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 没有实数根 D . 不能判定 A 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 2. 在方程2 x2－ x －3＝0中， a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ， b2－4 ac ＝ ，两根是 ⁠. 3. [2022·云南]方程2 x2＋1＝3 x 的解为 ⁠. 2　 －1　 －3　 25　 x1＝－1， x2＝ 　 x1＝1， x2＝ 　 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 1. [2023·潍坊]用与教材中相同型号的计算器，依次按键 5 ＝，显示结果为2.236067977.借助显示结果，可以将一元二次方程 x2＋ x －1＝0的正数解近似表示为 （精确到0.001）. 0.618　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （1）[2023·无锡]2 x2＋ x －2＝0； 解：∵2 x2＋ x －2＝0， ∴ a ＝2， b ＝1， c ＝－2， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝12－4×2×（－2）＝17， ∴ x ＝ ＝ ， 即 x1＝ ， x2＝ . 2. 用公式法解下列方程： 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （2）（2 x ＋1）（ x －3）＝－5； 解：原方程化简，得2 x2－5 x ＋2＝0. ∵ a ＝2， b ＝－5， c ＝2， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－5)2－4×2×2＝9， ∴ x ＝ ， 即 x1＝ ， x2＝2. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （3） x ＝0.4－0.6 x2. 解：（3）原方程整理，得0.6 x2＋ x －0.4＝0. ∵ a ＝0.6， b ＝1， c ＝－0.4， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝12－4×0.6×（－0.4）＝1.96，∴ x ＝ ， 即 x1＝－2， x2＝ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 3. 已知某个直角三角形的三边长是三个连续自然数，则它的三边长分别为 ⁠. 【解析】设最短的边长为 x ，则另外两边长分别为（ x ＋1），（ x ＋2）. 依题意，得 x2＋（ x ＋1）2＝（ x ＋2）2， 整理，得 x2－2 x －3＝0， 解得 x1＝－1（不合题意，舍去）， x2＝3， ∴ x ＋1＝4， x ＋2＝5. ∴直角三角形的三边长分别为3，4，5. 3，4，5　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 4. [2023·眉山]关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m －2＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ⁠. m ＜3　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （1）方程有两个不相等的实数根？ 解：根据题意，得Δ＝（2 k －1）2－4 k2＞0， 解得 k ＜ . （2）方程有两个相等的实数根？请求出这两个相等的实数根. 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2 k －1）2－4 k2＝0， 解得 k ＝ ，此时 x1＝ x2＝－ . 5. 关于 x 的一元二次方程 x2－（2 k －1） x ＋ k2＝0，当 k 取何值时, 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （3）方程没有实数根？ 解：∵方程没有实数根， ∴Δ＝（2 k －1）2－4 k2＜0， 解得 k ＞ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 6. （模型观念）已知关于 x 的方程（ m －1） x2－（ m －2） x ＋ m ＝0. （1）当 m 取何值时，方程有一个实数根？ 解：当 m －1＝0，即 m ＝1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根 x ＝－ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （2）当 m 取何值时，方程有两个实数根？ 解：当 m －1≠0，即 m ≠1时，该方程为一元二次方程. 当Δ＝[－（ m －2）]2－4（ m －1）× m ≥0时，方程有两个实数根， 解得 m ≤ ， ∴当 m ≤ 且 m ≠1时，方程有两个实数根. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （3）在（2）的条件下，取最大的整数 m 代入方程，并求出方程的解. 解：∵当满足 m ≤ 且 m ≠1时， 最大整数 m ＝0， ∴当 m ＝0时，方程可化为－ x2＋2 x ＝0， 解得 x1＝0， x2＝2. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 $$ 预习导航 归类探究 当堂测评 分层训练 3　用公式法求解一元二次方程 第2课时　方案设计 利用一元二次方程解决实际问题 步　　骤：（1）设未知数，写出重要的代数式； （2）根据题目中的等量关系，列出方程； （3）解方程； （4）检验，看这些根是否符合实际意义. 课件导航 目录页 尾页 预习导航 类型　利用一元二次方程解决与图形面积有关的方案设计 　如图，利用一面墙（墙长25m）和总长度为49m的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD ，且中间留两个1m宽的小门，设栅栏 BC 的长为 x m. （1） AB ＝ m（用含 x 的代数式表示）. （51－3 x ）　 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （2）若矩形围栏 ABCD 的面积为210m2，求栅栏 BC 的长. 