专题11 轴对称与旋转的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（湘教版2024）

专题11 轴对称与旋转的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 2 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 类型三、台球桌面上的对称轴问题 9 类型四、轴对称中的光线反射问题 11 类型五、轴对称中的折叠问题 13 类型六、旋转与平行线的综合问题 17 压轴能力测评（17题） 24 解题知识必备 1.轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.两个图形轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 3.旋转 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 压轴题型讲练 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图的树叶是一个轴对称图形，点，在对称轴上，点与点，点与点分别对称，则下列说法错误的是（   ） A． B．如果顺次连接点，，得到的是等腰三角形 C．如果直线与有交点，那么交点在直线上 D．如果，那么一定存在 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 类型三、台球桌面上的对称轴问题 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 类型四、轴对称中的光线反射问题 例题：（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 类型五、轴对称中的折叠问题 例题：（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，点落在点的位置，若，则 ． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么 ． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 类型六、旋转与平行线的综合问题 例题：（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． (1)如图1，当时，请求出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 压轴能力测评（17题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 3．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 二、填空题 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 次． 7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 9．（24-25七年级下·北京·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图3中最厚的部分有 层纸，图1中的的度数是 ． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，．交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为． （1）若，则 ． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 12．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)在直线l上找一点P，使的长最短． 13．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 15．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 16．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，直线，一副三角板（，，，），按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数； (2)如图②，已知，将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，）．设旋转时间为秒（）． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转．请直接写出旋转过程中三角形有一边与平行时的值． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 轴对称与旋转的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 2 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 类型三、台球桌面上的对称轴问题 9 类型四、轴对称中的光线反射问题 11 类型五、轴对称中的折叠问题 13 类型六、旋转与平行线的综合问题 17 压轴能力测评（17题） 24 解题知识必备 1.轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.两个图形轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 3.旋转 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 压轴题型讲练 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形关于所在的直线对称，且点为上一点， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； 而与不一定相等，故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图的树叶是一个轴对称图形，点，在对称轴上，点与点，点与点分别对称，则下列说法错误的是（   ） A． B．如果顺次连接点，，得到的是等腰三角形 C．如果直线与有交点，那么交点在直线上 D．如果，那么一定存在 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵直线为对称轴，点与点是对称点， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵点在对称轴上，点与点是对称点， ∴， ∴是等腰三角形，该选项正确，不合题意； 、∵点与点，点与点关于直线对称， ∴如果直线与有交点，那么交点在直线上，该选项正确，不合题意； 、∵点与点关于直线对称，点在对称轴上， 当点在同一条直线上时，，即；当点不在同一条直线上时，，该选项错误，符合题意； 故选：． 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据和关于直线对称，确定对称三角形，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据和关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴． 又∵， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，理解轴对称的含义是解本题的关键； （1）根据四边形与四边形关于直线对称，可得对应边相等，从而可得答案； （2）先求解，再根据轴对称的性质可得答案； （3）根据对称轴垂直平分对称点的连线，可得答案； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形关于直线对称．， ∴； （2）解：∵， ∴， 由轴对称的性质可得： ； （3）解：∵对称轴垂直平分对称点的连线， ∴直线垂直平分． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等： （1）设与的交点为点，根据轴对称的性质得，由可得结论； （2）连接，，，根据轴对称的性质知，当，，三点共线时，有最小值，为的长，从而可求周长的最小值． 【详解】（1）解：设与的交点为点， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∴． ∵点，关于对称， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，，，如图所示． ∵点，关于对称， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴要使周长最小，即的值最小． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，为的长， ∴此时点与点重合． ∵点，关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 类型三、台球桌面上的对称轴问题 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 类型四、轴对称中的光线反射问题 例题：（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由反射定理可得， ，， ， ， ， ， 即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行线的性质在生活中的应用、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 类型五、轴对称中的折叠问题 例题：（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 【答案】10 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：10． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，点落在点的位置，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同旁内角互补，得出，再根据折叠性质得，，即可作答． 【详解】解：∵长方形纸带，， ∴， ∴， ∵将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，角度的和差计算，掌握折叠的性质，数形结合分析是关键． （1）根据折叠的性质得到，根据两直线平行内错角相等即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，，，结合折叠的性质得到即可求解； ②结合①的计算得到，，则，有即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴； ②根据上述过程可得，， ， ∵， ∴， 解得，， ∴． 类型六、旋转与平行线的综合问题 例题：（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)42 (2) (3)①或；②有，°或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分的定义即可得到，计算得到结果； （3）①分类讨论，当时，点在的右侧，或当时，点在的左侧，得到答案；②利用①的结论，进行计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：42． （2）解：设旋转的角度，， ∵是的平分线， ， ， ， 即． （3）解：①旋转的角度， 当时，点在的右侧， ； 当时，点在的左侧， ， 或， 故答案为：或； ②满足， , ，或， 解得或， ∴的度数或． