7.3.2 超几何分布7.3.3正态分布同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【解析版】 7.3.2 超几何分布 7.3.3 正态分布*； 【附录】相关考点 考点一 超几何分布 从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何； 考点二 正态曲线和正态分布 1、正态曲线 函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3、正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 4、参数μ和σ对正态曲线形状的影响： ①当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中； ②当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． 5、若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 6、3σ原则： ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. 说明： 1、对超几何分布的理解 （1）一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布； （2）超几何分布的模型特点 ①超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分； ②超几何分布中“X＝k”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”； （3）超几何分布的特征 ①超几何分布的抽取是不放回的． ②超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比． （4）判断一个随机变量是否服从超几何分布 ①总体是否可分为两类明确的对象． ②是否为不放回抽样． ③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 2、对正态分布*的理解 设是一个取实数值的随机变量；如果对任何给定的实数与（），落在区间上的概率等于三条直线：、、与正态密度函数图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积，如图所示）， 那么，服从正态分布； 或更准确地说，服从参数为的正态分布，记为； （1）若随机变量X的概率分布密度函数为，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． （2）正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．当|x|无限增大时，曲线无限接近于x轴． ②曲线与x轴之间的区域的面积为1． ③曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)． ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． （3）正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. （4）正态曲线的几何意义 随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)，即由正态曲线过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积． 如图所示，X取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（ ） A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 【答案】B； 【解析】由题意可知，P(X＝1)＝，P(X＝0)＝ ， 故表示选1个白球或者一个白球都没有取得，即P(X≤1)； 2、在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（ ） A．都不是一等品 B．恰有1件一等品 C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品 【答案】D； 【解析】“2件都是二等品”的概率P1＝＝，“2件中有1件是一等品、1件是二等品”的概率P2＝＝， 则P1＋P2＝＋＝； 3、小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A．D(X)＝6 B．μ1>μ2 C．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34) 【答案】C； 【解析】对于A，随机变量X服从正态分布，且X～N(μ1, 62), 可得随机变量X的方差为σ2＝62，即D(X)＝36，所以A错误； 对于B，根据给定的正态曲线图象，可得μ1＝30, μ2＝34，所以μ1<μ2，所以B错误； 对于C，根据给定的正态曲线图象，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x轴围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x轴围成的面积，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正确； 对于D，根据给定的正态曲线图象，可得P(X≤34)>，P(Y≤34)＝，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误．故选C； 4、10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于（ ） A．1 B．2或8 C．2 D．8 【答案】B； 【解析】由题意得＝，即a(10－a)＝16，解得a＝2或a＝8，故选B. 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，则某人摸出5个球，恰好得7分的概率为 【答案】0.385.； 【解析】设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球， 得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X＝2)＝≈0.385， 即恰好得7分的概率约为0.385； 6、已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是，则a＝ 【答案】4或6； 【解析】设抽到的女生人数为X，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝＝＝， 解得a＝4或a＝6； 7、在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100，σ2)．若X在(85,115)内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是 （用分数表示） 【答案】； 【解析】因为学生成绩服从正态分布(100，σ2)，且P(85<X<115)＝0.5，所以P(85<X<100)＝0.25，P(X<85)＝0.25，P(X≥85)＝0.75＝，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是C2×＝. 8、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝ 【答案】0.14； 【解析】因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14； 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于的是（ ） A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 【答案】C； 【解析】15人中，有7名女生，8名男生，表示选出的10人中有4名女生，6名男生， 所以P(X＝4)＝； 10、已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为X，已知P(X＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B； 【解析】设10件产品中有x件次品， 则P(X＝1)＝＝＝， 所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%. 11、如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． 【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是， 所以μ＝20.由＝， 解得σ＝. 于是概率密度函数的解析式是φ(x)＝e－， x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝()2＝2. 【说明】利用正态曲线的特点求参数μ，σ （1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ； （2）正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ； （3）由σ的大小区分曲线的胖瘦； 12、老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格；某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； （2）他能及格的概率． 【解析】（1）设抽到他能背诵的课文的数量为X， 则P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3)． 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为： E(X)＝3×＝. （2）能及格的概率为P(X≥2)＝＋＝； 【说明】解决超几何分布问题的三个关键点 （1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆； （2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列； （3）求与超几何分布有关均值问题，可利用均值公式也可直接利用E(X)＝n求解； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【原卷版】 7.3.2 超几何分布 7.3.3 正态分布*； 【附录】相关考点 考点一 超几何分布 从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何； 考点二 正态曲线和正态分布 1、正态曲线 函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3、正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 4、参数μ和σ对正态曲线形状的影响： ①当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中； ②当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． 5、若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 6、3σ原则： ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. 说明： 1、对超几何分布的理解 （1）一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布； （2）超几何分布的模型特点 ①超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分； ②超几何分布中“X＝k”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”； （3）超几何分布的特征 ①超几何分布的抽取是不放回的． ②超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比． （4）判断一个随机变量是否服从超几何分布 ①总体是否可分为两类明确的对象． ②是否为不放回抽样． ③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 2、对正态分布*的理解 设是一个取实数值的随机变量；如果对任何给定的实数与（），落在区间上的概率等于三条直线：、、与正态密度函数图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积，如图所示）， 那么，服从正态分布； 或更准确地说，服从参数为的正态分布，记为； （1）若随机变量X的概率分布密度函数为，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． （2）正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．当|x|无限增大时，曲线无限接近于x轴． ②曲线与x轴之间的区域的面积为1． ③曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)． ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． （3）正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. （4）正态曲线的几何意义 随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)，即由正态曲线过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积． 如图所示，X取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（ ） A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 2、在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（ ） A．都不是一等品 B．恰有1件一等品 C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品 3、小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A．D(X)＝6 B．μ1>μ2 C．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34) 4、10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于（ ） A．1 B．2或8 C．2 D．8 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，则某人摸出5个球，恰好得7分的概率为 6、已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是，则a＝ 7、在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100，σ2)．若X在(85,115)内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是 （用分数表示） 8、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝ 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于的是（ ） A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 10、已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为X，已知P(X＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A．10% B．20% C．30% D．40% 11、如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． 12、老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格；某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； （2）他能及格的概率． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$