7.2.3 方差同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【原卷版】 7.2.3 方差 【附录】相关考点 考点一 方差 数学上用什么指标来衡量随机变量的分散度呢？按照上面的分析，对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即 来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为； 定义：随机变量的方差定义为：； 说明： 1、更方便使用的方差公式．事实上，根据期望的线性性质，并注意到是一个常数， 就有或D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn 2、为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 3、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散.反之，越小，的取值越集中在附近； 4、方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数； 5、 数学期望与方差的性质与常用结论 ①若Y＝aX＋b，其中X是随机变量，a，b是常数，随机变量X的均值是E(X)，方差是D(X)． 则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝D＝a2D(X)．(a，b为常数)； ②E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； ④)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； ⑤若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)； 6、离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系 （1）区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化； （2）联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于（ ） A． B． C． D． 2、已知随机变量X的分布列为：，设Y＝2X＋3，则D(Y)＝（ ） A．　　 B． C． D． 3、有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计（ ） A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 4、甲、乙两个运动员射击命中环数X，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是（ ） 环数k 8 9 10 P(X＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、若离散型随机变量X的分布列为： 则X的方差D(X)＝ 6、若随机变量X满足P(X=c)=1，其中c为常数，则D(X)的值为　　　　　.  7、随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________. 8、学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为X，则D(X)＝________. 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、已知X的分布列如表所示： 其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(X)＝1；②D(X)>1；③P(X＝0)≤，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10、设0<m<1，随机变量X的分布列为 当m在(0，1)上增大时，下列命题中正确的是(　　) ①E(X)减小； ②E(X)增大； ③D(X)先增后减，最大值为； ④D(X)先减后增，最小值为. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 11、不透明袋中装有质地、大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出 2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为. （1）求白球的个数m； （2）若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求E(X)，D(X)． 12、某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t. （1)求X的分布列，并求X的均值和方差； （2）若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，收费5元，行驶路程超过3 km时，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【解析版】 7.2.3 方差 【附录】相关考点 考点一 方差 数学上用什么指标来衡量随机变量的分散度呢？按照上面的分析，对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即 来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为； 定义：随机变量的方差定义为：； 说明： 1、更方便使用的方差公式．事实上，根据期望的线性性质，并注意到是一个常数， 就有或D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn 2、为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 3、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散.反之，越小，的取值越集中在附近； 4、方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数； 5、 数学期望与方差的性质与常用结论 ①若Y＝aX＋b，其中X是随机变量，a，b是常数，随机变量X的均值是E(X)，方差是D(X)． 则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝D＝a2D(X)．(a，b为常数)； ②E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； ④)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； ⑤若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)； 6、离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系 （1）区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化； （2）联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q， 由题意得，E(X)＝0×＋p＋2q＝1，且＋p＋q＝1，解得p＝，q＝， 所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝； 【说明】方差的简单计算方法 （1）对于一般的离散型随机变量的均值与方差的计算，要分清各数据，选择公式，代入计算； （2）由已知期望或方差求参数值.可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求； 2、已知随机变量X的分布列为：，设Y＝2X＋3，则D(Y)＝（ ） A．　　 B． C． D． 【答案】A； 【解析】因为，E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， 所以，D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，则D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝； 3、有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计（ ） A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 【答案】B； 【解析】因为D(X甲)>D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐； 4、甲、乙两个运动员射击命中环数X，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是（ ） 环数k 8 9 10 P(X＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 【答案】B 【解析】E(X)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(X)， D(X)＝0.76，D(η)＝0.56<D(X)，所以乙稳定； 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、若离散型随机变量X的分布列为： 则X的方差D(X)＝ 【答案】； 【解析】由＋＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．所以，X的分布列为 所以，E(X)＝0×＋1×＝，则D(X)＝2×＋2×＝； 6、若随机变量X满足P(X=c)=1，其中c为常数，则D(X)的值为　　　　　.  【答案】0； 【解析】因为P(X=c)=1，所以E(X)=c×1=c，所以D(X)=(c-c)2×1=0； 7、随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________. 【答案】； 【解析】设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得 解得p＝，q＝，∴D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝； 8、学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为X，则D(X)＝________. 【答案】； 【解析】由题意知，X的所有可能取值为5，4，3，2， P(X＝5)＝×＝， P(X＝4)＝×＝， P(X＝3)＝×＝， P(X＝2)＝×＝， 则E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、已知X的分布列如表所示： 其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(X)＝1；②D(X)>1；③P(X＝0)≤，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C； 【解析】设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0，1]，2a＋b＝1. ①E(X)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确； ②D(X)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确； ③P(X＝0)＝a＝≤，因此③正确； 10、设0<m<1，随机变量X的分布列为 当m在(0，1)上增大时，下列命题中正确的是(　　) ①E(X)减小； ②E(X)增大； ③D(X)先增后减，最大值为； ④D(X)先减后增，最小值为. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【解析】由题意得，＋＋＝1，解得a＝1， E(X)＝0×＋m×＋1×＝＋， 所以当m在(0，1)上增大时，E(X)增大，故①错误，②正确； D(X)＝ ＝ ＝2＋， 所以当m在(0，1)上增大时，D(X)先减小后增大， 当m＝时，D(X)取得最小值，故③错误，④正确． 11、不透明袋中装有质地、大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出 2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为. （1）求白球的个数m； （2）若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求E(X)，D(X)． 【解析】（1）由题意知，袋中装有质地、大小相同的4个红球，m个白球， 因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为， 可得＝，解得m＝5. （2）由题意，随机变量X可能为0,1,2， 则P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝××2＝， P(X＝2)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 则期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝， 方差为D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 12、某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t. （1)求X的分布列，并求X的均值和方差； （2）若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，收费5元，行驶路程超过3 km时，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差． 【解析】（1）由题意，得0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1.∴t＝0.1. 所以，X的分布列为： 所以，E(X)＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25， D(X)＝(－5)2×0.1＋(－3)2×0.2＋(－1)2×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6. （2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则Y＝3(X－3)＋5＝3X－4(X≥4，X∈N)， 所以，E(Y)＝E(3X－4)＝3E(X)－4＝3×25－4＝71， D(Y)＝D(3X－4)＝32·D(X)＝95.4. 故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4； 【说明】求离散型随机变量X的数学期望与方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X可能的全部值； （2）求X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由数学期望的定义求E(X)； （5）由方差的定义求D(X)； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$