解：依题意，得（51－3 x ） x ＝210， 解得 x1＝7（不合题意，舍去）， x2＝10. ∴栅栏 BC 的长为10m. （3）矩形围栏 ABCD 的面积是否有可能达到240m2？若有可能，求出相应 x 的值；若不可能，请说明理由. 解：不可能.理由略. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 　要在一块长52m、宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路.如图是小亮和小颖的设计方案. （1）求小亮设计方案中道路的宽度 x ； 解：根据小亮的设计方案列方程，得（52－ x ）（48－ x ）＝2300， 解得 x1＝2， x2＝98（舍去）， ∴小亮设计方案中道路的宽度为2m. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（提示：小颖设计方案中的 x 与小亮设计方案中的 x 取值相同）. 解：如答图，作 AI ⊥ CD ， HJ ⊥ EF ，垂足分别为 I ， J . 由已知易得，四边形 ADCB ，四边形 HEFG 均为平行四边形，∴ AD ＝ BC ＝ HE ＝2m. 答图 归类探究 课件导航 目录页 尾页 答图 ∵ AB ∥ CD ，∠1＝60°， ∴∠ ADI ＝60°，∴∠ DAI ＝30°， ∴ ID ＝1m，∴ AI ＝ m. 同理可得 HJ ＝ m， ∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为 52×48－52×2－48×2＋（ ）2＝2299（m2）. 答图 归类探究 课件导航 目录页 尾页 [2024 ·丹东月考] 如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1 m宽的门． （1）若，则当矩形的边长分别为多少米时，鸡舍的面积为？ 解：设矩形鸡舍垂直于墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为． 依题意，得，解得． 当时，（舍去）； 当时，． 答：矩形鸡舍的长为，宽为时，鸡舍的面积为80m2． 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 8 （2）当a的值在什么范围内时，问题（1）有两个解？一个解？无解？ 解：由（1）知，平行于墙的边长为或， ∴当时，问题（1）有两个解， 当时，问题（1）有一个解， 当时，无解． 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 1. [2022·泰州]如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为 x m. 根据等量关系列方程， 得（50－2 x ）（38－2 x ）＝1260， 解得 x ＝4或 x ＝40（不合题意，舍去）， ∴ x ＝4. ∴道路的宽应为4m. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 2. 如图，圆柱的高为10cm，全面积（也称表面积）为48πcm2，则圆柱的底面半径为多少？ 解：设圆柱的底面半径为 r cm. 由题意，得π r2×2＋2π r ×10＝48π， 解得 r ＝2或 r ＝－12（舍去）. ∴圆柱的底面半径为2cm. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 3. 如图，一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 cm3. 48　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 【解析】 设剪去的正方形的边长为 x cm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10－2 x ）cm，宽为 ＝（6－ x ）cm. 依题意，得（10－2 x ）（6－ x ）＝24， 整理，得 x2－11 x ＋18＝0， 解得 x1＝2， x2＝9（不合题意，舍去）， ∴该铁盒的体积为2×4×6＝48（cm3）. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 4. 已知一本数学书的长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm.一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1408cm2，虚线表示的是折痕，长方形相邻两边与折痕围成的四角为大小相同的正方形，求正方形的边长. 解：设正方形的边长为 x cm. 由题意，得（18.5×2＋1＋2 x ）（26＋2 x ）＝1408， 化简，得 x2＋32 x －105＝0， 解得 x1＝3， x2＝－35（不合题意，舍去）. ∴正方形的边长为3cm. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 5. （创新意识）已知 P （4，1）为平面直角坐标系中的一点， A （ a ，0）， B （0，a ）（其中 a ＞0）分别是坐标轴上的动点.若△ PAB 的面积为3，试求点 A 的坐标. 解：如答图，过点 P 作 PC ⊥ x 轴于点 C ，作 PD ⊥ y 轴于点 D ，则四边形 OCPD 是矩形. 答图1 如答图1，当点 C 在点 A 的左边，且点 P 在直线 AB 上方时，a ＞4， AC ＝ a －4， BD ＝ a －1， 答图1 分层训练 课件导航 目录页 尾页 ∴ S△ PAB ＝ ×4×（ a －1）＋ ×（ a －4）×1＋1×4－ × a2＝3， 解得 a1＝2（舍去）， a2＝3（舍去）； 如答图2，当点 C 在点 A 的左边，且点 P 在直线 AB 下方时， a＞4， AC ＝ a－4， BD ＝ a－1， ∴ S△ PAB ＝ × a2－ ×4×（a－1）－ ×（a－4）×1－1×4＝3， 答图2 解得 a1＝－1（舍去）， a2＝6； 分层训练 课件导航 目录页 尾页 解得 a1＝2， a2＝3. 综上所述，若△ PAB 的面积为3，则点 A 的坐标为（2，0），（3，0）或（6，0）. 答图3 如答图3，当点 C 在点 A 的右边时，0＜ a ＜4， AC ＝4－ a ， BD ＝ a －1， ∴ S△ PAB ＝ ×4×（ a －1）＋4×1－ ×（4－ a ）×1－ × a2＝3， 分层训练 课件导航 目录页 尾页 $$