7.2.2 期望同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【原卷版】 7.2.2 期望 【附录】相关考点 考点一 随机变量的期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布；把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望： 定义：如果随机变量的分布是 那么，它的期望定义为如下的加权平均： ； 考点二 期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么，； （2）如果、是两个随机变量，那么，； 【说明】 1、数学期望或均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的均值或数学期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平； 2、对离散型随机变量均值的几点说明 （1）含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平； （2）来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值； （3）单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位； （4）与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的数学期望为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1 2、已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的数学期望E(X)等于（ ） A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3 3、已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为X，则数学期望E(X)为(　　) A． B． C．1 D． 4、若离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)＝（ ） A．2 B．2或 C. D．1 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的数学期望是 6、已知随机变量X的分布列为： 若Y＝－2X，则E(Y)＝________. 7、设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝ 8、设随机变量X的概率分布列如表所示： 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于________． 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、袋中有4个红球、m个黄球、n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则E(X)＝________. 10、某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为 11、一台机器设备由A和B两个要件组成，在设备运转过程中，A，B发生故障的概率分别记作P(A)，P(B)，假设A和B相互独立．设X表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若P(A)＝0.1，P(B)＝0.2. （1）求出P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)； （2）依据随机变量X的分布列，求E(X)； 12、体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病．已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立．现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束． （1）哪种化验方案更好？ （2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【解析版】 7.2.2 期望 【附录】相关考点 考点一 随机变量的期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布；把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望： 定义：如果随机变量的分布是 那么，它的期望定义为如下的加权平均： ； 考点二 期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么，； （2）如果、是两个随机变量，那么，； 【说明】 1、数学期望或均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的均值或数学期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平； 2、对离散型随机变量均值的几点说明 （1）含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平； （2）来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值； （3）单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位； （4）与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的数学期望为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1 【答案】C； 【解析】某篮球运动员罚球1次的得分为X，X的取值可能为0，1， P(X=0)=1-0.8=0.2，P(X=1)=0.8，E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8； 【说明】数学期望的简单计算方法：对于一般的离散型随机变量的数学期望的计算，要分清各数据，选择公式，代入计算； 2、已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的数学期望E(X)等于（ ） A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3 【答案】D 【解析】依分布列的性质可得0.2＋a＋0.5＝1，解得a＝0.3， 所以E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3. 3、已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为X，则数学期望E(X)为(　　) A． B． C．1 D． 【答案】D； 【解析】X的所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 则E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4、若离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)＝（ ） A．2 B．2或 C. D．1 【答案】C； 【解析】由题意知，＋＝1，a>0，所以a＝1，所以E(X)＝0×＋1×＝；故选C； 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的数学期望是 【答案】0.8； 【解析】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8； 6、已知随机变量X的分布列为： 若Y＝－2X，则E(Y)＝________. 【答案】； 【解析】由随机变量X的分布列性质， 得 ＋＋＋m＋＝1, 解得m＝， 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 即E(Y)＝－2×＝. 【说明】若给出的随机变量X与X的关系为X＝aX＋b，a，b为常数，求E(X)的两种思路： （1）先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(X)； （2）利用X的分布列得到X的分布列，关键由X的取值计算X的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(X)； 7、设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝ 【答案】0.7 【解析】由题意得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，所以解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7； 8、设随机变量X的概率分布列如表所示： 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于________． 【答案】； 【解析】由分布列的性质，得a＋＋＝1，∴a＝，而x∈[1，2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)＝＋＝； 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、袋中有4个红球、m个黄球、n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则E(X)＝________. 【答案】； 【解析】由题得P(X＝2)＝＝＝，即C＝36，所以m＋n＋4＝9， P(一红一黄)＝＝＝＝， 得m＝3，所以n＝2， 由于P(X＝2)＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝0)＝＝＝， 所以，E(X)＝×2＋×1＋×0＝＋＝. 10、某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为 【答案】； 【解析】由题意得，比赛一局得分的均值为3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1， 又a，b，c∈[0，1)，故3a＋b≥2，解得ab≤， 当且仅当3a＝b，即a＝，b＝时，等号成立；故ab的最大值为； 11、一台机器设备由A和B两个要件组成，在设备运转过程中，A，B发生故障的概率分别记作P(A)，P(B)，假设A和B相互独立．设X表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若P(A)＝0.1，P(B)＝0.2. （1）求出P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)； （2）依据随机变量X的分布列，求E(X)； 【解析】（1）因为P(A)＝0.1，P(B)＝0.2， 所以P(X＝0)＝(1－0.1)×(1－0.2)＝0.72， P(X＝1)＝(1－0.1)×0.2＋0.1×(1－0.2)＝0.26， P(X＝2)＝0.1×0.2＝0.02. （2）由（1）得X的分布列为： 所以，E(X)＝0×0.72＋1×0.26＋2×0.02＝0.3， 【说明】求离散型随机变量X的数学期望的步骤： （1）理解X的意义，写出X的所有可能取值． （2）求X取每个值的概率． （3）写出X的分布列． （4）由数学期望的定义求E(X)； 12、体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病．已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立．现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束． （1）哪种化验方案更好？ （2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用； 【解析】（1）方案甲中，化验的次数一定为5次． 方案乙中，若记化验次数为X，则X的取值范围是{1,6}． 因为5人都不患病的概率为(1－0.1)5＝0.590 49， 所以P(X＝1)＝0.590 49， P(X＝6)＝0.409 51. 从而E(X)＝1×0.590 49＋6×0.409 51＝3.047 55. 这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好． （2）若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E(Y)＝304.755. 即方案乙的平均化验费用为304.755元． 【说明】1、实际问题中的均值问题：数学期望在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计； 2、概率模型的解答步骤：（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的数学期望；（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$