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)秒 (3)①  ② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）①根据两直线平行，同旁内角互补，从而得到结果； ②由的度数列出方程，得到结果； （2）由，得到内错角相等，再利用三角形内角和，求出结果； （3）①由的内角和得到方程，求得结果， ②注意要根据题意，画出图形，结合条件，利用的内角和，求得结果. 【详解】（1）解：①， ， 故答案为： ； ②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，过点时，旋转了， ∴此时， ， ， 故答案为：； （2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴设， ， ， 又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，旋转了 即： ， ， ， ∴此时对应的旋转时间的值是秒； （3）解：① ∵根据题意有：， ， 在中，， ， ； ②∵的旋转速度要比的旋转速度快， ∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即：， ， ． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． (1)如图1，当时，请求出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或5.5或11.5 【分析】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． （1）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的性质计算角度即可； （2）按照（1）的思路即可解答； （3）分为的三边分别与平行，当时，与同的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，同样的方法求得当和，当时的结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， ，， ， 设， ， ， ， 平分，平分， ，， 如图，过点作， ，， ， ， ， ; （2）解：如图，过点作，过点作， ， 则可得，， 设，， 根据上述原理可得，， ，， ， 即； （3）解：如图，当时， 设交于， ， ，， ， 由题意可得， ， ， ，即， ， 如图，当时， 同理可得：， ， 如图，当时， 设的延长线交于， ，， ， ， ， 由，得， ， 综上所述：或5.5或11.5． 压轴能力测评（17题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转角的度数即为的度数，为； 故选B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键． 根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减掉即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选C． 4．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、折叠问题 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和图形折叠的性质，关键是熟练掌握轴对称的性质和图形折叠的性质． 根据折叠的性质可得，，可得，得到，根据角平分线的定义即可求出答案． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，平分， ， ， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 次． 【答案】3 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．利用轴对称画出图形即可求解． 【详解】解：球的运动路线如图所示： ∴一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是次； 故答案为： 7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，根据轴对称的性质可得，，推出的长等于的周长．解题的关键是掌握轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵点、分别是点关于，的对称点， ∴，， ∴， ∵的周长是，即， ∴，即的长是． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·北京·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图3中最厚的部分有 层纸，图1中的的度数是 ． 【答案】 3 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，根据平行线的性质，结合折痕是角平分线，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴图3阴影部分最厚，为3层纸； ∵， ∴设， 图2中，， 图3中，． 解得． 即， 故答案为：3，． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，分在直线的上方和下方两种情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即三角板旋转的度数为， 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， 即三角板旋转的度数为， 三角板旋转的度数为或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，．交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为． （1）若，则 ． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则 ． 【答案】 或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折的变换，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质可得，从而利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可得，即可得出答案； （2）根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果． 【详解】解：（1）如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：； （2）如图： 由折叠得：， ∵， ∴， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 【答案】(1)答案见解析 (2)与，与 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质； （1）根据轴对称的性质确定相等的线段与相等的角即可； （2）由轴对称的性质可得：与，与，也都关于直线成轴对称． 【详解】（1）解： 相等的线段为：，，，，， ，，，，，，，，； （2）解：与，与，也都关于直线成轴对称． 12．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图图形即可； （2）连接交l于P，点P即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，点P即为所求． 13．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①20°；②见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，折叠的性质，过拐点作平行线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定证明即可； （2）①利用折叠的性质，结合平行线的性质求解即可； ②过点作，过点作，利用折叠的性质先证，再根据平行线的判定和性质证，最后根据邻补角的性质即可得证． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ． （2）①解：沿折叠三角形，得到三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ②证明：过点作，过点作， ∴， ∴，，， ∵沿折叠三角形，得到三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ． 15．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】两点之间线段最短、利用平移的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 16．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，直线，一副三角板（，，，），按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数； (2)如图②，已知，将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，）．设旋转时间为秒（）． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转．请直接写出旋转过程中三角形有一边与平行时的值． 【答案】(1) (2)①的值为；②满足条件的的值为或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，一元一次方程解几何角度问题，旋转的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据三角板，角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，根据角的和差计算，由，即可求解； （2）①根据题意得到，，由此列式求解即可；②当时，延长交于，可得，，，由此列式求解；当时，延长交于，可得，，，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：如图①中， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ①如图②中， ， ， ， ， ， ． 在旋转过程中，若边，的值为； ②如图③中，当时，延长交于． ， ， ，， ， ， ； 如图③-1中，当时，延长交于， ， ， ，， ， ， ； 综上所述，满足条件的的值为或． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、折叠问题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$